Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Модели оптимизации и их конечномерные сеточные аналоги для систем нелинейного типа, описываемых квазилинейными эллиптическими уравнениями с управлениями в правых частях уравнения состояния и граничных условиях третьего рода 25
1. Постановка задач и их корректность 25
2. Конечномерные разностные аналоги моделей оптимизации. Корректность аппроксимаций 42
3. Априорная оценка погрешности метода по состоянию в норме сеточного пространства WJ(W) 47
4. Оценки погрешности сеточного функционала, скорости сходимости аппроксимаций по функционалу, сходимость по управлению. Регуляризация аппроксимаций 52
ГЛАВА II Модели оптимизации и их конечномерные сеточные аналоги для систем нелинейного типа, описываемых квазилинейными эллиптическими уравнениями с нелинейными граничными условиями третьего рода с управлениями в коэффициентах уравнения состояния и граничных условиях 62
1. Постановка задач и их корректность 62
2. Конечномерные разностные аналоги моделей оптимизации. Корректность аппроксимаций 73
3. Априорная оценка погрешности метода по состоянию в норме сеточного пространства 77
4. Оценки погрешности сеточного функционала, скорости сходимости аппроксимаций по функционалу, сходимость по управлению. Регуляризация аппроксимаций 87
ГЛАВА III Модели оптимизации и их конечномерные дифференциально-разностные аналоги для систем нелинейного типа, описываемых квазилинейными параболическими уравнениями с управлениями в коэффициентах уравнения состояния 98
1. Постановка задач и их корректность 98
2. Конечномерные дифференциально-разностные аналоги моделей оптимизации. Оценка погрешности по состоянию 101
3. Оценка погрешности аппроксимаций функционала 107
4. Сходимость аппроксимаций по функционалу. Регуляризация аппроксимаций 108
5. Модели оптимизации для квазилинейных параболических уравнений с другими критериями качества и их дифференциально-разностная аппроксимация и регуляризация ПО
ГЛАВА IV Алгоритмы численного решения сеточных аппроксимаций задач оптимального управления 113
Список литературы 150
Приложение
- Конечномерные разностные аналоги моделей оптимизации. Корректность аппроксимаций
- Конечномерные разностные аналоги моделей оптимизации. Корректность аппроксимаций
- Оценки погрешности сеточного функционала, скорости сходимости аппроксимаций по функционалу, сходимость по управлению. Регуляризация аппроксимаций
- Конечномерные дифференциально-разностные аналоги моделей оптимизации. Оценка погрешности по состоянию
Введение к работе
Актуальность темы исследования. В настоящее время математическое моделирование становится неотъемлемой частью сколь-нибудь крупных научно-технических проектов и разработок. Широкое и повсеместное внедрение методов математического моделирования, вычислительного эксперимента в большой степени определяет научно-технический прогресс сегодня. Вычислительный эксперимент предназначен для исследования, прогнозирования и оптимизации сложных многопараметрических процессов. Он частично или полностью заменяет натурное экспериментирование, которое в ряде случаев затруднено или даже невозможно, позволяет в несколько раз уменьшить сроки и стоимость разработок. Сущность вычислительного эксперимента кратно выражает триада «модель-алгоритм-программа» [157]. Математическая модель выделяет наиболее существенные связи исследуемого объекта, дает возможность получить точные количественные характеристики. Универсальность математических моделей позволяет легко переходить к исследованию новых явлений и процессов. Для изучения математических моделей используются численные методы - мощный аппарат вычислительной математики. Современные вычислительные алгоритмы позволяют на базе ЭВМ получить приближенное решение очень сложных задач с требуемой точностью за приемлемое время. Анализ расчетов, уточнение модели по результатам ее калибровки с данными натурных экспериментов являются необходимыми составными частями вычислительного эксперимента. Результатом вычислительного эксперимента выступают точные, детальные практические рекомендации.
В последние десятилетия весьма актуальными стали вопросы наилучшего (в том или ином смысле) управления различными процессами физики, техники, экономики и др. на базе математического моделирования процессов.
Неформальная постановка задач оптимального управления такова. Имеется некоторая система (объект управления, управляемая система), поведение которой характеризуется двумя видами параметров — состояния и управления.
Требуется выбрать параметры управления таким образом, чтобы поведение системы было в некотором смысле наилучшим. Формальные математические постановки задач оптимального управления чаще всего формируются с использованием интегро-дифференциального исчисления, записываются с помощью дифференциальных, интегральных или интегро-дифференциальных уравнений и являются существенным обобщением задач вариационного исчисления.
Из обширной литературы, посвященной различным аспектам современной теории оптимального управления, ее приложений, постановкам различных прикладных задач оптимального управления, связанных с оптимизацией самых разнообразных процессов в различных отраслях науки и техники, упомянем [2, 5-11, 15, 17-19, 21, 23, 26, 32, 34, 36-38, 40-42, 46, 48, 68, 71, 72, 76, 79, 80, 84, 86, 87, 89, 90, 121, 124-127, 129, 130, 133, 135-137, 139, 142, 170, 171, 176-181, 183,184].
Математические модели оптимизации процессов в подавляющем большинстве не поддаются аналитическому исследованию и требуют применения численных методов и современных ЭВМ (аналитическое решение задач оптимального управления даже на основе известных методов исследования задач оптимального управления, вошедших в золотой фонд теории оптимального управления, возможно лишь в крайне простых случаях, которые слишком далеки от запросов современной практики).
В настоящее время задачи оптимизации для систем обыкновенных дифференциальных уравнений сравнительно хорошо изучены, а методы их решения достаточно хорошо известны. Что касается задач оптимального управления системами с распределенными параметрами, то опыт численного решения таких задач еще невелик. Математические модели оптимизации для систем с распределенными параметрами (описываемых уравнениями математической физики (УМФ)) - это наиболее сложный класс задач в оптимизации, особенно для систем управления нелинейного типа, что является главной причиной, почему в настоящее время все большее внимание уделяется в научной литературе развитию численных методов оптимального управления и использованию вычисли тельной техники.
Под «системами управления нелинейного типа» мы понимаем такие, в которых отображение g— u(g) из множества допустимых управлений U в пространство состояний W является нелинейным. Характер конкретных постановок задач оптимального управления для распределенных систем существенно зависит от того, куда входят управления: в свободные члены уравнений состояния или в коэффициенты уравнений, а также линейными или нелинейными УМФ описываются состояния систем управления. В настоящее время наиболее полно исследован случай линейных моделей оптимального управления, когда функция состояния линейно зависит от управления, т.е. когда управления достаточно простым образом входят в линейные уравнения состояния и линейные предельные условия (в правые части линейных уравнений и/или слагаемыми в линейные краевые условия) и наиболее мало изучены задачи оптимального управления для систем нелинейного типа (особенно, когда нелинейность систем управления вызвана вхождением управлений в коэффициенты уравнений для состояний, в том числе в коэффициенты при старших производных), хотя развитие теории и методов их решения вызвано потребностями математического моделирования нелинейных оптимальных процессов, большой прикладной важностью таких задач при оптимизации процессов теплофизики, диффузии, фильтрации, теории упругости и др., а также при решении обратных задач для УМФ, рассматриваемых в вариационной постановке. Задачи управления в системах линейного типа (в частности, задачи управления тепло- и массообмен-ными и диффузионными процессами) достаточно полно изучены в работах А.Г. Бутковского [17-19], А.И. Егорова [42], Ж.-Л. Лионса [86, 88, 89], В.И.Плотникова [138, 139], их учеников и многих других. Интенсификация многих технологических процессов, где доминирующими являются процессы передачи тепла, диффузии, фильтрации и т.д., приводят к необходимости учета нелинейных эффектов при моделировании процессов и построении моделей оптимизации для систем управления нелинейного типа. Следует также отметить, что математическое моделирование с использованием ЭВМ в большинстве случаях является практически единственным средством исследования сложных процессов в системах управления нелинейного типа. При исследовании таких задач (особенно задач с управлениями в старших коэффициентах, являющихся «сильно нелинейными» оптимизационными задачами и весьма существенно отличающимися от задач, где управления осуществляются путем внешних воздействий на систему) возникает ряд трудностей, связанных с их нелинейностью, некорректностью, невыпуклостью, а также с малой гладкостью состояний.
