Содержание к диссертации
Введение 3
ГЛАВА 1. Обратные задачи для параболического уравнения с неизвестным коэффициентом при производной по времени 21
§ 1. Обратная задача в случае финального переопределения 21
1.1. Решение обратной задачи методом перехода к нелокальной краевой задаче для нагруженного уравнения составного типа 22
1.2. Исследование единственности решения обратной задачи 37
§ 2. Обратная задача в случае интегрального переопределения 41
2.1. Исследование существования решения обратной задачи — 42
2.2. Исследование единственности решения обратной задачи — 50
IVIABA 2. Обратные задачи для параболического уравнения с неизвестным коэффициентом при второй пространственной производной 55
§ 1. Обратная задача с финальным переопределением 55
1.1. Исследование существования решения обратной задачи — 59
1.2. Исследование единственности решения обратной задачи..,.. 74
§ 2. Обратная задача с интегральным переопределением 78
2.1. Исследование разрешимости обратной задачи 80
2.2. Исследование единственности решения обратной задачи— 87
ГЛАВА 3. Обратные задачи для параболического уравнения с двумя неизвестными коэффициентами 93
§ 1. Обратная задача с неизвестным коэффициентом и неизвестной правой частью 93
§ 2. Обратная задача с неизвестными коэффициентами уравнения .110
Заключение и выводы 129
Список литературы 130
Введение к работе
Актуальность темы. Изучение краевых задач для параболических уравнений является одной из классических проблем теории диференциаль-ных уравнений с частными производными и вызывает постоянный интерес математиков.
В настоящее время известно немало случаев, когда потребности практики приводят к задачам определения коэффициентов дифференциального уравнения (обыкновенного или в частных производных) по некоторым известным функционалам от его решения. Такие задачи получили название обратных задач. Прикладная важность обратных задач настолько велика (они возникают в самых различных областях человеческой деятельности: сейсмологии, разведке полезных ископаемых, биологии, медицине, контроле качества промышленных изделий и т.д.), что ставит их в ряд актуальнейших проблем современной математики.
Вопросы разрешимости тех или иных обратных задач для параболических уравнений изучались во многих работах — отметим здесь, прежде всего, работы А. И. Прилепко [47-51], Ю. Е. Аниконова [1-6, 59-63], Ю. Я. Белова [12-17, 64-67], Н. И. Иванчова (Украина) [22-25, 69], Б. А. Бубнова [18], Е. Г. Саватеева [55-57], Н. Я. Безнощенко [8-11], В. В. Соловьева [58], А. И. Кожанова [30-33, 70-72]и других.
Цель работы. Основной целью работы является исследование вопросов разрешимости нелинейных обратных задач для параболических уравнений второго порядка в случаях, когда неизвестен один из коэффициентов при старших производных.
Методы исследования. Разрешимость обратных задач с дополнительным переопределением решения на временных слоях устанавливается с помощью сведения их к нелокальным краевым задачам для нелинейных "нагруженных" уравнений составного типа. Разрешимость обратных задач с интегральным переопределением устанавливается с помощью сведения их к локальным краевым задачам для нелинейных "нагруженных" уравнений параболического типа.
При решении краевых задач для "нагруженных" уравнений используются методы срезывающих функций и продолжения по параметру, а также принцип максимума для параболических уравнений.
Научная новизна. В диссертации получены следующие основные ре. зультаты:
1. Исследована разрешимость нелинейных обратных задач с финальным или интегральным переопределением для параболических уравнений с неизвестным коэффициентом при одной из старших производных в случаях, когда соответствующая прямая задача является первой или второй начально-краевой задачей для параболического уравнения. Доказаны теоремы существования и единственности.
2. Исследована разрешимость нелинейных обратных задач с дополнительным переопределения решения на временных слоях для параболических уравнений с двумя неизвестными коэффициентами в случае, когда соответствующая прямая задача является первой начально-краевой задачей для параболического уравнения. Доказаны теоремы существования.
Практическая и теоретическая ценность. Диссертационная работа носит теоретический характер. Ее результаты дополняют многочисленные исследования по нелинейным обратным задачам, указывают новые подходы в их решении и могут найти применение в дальнейшем изучении обратных задач для параболических уравнений второго и более высоких порядков.
Значение работы также определяется прикладной значимостью исследуемых задач для решения различных проблем современного естествознания.
