Введение к работе
ктуалыюсть темы. Диссертационная работа посвящена исследованию медом нестандартного анализа табличных аппроксимаций операторов в про-ранствах Lp(Rn).
Построение и исследование табличных аппроксимаций операторов н функ-юпальных пространствах является одной из наиболее актуальных задач при-іадного функционального анализа. Достаточно вспомнить, что классическое :ловие сходимости разностной схемы краевой задачи для дифференциального >авнения состоит в аппроксимируемости разностным оператором соответству-щего дифференциального оператора и устойчивости разностной схемы.1
Большой круг проблем возникает в связи с аппроксимациями наблюдаемых квантовой механике. В своих работах К). Швингер2 предложил модели-івать наблюдаемые в квантовой механике не неограниченными операторами L2(Rn), как это обычно делается, начиная с Дж. фон Неймана, а после-изателыгостями операторов в конечномерных пространствах. При этом по-роенные им последовательности, по существу, представляют собой табличне аппроксимации соответствующих неограниченных операторов. Тем самым прос об адекватности предложенных моделей приобрел не только георети-ское, но и практическое значение для приближенного вычисления средних ачений наблюдаемых, их спектров и т.д. Никаких строгих математических оснований сходимости в упомянутых работах предложено не было.
Исследование сходимости спектра аппроксимирующего разностного опера-ра к спектру дифференциального оператора в случае краевой задачи для 1\ было выполнено Х.Крейссом.1 Доказательство сходимости спектров для учая оператора Шредингера с растущим на бесконечности потенциалом.
есть с дискретным спектром, было предложено в работах Т.Диджернеса.
"См , например, С.К.Годунов, B.C.Рябенький, Разностные схемы. — М Иа\ка. I973,-100 г.
2Schwmger J. Unitary operator Cases. // Proc. Nai. Acad. Sci. USA. (1960), V. 46. P, 570 .=179: Srlimnger .1.
especial canonical group. // Proc. Nat. Acad Sci. USA. (1960), V. 46, P 1401-1115
3H.Kreiss. Difference approximations for boundary and eigenvalue problems for ordinary differentia! equations //
th. Сотр. 25 (1972) 605-624.
В.С.Варадараяна и С.П.С.Варадхапа.'' При этом было показано, чю важнук роль для исследования сходимости спектров играет сходимость самих аипрок симаций в сильной операторной топологии. Тем самым встал вопрос о постро ении и исследовании сходимости конечномерных аппроксимаций операторов гильбертовом пространстве.
Для одпопараметрических групп Вейля ешР и e'"Q соответствующие резулії таты были получены Е.И.Гордоном5 на основе проведенного исследования схо димости конечного преобразования Фурье к интегральному. В этих же рабо тах была доказана сходимость аппроксимаций интегральных операторов с ква дратично интегрируемым ядром, построенных при помощи дискретизации и ядер. Одна из основных трудностей при исследовании сходимости табличны аппроксимаций состоит в том. что пространства сеточных функций не вложс ны каким - либо каноническим образом в аппроксимируемое функционально пространство и слабо связаны друг с другом при разных значениях шага таблл цы. На абстрактном уровне эта ситуация изучалась в работах Ф.Штуммеля В.А.Треногина, Г.Вайнпкко и др. При этом обычно предполагается Существе вание ограниченных операторов, отображающих все пространство функций и аппроксимирующие сеточные пространства. Для достаточно хороших, в часі пости непрерывных функций эти операторы должны аппроксимировать таблн цы функций в точках сетки. Как правило, например в случае пространств L2(Rn), оператор вычисления таблицы не продолжается на все пространстве поэтому указанные выше операторы приходится строить некоторым специалі ным искусственным образом. Кроме того, указанная конструкция не позволяе доказывать сходимость спектров и приводит еще к ряду технических трудне стей, особенно в случае неограниченных областей, когда сеточное пространств зависит от двух параметров — стремящегося к нулю шага и стремящегося бесконечности диаметра области, в которой составляется сетка.
4Digernes Т. Varadarajan V.S., Varadhan S.P.S. Finite approximations to quantum systems. // Math Physic (1994), V. 6, No. 4, P. G21-648.
5Гордон Е.И. Нестандартные конечномерные аналоги операторов в Lt{Rn). Сиб матем журнал. - 198 - Т. 29. - 2. - С. 45-59. Гордон Е.І1. О преобразовании Фурье в нестандартном анализе. // Изв. by-to Математика. - 10S9. - .V!2. - С. 17-25.
