Содержание к диссертации
ВВЕДЕНИЕ 4
ГЛАВА I. РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ В ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ
ОБЛАСТИ 14
I. Постановка краевых задач 14
2. Принципы экстремума. Единственность решения ... 16
3. Свойства фундаментальных решений ... 21
4. Свойства функций zjx.fl-ft/'&rttifay&fife'/f
и Vfay)-$fK<$Jf)*i(*,9;Z.rifc
5. Решение задач У& , «У, , 25 42
ГЛАВА П. РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ В ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ
ОБЛАСТИ . :'': . . 47
I. Постановка краевых задач 47
2. Принцип экстремума 49
3. Задача Коши 52
4. 1-ая задача Дарбу 60
5. 2-ая задача Дарбу 67
ГЛАВА Ш. РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ В СМЕШАННОЙ
ОБЛАСТИ 76
I. Постановка задачи Т 76
2. Единственность решения задачи Т 77
3. Функциональные соотношения между
тп(х) и ^iW 83
4. Сведение задачи Т к системе сингулярных
интегральных уравнений 88
5. Задача Г 102
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 108
ЛИТЕРАТУРА НО
Введение к работе
Исследование краевых задач для дифференциальных уравнений смешанного типа является одним из важных направлений современной теории уравнений в частных производных. Первые фундаментальные исследования уравнения смешанного типа были выполнены Ф.Трикоми [ 89 ] в начале двадцатых годов. В тридцатых годах они были продолжены С.Геллерстедтом ІЮ5] , [ 106 ] , [ 107] и др.
Уравнения смешанного типа имеют большое практическое применение, они возникают при решении задач газовой динамики, безмоментной теории оболочек с кривизной переменного знака, в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей, в магнитной гидродинамике, в теории электронного рассеяния, в прогнозировании уровня грунтовых вод и в других областях физики и техники. На важность изучения краевых задач для уравнений смешанного типа указано в работах [ 5 ] , I 7 ] ,[ 10 J , [ 17 ] , [ 19 I , [ 29 ] ,[ 45 ] ,[ 92 ] и других.
Существенный вклад в развитие теории уравнений смешанного типа и вырождающихся уравнений внесли советские математики и механики: К.И.Бабенко [б ] , А.В.Бипадзе [її - Іб], М.А.Лаврентьев [ 48 ] , А.М.Нахушев [б5 - 67 ] , А.И.Янушаускас [95, 96 ] , М.М.Смирнов 184 - 86 ] , Ю.М.Березанский \8 ], М.В.Келдыш [44], М.С.Салахитдинов І78 - 82 ] , Н.Раджабов [76 ] , О.А.Олейник [б8, 69 ] , А.Джураев [зі] , С.П.Пулькин [74, 75] , В. Ф. Волкодавов [ 22 ] , В.П.Диденко [32 - 35] , В.Н.Врагов [23, 24 ] , В.П.Михайлов [61, 62 ] , С.А.Терсенов [87, 88] , Ф.И.Франкль [ 92 ] , Ю.М.Крикунов 146, 47 ] , Т.Ш.Кальменов [40, 41 ] и другие.
Обобщение результатов Ф.Трикоми ведется в основном в четырех направлениях:
1) усложнение уравнения смешанного типа за счет
а) добавления новых слагаемых,
б) повышения порядка,
в) добавления новых линий вырождения,
изменения области смешанного типа, в которой ищется решение,
изменение граничных условий задачи или условий склеивания искомого решения,
распространение идей и методов решения краевых задач со случая уравнения смешанного типа на случай систем таких уравнений.
Изучению краевых задач для уравнений смешанного типа посвящена обширная математическая литература, Основная библиография по этим вопросам содержится в книгах [її ] , \ 13 ] , [31 ], I 85 ] и других.
С конца 60-х годов ведутся исследования по теории краевых задач для уравнений смешанного типа с негладкими линиями вырождения. В работах М.М.Зайнулабидова^ 37 - 39 ] , М.С. Салахитдинова 178, 79, 81, 82 ] , Б.Менгзияева [ 57 ] , А.К. Уринова [ 90 ], О.И.Маричева [ 54 ] , Ж.Орамова [ 70 ] , В.В. Азовского [ I ] и других изучены уравнения смешанного типа с негладкими линиями, но с одинаковым порядком вырождения.
