Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Фундаментальные решения и задача коши для общих параболических по и.г.петровскому систем со степенными особенностями в коэффициентах 8
1. Леммы о свойствах специальных объемных потенциалов 8
2. Построение фундаментальной матрицы решений задачи Коши 21
3. Разрешимость задачи Коши 34
Глава II. Задача кош и свойства решений в-параболи ческих систем 38
1. Некоторые вспомогательные утверждения и леммы... 38
2. Внутренние оценки шаудеровского типа решений В -параболических систем 46
3. фундаментальные решения задачи Коши для В-параболических систем с особенностями в коэффициентах 73
4. Разрешимость задачи Коши для В -параболических систем с особенностями в коэффициентах 94
5. Теоремы Лиувилля для решений В-параболических систем 103
б. Фундаментальные решения задачи Коши для В-параболических систем с дисспацией
Глава III. Матрица грина однородной параболической гра ничной задали- случай нецилиндрической области и систем с особенностями в коэффициентах 122
I. Вспомогательные утверждения о функции Грина и леммы об оценках некоторых объемных потенциа лов в нецилиндрических областях 122
2. Теорема о существовании и свойствах матрицы Грина 133
Литература 13
- Построение фундаментальной матрицы решений задачи Коши
- Разрешимость задачи Коши
- фундаментальные решения задачи Коши для В-параболических систем с особенностями в коэффициентах
- Теорема о существовании и свойствах матрицы Грина
Введение к работе
Диссертационная работа посвящена некоторым вопросам теории линейных параболических систем с коэффициентами, имеющими особенности. В ней: I) построена фундаментальная матрица решений задачи Коши для произвольных параболических в смысле И.Г.Петровского систем в случаях, когда коэффициенты имеют степенные особенности на прямых Х = Х0 и гиперплоскостиi: ="t0 (глава і) и систем с оператором Бесселя по lt-ой пространственной координате (глава П);2)построена матрица Грина и изучены ее свойства для параболической краевой задачи в нецилиндрической области со степенными особенностями в коэффициентах системы (глава Ш).
Для уравнений с частными производными с помощью классических методов решены многие важные задачи. Исследованию задачи Коши и граничных задач для линейных параболических систем посвящены работы И.Г.Петровского [66-], С.Д.Эйдельмана [80], В.П.Михайлова [бЇ], Т.Я.Загорского [19], О.А.Ладыженской, В.А.Солонни-кова, Н.Н. Уральце вой [47], Е.М.Ландиса [48], А.Фридмана [78], М.И.Матийчука [5І], С.Д.Ивасишина [21-24] и других авторов.
Важные результаты для вырождающихся уравнений с частными производными и оператором Весселя получены Я.И.Житомирским [18], И.А.Киприяновым [33-36І, В.И.Кононенко [30-32], М.И.Ключанцевым [37], В.В.Катраховым [.27Ц28], Л.И.Камыниным [26], М.И.Матийчуком [54-60], М.М.Смирновым [7І|, [72], А.В.Ивановым [20].
В работах В.В.Крехивского, М.И.Матийчука [4Ї], [42] изучаются фундаментальное решение и задача Коши для линейных параболических систем с оператором Весселя, рассматриваются краевая и смешанная задачи для данных систем. О.Н.Козлова [38-39] изучила свойства положительных решений параболических уравнений с опера-
_ 4 -
тором Бесселя.
В настоящее время исследуются такке задачи для важных, с теоретической и прикладной точек зрения, классов уравнений с особенностями в коэффициентах. В работах Л.Г.Михайлова [62], [бЗ] изучается обобщенная система Коши-Римана, коэффициенты которой имеют особенности. Л.С.Парасюк [77"] исследовала свойства обобщенного фундаментального решения эллиптической системы с разрывными коэффициентами. Задачу Коши и основные задачи математической физики для параболических систем с разрывными коэффициентами рассмотрел М.И.Матийчук [53~\, а в работах [54 - 58] им же строится и изучается фундаментальное решение названных систем и исследуются краевые задачи параболического типа с разрывными коэффициентами на гиперплоскости. Принцип максимума для параболических уравнений второго порядка с разрывными коэффициентами получен И.Д.Пукальским, М.И.Матийчуком [67"].