Апробация работы. Результаты, приведенные в диссертации, докладывались и обсуждались:
— на семинаре "Неклассические уравнения математической физики" под руководством д.ф.-м.н., профессора А. И. Кожанова (г. Новосибирск, Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, 2002-2005 гг.);
— на семинаре "Избранные вопросы математического анализа" под руководством д.ф.-м.н., профессора Г. В. Демиденко (г. Новосибирск, Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, 2002-2005 гг.);
— на семинаре "Численные методы" под руководством д.ф.-м.н., профессора А. Ф. Воеводина (г. Новосибирск, Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, 2004-2005 гг.);
— на Дальневосточной математической школе-семинаре им. Е. В. Золо-това (г. Владивосток, 2003 г.);
— на IV Международной конференции по математическому моделированию (г. Якутск, 2004 г.);
— на областном семинаре по дифференциальным уравнениям под руководством д.ф.-м.н., профессора А. В. Доманского (г. Южно-Сахалинск, СахГУ, 2002-2005 гг.);
— на научно-методическом совете ЮСИЭПиИ (г. Южно-Сахалинск, 2005 г.);
— на Международном семинаре по неклассическим уравнениям математической физики, посвященном 60-летию со дня рождения профессора В. Н. Врагова (г. Новосибирск, 2005 г.).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [34-39].
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из Введения, трех глав, Заключения и списка литературы. Каждая глава разбита на два параграфа. Список литературы содержит 76 наименований. Объем диссертации составляет 136 страниц.
Содержание работы
В главе 1 исследуется разрешимость нелинейных обратных задач для уравнения параболического типа
q(x)a(x, t)ut - ихх + с(х, t)u = f(x, t), (0.1)
рассматриваемого в прямоугольнике
D = {(x,t):0 x l,Q t T}.
Коэффициенты a (re, t) и с(х, t) положительны в D и обладают достаточной гладкостью: в §1 a(x,t),c(x,t) Є C3(D), в §2 a(x,t),c(x,t) Є Cl{D).
В § 1 изучается
Обратная задача. Найти функции u(x,t) и q(x), связанные в D уравнением (0.1), при выполнении граничных условий
«(0, ) = Й)( )» «С1» 0 = A i( )» 0 t Т, (0.2)
и(х, 0) = щ(х), 0 х 1, (0.3)
и(х,Т) = щ(х), 0 ж 1. (0.4)
Условие (0.4) — условие финального переопределения, необходимое для нахождения вместе с решением и неизвестного коэффициента q(x).
Решение задачи ищется в виде
и(х, t) = v{x, t) + vo(x, t),
где функция vo(x,t) удовлетворяет в области D уравнению
а(х, 0)vot - voxx + с(х, 0)v0 = f(x, t)
и граничным условиям (0.2), (0.3).
Относительно функций f(x,t), fio(t), /хі(і), щ(х) делаются предположен ния, позволяющие по принципу максимума для параболических уравнений получить почти всюду в D оценку
0 0 vou(x,t) т50
и соответствующие оценки для vot(x,t) и vo(x,t).
Далее коэффициент q(x) выражается из уравнения (0.1) с помощью условий (0.3) и (0.4):
/ ч УМ / N Кх)
щ(х,0) щ(х,Т)
Обозначим
зд = Кх)
Ч\х) = і п\ и 4W =
cT(vt(x,T)) + vot(x,Ty где сг() = сг(; р) при р = amaxvot(x, Т), 0 а 1, а т(; р) — семейство
срезывающих функций
, если р,
К; Р) = 4 л если р,
-/9, ЄСЛИ -/9.
В уравнении (0.1) заменяется коэффициент q(x) на Sv(x) и предварительно решается нелокальная краевая задача — относительно неизвестной функции v(x,i), которая в D удовлетворяет нагруженному уравнению составного типа
(Sv(x)a(x,t)ut-uxx + c(x,t)u)t= (f{x,t))t (0.5)
при выполнении граничных условий (0.2) и (0.4), а также нелокального условия
vt(x,0) = y(x)vt(x,T), ф) = . (0.6)
В теореме 1.1.1 указываются условия разрешимости задачи (0.5), (0.2), (0.4), (0.6), в частности, в D должно выполняться неравенство
c(x,t) + Sv(x)at(x,t) со 0.