Проблема численного решения задач оптимального управления приводит к необходимости их аппроксимаций задачами более простой природы. Правильно построенная аппроксимация позволяет получить содержательные результаты качественного и численного характера о изучаемом процессе.
Основы теории и методов устойчивости и аппроксимации экстремальных задач заложены в работах Б.М. Будака, Ф.П. Васильева, В.В. Васина, Р.Ф. Габбасова, А. Дончева, А.И. Егорова, Ю.М. Ермольева, Ю.Г. Евтушенко, В.Г. Карманова, Ф.М. Кирилловой, В.Б. Колмановского, А.И. А.И. Короткого, П.С. Краснощеного, А.В. Кряжимского, М.А. Куржанского, Е.С. Левитина, Ж.-Л. Лионса, П.Ж. Лорана, В.И. Максимова, Н.Н. Моисеева, Ю.С. Осипова, В.И. Плотникова, А.Н. Тихонова, В.М. Тихомирова, Р.П. Федоренко, В.В. Федорова, Ф.Л. Черноусько и многих других. Первые результаты по общим условиям сходимости, в том числе для конечно-разностных аппроксимаций экстремальных задач были получены в работах Б.М. Будака, Б.М. Беркович, Е.Н. Соловьевой [13-14] и Ю.М. Ермольева, В.П. Гуленко, Т.И. Царенко [43-46]. В них были получены общие условия сходимости по функционалу, а для сходимости по аргументу использовался метод регуляризации А.Н. Тихонова [169]. В дальнейшем эта методика развилась во многих работах [3,16, 22,24,25,31,37,51,57,58,62,63,130,191].
Вопросам устойчивости, аппроксимаций в задачах оптимального управления системами с распределенными параметрами посвящено большое число работ, среди которых, прежде всего, следует отметить работы К.Р. Айда-Заде, Ф.П. Васильева, А. Дончева, Ю.Г. Евтушенко, А.И. Егорова, Ю.М. Ермольева, А.З. Ишмухаметова, В.Б. Колмановского, А.И. Короткого, А.В. Кряжимского, О.А. Кузенкова, А.А. Кулешова, М.А. Куржанского, Ж.-Л. Лионса, В.Г. Литвинова, Ф.В. Лубышева, Н.Д. Морозкина, П. Нейтаанмяки, М.М. Потапова, В.И. Плотникова, А.В. Разгулина, М.Р. Рахимова, М.И. Сумина, В.И. Сумина, Р.К. Тагиева, Я. Хаслингера, Ф.Л. Черноусько, Т.Ю. Шамиевой, А.Д. Юрия и многих других. Исследования этих вопросов для задач оптимального управления эллиптическими системами проводилось, например, в работах [70, 74, 91-102, 108, 110-119], для параболических систем в работах [27, 39, 47, 49, 64, 65, 67, 73, 78, 91, 103-107, 109, 112, 114, 120], а для гиперболических систем в [1, 28-30, 50, 52-54, 56, 59-61, 69, 75, 142, 144, 167, 168], для систем Гурса-Дарбу в [1, 35, 139, 140], для уравнения Шредингера в [145, 151, 152, 182]. Конечномерные аппроксимации с помощью разложений в ряды рассматривались в работах [4, 64, 55, 73, 131, 132, 154]. Обзор работ, посвященных различным аспектам современной теории оптимального управления и ее приложений, постановкам различных прикладных задач оптимального управления, основам общей теории и методов устойчивости и аппроксимации экстремальных задач, вопросам аппроксимации задач оптимального управления и результатов в данной области представлен в работах Ф.П. Васильева [24], А.З. Ишмухаметова [62,63], Ф.В. Лубышева [112], М.М. Потапова [142].
Центральными здесь являются вопросы «конструирования аппроксимаций», сходимости аппроксимаций по состоянию, функционалу, управлению, регуляризации аппроксимаций. Анализ литературы по данной проблеме показывает, что для систем с распределенными параметрами, даже в линейном случае, вопросы аппроксимации исследованы еще недостаточно. Построение и исследование аппроксимаций проводились в основном для систем управления с постоянными коэффициентами и систем линейного типа, когда функция состояния систем достаточно просто, линейно, зависит от управления (функции управления появлялись либо в неоднородном члене линейных УМФ, либо в начальных или линейных граничных условиях для линейных УМФ). Поэтому особенно актуальными являются вопросы построения и исследования конечномерных аппроксимаций систем управления нелинейного типа (в том числе с управлениями в переменных коэффициентах уравнений состояний, учитывающих также и анизотропность среды). При этом, так как функции состояний систем управления могут не обладать наперед заданной гладкостью (что, вообще говоря, характерно для задач оптимального управления), то это важно учитывать при построении и исследовании аппроксимаций, т.е. представляется естественным и актуальным строить и исследовать аппроксимации по состоянию и функционалу на решениях (состояниях) той естественной, незавышенной степени гладкости, которая гарантируется теоремами о разрешимости как задач для состояния, так и задач управления. Кроме того, актуальным является вопрос о построении таких аппроксимаций, результаты о сходимости которых не зависели бы от способа решения аппроксимирующих конечномерных сеточных задач оптимального управления.
Целью работы являются: построение и исследование математических вопросов корректности моделей, а также построение и исследование конечномерных разностных аппроксимаций моделей оптимального управления системами нелинейного типа с распределенными параметрами (в которых отображение g - u(g) из множества допустимых управлений U в пространство состояний W является нелинейным, в частности в системах с управлениями в переменных коэффициентах, в том числе учитывающих и анизотропность среды), описываемыми линейными и квазилинейными уравнениями эллиптического и параболического типов с обобщенными решениями; разработка эффективных алгоритмов численной реализации построенных конечномерных аппроксимаций, использование разработанных аппроксимаций и численных алгоритмов их реализации для решения конкретных прикладных задач оптимизации для систем нелинейного типа.
Общая методика исследований базируется на математической теории оптимального управления системами с распределенными параметрами, теории численных методов, теории дифференциальных уравнений в частных произ водных и функциональном анализе.
Научная новизна работы отражена в основных результатах диссертации, которые являются новыми.
1. Предложены математические модели оптимального управления системами нелинейного типа с распределенными параметрами, описываемыми линейными и квазилинейными уравнениями эллиптического и параболического типов с обобщенными решениями, с переменными коэффициентами, учитывающими анизотропность сред, с линейными и нелинейными граничными условиями, с управлениями в свободных членах уравнений и граничных условий, а также в коэффициентах уравнений и коэффициентах нелинейных граничных условий (в том числе когда управления содержатся и в старших коэффициентах уравнений, учитывающих свойство анизотропности среды); исследованы математические вопросы корректности построенных моделей оптимизации; построенные модели могут рассматриваться также и как вариационные постановки ряда обратных задач для УМФ.
