Содержание к диссертации
Введение
1 Операторы Шредингера на геометрических графах и на разветвленных многообразиях 20
1.1 Постановка задачи и обозначения 20
1.2 Операторы Шредингера на графах с одной вершиной 22
1.3 Операторы Шредингера на графах с несколькими вершинами 29
1.3.1 Постановка задачи и обозначения 30
1.4 Операторы Шредингера на графах с бесконечным множеством ребер 32
1.5 Оператор Шредингера на разветвленных многообразиях переменной размерности
1.5.1 Постановка задачи и обозначения 35
1.5.2 Пространства граничных значений на границах гладких компонент разветвленного многообразия 36
2 Теорема Чернова и аппроксимации полугрупп
2.1 Теорема Чернова и эквивалентность операторнозначных функций 42
2.2 Пример приложения теоремы Чернова к диффузионным процессам 44
2.3 Аппроксимирующие оператор-функции 48
2.4 Граф и расширенный граф 50
2.5 Вероятностный подход к определению аппроксимирующей функции Чернова для уравнения диффузии на графе 52
3 Формулы Фейнмана для уравнения Шредингера 58
3.1 Постановка задачи и обозначения 58
3.2 Случай закона Кирхгоффа для квантовой динамики 61
3.3 Свойства оператор-функции F 69
3.4 Оценка сверху роста нормы 73
4 Формулы Фейнмана для уравнения диффузии 83
4.1 Постановка задачи и обозначения. 83
4.2 Случай закона Кирхгоффа для диффузии 85
4.3 Свойства оператор-функции F 93
4.4 Оценка роста нормы оператор-функции F 97
Заключение 107
Литература
- Операторы Шредингера на графах с одной вершиной
- Оператор Шредингера на разветвленных многообразиях переменной размерности
- Пример приложения теоремы Чернова к диффузионным процессам
- Свойства оператор-функции F
Операторы Шредингера на графах с одной вершиной
Подставляя каждое из решений фундаментальной системы уравнения Zuf(0) + Аи(0) = 0, задающие область определения, получим следующую связь фундаментальной матрицы с матрицей системы уравнений (1.2.5) 2пхп Если и Є D(L), область определения оператора L задана системой уравнений (1.2.5), то для любого v Є D(LQ) справедливо равенство А Оператор L самосопряженной тогда и только тогда, когда D(L) = D(L ), поэтому если V - матрица из столбцов базисных векторов в подпростран стве D(L )/D(Lo), то D(L) = D(L ) тогда и только тогда, когда V является также и матрицей из столбцов базисных векторов в подпространстве
Теорема 1.2.3. Оператор L самосопряжен тогда и только тогда, когда его область определения D(L) состоит из функций пространства W!(r), граничные значения которых удовлетворяют равенству Aiu (0) + Аои(0) = О, где ранг матрицы (АіД)) Є CnX2n равен п и матрица AQA\ удовлетворяет равенству где Ф2пх«– фундаментальная матрица и hnx\ - матрица независимых констант. Подставляя каждое из решений фундаментальной системы уравнения Aiu (0) + Aoit(0) = 0, задающие область определения, получим следующую связь фундаментальной матрицы с матрицей системы уравнений (1.2.9)
Оператор L самосопряженной тогда и только тогда, когда D(L) = D(L ), поэтому если V - матрица из столбцов базисных векторов в подпростран стве D(L )/D(Lo), то D(L) = D(L ) тогда и только тогда, когда V является также и матрицей из столбцов базисных векторов в подпространстве
Пусть граф Г представляет собой набор из п вершин Qi,...,Qn, из каждой из которых исходит Tj, fj Є N рёбер Г , представляющих собой либо бесконечные полупрямые, либо отрезки, соединяющие вершину Qj с другими вершинами. Фиксируем на каждом ребре Tj параметризацию натуральным параметром. При этом на ребрах-полупрямых параметр возрастает от граничной точки; а на ребрах-отрезках ориентация выбрана произвольно. Пусть dj- начальная точка ребра полупрямой, означальная точка ребра Tj отрезка, bj- конечная точка ребра Tj отрезка. Пусть с , к = 1,...,п - совокупность всех граничных точек ребер Гі,...,Гп. Определим функцию s на множестве {с&} так, что s(ck) = 1 при условии, что Ck - начало ребра, и положим s(ck) = — 1 при условии, что Ck - конец ребра. Обозначим через S диагональную матрицу с числами s(ck) на диагонали.