Для решения задачи (0.5), (0.2), (0.4), (0.6) по принципу максимума получена оценка IHIL D) N. Обозначим 7о = тахІ7(ж).
[0Д]
Основными результатами § 1 главы 1 являются теоремы существования и единственности решения обратной задачи (0.1)-(0.4).
Теорема 1.1.2. Пусть выполняются все условия теоремы 1.1.1, а также условия
Т
— тахс (ж,) 7о 1,
со D
N = max 7« м(ж Т) - ір\,
I-70 [ОД]
max Ы \а — 7о(1 + &)}тах (SoT + 4 ix))- [0,1] т [0,1]
Тогда обратная задача (0.1)-(0.4) имеет решение {u(x,t),q(x)} такое, 4mou(x,t),ut(x,t) Є W22,1( )n L D), q(x) Є 1 (0,1).
Теорема 1.1.3. Пусть коэффициент уравнения (0.1) a{x,t) зависит только от переменной t: а(х, t) = a(t). Предположим такоісе, что в области D справедливы неравенства:
Щ 0, att 0, ct 0, ctt 0, сш 0
и при х Є [0,1] справедливы неравенства:
1 - 272(я) 27о 0, с{х, Т) - с(х, 0)j2(x) - 2(-у {х))2 h 0.
Если выполнено неравенство
70 4(S )%0V
то существует единственное решение и{х, і) обратной задачи (0.1)-(0.4), удовлетворяющее неравенству 0 6 Wf(a;,T) и такое, что функции u(x,t),ut(x,t) Є Wi,2(D)f\L00{D).
В теореме 1.1.3 постоянные аа, ho, h\ являются гранями функций a(x,t) и h(x) в D:
0 ао a(x,t), 0 ho h(x) hi,
положительная постоянная К зависит только от входных данных задачи, чисел ко, 5 , 8 и явно выписана.
В § 2 главы 1 изучается
Обратная задача. Найти функции u(x,t) и q(x), связанные в D уравнением (0.1), при выполнении граничных условий (0.2), (0.3) и
т
a(t)u(x,t)dt = ui(x), 0 х 1. (0.7)
о
Условие (0.7) — условие интегрального переопределения. Решение задачи (0.1)-(0.3), (0.7) ищется в виде
и(х, t) = v(x, t) + vo(x, t),
где функция vo(x,t) удовлетворяет в области D уравнению
avot - v0xx + CVQ = f(x, t)
и граничным условиям (0.2), (0.3). Числа а и с положительны.
Относительно функций f(x,t), o(t), fii(t), щ(х) делаются предположения, позволяющие по принципу максимума для параболических уравнений получить почти всюду в D оценку
0 ( vot(x,t) mS0,
и соответствующую оценку для vo(x,t).
Умножим уравнение (0.1) на a(t), проинтегрируем получившееся равенство по t в пределах от 0 до Т и используем условие (0.7). Тогда получим
т к\{х) — J a(t)c(x, t)v(x, t) dt
q{x) = 1 .
к${х) + / x(t)a(x, t)vt(x, t) dt о
Функции k\(x) и ko(x) зависят от входных данных задачи (0.1)-(0.3), (0.7) и функции vo(x,t), явно выписываются и оцениваются:
0 к{ кг(х) к{ , 0 к 0 ко(х) к .
Определим срезывающие функции:
Ы0 = К6Р) ПРИ P = W» 0 /9 1; i(0 = К; р) при р = 7 , 0 7 1.
Обозначим для функции р = р(х, t), (х, t) Є D,
т
&о\р] = со ( / oi{t)a(x, t)pt(x, t)dt\,
о т
7i[р] = 0-1 ( - / a{t)c(x,t)p(x,t)dt\,
о
h(x) + ai\p]
Qp{x)-k0(x) + o0\pY В уравнении (0.1) заменяется коэффициент q{x) на Qv(x) и предварительно решается краевая задача — относительно неизвестной функции v(x,t), которая в D удовлетворяет нагруженному уравнению параболического типа
Qv(x)a(x, t)ut — ихх + с(х, t)u = f(x, t) (0.8)
при выполнении граничных условий (0.2) и (0.3).
В теореме 1.2.1 указываются условия разрешимости задачи (0.8), (0.2), (0.3).
Основными результатами § 2 главы 1 являются теоремы существования и единственности решения обратной задачи (0.1)-(0.3), (0.7).
