Введение к работе
ы\ ііі.
——татуальность темы. В работе изучается задача продолжения решения многомерной системы Коши-Римака и (и) в области В по ее известным значениям fly) на гладкой части S1 раницы dD „ т.е. задача Коти для многомерной системы Коаи-?имана,
Рассматриваемая задача относится к некорректн-ч задачам,, т«е. она н.устойчива.
Если S - кусок гиперплоскости и f(lj) аналитична и аналитически продолжаема bD , то воссаановление U(y) по за нзвестгшм значениям f(y) на гладкой части S границы dD осуществимо и единственно, іон как из эксперимента известна fg-(y) t приближенное значение j iy) (которая колет нэ принадлежать классу сущэст-зования решений), то из-за отсутствия устойчивости построение приближенного решения невозможно. Условная устойчивость задачи следует из работы Тихонова А.Н., осли сузить гласе возможных ре-аений до компакта.
В работе строится семейство вектор-функций u<.Xfi, }^)!'Ut.^(x) зависящих от параметра б" , и доказывается, что при некот рыт условиях .и специальном выбора napavgTpa б4» 6($) семейство Ug.g^) сходится в обычном смысле к решению U(X) в точкаx&D при & -* О .
Следуя А.Н.Тихонову, семейство вектор-функций Ug.s(x) назовем регуляриэованным решением задачи. Регуляриэованное решение определяет устойчивый метод приближенного решения задачи. Для специальных областей задача продолжения г --раниченньк аналитических функций в случае, когда данные задаются точно на части границы, была рассмотрена Т.Карлеманом. Исследования Т.Карлемана были продолжены ' .М.Голузиннм и В.И.Крыловым. Многомерный аналог формулы Карлемена для аналитических функций многих переменных построен Л.А.Айзенбергом. Задача п; цолжения решения уравнения Лаплгса по его известным значениям и значениям нормальней производной .а куске границы исследуется в работах М.М.Лаврентьева, С.Н.Мерголя-на, В.К.Иванова, Ш.Ярмухамедова и других. Использование классической формулы Грина для построения регуляризованного решения са-дачи Коти для уравьения Лапласа было предложено академиком М.М. Лаврентьевым в его известной монографии. Используя идеи М.М.Лав-ре..гьева, Ш.Ярмухамедовым было п^чтроено в явноы виде р 'уляри-зоваиное решение зада^ Коїш для уравнения Лапласа. Построением іатрицьі Кьрлемана для эллиптических систем занимались: Ш.Ярмуха-
медов, Н.Н.Тарханоэ, 0„И.Махмудов и другие.
Система, рассматриваемая в данной работе, была введена Л.А. Деэинымв Для этой системы им были изучены корректные граничные задачи и найден аналог интегральной формулы Коши в ограниченной области,,
Во многих корректных задачах для много.'-рной сгстемы Коши-Римана здостуїшо вычисление значения вектор-функции на всой границе. Поэтом;' задача восстановления решения многомерной системы' Коши-Римана по его известным зі.-чениям на куске границы области является <""щой из актуальных задач теории дифференциальных уравнений,,
Цель работы. Целью работы является:
построение в явном виде регуляризованного решения задачи Коши доя многомерной системы Коши-Римана в специальных ограниченных и неограниченных областях;
обобщение аналога интегральной формулы Коши на бесконечной области с некомпактными границами для многомерной системы Коши-Римана.
Общая методика исследования. Развивая идеи М.М.Лаврентьева, Ш.Ярмухамедов построил в явном виде регуляризованное решение задачи Коши для уравнения Лапласа. В данной работе с использование! метода Ш.Ярмухамедова строится семейство матриц фундаментальных решений многомерной системы Коши-Римана специального вида для широкого класса областей в явном виде. Построенная матрица фундаментальных решеї Л обладает важным свойствоме Она в пределе исчезает вне произвольного фиксированного конуса. Полученные формулы продолжения основаны на постановке и приеме М.М.Лаврентьева.
Научная новизна, теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации являются новыми. В работа найдено регуляризо ванное решение задачи Коши для многомерной системь Коши-Римана в специальных ограниченных и неограниченных областях. Получено интегральное представление растущего решения многомерной системы Коши-Римана в неограниченных областях с некомпактными границами. Полученные результаты могут быть использованы при исследовании математических задач теории многомерна систем Коши-Римана.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на семинарах в Математическом институте АН СССР, на семина-
4 '
ре отдела условно корректных задач Института математики СО АН СССР, на семинаре кафедры теории функций Новосибирского и Самаркандского государственных университетов и на заседаниях в школах: по комплексному анализу и математич'~кой уазике (1987 г. Красноярск); но функциональным методам в прикладной математике и математической физике (1988 г., Ташкент); по актуальным вопросам комплексного анализа (1989 г., Ташкент)j советско-итальянского симпозиума (1990 г., Самарканд)„
Публикации. Основные результати диссертации содержатся в работах автора j_I-8 J.
Структура и объем диссертации. Диссертация объемом 105 машинописных страниц состоит из введения и'двух глав, разбитік на семь параграфов, библиография содержит 40 наименований отечественной и зарубежной литературы.