2. Разработаны конечномерные разностные и дифференциально-разностные аппроксимации построенных моделей оптимизации с обобщенными решениями для уравнений состояний; установлены оценки точности аппроксимаций по состоянию и функционалу и сходимость аппроксимаций по управлению; оценки точности и сходимость по управлению получены без дополнительных априорных предположений о гладкости обобщенных решений для состояний процессов управления (при той естественной, незавышенной степени гладкости состояния, которая гарантируется теоремами о обобщенной разрешимости как задач для состояния, так и задач управления).
3. Проведена регуляризация преложенных аппроксимаций, позволяющая, на основе полученных результатов стоить минимизирующие последовательности для функционалов цели задач оптимального управления сильно сходящиеся в пространствах управлений исходных постановок к множествам точек минимумов функционалов; все полученные результаты о сходимости конечномерных аппроксимаций не зависят от способа решения конечномерных сеточных задач оптимального управления.
4. Разработаны эффективные алгоритмы численного решения построенных конечномерных аппроксимаций, основанные на сочетании метода штрафных функционалов и методов проекции градиента, проекции сопряженных градиентов, условного градиента в конечномерных аналогах пространств L2 и W\...
5. Проведены численные расчеты ряда конкретных задач на основе предложенных моделей оптимизации систем нелинейного типа, разработанных методов аппроксимации и алгоритмов их реализации.
Практическая ценность. Предложенные в работе математические модели оптимального управления системами нелинейного типа и разработанные методы конечномерных разностных аппроксимаций математических постановок задач учитывают ту особенность, что решения задач для состояний обладают, вообще говоря, малой гладкостью, что характерно для реальных физических процессов, как правило, протекающих в гетерогенных средах, когда разные области решения обладают разными физическими характеристиками (при недостаточно гладких входных данных, в том числе управлений — например, недостаточно гладких характеристиках сред, при наличии недостаточно гладких источников (стоков) и др.). Сужение же, например, множества допустимых управлений (как это иногда делается) может быть крайне нежелательным, т.к. это существенно изменяет постановку задачи, снижая практическую ценность математической постановки оптимизационной модели. Разработанный и обоснованный в работе метод конечномерных сеточных и дифференциально-разностных аппроксимаций систем управления нелинейного типа носит конструктивный характер, обладает универсальностью, гибкостью и модульностью -качествами, которые требуются от методов, реализуемых при проведении вычислительных экспериментов, соответствующих структуре и возможностям современных ЭВМ. Полученные результаты о сходимости аппроксимаций не зависят от выбора метода решения конечномерных аппроксимирующих задач, что обеспечивает автономность выбора численных методов реализации аппроксимаций на практике.
Построенные модели оптимального управления системами нелинейного типа и разработанные методы конечномерных аппроксимаций задач оптимального управления могут найти широкое применение при оптимизации и численном исследовании таких систем управления, где доминирующими являются процессы переноса тепла, диффузии, фильтрации, электричества и др., в которых необходимо учитывать неоднородность, анизотропность и активность сред, способных взаимодействовать с переносимыми субстанциями - веществом или энергией, как по линейному, так и по нелинейному закону.
Рассмотренные нелинейности задач для состояний в математических моделях оптимального управления могут быть обусловлены интересными для практики случаями: наличием стоков субстанции (например, диффузия вещества в активных средах с поглощением вещества по нелинейному закону, в которых диффундирующее вещество вступает в химические реакции со средой, сопровождающиеся нелинейным стоком субстанции), процессами климатизации через границу или диффузии сквозь ограничивающую область мембрану, биохимическими процессами, при анализе линий передач с утечкой в электротехнике и др. Учет анизотропии среды в математических моделях оптимизации систем оказывает существенное влияние на распределение субстанции в среде (тепловой энергии, концентрации, электричества и др.). Пренебрежение анизотропией среды в ряде случаев просто недопустимо (например, для сред с волокнистым строением).
Большую прикладную важность имеют модели оптимального управления для систем нелинейного типа, в которых нелинейности обусловлены вхождением управлений в коэффициенты (в том числе в коэффициенты при старших производных в уравнениях состояний). Полученные в работе результаты могут найти широкое приложение к проблемам механики сплошных сред - в процессе проектирования и разработки новой техники, технологических процессов, включающих поиск оптимальных конструкций путем выбора функций управления, описывающих распределение упругих характеристик материала; при тепловом проектировании различных сложных технических систем, связанных с оптимальным тепловым нагружением их конструкций из материалов с искусственно созданными неоднородностями (в том числе учитывающими и свойство анизотропии) для обеспечения нужного оптимального эффекта работы соответствующей сложной конструкции (например, поле температур должно быть в некотором смысле близким к заданному); при оптимальном управлении нелинейными стоками энергии (вещества) в активных средах с поглощением энергии (вещества) по нелинейному закону; при решении ряда некорректных, в том числе коэффициентных обратных задач теплопроводности, диффузии, фильтрации, геофизики, теории упругости, рассматриваемых в вариационной постановке (например, для теплофизических исследований неоднородных анизотропных материалов сложных технических систем, где помимо решения прямых задач большой интерес представляет решение обратных задач идентификации, связанных с определением (восстановлением) коэффициентов уравнений состояний систем по дополнительной информации (доступной измерению), о решении краевых и начально-краевых задач для данных УМФ.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, списка литературы, содержащего 191 наименование, и приложения. Объем работы, исключая приложение составляет 166 страниц.
Численное решение задач оптимального управления с использованием ЭВМ в широком смысле связано с решением следующих вопросов: 1) постановка задач оптимизации, обеспечивающая существование решения на множестве допустимых управлений, являющемся подмножеством некоторого бесконечномерного векторного пространства; 2) сведение бесконечномерных задач оптимального управления к последовательности конечномерных задач, обеспечивающее сходимость в некотором смысле решений конечномерных задач к решениям исходных задач оптимального управления; 3) численное решение конечномерных задач.
Управляемые детерминированные системы (физические, механические и т.д.) с распределенными параметрами можно описать с помощью отображения G:H — W, где Н - некоторое пространство управлений (элементы которого будем обозначать буквой g), a W — пространство состояний управляемой системы. Для каждого управления geH элементами (состояниями, функциями состояний управляемых систем) и = Gg eW в конкретных системах являются решения уравнений математической физики, определяющие «модель» системы. Задачи оптимального управления можно сформулировать как задачи минимизации некоторого функционала качества F, зависящего от состояния системы и = Gg є W и от управления g eU:
J(g) = F(Gg,g)- mf, geUciH, (0.1)
где U - множество допустимых управлений из некоторого выбранного пространства управлений Я. Решением задачи (0.1) является минимальное значение функционала J.=mfJ(g), geU и множество оптимальных элементов, на которых достигается нижняя грань функционала U. = {g.eU:J(g.) = J.}. В работе рассматриваются системы управления с распределенными параметрами нелинейного типа, в которых отображение g — u(g) из множества допустимых управлений U в пространство состояний W является нелинейным (состояние системы является нелинейной функцией управления). Рассмотрены и исследованы математические модели оптимизации систем с распределенными параметрами нелинейного типа, состояния в которых описываются нелинейными УМФ, а также модели оптимизации нелинейного типа, в которых нелинейность систем управления вызвана тем, что управляющие функции входят в коэффициенты уравнений для состояния и коэффициенты граничных условий. Теоремы существования и единственности оптимальных управлений в таких задачах далеко не очевидны. Нелинейность, вызванная вхождением управлений в коэффициенты уравнений состояния и граничных условий еще более усугубляется, когда состояние систем управления описывается нелинейными уравнениями из-за достаточно сложного характера зависимости функции со стояния от управлений. В задачах с управлениями в коэффициентах функционалы цели не являются выпуклыми даже в тех случаях, когда уравнения состояния линейные и функционалы цели являются линейными функциями от решений этих уравнений. Одной из характерных черт, проявляющихся в некоторых стандартных математических постановках задач оптимального управления с управлениями в старших коэффициентах является то, что указанное выше нелинейное отображение g— u{g) (соответствующее выбранному множеству U) не является слабо непрерывным даже в случае, когда управление g входит в коэффициент уравнения состояния линейно, что приводит к несуществованию оптимального управления, и следовательно, минимизирующие последовательности {gn} могут иметь характер скользящих режимов. А поскольку управления {gn} входят в старшие коэффициенты уравнения, то при больших п становится невозможным численное решение уравнения системы с удовлетворительной точностью. Значительная трудность решения таких задач в силу их нелинейности и некорректности требует разработки специальных регуляри-зирующих методов и вычислительных алгоритмов. Один из возможных подходов к решению подобных задач с управлениями в коэффициентах состоит в постановке задачи с использованием более гладких управлений (т.е. регуляризации управлений при старших коэффициентах в уравнении состояния).
