Введение к работе
Актуальность темы. Дифференциальные уравнения с сингулярными и сверхсингулярными коэффициентами и интегральные уравнения с сингулярными и сверхсингулярными ядрами являются одним из важных разделов теории дифференциальных уравнений в частных производных и имеют много важных приложений. К рассмотрению таких уравнений приводят многие задачи прикладного характера из физики, гидродинамики, теории упругости и других разделов математической физики. В связи с этим, изучению таких уравнений посвящены много работ. Существенные результаты в этом направлении получены в монографиях и научных работах И.Н. Векуа, А.В.Бицадзс, М.М.Смирнова, Т.Д.Джураева, М.С.Салохиддинова, Л.Г.Михайлова, З.Д.Усманова, Н.Раджабова, Ф.Д.Гахова, H.Begehr, А.Д.Джураева и их учеников.
Другим важным направлением в теории уравнений с частными производными является изучение переопределенных систем дифференциальных уравнений с частными производными с регулярными и сингулярными коэффициентами.
Исследованию переопределенных систем дифференциальных уравнений с регулярными, сингулярными и сверхсингулярными коэффициентами посвящены работы Л.Г.Михайлова, А.Д.Джураева, H.Begehr, Н.Раджабова, Э.Р.Рузметова, а также их учеников, Р.Пирова, Б.Шарипова, Ф.Шамсудинова, Б.Шоимкулова, Н.Мирзоева и других. Эти работы в основном посвящены переопределенным системам первого порядка с сингулярными коэффициентами и системам, приводящимся к системам первого порядка с сингулярными коэффициентами.
Изучение переопределенных систем начали с систем с регулярными коэффициентами, а после стали изучать переопределенные системы с сингулярными и сверхсингулярными коэффициентами.
Изучению переопределенных систем с регулярными коэффициентами посвящена монография Л.Г.Михайлова1. В работе Л.Г.Михайлова2 было найдено представление многообразия решений для переопределенных систем с одной сингулярной точкой
ои ои
где п-целое положительное число.
Монография Н.Раджабова3 посвящена исследованию краевых задач для линейных дифференциальных уравнений гиперболического типа второго порядка и некоторых линейных переопределенных систем первого, второго порядка с одной либо с двумя сверхсингулярными линиями или сверхсингулярными точками. В этой же монографии исследуются некоторые многомерные линейные системы первого порядка с сингулярной или сверхсингулярной точкой и сверхсингулярными областями.
В монографии Э.Рузметова4 получены интегральные представления многообразия решений некоторых переопределенных систем дифференциальных уравнений в частных производных первого и второго порядка с сингулярной точкой, с сингулярными линиями и плоскостями.
1Л.Г.Михайлов Некоторые переопределенные системы уравнений в частных производных с двумя неизвестными функциями. Изд-во «Дониш», Душанбе - 1986,115 с.
2Л.Г.Михайлов К сингулярной теорим полных дифференцалов//ДАН России т. 354, №1, 1997, с. 21-24.
3Н.Раджабов Введение в теорию дифференциальных уравнений в частных производных со сверхсингулярными коэффициентами. Душанбе 1992, 236 с.
4Э.Рузметов Дифференциальные уравнения с параметром и их приложения к исследованию некоторых переопределенных систем уравнений в частных производных. Душанбе ДГПУ, 1994. 241 с.
Однако переопределенные системы, содержащие уравнения второго порядка с сингулярными и сверхсингулярными коэффициентами, мало изучены.
Основной целью настоящей диссертации является изучение переопределенных линейных систем трех уравнений со слабосингулярными, сингулярными и сверхсингулярные линиями, содержащие гиперболическое уравнение второго порядка со слабосингулярными, сингулярными и сверхсингулярные линиями, которые исследуются впервые.
Особо важным является изучение переопределенных линейных систем с переменными коэффициентами, этот случай исследован полностью. При этом важную роль играет связь между коэффициентами уравнений системы. В начале изучается случай, когда коэффициенты связаны между собой определенным способом. В этом случае решение найдено в явном виде. После изучается случай, когда коэффициенты не связаны между собой и тогда решение находится через резольвенту двумерного интегрального уравнения Вольтерра со слабоособыми линиями.
Подробно исследуется случай, когда коэффициенты системы уравнений являются постоянными с сингулярной линиями, найдено решение системы, представимое в виде обобщенного степенного ряда.
В работе также исследуется система трех линейных уравнений со слабо-сингулярными, сингулярными и сверхсингулярные линиями, содержащая гиперболическое уравнение второго порядка, зависяшая от разных параметров степенного характера.
Также в работе изучается переопределенная система двух линейных уравнений со слабосингулярной, сингулярной и сверхсингулярной линиями.
Цели и задачи исследования:
Нахождение и изучение решения переопределенной системы трех линейных уравнений с переменными коэффициентами со слабосингулярной, сингулярной и сверхсингулярной линиями, содержащей гиперболическое уравнение второго порядка.
Нахождение и изучение решения вырождающейся переопределенной системы трех линейных уравнений с постоянными коэффициентами, содержащей гиперболическое уравнение второго порядка, представимое в виде обобщенных степенных рядов по одному из переменных.
Нахождение и изучение решения переопределенной системы трех линейных уравнений с переменными коэффициентами со слабосингулярной, сингулярной и сверхсингулярной линиями, содержащей гиперболическое уравнение второго порядка, зависящее от разных параметров степенного характера.
Нахождение и изучение решения переопределенной системы двух линейных уравнений с переменными коэффициентами со слабо-сингулярной, сингулярной и сверхсингулярной линиями, содержащей гиперболическое уравнение второго порядка.
Методика исследования. Используется метод интегральных представлений многообразия решений для гиперболического уравнения второго порядка с сингулярными коэффициентами и представление многообразия решений для дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка с сингулярными коэффициентами.
Научная новизна и практическая значимость. В диссертации исследуется переопределенная система трех линейных уравнений, содержащая гиперболическое уравнение второго порядка с сингулярными и сверхсингулярными линиями, не изученная ранее. Все результаты, изложенные в диссертации, являются новыми. Полученные результаты могут быть использованы при решении задач гидродинамики, газовой динамики, теории упругости и других разделов механики и физики.
Апробация работы: Основные результаты диссертационной работы докладывались на городских семинарах, руководимых профессором Н.Раджабовым "Комплексный анализ и его приложения в теории дифференциальных уравнений в частных
производных "при кафедре математического анализа и теории функций, 2008-2011г. ТНУ. Кроме того, работа была доложена на Международном Российско-Болгарском симпозиуме "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики "Нальчик-Хабез, 25-30 июня 2010 г., на научно - теоретических конференциях профессорско-преподавательского состава и студентов, ТНУ, посвященные "18-ой годовщине независимости Республики Таджикистан "и "Году памяти Имама Аъзама ", апрель 2009 г., апрель 2010 г., Душанбе.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 8-ми публикациях автора, список которых приведен в конце диссертации.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 4 глав, библиографического списка (66 наименований), изложена на 167 страницах.