Краевые задачи для некоторых сингулярных дифференциальных операторов изучались В.В.Катраховым [27],[28], а фундаментальное решение дифференциального оператора с особенностью рассмотрели В.С.Серов [70], Л.С.Парасюк [65].В работе С.Д.Эйдельмана,С.Д.Ива-сишена [8Ї] исследована матрица Грина однородной параболической граничной задачи для систем с разрывными коэффициентами.
В работе [eslllW ЛЯъсъгьск Л.Оъгс&Ь изучаются граничные задачи для линейных параболических дифференциальных операторов в весовых пространствах Соболева. Коэффициенты оператора имеют особенности в нижней части цилиндра.
Общие эллиптические задачи с сильным вырождением изучались Я.А.Ройтбергом и З.Т.Шефтелем [683.
Как свидетельствует проведенный анализ, получены глубокие результаты по исследованию фундаментального решения и классиче-
ской разрешимости граничных задач, изучена классическая задача Коши для параболических систем. Изучены многие вопросы разрешимости граничных задач для эллиптических и параболических вырождающихся уравнений и систем, имеющих особенности в коэффициентах.
До настоящего времени не были изучены задача Коши для общих параболических по И.Г.Петровекому систем со степенными особенностями в коэффициентах, параболических систем с оператором Бесселя и степенными особенностями в коэффициентах.
В данной диссертационной работе изучаются свойства решений параболических систем первого и высших порядков по t со степенными особенностями в коэффициентах при младших производных, вырождающиеся уравнения с такими же особенностями в коэффициентах.
Здесь построены фундаментальные решения для
а) систем высшего порядка по "t с особенностями в коэффици
ентах;
б) параболической системы с оператором Бесселя ( В-параболиче-
ской) с особенностями в коэффициентах;
в)В-параболической системы с диссипацией; г) однородной краевой задачи для параболической системы со степенными особенностями в коэффициентах системы в нецилиндрической области.
Полученные результаты применены к решению задачи Коши для соответствующих систем. Кроме этого доказаны теоремы Лиувилля и внутренние оценки решений В -параболических систем.
При исследовании поставленных задач используется методика, разработанная вышеупомянутыми авторами в работах, описывающих свойства решений эллиптических, гиперболических, параболических уравнений с гладкими и вырождающимися коэффициентами.
- б -
Диссертация состоит из введения, трех глав и списка цитированной литературы.
В первой главе изучается задача Коши для произвольных параболических по И.Г.Петровскому систем с особенностями в коэффициентах. В I сформулирована постановка задачи,дано определение фундаментального решения задачи Коши, сформулированы и доказаны леммы о свойствах специальных объемныхпотенциалов.В 2 доказано существование фундаментальной матрицы (ф.м.р.) задачи Коши и получены ее оценки. Третий параграф посвящен задаче Коши. Установлено существование решения и дана оценка решения через данные задачи.
Во второй главе доказываются свойства решений параболических систем с оператором Бесселя.В I установлены некоторые вспомогательные утверждения и леммы о свойствах объемных потенциалов,связанных с оператором Бесселя.Второй параграф посвящен установлению оценок в гельдеровых нормах решений В -параболических уравнений в произвольной области,примыкающей к гиперплоскости,на которой вырождается уравнение. В 3 изучаются свойства фундаментальных решений <ф.р.)задачи Коши названных уравнений, коэффициенты которых при младших производных имеют степенные особенности. При помощи этих ф.р. в 4 изучается разрешимость задачи Коши. В 5 получены классические теоремы Лиувилля для В-параболических систем.Фундаментальные решения системы с диссипацией описаны в б.
В главе Ш изучается матрица Грина параболической краевой задачи в нецилиндрической области. Предполагается, что коэффициенты системы в группе младших имеют степенную особенность. В I приводятся вспомогательные утверждения о свойствах матрицы Грина в нецилиндрической области и леммы об оценках некоторых интегралов в этой области, а в 2 доказана теорема о существовании и свойствах матрицы Грина.