Теорема 1.2.2.Предположим, что выполнены условия теоремы 1.2.1 и условия согласования
т т
щ(0) = / a(t)no(t)dt, щ(1) = / a(t)m(t)dt, о о
а производная Ct(x,t) 0, если (x,t) Є D. Пусть такснсе справедливы неравенства:
Т
К (а(Т)а(х,Т) + J\[a(t)a(x,t)]t\dt\ i J,
о т
К Ja(t)c(x,t)dt k\. о Тогда существует решение {и(х, t),q(x)} обратной задачи (0.1)-(0.3), (0.7) такое, что u(x,t) Є W2 (D) П L D), q(x) Є Ьоо(0,1).
В теореме 1.2.2 положительная постоянная К зависит от входных данных рассматриваемой задачи, чисел о тп, &Q, &Q , k{, к{ и явно выписывается.
Единственность решения задачи (0.1)-(0.3), (0.7) рассматривается среди функций, удовлетворяющих неравенствам
0 KQ / a(x,t)a(t)ut(x,t)dt,
0 К qu(x) К . (0.9)
Во вспомогательной лемме 1.2.1 требуется: зависимость коэффициента a(x,t) только от переменной t и справедливость в D неравенств at 0, {ac)t 0.
Теорема 1.2.3. Пусть выполняются условия леммы 1.2.1. Предполо-оісим также, что в области D справедливо неравенство (aa)t 0. Если выполнено неравенство
][ca + K \{aa)t\fdt
-ft о 1
тттттто max ; ; . __ С 1,
4(7)2 D с + \\ ц\К то существует единственное решение u(x,t) Є W2 (D) П L D) обратной задачи (0.1)-(0.3), (0.7), удовлетворяющее неравенствам (0.9) и такое, что qu(x) Є Axj(0,1).
В теореме 1.2.3 положительная постоянная К зависит от входных данных рассматриваемой задачи, чисел К и К и явно выписывается.
В главе 2 исследуется разрешимость нелинейных обратных задач для уравнения параболического типа
а(х, t)ut - q(x)uxx + с(х, t)u = f(x, t), (0.10)
рассматриваемого в прямоугольнике D. Коэффициенты а(х, t) и с(х, t) положительны в D и обладают достаточной гладкостью: в § 1 а(х, t), с(ж, t) Є C3(D), в §2 a(x,t),c(x,t) Є Cl(D).
В § 1 изучается
Обратная задача. Найти функции u(x,t) и q(x), связанные в D уравнением (0.10), при выполнении граничных условий (0.3), (0.4) и
и.
:(0,i) =tf)W» их(М)=/ і( ) 0 і Т, (0.11)
Условие (0.4) — условие финального переопределения. Решение задачи (0.10), (0.3), (0.4), (0.11) ищется в виде
и(х, t) = v(x, t) + VQ(X, t),
где функция vo(x,t) удовлетворяет в области D уравнению
а(х, 0)vot - qv0xx + с(х, 0)v0 = f(x, t)
и граничным условиям (0.11), (0.3). Число q 0.
Во вспомогательной лемме 2.1.1 доказан аналог принципа максимума во второй краевой задаче для параболического уравнения в одномерном (по х) случае.
Относительно функций f(x,t), po(t), pi(t), UQ{X) делаются предположения, позволяющие с помощью аналога принципа максимума получить почти всюду в D оценку 1 0 ( , )1 6о и соответствующие оценки для VQt{x,t) и v0(x,t).
Далее коэффициент q(x) выражается из уравнения (0.10) с помощью условий (0.3) и (0.4):
, N k0(x) + a(x,0)vt(x,0) . . Мх) + a(x,T)vt(x,T)
q{x) = w и ф) = w •
Функции ко(х) и кт(х) зависят от входных данных задачи (0.10), (0.3), (0.4), (0.11) и функции vo(x,t), явно выписываются: например, ко(х) = qu x), и получена оценка: 0 Щ кт{х) Щ?. Определим срезывающую функцию
сг() = сг(; р) при р = сек?, 0 а 1,
и обозначим для функции р = р(х, ), (x,t) Є D,
_ a(a(x,T)Pt(x,T)) + кт(х) ЧрК) u {(x)
В уравнении (0.10) заменяется коэффициент q(x) на Qv(x) и предварительно решается нелокальная краевая задача — относительно неизвестной функции v(x,t), которая в D удовлетворяет нагруженному уравнению составного типа
(а(х, t)ut - Qv(x)uxx + с(х, t)u) t - (f(x, t))t (0.12)
при выполнении граничных условий (0.11) и (0.4), а также нелокального условия
vt(x,0) = 7{x)vt(x,T) + l3{x), (0.13)
где
_ a{x,T)u j(x) _ 1
а(х, 0)и"(х) а(х, 0)
Ш)кЛх)-Чх).