Уравнения эллиптического или гиперболического типа с разным порядком параболического вырождения на части границы области рассмотрены в работах Н.Раджабова I 76 1 , Л.В.Пес-
тун [ 71, 72 ] , Н.А.Вирченко I 20 ] , И.А.Макарова [б2,53], А.М.Гордеева [ 27 ] , ЛШ/гЖгх'а \т,Ш\%ЯШ*0<Жа [№]
и других.
Уравнению смешанного типа с различным порядком вырождения вида
»*«fl*rg**"^ -в.
посвящены работы М.С.Салахитдинова, А.Хасаяова [80, 93 ] , Д.Аманова [ 3 ] и другие.
Системы дифференциальных уравнений с вырождением и без него исследованы в работах А.В.Бипадзе [ II - 16 ] , М.И.Вишка [ 21 ] , В.П.Михайлова I 61 ] , А.И.Янушаускаса [95,9б], Р.С.Сакса I 77 ] , М.Мередова [58 - 60 ] , А.А.Андреева І4 ] , М.М.Гаджиева [25, 26 ] и других. На важность изучения систем уравнений смешанного типа обратил внимание А.В.Бицадзе в монографии \ II \ .
В работах М.Мередова \ 58 - 60 1 доказана однозначная разрешимость задач Дарбу, Гурса, Коши для системы вырождающихся гиперболических уравнений вида
где а , В , С -заданные т*№ матрицы, їЦ^,...,^} ~ заданный, a ^=(^,^,,,,,^) - искомый векторы. Скалярная функция К(у) ^ 0 при 4 О и обращается в нуль при 4=0
_ 7 -
В.ЇЇ.Диденко функциональными методами исследовал краевые задачи для эллиптических систем уравнений с вырождением порядка на границе, а также для систем дифференциальных уравнений смешанного и смешанно-составного типов [ 32 - 35 ] .
Изучением краевых задач для нелинейных систем уравнений смешанного типа с гладкой линией вырождения вида
занимался И.В.Майоров [49 - 51 ] .
Настоящая диссертация посвящена изучению системы уравнений смешанного типа с различным порядком вырождения
^*7М'Й * «9**1«№« * c(x,f)«-0, (I)
где Е * т, Е, т = amU *- О,
л(ос,у)={ц„..,ал } - вектор, c(xf^)«\c^ J - матрица размерности Я л И . Она состоит из введения, трех глав и заключения. Система уравнений (I) рассматривается в области ) , ограниченной кривой Ґ с концами в точках
А(л,0), B(0,S) , которая расположена в первом квадранте, и характеристиками
СА «**(-//-4
і і.
где cl= ^ } б * pf, ty* т+ 2, гр = t2 ,
Обозначим Юг и <Ю3 - гиперболические части области
СО при X т> 0 и X * 0 соответственно, а через СО^ -эллиптическую часть области CZ)
В I главе решены основные краевые задачи: Неймана-Дирихле, Неймана-Дирихле I, Дирихле для системы уравнений (І) в эллиптической части области СО/ .
В I дана постановка этих задач.
ЗАДАЧА cVfc) (НЕЙМНА-ДИРИХЛЕ). Найти решение системы
уравнений (I) из класса удовлетворяющее
краевым условиям:
где Mi - действительные числа.
ЗАДАЧА J'<Dl (НЕЙШША-ДИРИХ2ЕЕ і). Найти решение системы уравнений (I) из класса С(Ю^ fl () » удовлетворяющее краевым условиям:
причем срг () = Т21 ($ ).
ЗАДАЧА СО (ДИРИХЛЕ). Найти решение системы уравне
ний (I) из класса , удовлетворяющее кра
евым условиям:
причем ^.(0)-^.0), ft #)-<«('>, ^.(0)-r2«?)