Основные результаты работы опубликованы в статьях 151 - [131 и докладывались: на научном семинаре кафедры дифференциальных уравнений Черновицкого ордена Трудового Красного Знамени государственного университета (ЧТУ) в 1970-1983 гг.; отчетных научных конференциях ЧТУ в 1970-1980 гг.;межвузовской юбилейной научной конференции молодых ученых,посвященной 50-летию образования СССР (г.Черновцы, декабрь, 1972 г.); научном семинаре кафедры математической физики Киевского ордена Ленина государственного университета им. Т.Г.Шевченко (г.Киев,апрель,1980 г.); УШ конференции молодых ученых АН УССР ИППММ (г.Львов,май,1981 г.); конференции по "Общей теории граничных задач" (г.Львов,сентябрь,1981 г.); Республиканской конференции по "Нелинейным задачам математической физики" (г.Донецк, сентябрь, 1983 г.).
На защиту выносятся следующие основные положения:
Построение и изучение свойств фундаментальной матрицы решений задачи Коши для произвольных параболических в смысле И.Г.Петровского систем со степенными особенностями в коэффициентах и применение к решению задачи Коши.
Задача Коши для В -параболических систем с особенностями в коэффициентах; внутренние оценки шаудеровского типа,теоремы Лиу-вилля для решений В -параболических систем; фундаментальные решения задачи Коши для В -параболических систем с диссипацией.
Построение матрицы Грина для параболической краевой задачи в нецилиндрической области со степенными особенностями в коэффициентах системы.
Пользуясь случаем,выражаю сердечную благодарность доктору физико-математических наук,профессору Самуилу Давидовичу Эйдельману и доктору физико-математических наук,профессору Михаилу Ивановичу Матийчуку .за постановку рассмотренных в диссертации задач, постоянную помощь и поддержку при их решении.
Построение фундаментальной матрицы решений задачи Коши
В данной главе изучаются некоторые свойства решений параболических систем с оператором Бесселя (В-параболических систем) . В дополнение к изложенному во введении обратим внимание на работы [191,138І, І39І, [42І - І44І, которые непосредственно связаны с изучением данного вопроса. Свойства решений эллиптических уравнений с оператором Бесселя исследовались в работах [29]-\37 .
Здесь будут получены внутренние оценки решений В-параболических систем, построены их фундаментальные решения и решение задачи Коши, когда коэффициенты системы вырождаются степенным образом, доказаны теоремы Лиувилля, а также описаны свойства фундаментальных решений В-параболических систем с диссипацией.
При изучении решений системы (1.2) будем пользоваться некоторыми определениями и утверждениями, описанными в 49]: 1) оператор Бесселя определен на множестве бесконечно дифференцируемых функций Члх рО , четных пооСи. , убывающих при \х\- сю не медленнее, чем IX \ ,Ъ о и отображает это пространство на себя; 2) для функций из этого класса САС ) определена операция - 39 -свертки g+ л. іь -v - оператор обобщенного сдвига, который соответствеут «Ч оператору Бесселя: В процессе исследований будем пользоваться свойством самосопряженности оператора Т , то есть, если J?№)- непрерывная функция, о » ) І Схлузс. doe - оо с(оо) _ непрерывна и ограничена для всех оо оо о о а также соответственно свойствам симметричности и коммутативности:
Рассмотрим далее функции ІХ І , К 0, tttl 4 Определение 2. Система уравнений (1.2) называется В-параболической в области Г\,, __т , если для произвольной точкиСир е ЧoTl -Л- корни уравнения имеют отрицательные действительные части Яе Я -о 1 3 \ , J70. Л о. «c. », 6 + o ac lK к о, №1 I0 -» - 40 и нормы ос, «тіпДх, ос +- Дос э где jf , д - произвольные числа. Определение 3. Функция 6(t,x) , определенная в , производные которой вида b, V 11(- (ікі+а гб) имеют степенные особенности при ос=0 , принадлежит пространству л в«АВ(п+ч KC-fc\X,& v » если конечна следующая норма: саыАВ «6\В с в+А\В Ш\ =ш\, +вд, , где се-Е а обладающая групповым свойством K(VE,KC Y)»K(& [80]; O -b t любое положительное число при всех "t из сегмента
Приведенные рассуждения дают возможность получить оценку J при г ft :t Рассмотрим теперь J при t fi + jT" » то есть После аналогичных, как в первом случае преобразований, имеем: л)0-И - ОО і иес т- Т рЦСт Ч Из полученных оценок следует утверждение лешлы 3. Лемма 4. Для интеграла n. справедлива оценка где О к гё , иг+cUag , о с іги , кцвіг +т?0 » )0-fc)+l , \) -- . Функция ЦрСзс определена в лемме І. Доказательство. При доказательстве воспользуемся методикой [55]с учетом свойств оператора обобщенного сдвига, перечисленных ранее. Запишем J(-b,t,oc, ) в виде: - При оценке 0i воспользуемся неравенством (5.1) и тем, что здесь fc- Qfc- O , а также по переменной Uv перейдем в сферическую систему координат: ,1 X С l eV " T ft Л - - \ цч Ц В 3 существенно используется разбиение области по ij . =Сп. -В последнем интеграле при ic + d a6 поменяем порядок интегрирования и, используя при этом лемму [уву с.2б], получим \1\ «и - 45 Л, оцениваем с учетом того, что здесь \ \ \ X о Обобщение оценок J; ( і. = 1,2,3,4) дает утверждение леммы. Для получения внутренних оценок решений В -параболических уравнений определим нормы изучаемого решения.