В теореме 2.1.1 указываются условия разрешимости задачи (0.12), (0.11), (0.4), (0.13). Для решения этой задачи указаны условия, выполнение которых влечет по принципу максимума оценку
ГДЄ70 = max\j(x)\.
Основными результатами § 1 главы 2 являются теоремы существования и единственности решения обратной задачи (0.10), (0.3), (0.4), (0.11).
Теорема 2.1.2. Пусть выполняются все условия теоремы 2.1.1 и справедливы неравенства:
с(х, t) + dt(x, t) со 0, если (х, t) Є D, U Q(X) ф 0, если х Є [0,1].
Пусть также выполняются предположение (0.14) и неравенства:
Т
— max\ct(x,t)\ 7о 1,
Со D
Щ и (х) a(l-7o)Aj.
ТО —: 7 7Рл "г # Шах —7 тг ; —г.
mm а[х,Т) [од] а(х, 0) max а(гс,Т) [0,1] v [од]
Тогда обратная задача (0.10), (0.3), (0.4), (0.11) имеет решение {и(х, t),q(x)} такое, что u(x,t), ut(x,t) Є W2 (D) П L D), q{x) Є Loo(0,1).
Единственность решения задачи (0.10), (0.3), (0.4), (0.11) рассматривается среди функций, удовлетворяющих неравенству 0 q qu{%) (? •
Условия вспомогательной леммы 2.1.3 достаточны для справедливости
априорной оценки
И
т і
u\xt dxdt Q , о о где постоянная Q зависит от входных данных рассматриваемой задачи, чисел q и q и явно выписывается. Среди условий леммы 2.1.3 выделим то, что коэффициенты уравнения (0.10) a(x,t) и c(x,t) зависят только от переменной t.
Теорема 2.1.3. Пусть выполняются все условия леммы 2.1.3, а функция щ(х) такова, что 0 и "ї(я) при % Є [0,1].
Предполооїсим также, что при t Є [0, Т] справедливы неравенства:
3Q + аи 0, cut 0,
а при x Є [0,1] справедливы неравенства:
1 - 2j2(x) 270 О, с(Т) + at(T) - 72( )[с(0) + at(0)] - 2q { y\x))2 2%.
Если дополнительно выполнено неравенство
1 а2{Т)
Q то,
2 (u )2q mma(t)
4 f [о,г] v J
mo существует единственное решение и(х, t) обратной задачи (0.10), (0.3), (0.4), (0.11), удовлетворяющее неравенству 0 q qu q и такое, что функции u(x,t) и щ(х,{) принадлежат пространству W2 (D) П L D).
В § 2 главы 2 изучается
Обратная задача. Найти функции u(x,t) и q(x), связанные в D уравнением (0.10), при выполнении граничных условий (0.2), (0.3), (0.7).
Как и ранее в главе 1, условие (0.7) — условие интегрального переопределения.
Решение задачи (0.10), (0.2), (0.3), (0.7) ищется в виде
и(х, t) = v{x, t) + vo(x, t), где функция vo(x,t) удовлетворяет в области D уравнению
avot - qv0xx + cv0 - f(x, t)
и граничным условиям (0.2), (0.3). Числа a, qu с положительны.
Относительно функций f(x,t), /ІОМ A iW? ио(х) делаются предположения, позволяющие по принципу максимума для параболических уравнений получить почти всюду в D оценку г ог(#,) о и соответствующую оценку для v0(x,t).