Введем операторы Lo, LQ и пространство G граничных значений функций из D(LQ) и их производных. Пространство G линейно изоморфное пространству C2N.
Через u{cj) обозначим совокупность предельных значений функции по ребру, границей которго является точка Cj, а через и(с) обозначим TV– мерный вектор (гі(сі)...гі(сдг)) , для вектора предельных значений производной и (с) используем аналогичные обозначения, и введём обозначение bj = BJ(CJ) предельное значение функции Bj в граничной точке
В случае, когда коэффиценты rrij отличны от единицы, а предельные значения bj функции Ъ в точке верешиние вдоль ребра Tj отличны от нуля, описание множества самосопряженных расширений задает следующее следствие
Следствие 1.3.2. Если М и В диагональные матрицы и их матричные элементы заданы по формуле ( ij)2 о , ( %)о 2 І = 1? ? 2п соответственно, и С = (су), где Cij Є Loo (Г), то оператор L с областью определения D(L) = и Є W(r) : и (с) = Аи(с) , самосопряжен тогда и только тогда, когда матрица А, М и В удовлетворяет равенству необходимо и достаточно для включения v Є D(L ), что и доказывает следствие 1.3.2.
Вывод. Множество самосопряженных расширений оператора Шре-дингера Lo на графе с несколькими вершинами изоморфено множеству самосопряженных расширений оператора Шредингера на графе с одной вершиной.
Для описания такого графа определим на нем следующие структуры (см.[6]). Обозначим через /І - локально конечную счётно аддитивную неотрицательную меру на N такую, что ti{k) = /І& 0, и обозначим через L i /j, = L2(N, 2N, /І, С)- гильбертово пространство граничных И пусть И7!(Г) - пространство функций и Є L l , для которых определено значение нормы значений с нормой
Сужения всякой функции на полупрямую обладают граничными значениями в вершине: и(0) = (ui(0)...un(0)...)T Є 1 2,\і. Это также верно для первых производных этих сужений и (0).
Обозначим через Л, М и В диагональные матрицы и их матричные элементы заданы по формуле (/ij j), (—%) и (&j%) соответственно.
Теорема 1.4.5. Пусть / = 1, m = 1, (ж) = 0 и С(ж) = 0. Оператор L с областью определения D(L) = {и Є W22(Г) : it (O) = Аи(0)}, самосопряжен тогда и только тогда, когда оператор А самосопряжен в пространстве 2( 2 = L2(N, 2N, 1, С)).
В случае, когда коэффиценты rrij отличны от единицы, а предельные значения bj функции Ъ в точке верешиние вдоль ребра Tj отличны от нуля, описание множества самосопряженных расширений задает следующее следствие
Следствие 1.4.3. Если fik Є і, —, тпк, bk Є оо и Л, В и М-операторы в пространстве L2(N, 2N, /І, С), заданные диагональными матрицами с числами т., Ьь и — на диагонали соответственно, С = (QJ), где Су Є Loo (Г). Тогда оператор L с областью определения D(L) = и Є W!(r) : it (O) = АІІ(О) , самосопряжен тогда и только тогда, когда операторы А: М и В действующая в пространстве І2, удовлетворяет равенству
Оператор Шредингера на разветвленных многообразиях переменной размерности
Для аппроксимации полугрупп, порождаемых гамильтонианами L в банаховом пространстве X (например, LP(T)), использем следующий результат (см. [24],[29]).