Рассмотрим в полупространстве t"-f , о х. оо область
Обозначим oLp -параболическое расстояние от точки Р Ш до гра ницы области - расстояние между точками у , ЦеЮ , рл- ( До) . Предположим, что функция LL &ty) имеет непрерывные производные, входящие в систему уравнений (1.2). По ложим, что: «V-ZI Hf,eCU.1, (3.2) -ahtaocCo,-p Г ON Для норм Мр . IM можно установить интерполяционные неравенства, выраженные леммами 1.2 - 4.2 01. Выпишем те из них, ко - 46 торые необходимы будут при дальнейших исследованиях: т О 5 Е 0 VС Мо,% , (4.2) \т1 1к\+2.д гбм s _ любое положительное число, меньшее едини цы, С- постоянная, зависящая от Е , vVaelM 5 МЛЛ[М , предполагаются ограниченными; 2) для функции ИСЬ/х ) , определенной в полукубе 5 с центром в точке г и ребром d=.— _ при р .0 , 0. -0 справедливо ZfnZA Г неравенство dial п мил где
Внутренние оценки шаудеровского типа Априорные оценки играют важную роль при изучении задач и свойств решений уравнений с частными производными. Эти вопросы рассматривались в работах 2І,[36І Д80І .
Внутренние шаудеровские оценки решений параболических систем получены в монографии [80]. Их вывод основан на интегральном представлении решения с помощью функции Грина задачи Коши. В работе [41] построена функция Грина и получено аналитическое описание фундаментального решения для параболических систем с оператором Бесселя. Изложим здесь внутренние оценки в гельдеровых нормах решений В-параболических систем уравнений в произвольной - 47 области, примыкающей к гиперплоскости, на которой вырождается уравнение. Следуя методике [801, получим вначале априорную оценку решения системы (6.2) коэффициенты которой фиксированы в некоторой точке 90 в стандартном полукубе S с вершиной в данной точке г0.
Разрешимость задачи Коши
В настоящее время исследуются такке задачи для важных, с теоретической и прикладной точек зрения, классов уравнений с особенностями в коэффициентах. В работах Л.Г.Михайлова [62], [бЗ] изучается обобщенная система Коши-Римана, коэффициенты которой имеют особенности. Л.С.Парасюк [77"] исследовала свойства обобщенного фундаментального решения эллиптической системы с разрывными коэффициентами. Задачу Коши и основные задачи математической физики для параболических систем с разрывными коэффициентами рассмотрел М.И.Матийчук [53 \, а в работах [54 - 58] им же строится и изучается фундаментальное решение названных систем и исследуются краевые задачи параболического типа с разрывными коэффициентами на гиперплоскости. Принцип максимума для параболических уравнений второго порядка с разрывными коэффициентами получен И.Д.Пукальским, М.И.Матийчуком [67"].
Краевые задачи для некоторых сингулярных дифференциальных операторов изучались В.В.Катраховым [27],[28], а фундаментальное решение дифференциального оператора с особенностью рассмотрели В.С.Серов [70], Л.С.Парасюк [65].В работе С.Д.Эйдельмана,С.Д.Ива-сишена [8Ї] исследована матрица Грина однородной параболической граничной задачи для систем с разрывными коэффициентами.