Умножим уравнение (0.10) на a(t), проинтегрируем получившееся равенство по t в пределах от 0 до Т и используем условие (0.7). Тогда получим
т
к(х) -\- f a(t)[a(x, t)vt + с(х, t)v] dt
q(x) = jfj—. .
u{\x)
Функция k(x) зависит от входных данных задачи (0.10), (0.3), (0.4), (0.7) и функции vo(x,t), явно выписывается и оценивается:
к \к(х)\ к \
Определим срезывающую функцию
К) = К;р) при P = fik\ о /з і
и обозначим для функции р = р(х, t), (х, t) Є D,
к(х) + ст( f a(t)[a(x,t)pt + c(x,t)p]dt)
Q"{X) = ° u"(x) •
В уравнении (0.10) заменяется коэффициент q(x) на Qv(x) и предварительно решается краевая задача — относительно неизвестной функции v (х, t), которая в D удовлетворяет нагруженному уравнению параболического типа
а(х, і)щ - Qv(x)uxx + с(ж, t)u = f(x, t) (0.12)
при выполнении граничных условий (0.2) и (0.3).
В теореме 2.2.1 указываются условия разрешимости задачи (0.12), (0.2), (0.3).
Основными результатами § 2 главы 2 являются теоремы существования и единственности решения обратной задачи (0.10), (0.2), (0.3), (0.7).
Теорема 2.2.2. Предполооїсим, что выполнены условия теоремы 2.2.і и условия согласования
т т
ui(0) = J О( )Й)(0 dt, tii(l) = f a(t)in(t) dt, о 0
а производная Ct(x,t) 0, если (x,t) Є D. Пусть для некоторого числа 7 Є (0,1) справедливо равенство
Т т
Nnmax I \a(t)c(x,t)\ dt + Sn max I \a(t)a(x.t)\dt [од] 7 [ОД] J
J. Ja(t)f(x,t)
= 7 mm [o,i]
Наконец, предположим, что выполняется неравенство
(rr,Т)а(Т) + j \a{t)c{x, t) - (а(х, t)a(t))t\ dt
[ОД] о
т К max ( \а(
в(1 — 7) min
[o,i]
fa(t)f(x,t)
dt
Тогда существует решение {и(х, t),q(x)} обратной задачи (0.10), (0.2), (0.3), (0.7) такое, что u(x,t) Є W%\D) П L D), q(x) Є Loo(0,1).
В теореме 2.2.2 положительная постоянная К зависит от входных данных рассматриваемой задачи, чисел So, а, с, к , к , {3, и , и (0 и Ї/І(Ж) и ) и явно выписывается.
В примере 2.2.1 приведена задача типа (0.10), (0.2), (0.3), (0.7), для входных данных которой все условия теоремы 2.2.2 выполняются.
Единственность решения задачи (0.10), (0.2), (0.3), (0.7) рассматривается среди функций, удовлетворяющих неравенству 0 q qu{x) # •
Во вспомогательной лемме 2.2.1 требуется выполнение в области D неравенств: с — \at 0, с 0. Тогда справедлива априорная оценка
т і
//
u2xxdxdt Q ,
XX
О 0
где постоянная Q зависит от входных данных рассматриваемой задачи, чисел q и q и явно выписывается.
Теорема 2.2.3. Пусть выполняются условия леммы 2.2.1, сх(Т) = 0, a также справедливо неравенство
Т ++n f[ac-{aa)t]2dt
——т тах J 1.
4(q u Y D c-\at
Тогда существует единственное решение {и(х, t),q(x)} обратной задачи (0.10), (0.2), (0.3), (0.7) такое, что и(х, t) Є Wt \D) n L D), q(x) Є 00(0,1), 0 g g(aO « .
В главе 3 исследуется разрешимость нелинейных обратных задач для уравнений параболического типа
а(х, t)ut - q(x)uxx + с(х, t)u — qo(x)f0(x, t) + f(x, t) (0.13)
и
q(x)a(x, t)ut - uxx + q0(x)c(x, t)u = f(x, t), (0.14)
рассматриваемых в прямоугольнике D. Коэффициенты a(x,t) и c(x,t) положительны в D и принадлежат классу С1 (Л).
В § 1 изучается
Обратная задача. Найти функции u(x,t), q(x) и qo(x), связанные в прямоугольнике D уравнением (0.13) при выполнении граничных условий (0.2), (0.3) и
«(Mi) = щ(х), и(х,Т) = и2{х), 0 х 1. (0.15)
Число t\ Є (О, Т). Условия (0.15) — условия переопределения. Решение задачи (0.13), (0.2), (0.3), (0.15) ищется в виде
и(х, t) = v(x, t) + vo(x, t),
где функция vo(x,t) удовлетворяет в области D уравнению (q 0, % — числа)
а(х, 0)vot - qvoxx + с(ж, 0)v0 = qofo(x, t) + f(x, t)
и граничным условиям (0.2), (0.3).