Теорема 2.1.7 (Теорема Чернова). Пусть X - банахово пространство, В(Х) - банахово пространство линейных ограниченных операторов в X и пусть функция F : [0, +оо) — В(Х) удовлетворяет условию F(0) = I, непрерывна в сильной операторной топологии, удовлетворяет оценке F()_g(x) eat,t 0, при некотором а 0. Тогда если оператор F (0) замыкаем и его замыкание является генератором сильно непрерывной полугруппы операторов XJ(t),t 0, то для любого и Є X и любого T 0 выполняется равенство
В некоторых ситуациях удобнее использовать теорему Чернова в следующей модифицированной форме (см. [26]).
Теорема 2.1.8 (Теорема Чернова). Пусть X - банахово пространство, В(Х) - банахово пространство линейных ограниченных операторов в X и пусть функция F : [0, +оо) В(Х) удовлетворяет условию F(0) = I, удовлетворяет оценке (F(/:))fcs(x) Mekat,t 0, при некоторых а О, М 1 и всех t 0, к Є N. Пусть для всех и из плотного множества D существует предел и множество (Лої — F)D плотно в X для некоторого значения Ло а. Тогда оператор F (0) замыкаем и его замыкание является генератором сильно непрерывной полугруппы операторов XJ(t),t 0, причем для любого и Є X и любого Т 0 выполняется равенство
Замечание 2.1.2. Более простым, чем неравенство (F(/:))fcs(x) Mekat,t 0, при некоторых а О, М 1 и всех О, А; Є N, достаточным условием является неравенство F() eat, t 0.
Замечание 2.1.3. Если оператор L, заданный на линейном попро-странстве Do банахова пространства X, замыкаем, а его замыкание L, имеющее областью определения подпространство D D Do, является генератором сильно непрерывной полугруппы в пространстве X, то найдется такое Ло 0, что множество (Лої — F)D плотно в X (см. теорему 10.6.6 (Люмера-Филлипса) в [2], стр. 575).
Из теоремы Чернова 2.1.8 и замечаний 2.1.2, 2.1.3 вытекает следующее утверждение. Следствие 2.1.5. Пусть X - банахово пространство, В(Х) - банахово пространство линейных ограниченных операторов в X и пусть функция F : [0, +оо) — В(Х) удовлетворяет условию F(0) = I, удовлетворяет оценке (F())_g(x) eat,t 0, при некоторых а 0и всех t 0. Пусть для всех и из плотного множества D существует предел
Тогда если оператор F (0) замыкаем и его замыкание является генератором сильно непрерывной полугруппы операторов XJ(t),t 0, то для любого и Є X и любого Т 0 выполняется равенство
Далее нами будет предложена формула Фейнмана для специального самосопряженного расширения оператора L, которое мы будем называть соответствующим закону Кирхгоффа.
Пример приложения теоремы Чернова к диффузионным процессам Предложение 2.2.2. Пусть Н = L2(R) и для каждого є Є Л и каждого v Є R определено семейство не полугруппа преобразований XJe v(t), t 0 пространства Н, действующих по формуле
Тогда при любом v Є R семейство преобразований XJe v удовлетворяет условиям теоремы Чернова и преобразование U (-), являющеся результатом усреднения по мере /І семейства преобразований Ue (-), є Є R эквивалентно по Чернову полугруппе, разрешающей задачу Коши для уравнения теплопроводности u t = Du"x + vu x, t 0, x Є R] u\t=+o = Щ Чтобы доказать предложение 2.2.2, покажем, что усредненная оператор-функция UM удовлетворяет условиям теоремы Чернова - теоремы 2.1.8.
Таким образом, все условия теоремы 2.1.8 выполнены и, следовательно, справедливо предложение 2.2.2. Предложение 2.2.3. Пусть Н = L2{Rd) и для каждого є Є Rd и каждого v Є Rd определено семейство (не полугруппа) преобразований U6;U(t), t 0 пространства 77, действующих по формуле
Общая схема определения оператор-функций F(t), t 0, аппроксимирующих (в смысле эквивалентности по Чернову) полугруппу eL\ t 0 или группу e tL, t Є R, Шредингера в пространстве функций на графе Г, такова. Оператор-функция F(t), t 0, имеет вид композиции трех оператор-функций каждая из которых преследует следующие цели.