В работе [eslllW ЛЯъсъгьск Л.Оъгс&Ь изучаются граничные задачи для линейных параболических дифференциальных операторов в весовых пространствах Соболева. Коэффициенты оператора имеют особенности в нижней части цилиндра.
Общие эллиптические задачи с сильным вырождением изучались Я.А.Ройтбергом и З.Т.Шефтелем [683.
Как свидетельствует проведенный анализ, получены глубокие результаты по исследованию фундаментального решения и классиче - 5 ской разрешимости граничных задач, изучена классическая задача Коши для параболических систем. Изучены многие вопросы разрешимости граничных задач для эллиптических и параболических вырождающихся уравнений и систем, имеющих особенности в коэффициентах.
До настоящего времени не были изучены задача Коши для общих параболических по И.Г.Петровекому систем со степенными особенностями в коэффициентах, параболических систем с оператором Бесселя и степенными особенностями в коэффициентах.
В данной диссертационной работе изучаются свойства решений параболических систем первого и высших порядков по t со степенными особенностями в коэффициентах при младших производных, вырождающиеся уравнения с такими же особенностями в коэффициентах.
Здесь построены фундаментальные решения для а) систем высшего порядка по "t с особенностями в коэффици ентах; б) параболической системы с оператором Бесселя ( В-параболиче ской) с особенностями в коэффициентах; в)В-параболической системы с диссипацией; г) однородной краевой задачи для параболической системы со степенными особенностями в коэффициентах системы в нецилиндрической области.
Полученные результаты применены к решению задачи Коши для соответствующих систем. Кроме этого доказаны теоремы Лиувилля и внутренние оценки решений В -параболических систем.
При исследовании поставленных задач используется методика, разработанная вышеупомянутыми авторами в работах, описывающих свойства решений эллиптических, гиперболических, параболических уравнений с гладкими и вырождающимися коэффициентами.
В первой главе изучается задача Коши для произвольных параболических по И.Г.Петровскому систем с особенностями в коэффициентах. В I сформулирована постановка задачи,дано определение фундаментального решения задачи Коши, сформулированы и доказаны леммы о свойствах специальных объемныхпотенциалов.В 2 доказано существование фундаментальной матрицы (ф.м.р.) задачи Коши и получены ее оценки. Третий параграф посвящен задаче Коши. Установлено существование решения и дана оценка решения через данные задачи.
Во второй главе доказываются свойства решений параболических систем с оператором Бесселя.В I установлены некоторые вспомогательные утверждения и леммы о свойствах объемных потенциалов,связанных с оператором Бесселя.Второй параграф посвящен установлению оценок в гельдеровых нормах решений В -параболических уравнений в произвольной области,примыкающей к гиперплоскости,на которой вырождается уравнение. В 3 изучаются свойства фундаментальных решений ф.р.)задачи Коши названных уравнений, коэффициенты которых при младших производных имеют степенные особенности. При помощи этих ф.р. в 4 изучается разрешимость задачи Коши. В 5 получены классические теоремы Лиувилля для В-параболических систем.Фундаментальные решения системы с диссипацией описаны в б.
фундаментальные решения задачи Коши для В-параболических систем с особенностями в коэффициентах
В [55І построена ф.м.р. параболических по И.Г.Петровскому систем, коэффициенты которых при младших производных имеют степенные особенности. Пользуясь разработанной в \47 методикой, изучим свойства ф.р. задачи Коти В-параболических уравнений, коэффициенты которых при младших производных имеют аналогичные с [55] особенности. Рассмотрим в области задачу Коши для В -парабо лической системы: U -Zl JUt b , act, v ікі+ і«ав (31.2) Ш. = 4 ) , I -0. (32.2) Предположим, что коэффициенты системы (31.2) удовлетворяют следующие условия : а) Jifc;Ci,x)eC CHj) , причем непрерывность по "t равно мерна по осе Пт ; б) &к;(&хЬ имеют особенность при х =0 , так что принадле жат классу QJL . А . (N , 0 -cL -А t О -сЦ .