В 2 доказаны принципы экстремума для функций **-&, и,\ из которых следует единственность решения поставленных задач. В 3 изучены свойства фундаментальных решений
Используя свойства гипергеометрической функции Горна
Т^0і,Ь,(>'', С,с'; <,*l^) » получены интегральные представления для фундаментальных решений, оценки для них и их производных. В 4 рассмотрены свойства функций, представленных интегралами вида
Доказаны теоремы, являющиеся аналогами теорем, доказанных К.И.Бабенко для уравнения
В 5 доказано существование решения задач, поставленных в I, сведением их к системам интегральных уравнений
Фредгольма второго рода. Решения выписаны в явном виде.
Во второй главе решены основные краевые задачи для системы уравнений (I) в гиперболической области С)2 .
В I дана постановка задачи Коши, 1-ой и 2-ой задач Дарбу.
В 2 доказан принцип экстремума для функций ^(х,^), который является обобщением известного принципа Проттера для уравнения гиперболического типа.
В 3,4, 5 решены соответственно задача Коши, 1-ая задача Дарбу, 2-ая задача Дарбу, Решения выписаны в явном виде, удобном для дальнейших исследований системы уравнений (І) в смешанной области. Получены оценки для функции Римана и функции Римана-Лдамара, необходимые для доказательства существования решения поставленных задач.
В третьей главе система уравнений (I) рассматривается в смешанной области Ю .
В I поставлена
ЗАДАЧА Т^ . Найти вектор к(эс,4/) , обладающий следующими свойствами:
-и(оа^) є C(S);
&(ос,<&) - является регулярным решением системы уравнений (І) в области Ю^ и обобщенным решением класса
Tid в области
3) и(Х,ч) удовлетворяет краевым условиям
-и
(*ф\тя&*)> *** Є'>
-li-
Здесь
Из принципов экстремума, доказанных для функций 4Ci(x,
*(*.& y«*>f) ,
что и сделано в 2 главы 3.
В 3, 4 задача Ті при предположении, что Г совпадает с нормальной кривой
r..-*4-f*-'
сводится к решению системы сингулярных интегральных уравнений со специальными функциями (гипергеометрическими функциями У(а,$; с,х)) в ядрах и доказана ее разрешимость.
В 5 рассмотрен частный случай системы уравнений (I), когда t=-nt в области Ю - Ю^ (J )2 (J
ЗАДАЧА Г . Найти функции иг (ос, и) , обладающие следующими свойствами:
I) #.(<С,у)ег С();
^(х, 4) - регулярное решение системы уравнений (I) в области у и обобщенное решение класса Ху в областях )г , tD5 ;
-&с(йс,4) - удовлетворяет краевым условиям
иМу)\г - ft СО, 0*s&e-,
где ^ = {^: 0*4* 2~*},
а Сгк(ос,у) ,
Цель работы. Исследование вопросов существования и единственности решения основных краевых задач для системы линейных дифференциальных уравнений смешанного типа с различным порядком вырождения в эллиптической, гиперболической и смешанной областях.
Методика исследования. Единственность решения рассматриваемых задач доказывается с помощью принципов экстремума. При доказательстве существования решения кра-
- ІЗ -
евнх задач применяется теория систем сингулярных интегральных уравнений и систем интегральных уравнений Фредгольма второго рода.
Практическая и теоретическая значимость. Результаты работы являются новыми и имеют теоретический характер. Они представляют определенный вклад в дальнейшее развитие теории краевых задач для уравнений и систем уравнений смешанного типа с двумя линиями параболического вырождения и ее применения при решении приклад-ных задач, приводящихся к таким уравнениям.
Апробация работы. Результаты работы докладывались на Волжском зональном совещании-семинаре по дифференциальным уравнениям (математической физике) (г.Куйбышев, 1975, 1977, 1979, 1984 гг.), на Ш Конференции ФМЗ Куйбышевского политехнического института (г.Куйбышев, 1983 г.), на городском семинаре "Теория потенциала и краевые задачи для дифференциальных уравнений" (г.Киев, 1984 г.), на научно-технической конференции КамАЗа (г.Брежнев, 1984 г.).
По теме диссертации опубликовано пять работ [ 116 ] , [ 117 ] , [ 118 ] , [ 119 ] , J 120 ] , в которых отражено основное содержание диссертации.