Относительно функций /о(х, t), f(x, t), jJ,o(t), /J,i(t), щ(х) делаются предположения, позволяющие по принципу максимума для параболических уравнений получить почти всюду в D оценку — 8Q vou{x,t) So и соответствующие оценки для VQt(x,t) и vo(x,t):
\vot(x,t)\ Wi, \v0(x,t)\ N0.
Для произвольных функций f\(x,t) и f2{x,t) обозначим
G(fi, /2) = h(x,T)f2(x, h) - fax, h)f2(x, T).
Определим коэффициенты q{x) и qo(x) из уравнения (0.13) с помощью условий (0.15), полагая сначала t = t\, затем t = Т:
а(х) - М ап(х) - М 0
Q[X) - А(х) %{Х) А(х) где
А (х) = G(f0,uxx),
Aq(x) = G{fo, avt) + G(f0, avot + cu - /),
\o(x) = G(avti uxx) + G(avQt + см — /, uxx).
Выписаны оценки
0 M S Д(ж) u \
0 F G(/0j avot + cu - /) k t
\G(av0t + си - /,uxx)\ fc.
При t = 0 из уравнения (0.13) с помощью условия (0.3) получается нелокальное условие для производных
ян(х, 0) = ъ(хЫх, h) + j2(x)vt{x, Т) + 0(х), (0.16)
где функции 7і(ж) І2(х), Р(х) зависят от входных данных задачи (0.13), (0.2), (0.3), (0.15) и функции vo(x,t) (только Р{х)) и явно выписываются.
Определим срезывающие функции:
сг() = т(; р) при р = ак , 0 а 1; со(0 = °"К; Р) при р = if 0.
Обозначим для функции р = p(x,t), (x,t) Є D,
nn_ 0-((2(/0, app) + g(/0, Q ot + cu - f) W) - д W
« ( ) = д •
В уравнении (0.13) коэффициенты q(x) и qo{x) заменяются соответственно на Qv(x) и QQV(X) и предварительно решается нелокальная краевая задача — относительно неизвестной функции v(x, t), которая в D удовлетворяет нагруженному уравнению составного типа
(а(х, t)ut - Qv{x)uxx + с(ж, t)u) t = (Q0v(x)fo(x, t) + f(x, t))[ (0.17)
при выполнении граничных условий (0.2), (0.16) и
и(х,Т) = и2(х). (0.15 )
В теореме 3.1.1 указываются условия разрешимости задачи (0.17), (0.2), (0.16), (0.15 ). Для решения этой задачи далее указаны условия, выполнение которых влечет по принципу максимума оценку
інки» T —MlLuoAh (°-18;
1 — То где 7о = max -уі(х)\ + max \j2(x)\.
Основным результатом § 1 главы 3 является теорема существования решения обратной задачи (0.13), (0.2), (0.3), (0.15).
Теорема 3.1.2. Пусть выполняются все условия теоремы 3.1.1, неравенство
c(x,t) + at(x,t) Со 0, если (x,t) Є D.
Пусть такэ/се выполняются: неравенство
Т
— max\ct(x,t)\ 7о 1,
Со D
оценка (0.18) и неравенства
-—— maxa(maxK + maxK) /3Loo(0 i) К,
1 — 70 D [ОД] [0,1] К—-/o IUoo( ) 11/511 (0,1),
max/omaxa amin \G(fo,cu -/)1.
1 - 70 D D [0,1]
Тогда обратная задача (0.13), (0.2), (0.3), (0.15) имеет решение {u(x,t),q(x),qo(x)} такое, что функции и(х, t), ut(x,t) Є W2 (D)f]L00(D), функции q(x),q0(x) Є «,(0,1).
В § 2 главы 3 изучается
Обратная задача. Найти функции u(x,t), q(x) и qo(x), связанные в прямоугольнике D уравнением (0.14) при выполнении граничных условий (0.2), (0.3) и (0.15).