Кроме этого, без ограничения общности предполагаем, что Тогда основной результат сформулируем в виде следующей теоремы. Теорема 4. Если коэффициенты системы (31.2) удовле-воряют условия а), б), то у нее существует ф.м.р. - 74 и для "WCtX справедливы неравенства: (34.2) . гв- -Іи ZL &. Л ТГ Є (36.2) Доказательство. 3LagCfc,t,3u, при t»t удовлетворяет уравнению ее свойства изучены в 55]. В частности, будем пользоваться одним важньм свойством, которое следует из теоремы существования и единственности решения задачи Коши для В -параболических систем 41]: C x y dy »Е (37.2) - 75 и оценкой " (38.2) Так же, как и в 2 гл.1, ф.м.р. строим с помощью рекуррентной формулы: т. (39.2) "Wvn.ft.tr.x, подбираются так, чтобы в: при t T , х о удовлетворяли систему уравнений Ц «P« .MU P .M04" (40.2) где к : \Ki-2j=m. 4 а функции л . непрерывны при t t , осФо и априори удовлетворяют неравенства: (41.2) На оснований (39.2) и (40.2) получим, что А Л (43.2) Из (43.2) следует, что функция Ct.tr. X, является суммой всевозможных сверток функций Sn О - -., -0 . Следовательно, для построения ф.м.р. необходимо определить функции Ч и проверить -76 справедливость неравенств (41.2) и (42.2). Если к функции лщ&, ,х , применить оператор РР& в 0 (44.2) то относительно v, получим интегральное уравнение: (46.2) Докажем справедливость (45.2) в случае, когда пг=Яб-1. Тогда действие оператора (44.2) на функцию . - + ас... Wj,g представится в виде: ,_
На основании этого убеждаемся, что Ь-І удовлетворяет интегральному уравнению (44.2). Аналогично убеждаемся в справедливости этой формулы при w = 2б-2.,а6-3 , ... , I, 0. Решение (44.2) определяется в виде: о . . J9 =21 l W. , (47.2) где д. сд) Приступим к оценке всех последовательных приближений в случае tn. =2,6-1 . Так как то согласно (46.2) X 6 (Ь» ,! удовлетворяет такому же неравенству. Учитывая оценки первого повторного ядра и результаты лем-мы 4, для Aag получаем: Для третьего повторного ядра аналогичным образом следует оценка: О} С.2Д Л По индукции доказывается, что X (48.2) Из (48.2) видно, что если гц+г6-і»с - (і-оІа- , то ядро уже будет регулярным по t . Вычислим, для каких р это возможно: Тогда г ,. , Проследим далее за оценками следующих повторных ядер: - 78 ea ucrVe [ W ae і «її a В Л1 переходим к сферической системе координат с центром в начале координат, а затем замечаем, что он приводится к интегралу
Отсюда видно, что ряд (50.2) мажорируется сходящимся рядом при O S t T , поэтому он сходится абсолютно и равномерно и для его суммы справедлива оценка: К «\ С Ч » 1Ч,Г."? (51.2) - 81 Таким же образом рассуждаем при Н = 2 -2, 2$ -3, ..., 1,0. Например при т гЬ-г, возникает уравнение: dt ae-s. Н гб-г, ав-і гб-а. гг.6-г г.&-г,, где г.г -г&-4+ \е.1 а соответствующее интегральное уравнение имеет вид: . где Из предположения на коэффициенты оператора следует: Учитывая (51.2),(52.2) и методику оценки интеграла при изучении Сай-1 ,для «ICag. Jt. ac получим: Рассуждая так далее, получим, что
Чтобы оценить приращение функции vU.t.oc, 4) по переменной X , рассмотрим сначала приращение ядра JV t.-x», по той же переменной. Так как
Для оценки производных потенциала при жл+г гб интеграл по пространству Еа представим в виде суммы интегралов по некоторым специальным областям:
Теорема о существовании и свойствах матрицы Грина
В работе изучена матрица Грина однородной параболическое:, граничной задачи в цилиндре, в 551, \.58Л построены фундаментальные решения параболических систем с разрывными коэффициентами и изучена функция Грина общей линейной вырождающейся параболической граничной задачи. В L5 \ исследована матрица Грина общих однородных граничных задач с гладкими коэффициентами в нецилиндрической области, а в Ї.23І построены и исследованы свойства матрицы Грина общих неоднородных граничных задач с гладкими коэффициентами для параболических по И.Г.Петровскому систем дифференциальных уравнений произвольного порядка как в ограниченных, так и в неограниченных областях с гладкой нецилиндрической боковой границей. В данной главе будет построена и изучена матрица Грина общих однородных параболических граничных задач в нецилиндрических областях с особенностями в коэффициентах системы.
