Краевые задачи для некоторых дифференциальных уравнений с двумя перпендикулярными линиями вырождения Сергиевская, Ирина Михайловна

Введение к работе

Актуальность темы. Теория краевых задач для вырождающихся уравнений смешанного типа является одним из основных разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными. Это объясняется ее разнообразными приложениями в современных разделах физики и техники.

Основы этой теории заложены в работах С.А.Чаплыгина, Ф.Трикоми, С.Геллерстедта, Ф.И.Франкля, К.И.Бабенко и других.

Обширная библиография и анализ исследований вырождающихся уравнений смешанного типа содержится в монографиях А.В.Би-цадзе, М.С.Салахитдинова, М.М.Смирнова и других.

Значительные результаты, связанные с краевыми задачами для уравнений с двумя перпендикулярными линиями вырождения, получены В.Ф.Волкодавовым, В.В.Азовским, Ю.П.Карпухиным, А.М.Нахушевым. В.А.Носовым, М.Е.Лернером, 0. И. (Ларичевым, Е.И.Моисеевым, М.М.Смирновым, К.Б.Сабитовым и другими.

Особое место среди исследований по краевым задачам для уравнений смешанного типа с двумя перпендикулярными линиями вырождения занимают работы Б.Ф.Волкодавова, Н.Я.Николаева, В.И.Макеева, А.П.Финаенова, посвященные краевым задачам с трапецевидной областью гиперболичности. Большой интерес вызывают работы Б.Ф.Волкодавова, Н.Я.Николаева, Е.И.Тошной, в которых решены краевые задачи со специальными условиями сопряжения.

Настоящая диссертационная работа является продолжением упомянутых исследований и посвящена обоснованию однозначной разрешимости краевых задач для уравнений:

L_J,(a)H(t^s--jⁱ)a^-i-[)C=0_; о<р_л< ^ ([_>.).

Lj(u)Hst(u_3s+S5nt-u_w)-).(_{-t-tps)(us-<-j/Btu<;)=o, o}

в областях специального вида.

Отметим, что при условиях, приведенных ниже, уравнения (О и (ЛЇ) принимают вид уравнений (і-і) при р-у и (ц) соответственно.

Цель работы. Обоснование существования и единственности решения некоторых краевых задач для уравнений гиперболического и смешанного типа с двумя перпендикулярными линиями вырождения в областях специального вида.

Методы исследования. Основные результаты диссертационной работы получены с использованием классических методов обоснования существования и единственности решений дифференциальных, интегральных уравнений и аппарата специальных функций. При доказательстве существования решения краевых задач использовались методы Римана - Адамара, общих решений, теория интегральных уравнений Фредгольма второго рода, теория интегральных уравнений Вольтерра первого рода. Единственность решения поставленных задач для уравнений смешанного типа доказывается на основании принципов локального экстремума, леммы -Хопфа, аналогов леммы К.И.Бабенко и В.Ф.Волкодавова.

Научная новизна. Доказан ряд тождеств для гипергеометрической функции //i_(<-,p,#", S; ; к,^) . Для вырождающегося уравнения гиперболического типа с различными параметрами обоснованы единственность и существование решения задачи

Коши - Гурса в трапецевидной области, для уравнения смешанного типа с двумя перпендикулярными линиями вырождения обоснована однозначная разрешимость обобщенной задачи Трикоми в области, содержащей внутри себя одну линию вырождения уравнения, в то время как вторая линия вырождения является частью границы. Для двух уравнений гиперболического типа получены решения краевых задач Е , N , , //_t_{+ t} Q_ л/₊ , Е.л/v , М.Е + со специальным условием сопряжения. Для соответствующих уравнений смешанного типа доказана единственность решений трех краевых задач со специальными условиями сопряжения на характеристической и нехарактеристической линиях.

- Практическая и теоретическая значимость. Полученные в диссертации результаты являются новыми и имеют теоретический характер. Они могут быть использованы при дальнейшей разработке теории краевых задач для уравнений смешанного типа с двумя перпендикулярными линиями вырождения. На защиту выносятся:

1. Доказательство существования и единственности решений
краевых задач Е , N , G- , /V_G-₊ , е.л/₊ для уравнения

(Ч) и краевых задач Е , E_/v₊ , yv_E₊ для уравнения С-0 .

1. Доказательство единственности решений краевых задач I, П, Ш для уравнения смешанного типа (l¹^) и краевых задач I, П для уравнения смешанного типа (l^) .

2. Доказательство единственности и существования решения задачи Т~ Для уравнения (lJ .

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на:

- Первой межвузовской конференции "Математические модели

и краевые задачи" (Куйбышевский политехнический.институт, г. Куйбышев. 1991 т.) ;

Международной конференции "Дифференциальные и интегральные уравнения. Математическая физика и специальные функции" (г. Самара, 1992 г.) ;

ежегодных конференциях Самарского государственного педагогического института в 1992-1994 гг.;

областном семинаре "Дифференциальные уравнения" при Самарском государственном педагогическом университете в 1991-1995 гг. (руководитель семинара - профессор, доктор физико-математических наук Б.Ф.Волкодавов.) .

Публикации. По материалам диссертации опубликовано семь печатных работ.

Обьем и структура диссертации. Работа изложена на 95 страницах машинописного текста и состоит из введения, двух глав и библиографического списка, содержащего 88 наим енова-ний.

Похожие диссертации на Краевые задачи для некоторых дифференциальных уравнений с двумя перпендикулярными линиями вырождения

Краевые задачи для квазилинейных уравнений смешанного типа с двумя линиями вырожденияРасулов, Хайдар Раупович

Задачи со смещением для уравнений смешанного типа с двумя линиями вырожденияШувалова Татьяна Витальевна

Краевые задачи для уравнений смешанного параболо-гиперболического и эллиптико-параболического типов с двумя линиями и различными порядками вырожденияАкбарова, Сурайё Хамидовна

Качественные и спектральные свойства решений уравнений смешанного типа с двумя линиями вырождения и их примененияКарамова, Альфира Авкалевна

Задачи на собственные значения для операторов смешанного типа с двумя линиями степенного вырождения и примененияЧиганова Наталья Викторовна

Задача Трикоми для дифференциальных уравнений с сильным вырождением на линии изменения типаХайруллин, Равиль Сагитович

Задачи Трикоми и Пуанкаре-Трикоми для уравнений смешанного типа с гладкой и негладкой линиями вырожденияАманов, Джумаклыч

Краевые задачи для дифференциальных уравнений с двумя линиями сингулярности коэффициентовВагапов, Винер Зуфарович

Краевые задачи для смешанного параболо-гиперболического уравнения с двумя линиями изменения типаЭгамбердиев, Улугбек

Краевые задачи для системы управлений смешанного типа с негладкой линией вырождения Заикина Татьяна Борисовна