Проблема численного решения задач типа (0.1) приводит к необходимости их конечномерной аппроксимации последовательностью аналогичных задач минимизации вида Л(Ф4) = ((?4Ф4 ФА)- ад. OheUhczHht (0.2)
где Uh - приближенные множества из аппроксимирующего конечномерного пространства Hh; Gh :Hh — Wh - приближенные отображения, Wh — конечномерное пространство, аппроксимирующее пространство состояний W на сетке юА. Положительный параметр h 0 - шаг сетки соА (определяющий возмущения, связанные с аппроксимацией модели оптимизации, вызванные аппроксимацией уравнений состояния, функций, задающих множество допустимых управлений, функционала цели). Обозначим Jh.=mfJh(Oh), OkeUh. Проблема аппроксимации экстремальной задачи (0.1) заключается в исследовании предельного перехода при h — 0 решений задач (0.2) к решениям задачи (0.1). Иначе говоря, при построении разностных аппроксимаций задач оптимального управления возникает следующий вопрос: будут ли сходиться решения вспомогательных экстремальных задач (0.2) при h—»0 в некотором смысле, а именно:
1. Будет ли при каких-либо условиях аппроксимировать последовательность задач (0.2) задачу (0.1) по функционалу, т.е. имеет ли место Нт/Л. = J при
h — 0. 2. Если имеет место указанная выше сходимость, то возникает вопрос о скорости сходимости аппроксимаций по функционалу относительно параметра h 0, т.е. возникает задача получения оценок вида
\Jh.-J.\uC\h\m,m Qt
характеризующих быстроту сходимости последовательности нижних граней {7А«} к Л при А-»0. 3. Одним из важнейших является вопрос о построении минимизирующих последовательностей для функционала J(g) на основе последовательности аппроксимаций (0.2). Поясним задачу. Точное решение задач (0.2) возможно лишь в исключительно редких случаях, поэтому на практике ограничиваются нахождением управления ФЛе , дающего приближенное решение задачи (0.2) в следующем смысле
- со J„ Jh (ФА#) Jh. + єА, Ф„ч є Uh, (0.3)
где последовательность {єА}, такова, что є 0 и єА- 0 при А-»0 и характеризует точность решения задачи (0.2). Такое управление Ф существует по определению нижней грани. Для определения Ф из условий (0.3) могут быть использованы разностные аналоги градиентных методов решения задач (0.3) [23]. Условие же (0.3) означает предположение, что при каждом h и заданной сетке сой с помощью какого-либо метода минимизации получены приближен ное значение Jk +eh нижней грани Jh функционала (0.2) и дискретное (сеточное) управление Фкч є Uh, такие, что справедливо (0.3). Возникает вопрос:
нельзя ли принять сеточное управление ФАє из (0.3) в качестве некоторого приближения к минимизирующей последовательности для функционала J(g), точнее, нельзя ли построить последовательность РАФАЄА jcz t/ такую, чтобы
lim J(Ph Ф Аєд) = Л при h -» 0, (0.4)
где Ph\Hh - Н «связывающий» оператор продолжения сеточных функций Ф , не выводящий за /, т.е. такой, что РкФ/,е є U для всех ФЛВА е/А. Попутно решается вопрос оценки
\jh(Ohek)-J Jh(Oh4)-Jh.\ + \Jh.-J.\ C\h\m+eh, т 0.
4. Если имеет место (0.4), то возникает задача построения оценок вида
0±Jh{Ph bhZh)-J. C\h\m+zh т 0.
5. Возникают вопросы о сходимости по аргументу (управлению), т.е. о сходимости последовательности {РкФ/,е } ко множеству и,Ф0 точек минимума функционала J(g) и регуляризации аппроксимаций, позволяющей строить на основе разностных аппроксимаций минимизирующие последовательности, сходящиеся в Я к множеству точек минимума С/». Как известно, большинство задач оптимального управления, некорректно поставлены по А.Н. Тихонову в метрике тех банаховых пространств Н, которые чаще всего используются в прикладных задачах, поэтому нет основания ожидать, что построенная последовательность {PhQ tek} будет сходиться в метрике Н ко множеству U 0.6.
Исследование сходимости и точности аппроксимаций по состоянию (при произвольных фиксированных управлениях) является одной из центральных задач при исследовании сходимости аппроксимаций по функционалу и управлению, так как на основе оценок точности аппроксимаций по состоянию строятся оценки точности аппроксимаций по функционалу, доказывается сходимость по управлению и проводится регуляризация аппроксимаций. В задачах оптималь ного управления особый интерес представляют вопросы исследования сходимости разностных схем на обобщенных решениях уравнений состояний систем управления. В последнее время большое внимание в научной литературе уделяется вопросам исследования сходимости разностных схем на обобщенных решениях УМФ. Техническим аппаратом получения, так называемых, согласованных оценок скорости сходимости разностных схем является метод разрешающих операторов точных разностных схем, предложенный сравнительно недавно А.А. Самарским и В.Л. Макаровым, а также аппарат энергетических оценок с анализом погрешности аппроксимаций при помощи леммы Брембла-Гильберта[161].
В главе 1 рассматриваются и исследуются, с учетом поставленных выше вопросов математические модели нелинейных оптимальных систем, в которых состояния u(x,g) для каждого заданного управления gel/ описываются квазилинейными эллиптическими уравнениями с обобщенными решениями с управлениями в правых частях уравнения состояния и граничных условиях третьего рода. Управляемые процессы описываются краевой задачей для квазилинейного эллиптического уравнения дивергентного вида с переменными коэффициентами, учитывающими анизотропность среды. Сформулирована математическая постановка нелинейной задачи I оптимального управления и рассмотрен вопрос корректности ее постановки. Построена разностная аппроксимация для задачи оптимального управления - задача 1ь- Установлены оценки точности аппроксимаций по состоянию и функционалу. Эти оценки получены без дополнительных априорных предположений о гладкости обобщенного решения краевой задачи. Проведена регуляризация аппроксимаций по Тихонову.