Вспомогательные утверждения о функции Грина и леммы об оценках некоторых объемных потенциалов в нецилиндрических областях
Напомним свойства матрицы Грина однородных параболических краевых задач в нецилиндрической области, полученные в работе \.Ь\ а также докажем некоторые вспомогательные леммы, необходимые для исследования основного результата.
Докажем леммы о свойствах некоторых объемных потенциалов в нецилиндрических областях. Отметим, что в L31 построены специальные потенциалы, которые дают возможность решать смешанные задачи для параболических уравнений с одной пространственной переменной в областях с негладкими боковыми границами.
Рассмотрим функции T Ci.t» :, , обладающие следующими свой ствами: И n „.w.. (5.3) к l eL dL (б.З) dк и 6«. - положительные числа, удовлетворяющие неравенство функции vXpQx ) описаны в І гл.І. Обозначим через кг0 матрицу Грина задачи Коши параболической системы с "замороженными" коэффициентами 801. Рассмотрим объемный потенциал
Лемма 10 . Пусть функции Д рс непрерывны при t- tr , ос и удовлетворяют неравенства (5.3),(6.3), тогда интеграл (7.3) имеет непрерывные производные до порядка 2-& , которые вычисляются непосредственньм дифференцированием под знаком интеграла, а первая производная not вычисляется по формуле:
Доказательство. Для доказательства достаточно исследовать результат формального дифференцирования под знаком интеграла. Проследим за получением оценки старших производных. В этом случае подынтегральное выражение имеет самую высокую особенность. Отметим, что доказательство формулы (8.3) во многом совпадает с доказательством формулы (4.1) из леммы I. Поэтому рассмотрим те слагаемые, при оценке которых существенно используется не-цилиндричность области Я. . Осуществим регуляризацию выражения: где t - i_ С - Ъ »Q » - & подобласти, полученные разбиением л1ь плоскостью, перпендикулярной к середине отрезка, соединяю щего точки ( f ,ос ) и ( Ь ,ос0); , 0-0 , Сь,ос : 1„0. Оценки ин о) „ ) чсч тегралов Лк , Лк: дк полз чаем при помощи леммы I,- Остановимся на изучении интеграла "k , представив его в следующем виде: означает дифференцирование по третьему аргументу). Оценка 3v, следует из леммы I и свойств матрицы (J-0 [801. В Х преобразуем подынтегральное выражение и применим формулу Остроградского
Пусть Ся р - проекция точкиСэе, L» на границу этой области. Рассмотрим сферу JlE с центром в точке (&»р радиуса Е и запишем поверхностный интеграл, входящий в аіг, в виде суммы двух интегралов: кусок поверхности Ъ1« , содержащейся внутри л Второе слагаемое Рг - заведомо сходящийся интеграл, так как в области ?И» \ П Е ос 4 у . Преобразуем 5Л :
Распрямим кусок поверхности І\ , полагая Ц "Х.+и&ЯЗ. , ос. =ос + + Ш&Х , -х-СО.р-) Д«а„...До , -іи Р - Здесь Р-рас-стояние от ос к ос , rCl .P eu . г - Тогда ос- = LUxHx-эО = = С1(.х")[-Х\р- ,С\ . Заметим, что de,t[U-Cxy\=i . Вследствие этого преобразования получим, что 127 - - не зависит от ijc , СОН -, = ЬМ . А.) , где cL - угол поворота новой системы координат относительно старой. Для данного ортогонального преобразования ol -Corvst и расстояние О также сохраняется. С учетом всех рассуждений для рЛ получим:
Далее воспользуемся формулой, полученной Л.А.Гусаровым \j6l, которая позволяет выразить старшие производные по одной переменной через производные по другим переменным. На основании этого получим: &-Ъ . . . -« Р"їп- А