Оператор Fi не зависящий от параметра t является линейным ограниченным отображением пространства (Г) в пространство (Г), причем таким, что оператор Fi является линейным ограниченным оператором продолжения функции и Є - 2(Г) с графа Г на расширенный графе Г, не изменяющим значений функции в точках графа Г.
Оператор-функция F2(t), t О, аппроксимирующая квантовую динамику или диффузию на расширенном графе Г, является оператор-нозначной функцией со значениями в банаховом пространстве B(L2(T)). При этом оператор-функция F2(t) обладает той особенностью, что при всех t 0 оператор F2(t) преобразует сужения функции на ветви Tj расширенного графа независимо от сужения функции на остальные ветви графа Г. То есть, подпространства L2(Tj) являются инвариантными подпространствами пространства (Г). Оператор-функция F2(t) на каждом инвариантном подпространстве L2(Tj) задает (или аппроксимируем) стандартную динамику на одномерной прямой и не является оператором эволюции на разветвленном многообразии.
Пример приложения теоремы Чернова к диффузионным процессам
Изучаются операторы Шредингера на графе , задающие процессы диффузии или квантовой динамики на графе как на разветвленном многообразии. Графом будем называть конечную или счетную совокупность гладких одномерных многообразий (называемых рёбрами графа), каждое из которых диффеоморфно лучу [0,+оо) или отрезку [0,1]. Граничные точки рёбер будем называть вершинами графа . Каждая вершина графа является граничной точкой некоторого непустого множества рёбер графа.
Предполагается, что на задана Борелевская мера, определяемая требованием, чтобы её сужение на каждое рёбро j совпадало со стандартной мерой Лебега, тогда () = (&L/2(j).
Пусть Соо()- векторное пространство бесконечно дифференцируе мых комплекснозначных функций на Г с компактными носителями, не содержащими вершин графа Г. Пусть Lo = 0LQ - линейный оператор, определяемый на линейном пространстве D(Lo) = С (Г) с помощью равенства) т ох ох здесь функции т, 6, с - вещественнозначные, ограниченые и непрерывные всюду за исключением вершин графа Г, функция т принимает на каждом рёбре 1\, постоянное значение rrij, причем rrij а функции rrij, bj, Cj - вещественнозначные, ограниченные и непрерывные всюду за исключением вершин графа Г, функция т принимает на каждом рёбре 1\, постоянное значение rrij, причем rrij
С помощью однородного сжатия координат на каждом из ребер можно добиться, чтобы все значения констант mi, ..., тп были равны единице (см. замечание 1.2.1).
Через bj, Cj, j = 1,...,п обозначим сужения функций Ъ и с на Tj при всех j = 1,...,П, и при всех j = 1,...,П функции 6j, Cj являютя вещественнозначными функциями на промежутке Tj. Операторы квантовой динамики будем обозначать через L. Действовать они будут из Wf (Г) в І (Г) и будут порождать полугруппы в пространстве - 2 (Г).
При изучении диффузии на графе Г необходимости требовать, чтобы оператор Lo был симметрическим оператором. Вместо этого будем предполагать, что оператор Lo является линейным дифференциальным оператором второго порядка в пространстве (Г) с областью определения С0Х)(Г). где функции bj(x),Cj(x) вещественнозначные, ограниченые и непрерывные всюду за исключением вершин графа Г, а оператор L является самосопряженным расширением оператора Lo, действующего в гильбертовом пространстве Н = (Г).