В главе 2 рассмотрены и исследованы математические модели нелинейных оптимальных систем, описываемых квазилинейными эллиптическими уравнениями с нелинейными граничными условиями и обобщенными решениями, с управлениями в переменных коэффициентах уравнений состояния и в коэффициентах нелинейных граничных условий (в том числе с управлениями в старших коэффициентах уравнений состояния). Управляемые процессы описы ваются граничной задачи для квазилинейного эллиптического уравнения дивергентного вида с переменными коэффициентами, учитывающими также и анизотропность среды. Сформулирована математическая постановка нелинейной задачи II оптимального управления и исследован математический вопрос корректности ее постановки. Построена конечномерная разностная аппроксимация построенной модели оптимизации — задача 1. Установлены оценки точности аппроксимаций по состоянию и функционалу, исследована сходимость аппроксимаций по управлению. Оценки точности и сходимости по управлению получены без дополнительных априорных предположений о гладкости обобщенных решений для состояния процесса управления. Проведена регуляризация предложенных аппроксимаций.
Оптимизационные задачи I и II представляют математические модели оптимального управления процессами для широких классов систем управления нелинейного типа, в которых отображение g — w(g) из множества допустимых управлений U в пространство состояний W\ (Q) является нелинейным. Нелинейность систем управления в оптимизационных задачах I и II обусловлена либо нелинейностью состояний, либо вхождением управлений в коэффициенты уравнений состояний, причем эта нелинейность во втором случае еще более усугубляется нелинейностью задачи для состояния. Нелинейные краевые задачи для состояний в оптимизационных задачах I и II, описывающие широкие классы моделей для состояний, например, стационарные процессы теплопроводности, диффузии, фильтрации, теории упругости и т.д., учитывают достаточно общий характер изменения среды, занимающей область Q - неоднородность и анизотропию по отношению к рассматриваемому процессу переноса субстанции (энергии, вещества и т.д.), а также активность среды Q, как с линейным так и с нелинейным взаимодействием. Иначе говоря, предполагается, что перенос субстанции (тепла, вещества и т.д.) в области Q зависит не только от положения точки х є Q, но и от направления. Этот факт отражен в зависимости коэффициента теплопроводности (диффузии) среды также от направления в котором происходит передача энергии (вещества) а именно, ка (х) - ко эффициент теплопроводности (диффузии) вдоль оси ха, а = 1,2 (что характерно для многих сред, например, для сред с волокнистым строением, в которых не учитывать этого явления просто недопустимо). Выделение или поглощение энергии (вещества) характеризовано здесь с помощью плотности распределения источников (стоков), описываемой функцией f(x), и может быть связано, например, с идущими в веществе химическими реакциями, или с протеканием электрического тока, или с испарением влаги и т.д. В общем случае, плотность источников (стоков) тепловой энергии (рассматриваемого вещества) может быть задана не только функцией точки х є Q,, но может зависеть и от искомого решения (температуры, концентрации и т.д.), т.е. переносимой субстанции нелинейным образом (такие среды Q назовем активными).
Процессы переноса в активных средах, способных взаимодействовать с переносимыми субстанциями - энергией или веществом, представляет особый интерес для многих приложений. Значительный интерес представляют, например, процессы переноса тепла, вещества с поглощением. В этом случае взаимодействие со средой связано с уводом переносимой субстанции (энергии или вещества).
Физическая интерпретация нелинейной оптимальной задачи I, например, в теплофизических терминах может быть сформулирована следующем образом. Имеется некоторое неоднородное анизотропное тело (среда) Q. На боковой поверхности тела Q происходит теплообмен с внешней средой по закону Ньютона. В среде Q имеются внутренние источники (или стоки) тепла с плотностью их распределения f(x), кроме того, в среде имеются стоки тепла, плотность которых зависит от температуры. Предположим, что в теле Q и/или на его границе Г, с Г следует задать заданный тепловой режим. Требуется, управляя температурой внешней среды [І(Х) и/или плотностью распределения внутренних источников тепла f(x) распределение температуры в теле Сі и/или на куске его границе Г. сГ сделать как можно ближе к заданным (желаемым) распределениям u0(x)t xeQ и і/(х), х є Г». Таким образом, управляющее воздействие является распределенным как по объему тела, так и по его границе Г. Критерий близости распределения температуры в теле Q и на его границе Г«сГ введен в виде функционала J(g), который характеризует среднеквадратичное уклонение температуры от заданной. Требуется определить закон изменения управления g = (/, ц) є U так, чтобы функционал J принимал наименьшее значение.
Физическая интерпретация нелинейной оптимальной задачи II, например, в теплофизических терминах, может быть, сформулирована следующем образом. Имеется некоторое неоднородное анизотропное тело (среда) Q. На боковой поверхности тела происходит нелинейный теплообмен с внешней средой: плотность теплового потока пропорциональна функции от температуры. В среде Q имеются внутренние источники (или стоки) тепла с плотностью их распределения /( ), кроме того, в среде имеются стоки тепла, плотность которых пропорциональна функции от температуры. Требуется, управляя коэффициентом теплопроводности, характеризующим теплофизические свойства материала среды и/или коэффициентом d(x), характеризующим скорость поглощения тепла в Q и/или коэффициентом теплообмена с внешней средой, характеризующим интенсивность теплообмена, распределение температуры в теле Q и/или на куске границы Г. с Г сделать как можно ближе к заданным (желаемым) распределениям и0(х), xeQ и/или (p( ) хєГ . Это так называемая задача конструирования неоднородного, анизотропного тела (неоднородной, анизотропной среды, занимающей область П) с заданными теплофизическими характеристиками (например, с заданным коэффициентом теплопроводности).
В настоящее время большое внимание уделяется обратным задачам математической физики в силу их возрастающего значения для решения прикладных задач. Значительное количество обратных задач возникает при исследовании процессов, описываемых уравнениями эллиптического и параболического типов: теплопроводности, диффузии, фильтрации и т.д. Численные методы решения обратных задач для УМФ должны базироваться на хорошо разработанной теории приближенных методов решения прямых задач, в частности разно стных методов. Одним из основных подходов решения обратных задач для УМФ является использование вариационной формулировки этих задач, т.е. переход к задачам оптимального управления для соответствующих УМФ с последующей конечномерной аппроксимацией этих задач оптимального управления. Поставленную задачу I оптимального управления можно интерпретировать также как вариационную постановку некоторых обратных задач для квазилинейных УМФ эллиптического типа. Задачу II оптимального управления можно интерпретировать как вариационные постановки ряда коэффициентных обратных задач для квазилинейных УМФ эллиптического типа. Постановки задач такого типа характерны, например, для теплофизических, диффузионных, фильтрационных исследований анизотропных материалов, где помимо прямых задач большой интерес представляет изучение обратных задач идентификации, связанных с определением неизвестных коэффициентов уравнения по дополнительной информации о решении краевых задач.
В главе 3 рассматриваются и исследуются математические модели нелинейных оптимальных систем, описываемых квазилинейными уравнениями параболического типа с обобщенными решениями с управлениями в коэффициентах уравнения состояния (в том числе с управлениями в коэффициентах при старших производных). Управляемые нестационарные процессы описываются начально-краевой задачей для квазилинейного параболического уравнения с переменными коэффициентами. Рассмотрены постановки экстремальных задач ША, ШВ, ШС с различными критериями качества. Построены дифференциально-разностные аппроксимации IIIAh, ШВь ШСь для поставленных задач оптимального управления, изучены вопросы сходимости аппроксимаций по состоянию, функционалу и управлению, установлены оценки точности аппроксимаций по состоянию и функционалу и проведена регуляризация аппроксимаций.