>
Для преодоления этих трудностей последнее время при исследовании іа-гшчных аппроксимаций используется метод нестандартного анализа." При том подходе рассматриваются сетки, шаг которых -- бесконечно малое, а диа-етр области — бесконечно большое в смысле нестандартного анализа число. Получающееся при этом сеточное пространство гиперкопечномерно. т.е. его азмерность есть бесконечно большое в смысле нестандартного анализа нату-альное число. При этом исходное функциональное пространство вк. іадьіва-гся в нестандартную оболочку этого гиперконечномерного пространства.7
В случае, когда все аппроксимирующие операторы равномерно ограничены. ли индуцируют ограниченный оператор на этом гиперконечномерном про-гранстве, а условие аппроксимируемости превращается в условие кс.ммута-1ВІЮСТИ соответствующей диаграммы, что позволяег преодолевать некоторые ) описанных выше трудностей. Однако при аппроксимации неограниченных іераторов последовательность аппроксимирующих операторов не является ишомерно ограниченной, соответствующий ей оператор в гинерконечномер-эм сеточном пространстве имеет бесконечно бо.лыиую норму и не индуцирует раничепный оператор в нестандартной оболочке. Поэтому для применения етода нестандартного анализа в этом случае необходимо распространить кон-:рукцию нестандартной оболочки на случай оператора бесконечно большой эрмы.
В диссертационной работе строятся и исследуются табличные аппрокеима-ш для широких классов операторов с обобщенными ядрами. Исследования доводятся методом нестандартного анализа. При этом развивается иеобхо-імьій аппарат, в частности строятся нестандартные оболочки нсограпнчен-лх операторов. Следует отметить, что конструкция нестандартной оболочки раниченных операторов нашла и другие важные применения при изучении юйстп банаховых пространств и операторов в них. в стохастическом анализе
сСм упоминавшиеся ранее работы Е.И.Гордона, а также Wolf, М P. On the approximation of operators and : convergence of the spectra of the approximants. // Submitlct to Conference Volume of ІИОТЛ oil l>> Kjohberg al. (199G).
'ЛльСеверио С Фенстад И., Хеэг-Крон I'., Линдстрем Т. Нестандартные методы в стохастическом анализе «тематической физике: Hep.с англ М.:Мнр. 1990. - (>16 с.
:!
и математической физике."
Это дает основание предположить, что конструкция нестандартной оболо ки неограниченных операторов также может найти другие применения, помп; приведенных в диссертационной работе.
Цель работы. Исследовать сходимость аппроксимаций оператора и[ образования Фурье (ПФ) в пространствах Lp(R") и пространстнах обобщеиш функций конечным преобразованием Фурье: исследовать сходимость табли ных аппроксимаций операторов дифференцирования и свертки в простра ствах обобщенных функций; построить и исследовать нестандартную оболоч гиперконечномерного симметрического оператора с бесконечно большой ш мой в евклидовом пространстве: исследовать сходимость аппроксимаций oi раторов с обобщенными ядрами, построенных при помощи дискретизации яд<
Методы исследования. Основным методом является метод пестандар ного анализа. Используется метод исследования табличных аипроксимащ предложенный Е.И.Гордоном9 для ограниченных операторов, причем в ді сертацпи этот метод распространяется на случай неограниченных операторе Используются также стандартные методы теорши линейных операторюв в с паховых и гильбертовых пространствах.
Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми. Оснс ными результатами р>аботы можно считать следующие:
получены необходимые, а также достаточные условия аппроксимируемое интегрального оператора преобразования Фурье (ПФ). действующего из щ странства Lp(R") в пространство Lq(R") (- + j = \. 1 < р < 2). дискретні ПФ. а также операторами, получающимися другими дискретизациями яд интегрального ПФ;
доказана сходимость табличных аппроксимаций оператора дифферент!] вания в пространствах быстро убывающих функциіі и обобщенных функи
8См предыдущую сноску.
9См. работы, упоминавшиеся ранее.
меренного роста:
докатана сходимость табличных аппроксимаций оператора свертки в нро-транствах LP(R") и обобщенных функций;
построена и изучена нестандартная оболочка симметрического оператора с есконечно большой нормой в гиперконечномерном пространстве:
построены табличные аппроксимации некоторых видои операторов с обоб-тенными ядрами, получающиеся дискретизацией ядер этих операторов, и до-азана их сходимость.
Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический арактер. Ее результаты могут найти применение и дальнейших исследовани-х абстрактных разностных схем и аппроксимаций конкретных операторов.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались
обсуждались на заседаниях научного семинара по нестандартному анали-v математического факультета Вятского госпедуниверспгега. на заседаниях афедры геометрии и высшей алгебры Нижегородского гоеуниверситета. на іседашш отдела теории вероятностей и математической статистики НИИ ма-:\матики и механики им. Н.Г.Чеботарева Казанского госуниверситета'(1996 г.). а научном семинаре профессора Е.В.Воскресенского но прикладной матема-ике при Мордовском госуниверситете (Саранск. 1997 г.). на Третьей Суслин-їой конференции (Саратов, 1994 г.), на Международной научной конференции Дифференциальные уравнения и их приложения" (Саранск. 1994 г.). на Все-усспйской научной педагогической конференции (Киров. 1996 г.). на Между-ародпой научной конференции ''Дифференциальные уравнения. Интеграль-ые уравнения. Специальные функции." (Самара. 1997 г.).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах ггора. список которых приведен п конце автореферата.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, двух tan, содержащих по пять параграфов, и списка литературы, включающего 65 ^именований. Полный объем диссертации 157 страниц машинописного текста.