Решение этой задачи ищется в виде
и(х, t) = v(x, t) + vo(x, t), где функция vo(x,t) удовлетворяет в области D уравнению
qa(x, 0)vot - v0xx + qoc(x, 0)v0 = f(x, t)
и граничным условиям (0.2), (0.3). Числа qnqo положительны.
Относительно функций f(x, і), цо(і), fj,i(t), UQ(X) делаются предположения, позволяющие по принципу максимума для параболических уравнений получить почти всюду в D оценку 0 So VQtt(x,t) m $o и соответствующие оценки для vot(x,t) И Vo(x,t).
Определим коэффициенты q(x) и qo(x) из уравнения (0.14) с помощыл условий (0.15), полагая сначала t = t\, затем t = Т:
Aq(x) , N Aqo(x)
где
A(x) = G(cu, ащ) = G(cu, avt) + G(cu, ш%),
Aq(x) = G(cu,f + uxx),
Aqo(x) = G(f + ихх, ащ) = G(f + uxx, avt) + G(f + uxx, avot).
Оцениваются следующие функции:
0 k G(си, avot) & ,
0 ko G(f + uxx, avot) &o u G(cu, f + uxx) u \
При t = 0 из уравнения (0.14) с помощью условия (0.3) получается нелокальное условие для производных вида (0.16), где новые функции 71( )5 7г( )5 Р(%) зависят от входных данных задачи (0.14), (0.2), (0.3), (0.15) и функции VQ(X, t) (только Р(х)) и явно выписываются.
Определим срезывающие функции:
аМ = °"К; Р) ПРИ Р — а& 0 а 1; оЮ = К;р) при р = /3к 0 /? 1.
Обозначим для функции р = р(#, t), (ГЕ, t) б D,
G(cw, / + uxx)
Qp{x) =
a[G(cu, apt)] + G(cu, avQt) О ( ) = °"0Р(/ + Цгх, QPt)] + G(f + Uxx, Щи)
°P a[G(cu, apt)] + 3(cu, avot)
В уравнении (0.14) коэффициенты q(x) и go (я) заменяются соответственно на Qv(x) и (5ои(ж) и предварительно решается нелокальная краевая задача — относительно неизвестной функции v(x, ), которая в D удовлетворяет нагруженному уравнению составного типа
(Qv(x)a(x, t)ut - ихх + Q0v{x)c(x, t)u) t = (f(x, t)) t (0.19)
при выполнении граничных условий (0.2), (0.16) и (0.15 ).
В теореме 3.2.1 указываются условия разрешимости задачи (0.19), (0.2), (0.16), (0.15 ). Для решения этой задачи далее указаны условия, выполнение которых влечет по принципу максимума оценку (0.18).
Основным результатом § 2 главы 3 является теорема существования решения обратной задачи (0.14), (0.2), (0.3), (0.15).
Теорема 3.2.2. Пусть выполняются все условия теоремы 3.2.1, неравенство
Ш1-В) , . и , , м
— иг- ттс(хЛ) — max\аt(х,t)\ со 0,
a + jr D 1-а D
если (x,t) Є D. Пусть также выполняются: неравенство
7Т тт тах с (яг,«) 7о 1,
со (1 - a)k D
оценка (0.18) и неравенства
11 11 (0,1) {max(c(or,T)fl(a:,ti) \и2{х)\)
1-701"" °° l[o,i]
+ m&x(c(x,ti)a(x,T) \щ(х)\}
а{5mm(c(x,tі)а(х,Т) \щ(х)\ — 5 mmax(c(x,T)a(x,t{) \u2(x)\};
IT" 11/311 (0,1) {max (/( , T) + «5(а;))а(і, i))
1 - 7i ади" Мод]
+ max (/( , tx) + u i(x))a{x, T))}
/3{Smin (/(ж, i) + u"(x))a(x, T)) — S m max (f(x,T) + u i(x))a(xM))}.
0,1J [U,1J
Тогда обратная задача (0.14), (0.2), (0.3), (0.15) имеет решение {u(x,t),q(x),qo(x)} такое, что функции и(х,і), ut(x,t) Є W2 (D)r\LQO(D)) функции q(x), q0(x) Є oo(0,1). В теореме 3.2.2
6 = тЫ50Т + (р(х))), 5 m = max(m0 i + р(х))),
f ч f(x, 0) + и 1(х) -д0с(х,0)щ(х)
ф) = , л = vot(x, 0).
qa\x, (J J