Оптимизационные задачи IIIA, ИЮ, ШС моделируют нелинейные управляемые процессы, например, нестационарной теплопроводности, диффузии, фильтрации, учитывающие неоднородность среды, а также активность неоднородной среды с нелинейным взаимодействием.
Нелинейность систем управления в задачах ША, ШВ, ШС обусловлена вхождением управлений в коэффициенты уравнения состояния, причем эта нелинейность еще более усугубляется нелинейностью задачи для состояния..
Экстремальные задачи ША, ШВ, ШС можно трактовать и как вариационные постановки коэффициентных обратных задач для квазилинейных УМФ параболического типа.
Во всех поставленных экстремальных задачах I, II, III под решением задач для состояния при фиксированных управлениях g є U понимаются обобщенные решения из Соболевских классов, а именно из W\ — для состояний задач I, II и W 0 — лля состояния задачи III, удовлетворяющие соответствующим интегральным тождествам.
В главе 4 предложены алгоритмы численного решения сеточных задач оптимального управления, аппроксимирующие исходные задачи оптимального управления. Построение численных алгоритмов подробно приведено для аппроксимирующих задач главы 3. Построенные алгоритмы численной минимизации сеточных функционалов основано на сочетании метода штрафных функционалов, учитывающих часть ограничений типа неравенств и методов проекции градиентов, проекции сопряженных градиентов, условного градиента. Вычисление градиентов сеточных функционалов эффективным образом базируется на решении соответствующих вспомогательных линейных сопряженных задач. Исследован также вопрос об определении градиента сеточного функционала, отвечающего выбору некоторых других скалярных произведений.
В приложении рассмотрены примеры и результаты расчетов конкретных задач исследования и оптимизации процессов теплопроводности и диффузии вещества в нелинейных системах управления, иллюстрирующие применение разработанных в работе математических методов оптимизации в системах нелинейного типа. Результаты вычислительных экспериментов подтверждают, что разработанные алгоритмы обладают универсальностью, гибкостью и модульностью - качествами, которые требуются от методов, реализуемых при проведении вычислительных экспериментов, соответствующих структуре и возможностям современных ЭВМ, позволяют эффективно, за приемлемое время численно решать широкие классы задач оптимального управления для систем управления нелинейного типа, просты в реализации.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Международной конференции «Оптимизация численных методов», посвященной 90-летию со дня рождения С.Л.Соболева (г.Уфа, 1998 г.), на Международной конференции «Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы» (г.Уфа, 2000 г.), на Международных конференциях «Дифференциальные уравнения и их приложения» (г. Саранск, 1998, 2000, 2002 гг.), на региональных школах-конференциях для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике (г.Уфа, 2000, 2001, 2003 гг.), на Международной научной школе «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» (г.Саранск, 2003г.), обсуждались на семинарах, которые проходили в рамках программы «Интеграция» (руководители Ф.В. Лубышев, М.Д. Рамазанов), на семинарах в Институте математики с ВЦ УНЦ РАН (руководители М.Д. Рамазанов, P.M. Асадуллин), в Башгосуниверситете (руководители Ф.В. Лубышев, Я.Т. Султанаев).
Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 11 печатных работ, в том числе 8 статей и 3 тезисов докладов на научных конференциях. Основные результаты содержатся в работах [110, 111, 113-115, 117, 120, 172-175].
Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю профессору Федору Владимировичу Лубышеву за постановку темы диссертации, постоянное внимание и полезные обсуждения результатов работы, консультации.
Конечномерные разностные аналоги моделей оптимизации. Корректность аппроксимаций
Сформулирована математическая постановка нелинейной задачи II оптимального управления и исследован математический вопрос корректности ее постановки. Построена конечномерная разностная аппроксимация построенной модели оптимизации — задача 1. Установлены оценки точности аппроксимаций по состоянию и функционалу, исследована сходимость аппроксимаций по управлению. Оценки точности и сходимости по управлению получены без дополнительных априорных предположений о гладкости обобщенных решений для состояния процесса управления. Проведена регуляризация предложенных аппроксимаций.
Оптимизационные задачи I и II представляют математические модели оптимального управления процессами для широких классов систем управления нелинейного типа, в которых отображение g — w(g) из множества допустимых управлений U в пространство состояний W\ (Q) является нелинейным. Нелинейность систем управления в оптимизационных задачах I и II обусловлена либо нелинейностью состояний, либо вхождением управлений в коэффициенты уравнений состояний, причем эта нелинейность во втором случае еще более усугубляется нелинейностью задачи для состояния. Нелинейные краевые задачи для состояний в оптимизационных задачах I и II, описывающие широкие классы моделей для состояний, например, стационарные процессы теплопроводности, диффузии, фильтрации, теории упругости и т.д., учитывают достаточно общий характер изменения среды, занимающей область Q - неоднородность и анизотропию по отношению к рассматриваемому процессу переноса субстанции (энергии, вещества и т.д.), а также активность среды Q, как с линейным так и с нелинейным взаимодействием. Иначе говоря, предполагается, что перенос субстанции (тепла, вещества и т.д.) в области Q зависит не только от положения точки х є Q, но и от направления. Этот факт отражен в зависимости коэффициента теплопроводности (диффузии) среды также от направления в котором происходит передача энергии (вещества) а именно, ка (х) - коэффициент теплопроводности (диффузии) вдоль оси ха, а = 1,2 (что характерно для многих сред, например, для сред с волокнистым строением, в которых не учитывать этого явления просто недопустимо). Выделение или поглощение энергии (вещества) характеризовано здесь с помощью плотности распределения источников (стоков), описываемой функцией f(x), и может быть связано, например, с идущими в веществе химическими реакциями, или с протеканием электрического тока, или с испарением влаги и т.д. В общем случае, плотность источников (стоков) тепловой энергии (рассматриваемого вещества) может быть задана не только функцией точки х є Q,, но может зависеть и от искомого решения (температуры, концентрации и т.д.), т.е. переносимой субстанции нелинейным образом (такие среды Q назовем активными).
Процессы переноса в активных средах, способных взаимодействовать с переносимыми субстанциями - энергией или веществом, представляет особый интерес для многих приложений. Значительный интерес представляют, например, процессы переноса тепла, вещества с поглощением. В этом случае взаимодействие со средой связано с уводом переносимой субстанции (энергии или вещества).
Физическая интерпретация нелинейной оптимальной задачи I, например, в теплофизических терминах может быть сформулирована следующем образом. Имеется некоторое неоднородное анизотропное тело (среда) Q. На боковой поверхности тела Q происходит теплообмен с внешней средой по закону Ньютона. В среде Q имеются внутренние источники (или стоки) тепла с плотностью их распределения f(x), кроме того, в среде имеются стоки тепла, плотность которых зависит от температуры. Предположим, что в теле Q и/или на его границе Г, с Г следует задать заданный тепловой режим. Требуется, управляя температурой внешней среды [І(Х) и/или плотностью распределения внутренних источников тепла f(x) распределение температуры в теле Сі и/или на куске его границе Г. сГ сделать как можно ближе к заданным (желаемым) распределениям u0(x)t xeQ и і/(х), х є Г». Таким образом, управляющее воздействие является распределенным как по объему тела, так и по его границе Г. Критерий близости распределения температуры в теле Q и на его границе Г«сГ введен в виде функционала J(g), который характеризует среднеквадратичное уклонение температуры от заданной. Требуется определить закон изменения управления g = (/, ц) є U так, чтобы функционал J принимал наименьшее значение.
