Введение к работе
Актуальность темы. Работа посвящена исследованию разрешимости вариационной задачи Дирихле для вырождающихся эллиптических уравнений и изучению дифференциальных свойств ее решений. Краевые задачи для вырождающихся дифференциальных уравнений часто и естественным образом возникают в процессе моделирования ряда прикладных задач в теории малых изгибаний поверхностей, в газовой динамике и других разделах механики. Как отмечено авторами многих обзорных работ, существуют разнообразные способы вырождения, которые требуют применения соответствующих разных методов, и в настоящее время не существует единой теории, которая охватывала бы все результаты этого направления.
Подход к исследованию граничных задач для вырождающихся эллиптических дифференциальных уравнений на базе теории вложения весовых функциональных пространств впервые был продемонстрирован в работе Л.Д.Кудрявцева1. Результаты этой работы позже обобщались и дополнялись в работах СМ. Никольского, П.И. Лизоркина, X. Трибеля, Л.Д. Кудрявцева, А. Куфнера, СВ. Успенского, Н.В. Мирошина, Б.Л. Байдель-динова, К.Х. Бойматова, СА. Исхокова и др.
Исследования, проведенные в настоящей диссертационной работе, примыкают к работам указанных выше авторов и по сравнению с ними рассматриваются новые классы вырождающихся эллиптических уравнений.
Цель работы
Исследование зависимости гладкости решения вариационной задачи Дирихле для вырождающихся эллиптических уравнений в ограниченной области, связанных с некоэрцитивными билинейными формами, от гладкости граничных функций.
Исследование разрешимости вариационной задачи Дирихле для одного класса вырождающихся эллиптических уравнений в полупространстве Д+ = {х = (V, хп) : хп > 0}.
Исследование разрешимости вариационной задачи Дирихле для вырождающихся эллиптических уравнений в предельно-цилиндрической области и изучение гладкости ее решения в зависимости от гладкости ко-
^^Кудрявцев Л. Д. Прямые и обратные теоремы вложения. Приложения к решению вариационным методом эллиптических уравнений // Труды Математического института им. В.А. Стеклова АН СССР, 1959, т. 55, с. 1-182.
эффициентов дифференциального оператора, правой части уравнения и граничной функции.
Методы исследования. Применяемый в диссертации метод основан на элементах теории весовых функциональных пространств (теоремы вложения, эквивалентные нормировки, прямые и обратные теоремы о следах, теоремы о плотности гладких функций и т.д.)
Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и заключаются в следующем:
Изучено влияние гладкости граничных функций на гладкость решения вариационной задачи Дирихле для вырождающихся в ограниченной области эллиптических уравнений, связанных с некоэрцитивными билинейными формами.
Доказаны теоремы об однозначной разрешимости вариационных задач Дирихле с однородными и неоднородными граничными условиями для одного класса вырождающихся эллиптических уравнений в полупространстве Д+ = {х = (х'} хп) : хп > 0}.
Доказаны теоремы об однозначной разрешимости вариационных задач Дирихле с однородными и неоднородными граничными условиями для одного класса вырождающихся эллиптических уравнений, связанных с некоэрцитивными билинейными формами, в предельно-цилиндрической области.
Доказаны теоремы о повышении гладкости решений вариационных задач Дирихле с однородными и неоднородными граничными условиями для одного класса вырождающихся эллиптических уравнений, связанных с некоэрцитивными билинейными формами, в предельно-цилиндрической области.
Теоретическая и практическая ценность. Результаты, полученные в диссертации, носят теоретический характер. Они могут послужить основой для дальнейших теоретических исследований в теории вложения весовых функциональных пространств, в теории краевых задач для вырождающихся дифференциальных уравнений.
Практическая ценность работы определяется прикладной значимостью вырождающихся дифференциальных уравнений в решении прикладных задач механики и других разделов физики.
Апробация результатов. Основные результаты диссертации обсуждались на международной научной конференции "Математика и информационные технологии", посвященной 15-летию независимости Республики Таджикистан (г. Душанбе, 27 октября 2006 г.), на научно-исследовательских семинарах отдела теории функций и функционального анализа ИМ АН Республики Таджикистан "Спектральная теория и разделимость дифференциальных операторов "(руководители: доктор физ.-мат.
наук, академик АН РТ, профессор [Бойматов К.Х. | и доктор физ.-мат. на-
ук, профессор Исхоков С.А.) в 2003 - 2008 гг.; общеинститутском семинаре Института математики АН Республики Таджикистан (руководитель семинара: доктор физ.-мат. наук, член-корреспондент АН РТ, профессор Рахмонов З.Х.) в 2009 г.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в пяти научных работах, список которых приведен в конце автореферата. Некоторые из них написаны в соавторстве с научным руководителем С.А. Исхоковым, которому принадлежат постановка задач и выбор метода доказательств результатов.
Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Работа изложена на 99 страницах компьютерного набора. Библиография насчитывает 65 наименований.
Похожие диссертации на Вариационная задача Дирихле для некоторых классов эллиптических уравнений с вырождением