Рассмотрим то из расширений L оператора Lo, действующего в пространстве - 2(Г), область определения D(Ls) которого состоит из функций и : Г — С таких, что щ = ІІГ. Є Wi(Tj), и удовлетворяющих п условиями: У (и АО) + ibj(0)uj(0)) = 0. (3.2.28) Область определения D(Ls) указанного расширения принадлежит пространству непрерывных функций на графе Г, при этом условия на предельные значения производных в точке ветвления означают равенство нулю суммы потоков в точке ветвления, поэтому рассматриваемое расширение соответствует условия закона Кирхгофа. при всех j Є 1, n, на области определения D(Ls), состоящей из непрерывных на Г финитных функций, сужения Uj которых на каждую полупрямую Tj дважды непрерывно дифференцируемы, а предельные значения производных в вершине графа удовлетворяют условию
Обозначим через Tj прямую являющуюся продолжением полупрямой Tj до прямой, а через Г- объединение \Jj=\ Tj.
Чтобы оределить решения задачи Коши для уравнения Шредингера используем следующую схему, основанную на применении теоремы Чернова и формулы Фейнмана.
Формула (3.2.35) определяет сильно непрерывную полугруппу F(), О перобразований пространства (Г). В самом деле, в соответствии с унитарностью преобразования Фурье в пространстве - 2(Г), достаточно проверить, что одно-параметрическое семейство операторов F(t), t О, умножения на фунцию F(s,t), t Є R+ является сильно непрерывной полугруппой операторов в пространстве (Г). Полугрупповое свойство Y(s,ti)Y(s,t2) = Y(s,ti + 2) следует из свойств показательной функции. Сильно непрерывность в точке t = О оператора функции Y(t) t 0 следует из равномерной на любом отрезке вещественных линии сходимости функции Y(s,t), s Є R, t 0 в единичной функции I(s), s Є R, при t — 0. Тогда сильная непрерывность в любой точке t 0 следует из свойства полугруппы. является решением задачи Коши (3.2.30), (3.2.31). Тогда на полуси R+ определена оператор-функция і ( ), t 0 со значениями в (Г) такая, что при каждом t 0 её значение есть интегральный оператор в (3.2.36) _ . , ? \Г% Г - ( - ) , /л _ Лемма 3.2.3. Пусть функция В является абсолютно интегрируемой на прямой R. Тогда следующие утверждение эквивалентны: і) функция является решением задачи Коши для уравнения Шредин-гера (3.2.30), (3.2.31) с оператором (3.2.32) в полосе (0,Т)х R с некоторым Т
Свойства оператор-функции F
Оцененим норму оператора F(t) в банаховом пространстве X = Li(T). Таким образом, все условия теоремы Чернова выполняются в банаховом пространстве X и, следовательно, оператор-функция F Є CS(R+, В(Х)) эквивалентна по Чернову сильно непрерывной полугруппе ехр(Ат), t 0, ограниченных линейных операторов в пространстве X. Итак, на линейном пространстве X = Li(T) = v-=lL\{Tj) введем норму
Подпространство Li(Tj) пространства Ьі(Г) инвариантно относительно преобразования F2(t) по определению преобразования F2(t). Причем в каждом из подпространств L\{Tj) преобразование F2(t) является сжимающим, но если yj 0 на Tj и yj(t,x) = F2(t)y(x)\rji то
В случае, если Ь Є С1 (Г) П L\(T) и с Є СЦГ), то как и выше, неравенство О замыкании производной оператора F (0) как о генераторе. Сначала докажем, что оператор F (0) является генератором сильно непрерывной полугруппы в пространстве X = LP(T) в предположении об отсутствии потенциалов бис. Полугруппы, порождаемые оператором Лапласа с нулевыми потенциалами. существуют конечные предельные значения производных любого порядка, удовлетворяющие условиям (4.2.58), (4.2.59). Линейное многообразие CQT плотно в пространстве LP(T) при всех р Є [1, +оо). При всех р Є [1, +оо) оператор Лапласа Ат опледелен на линейном многообразии CQ -, причем АТ(С ) С Lp(T).
Лемма 4.4.18. Пусть р Є [1, +оо). Тогда заданный на линейном пространстве CQT(T) оператор Ат, действующий в банаховом в пространстве Lp(T), замыкаем, причем его замыкание является оператором Ат с областью определения D(AT) = {и Є И7!(Г) : (4.2.58), (4.2.59)}.