Физическая интерпретация нелинейной оптимальной задачи II, например, в теплофизических терминах, может быть, сформулирована следующем образом. Имеется некоторое неоднородное анизотропное тело (среда) Q. На боковой поверхности тела происходит нелинейный теплообмен с внешней средой: плотность теплового потока пропорциональна функции от температуры. В среде Q имеются внутренние источники (или стоки) тепла с плотностью их распределения /( ), кроме того, в среде имеются стоки тепла, плотность которых пропорциональна функции от температуры. Требуется, управляя коэффициентом теплопроводности, характеризующим теплофизические свойства материала среды и/или коэффициентом d(x), характеризующим скорость поглощения тепла в Q и/или коэффициентом теплообмена с внешней средой, характеризующим интенсивность теплообмена, распределение температуры в теле Q и/или на куске границы Г. с Г сделать как можно ближе к заданным (желаемым) распределениям и0(х), xeQ и/или (p( ) хєГ . Это так называемая задача конструирования неоднородного, анизотропного тела (неоднородной, анизотропной среды, занимающей область П) с заданными теплофизическими характеристиками (например, с заданным коэффициентом теплопроводности).
В настоящее время большое внимание уделяется обратным задачам математической физики в силу их возрастающего значения для решения прикладных задач. Значительное количество обратных задач возникает при исследовании процессов, описываемых уравнениями эллиптического и параболического типов: теплопроводности, диффузии, фильтрации и т.д. теории приближенных методов решения прямых задач, в частности разностных методов.
Конечномерные разностные аналоги моделей оптимизации. Корректность аппроксимаций
Проблема численного решения задач оптимального управления приводит к необходимости их аппроксимаций задачами более простой природы. Правильно построенная аппроксимация позволяет получить содержательные результаты качественного и численного характера о изучаемом процессе.
Основы теории и методов устойчивости и аппроксимации экстремальных задач заложены в работах Б.М. Будака, Ф.П. Васильева, В.В. Васина, Р.Ф. Габбасова, А. Дончева, А.И. Егорова, Ю.М. Ермольева, Ю.Г. Евтушенко, В.Г. Карманова, Ф.М. Кирилловой, В.Б. Колмановского, А.И. А.И. Короткого, П.С. Краснощеного, А.В. Кряжимского, М.А. Куржанского, Е.С. Левитина, Ж.-Л. Лионса, П.Ж. Лорана, В.И. Максимова, Н.Н. Моисеева, Ю.С. Осипова, В.И. Плотникова, А.Н. Тихонова, В.М. Тихомирова, Р.П. Федоренко, В.В. Федорова, Ф.Л. Черноусько и многих других. Первые результаты по общим условиям сходимости, в том числе для конечно-разностных аппроксимаций экстремальных задач были получены в работах Б.М. Будака, Б.М. Беркович, Е.Н. Соловьевой [13-14] и Ю.М. Ермольева, В.П. Гуленко, Т.И. Царенко [43-46]. В них были получены общие условия сходимости по функционалу, а для сходимости по аргументу использовался метод регуляризации А.Н. Тихонова [169]. В дальнейшем эта методика развилась во многих работах [3,16, 22,24,25,31,37,51,57,58,62,63,130,191].
Вопросам устойчивости, аппроксимаций в задачах оптимального управления системами с распределенными параметрами посвящено большое число работ, среди которых, прежде всего, следует отметить работы К.Р. Айда-Заде, Ф.П. Васильева, А. Дончева, Ю.Г. Евтушенко, А.И. Егорова, Ю.М. Ермольева, А.З. Ишмухаметова, В.Б. Колмановского, А.И. Короткого, А.В. Кряжимского, О.А. Кузенкова, А.А. Кулешова, М.А. Куржанского, Ж.-Л. Лионса, В.Г. Литвинова, Ф.В. Лубышева, Н.Д. Морозкина, П. Нейтаанмяки, М.М. Потапова, В.И. Плотникова, А.В. Разгулина, М.Р. Рахимова, М.И. Сумина, В.И. Сумина, Р.К. Тагиева, Я. Хаслингера, Ф.Л. Черноусько, Т.Ю. Шамиевой, А.Д. Юрия и многих других. Исследования этих вопросов для задач оптимального управления эллиптическими системами проводилось, например, в работах [70, 74, 91-102, 108, 110-119], для параболических систем в работах [27, 39, 47, 49, 64, 65, 67, 73, 78, 91, 103-107, 109, 112, 114, 120], а для гиперболических систем в [1, 28-30, 50, 52-54, 56, 59-61, 69, 75, 142, 144, 167, 168], для систем Гурса-Дарбу в [1, 35, 139, 140], для уравнения Шредингера в [145, 151, 152, 182]. Конечномерные аппроксимации с помощью разложений в ряды рассматривались в работах [4, 64, 55, 73, 131, 132, 154]. Обзор работ, посвященных различным аспектам современной теории оптимального управления и ее приложений, постановкам различных прикладных задач оптимального управления, основам общей теории и методов устойчивости и аппроксимации экстремальных задач, вопросам аппроксимации задач оптимального управления и результатов в данной области представлен в работах Ф.П. Васильева [24], А.З. Ишмухаметова [62,63], Ф.В. Лубышева [112], М.М. Потапова [142].
Центральными здесь являются вопросы «конструирования аппроксимаций», сходимости аппроксимаций по состоянию, функционалу, управлению, регуляризации аппроксимаций. Анализ литературы по данной проблеме показывает, что для систем с распределенными параметрами, даже в линейном случае, вопросы аппроксимации исследованы еще недостаточно. Построение и исследование аппроксимаций проводились в основном для систем управления с постоянными коэффициентами и систем линейного типа, когда функция состояния систем достаточно просто, линейно, зависит от управления (функции управления появлялись либо в неоднородном члене линейных УМФ, либо в начальных или линейных граничных условиях для линейных УМФ). Поэтому особенно актуальными являются вопросы построения и исследования конечномерных аппроксимаций систем управления нелинейного типа (в том числе с управлениями в переменных коэффициентах уравнений состояний, учитывающих также и анизотропность среды). При этом, так как функции состояний систем управления могут не обладать наперед заданной гладкостью (что, вообще говоря, характерно для задач оптимального управления), то это важно учитывать при построении и исследовании аппроксимаций, т.е. представляется естественным и актуальным строить и исследовать аппроксимации по состоянию и функционалу на решениях (состояниях) той естественной, незавышенной степени гладкости, которая гарантируется теоремами о разрешимости как задач для состояния, так и задач управления. Кроме того, актуальным является вопрос о построении таких аппроксимаций, результаты о сходимости которых не зависели бы от способа решения аппроксимирующих конечномерных сеточных задач оптимального управления.
Целью работы являются: построение и исследование математических вопросов корректности моделей, а также построение и исследование конечномерных разностных аппроксимаций моделей оптимального управления системами нелинейного типа с распределенными параметрами (в которых отображение g - u(g) из множества допустимых управлений U в пространство состояний W является нелинейным, в частности в системах с управлениями в переменных коэффициентах, в том числе учитывающих и анизотропность среды), описываемыми линейными и квазилинейными уравнениями эллиптического и параболического типов с обобщенными решениями; разработка эффективных алгоритмов численной реализации построенных конечномерных аппроксимаций, использование разработанных аппроксимаций и численных алгоритмов их реализации для решения конкретных прикладных задач оптимизации для систем нелинейного типа.
