Введение к работе
Актуальность теми. В работе изучается задача продолжения решения системыуравнений теории упругости в плоской области по ее заданим значениям и значениям ее напряжений на части границы, т.е. задача Коши для системы уравнении теории упругости;
В классических задачах для рэшония задач теории упругости требуется задание тех или иных граничных условий на всей границе области. Однако во многих реальных задачах часть грашщы недоступна для измерений ни перемещений, ни напряжений, либо известны лищь некоторые интегральные характеристики. Поэтому возникает вопрос эффективные решения задачи по данными на одном чаете гра-нкци области.
При произвольных непрерывных данных задача неразрешима.Если данные Коши аналитичны на рассматриваемом дуге (дуга аналитическая) и аналитически продольный внутри области то, согласно теореме Коши-Ковалевской, продолжение осуществимо и единственно. Однако задача некорректна по Адамару, т.е. характер некорректности такой же,как в задаче Коши для уравнения Лапласа.
Так как данные Коши могут быть заданы только, приближенно,то речь может идти только о приближенном решении задачи. Но из-за отсутствия устойчивости в решении без дополнительной (относительно решения) информации приближенное решение невозможно.
Возникшие в работах А.Н.Тихонова понятие условной корректности постановки таких задач, развитое затем в работах М.М.Лаврентьева, дало принципы подхода для исследования некорректных задач.
После установления теорем единственности и устойчивости при исследовании условной корректности некорректных задач возникает вопрос построения эффективных методов рэиения, т.е. построения регуляризующихся операторов.
Для специальных областей задача продолжения ограниченных аналитических функций в случае, когда данные задаются точно на . части границы, была рассмотрена Т.Карлеманом. Исследования Т.Кар-лемана были продолжена Р.М.Голузиным и В.И.Крыловым. Для уравнения Лапласа задача Коши,когда область полосой,регуляризованное решение построено В.К.Ивановым. Использование класической формулы Грина для построения регуляризованного решения задачи Коши для уравнения Лапласа было построено академиком М.М.Лаврентьевым. Используя идеи М.М.Лаврентьева, Ш.Я.Ярмухамедов построил в явном виде регуляризованное решение задачи Коши для уравнения Лапласа.
Задача Коши для систем теории упругости в ограничнных пространственных областей был изучен О.И.Махмудовым. В этой работе исследуется задача Коши для ограниченных и неограниченных плоских' областей.
Цель работы. Целью диссертационной работы является построение матрицы Карлмана для специальных областей в явном виг де и на ее основе построение регуляризованного решения задачи Коши для систем теории упругости.
Методика исследования. Развивая идеи М.М.Лаврентьева, И.Я.Ярмухамедовым было построено в явном виде регуляризованное решение задачи Коши для уравнения Лапласа. В
работе с использованием метода Ш.Я.Ярмухамедова строятся семейства матрицы фундаментальных решений системи теории упругости специального вида для широкого'областей в явном виде. На ее основа строятся регуляризованное решения задачи Коши систем теории упругости. Полученные формулы продолжения основаны на постановке и приеме4, М. М. Лаврентьева.
Научная новизна. Задача Коши системы теории упругости в плоской области не ставилось и не исследовалось. В диссертации найдено регуляризованное решение задачи Коши для специальных ограниченных и не ограниченных классов областей в явном виде.
Теоритическая и практическая ценное т ь. Построение в явном виде решения поставленной задачи представляет теоретический и практический интерес. Полученные результаты могут бать использованы при исследовании математических задач теории упругости, задачах геомеханики и т.д.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на научном конференции молодых ученных Инстету-тз механики АН Украйни,на объединенном семинаре отделов "Дифференциальные уравнения" и "Неклассические уравнения математической физики" Инстетута математики им. В.И.Романовского АН Республики Узбекистан (руководители- академики АН РУз М.С.Салахитдинов и Т.Д.Жураев), на семинаре "Функционалыше методы математической физики" (руководиелъ-член-корр.АН РУз Ш.А.Алимов), на Всесоган. конференции "Условно-корректные задачи математической физики и
анализа" (г.Новосибирск,1992 г., июнь), на VIII-конференции СНГ (г.Самарканд, 1992г., сентябрь),на Респуб.науч.конф.(г.Наманган, 1994 г., май).
Публикации. Основный результаты диссертации содержатся в работах автора [26-32).
Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения,двух глав, содержащих 8 параграфа ( 1.1-1.4 в гл.1, 2.1-2.4 в гл. 2), и библиографии. Общий объем работы 96 страниц машинописного текста. Библиография включает 47 наименования.