Лемма 4.4.19. Пусть р Є [1, +оо). Тогда образ линейного пространства CQT(T) при отображении Ат плотен в пространстве LP(T).
Замечание 4.4.10. Пусть Ъ = 0 и с = 0. Тогда оператор-функция F удовлетворяет всем условиям теоремы 2.1.8, причем F (0) = Ат и, в частности, оператор Ат имеет образ, плотный в пространстве LP(T) при произвольном р Є [1,+оо). Тогда согласно теореме 2.1.8 оператор Ат является генератором сильно непрерывной полугруппы е т, t 0, для которой справедлива теорема 4.2.13 об аппроксимации полугруппы итерациями функции F.
Тогда в силу установленной теоремой 4.2.13 сходимости последовательности (F(-) ) к полугруппе е т, полугруппа е т, t 0, является сжимающей в пространстве LP(T) согласно оценке следствия 4.4.8 при всех р Є [1, +оо).
О полугруппах, порождаемых оператором Ат с ненулевыми потенциалами. Добавление потенциала с Є С&(Г) к Лапласиану Ат является равно 104 мерно ограниченным возмущением, поэтому оператор Ат является генератором сильно непрерывной полугруппы в пространстве Lp, допускающей оценку роста нормы etAr е "с"Ьо.
Лемма 4.4.20. Если функция Ъ является абсолютно интегрируемой, то полугруппа, порождаемая оператором Ат в пространстве LP, допускает представление через полугруппу, порождаемую оператором А,дь (у которого вектрный потенцал в нулевой, а скалярный потенцал с оператора АтЛь определяется потенцалами Ь и с оператора Ат по формуле qi = с — б2), с помощью операторов Мя,±ь.
Действительно, функция v(t) Є C(R+, D(A) f] Cl(R+, LP(T)) тогда и только тогда, когда функция u(t) = NLs:bv(t) Є C(R+,D(AT)f)C1(R+,Lp(T)), ибо в силу определения оператора Мя,ь справедливы равенства Vj(t,x)\x=o = Uj(t,x)\x=o и
В диссертации дано описание множества операторов Лапласа на графе, определяемых как самосопряженные расширения оператора Д0, определенного изначально равенством 0и = и" на пространстве C00 бесконечно дифференцируемых функций на графе, носители которых не содесжат граничных точек и точек ветвления графа.
Для оператора (0.0.1), получаемого из оператора 0 добавлением слагаемых с младшими производными, получено описание множества всех самосопряженных расширений, каждое из которых называется оператором Шредингера на графе. Получено описание множества операторов Лапласа и Шредингера на разветвленных многообразиях переменной размерности.
Дальнейшей целью диссертации является аппроксимация групп и полугрупп, порождаемых операторами Шредингера, найденными в главе 1, с помощью формул Фейнмана. Высказана гипотеза, что каждая из определенных в главе 2 формулами (0.2.1)-(0.2.3) операторнозначных функций Р эквивалентна по Чернову полугруппе etL, t 0, генеринуемой некоторым из операторов Шредингера, найденных в главе 1. И, наоборот, для каждого из оператора Шредингера L, из найденных в главе 1, найдется такой набор коэффициентов {pji} в формуле (0.2.1), что соот 107 ветствующая оператор-функция Р эквивалентна по Чернову полугруппе etL, t 0. Установлено, что в случае равновероятных переходов между ветвями графа (то есть в случае pij = —j при всех j = і) функция Р совпадает с аппроксимирующей функцией Чернова F, предложенной в работе [18].
В третьей главе найдена аппроксимирующая функция F, аппроксимирующая унитарную группу e tLs, t Є Л, порожденную тем оператором Шредингера, область определения которого определяется условиями Кирхгоффа (см. (3.2.27)-(3.2.28)) в точке ветвления графа.
В четвертой главе для сжимающей полугруппы etAr, t 0, генерируемой оператором Ат c условиями Кирхгоффа (4.2.58)-(4.2.59), найдена аппроксимирующая оператор-функция и доказана ее эквивалентность полугруппе.