Общая методика исследований базируется на математической теории оптимального управления системами с распределенными параметрами, теории численных методов, теории дифференциальных уравнений в частных произ водных и функциональном анализе.
Оценки погрешности сеточного функционала, скорости сходимости аппроксимаций по функционалу, сходимость по управлению. Регуляризация аппроксимаций
Предложены математические модели оптимального управления системами нелинейного типа с распределенными параметрами, описываемыми линейными и квазилинейными уравнениями эллиптического и параболического типов с обобщенными решениями, с переменными коэффициентами, учитывающими анизотропность сред, с линейными и нелинейными граничными условиями, с управлениями в свободных членах уравнений и граничных условий, а также в коэффициентах уравнений и коэффициентах нелинейных граничных условий (в том числе когда управления содержатся и в старших коэффициентах уравнений, учитывающих свойство анизотропности среды); исследованы математические вопросы корректности построенных моделей оптимизации; построенные модели могут рассматриваться также и как вариационные постановки ряда обратных задач для УМФ.
Разработаны конечномерные разностные и дифференциально-разностные аппроксимации построенных моделей оптимизации с обобщенными решениями для уравнений состояний; установлены оценки точности аппроксимаций по состоянию и функционалу и сходимость аппроксимаций по управлению; оценки точности и сходимость по управлению получены без дополнительных априорных предположений о гладкости обобщенных решений для состояний процессов управления (при той естественной, незавышенной степени гладкости состояния, которая гарантируется теоремами о обобщенной разрешимости как задач для состояния, так и задач управления).
Проведена регуляризация преложенных аппроксимаций, позволяющая, на основе полученных результатов стоить минимизирующие последовательности для функционалов цели задач оптимального управления сильно сходящиеся в пространствах управлений исходных постановок к множествам точек минимумов функционалов; все полученные результаты о сходимости конечномерных аппроксимаций не зависят от способа решения конечномерных сеточных задач оптимального управления. 4. Разработаны эффективные алгоритмы численного решения построенных конечномерных аппроксимаций, основанные на сочетании метода штрафных функционалов и методов проекции градиента, проекции сопряженных градиентов, условного градиента в конечномерных аналогах пространств L2 и W\... 5. Проведены численные расчеты ряда конкретных задач на основе предложенных моделей оптимизации систем нелинейного типа, разработанных методов аппроксимации и алгоритмов их реализации.
Практическая ценность. Предложенные в работе математические модели оптимального управления системами нелинейного типа и разработанные методы конечномерных разностных аппроксимаций математических постановок задач учитывают ту особенность, что решения задач для состояний обладают, вообще говоря, малой гладкостью, что характерно для реальных физических процессов, как правило, протекающих в гетерогенных средах, когда разные области решения обладают разными физическими характеристиками (при недостаточно гладких входных данных, в том числе управлений — например, недостаточно гладких характеристиках сред, при наличии недостаточно гладких источников (стоков) и др.). Сужение же, например, множества допустимых управлений (как это иногда делается) может быть крайне нежелательным, т.к. это существенно изменяет постановку задачи, снижая практическую ценность математической постановки оптимизационной модели. Разработанный и обоснованный в работе метод конечномерных сеточных и дифференциально-разностных аппроксимаций систем управления нелинейного типа носит конструктивный характер, обладает универсальностью, гибкостью и модульностью -качествами, которые требуются от методов, реализуемых при проведении вычислительных экспериментов, соответствующих структуре и возможностям современных ЭВМ. Полученные результаты о сходимости аппроксимаций не зависят от выбора метода решения конечномерных аппроксимирующих задач, что обеспечивает автономность выбора численных методов реализации аппроксимаций на практике. Построенные модели оптимального управления системами нелинейного типа и разработанные методы конечномерных аппроксимаций задач оптимального управления могут найти широкое применение при оптимизации и численном исследовании таких систем управления, где доминирующими являются процессы переноса тепла, диффузии, фильтрации, электричества и др., в которых необходимо учитывать неоднородность, анизотропность и активность сред, способных взаимодействовать с переносимыми субстанциями - веществом или энергией, как по линейному, так и по нелинейному закону.
Рассмотренные нелинейности задач для состояний в математических моделях оптимального управления могут быть обусловлены интересными для практики случаями: наличием стоков субстанции (например, диффузия вещества в активных средах с поглощением вещества по нелинейному закону, в которых диффундирующее вещество вступает в химические реакции со средой, сопровождающиеся нелинейным стоком субстанции), процессами климатизации через границу или диффузии сквозь ограничивающую область мембрану, биохимическими процессами, при анализе линий передач с утечкой в электротехнике и др. Учет анизотропии среды в математических моделях оптимизации систем оказывает существенное влияние на распределение субстанции в среде (тепловой энергии, концентрации, электричества и др.). Пренебрежение анизотропией среды в ряде случаев просто недопустимо (например, для сред с волокнистым строением).
Большую прикладную важность имеют модели оптимального управления для систем нелинейного типа, в которых нелинейности обусловлены вхождением управлений в коэффициенты (в том числе в коэффициенты при старших производных в уравнениях состояний).
Конечномерные дифференциально-разностные аналоги моделей оптимизации. Оценка погрешности по состоянию
Одним из основных подходов решения обратных задач для УМФ является использование вариационной формулировки этих задач, т.е. переход к задачам оптимального управления для соответствующих УМФ с последующей конечномерной аппроксимацией этих задач оптимального управления. Поставленную задачу I оптимального управления можно интерпретировать также как вариационную постановку некоторых обратных задач для квазилинейных УМФ эллиптического типа. Задачу II оптимального управления можно интерпретировать как вариационные постановки ряда коэффициентных обратных задач для квазилинейных УМФ эллиптического типа. Постановки задач такого типа характерны, например, для теплофизических, диффузионных, фильтрационных исследований анизотропных материалов, где помимо прямых задач большой интерес представляет изучение обратных задач идентификации, связанных с определением неизвестных коэффициентов уравнения по дополнительной информации о решении краевых задач.
В главе 3 рассматриваются и исследуются математические модели нелинейных оптимальных систем, описываемых квазилинейными уравнениями параболического типа с обобщенными решениями с управлениями в коэффициентах уравнения состояния (в том числе с управлениями в коэффициентах при старших производных). Управляемые нестационарные процессы описываются начально-краевой задачей для квазилинейного параболического уравнения с переменными коэффициентами. Рассмотрены постановки экстремальных задач ША, ШВ, ШС с различными критериями качества. Построены дифференциально-разностные аппроксимации IIIAh, ШВь ШСь для поставленных задач оптимального управления, изучены вопросы сходимости аппроксимаций по состоянию, функционалу и управлению, установлены оценки точности аппроксимаций по состоянию и функционалу и проведена регуляризация аппроксимаций.
Оптимизационные задачи IIIA, ИЮ, ШС моделируют нелинейные управляемые процессы, например, нестационарной теплопроводности, диффузии, фильтрации, учитывающие неоднородность среды, а также активность неоднородной среды с нелинейным взаимодействием. Нелинейность систем управления в задачах ША, ШВ, ШС обусловлена вхождением управлений в коэффициенты уравнения состояния, причем эта нелинейность еще более усугубляется нелинейностью задачи для состояния..
Экстремальные задачи ША, ШВ, ШС можно трактовать и как вариационные постановки коэффициентных обратных задач для квазилинейных УМФ параболического типа.
Во всех поставленных экстремальных задачах I, II, III под решением задач для состояния при фиксированных управлениях g є U понимаются обобщенные решения из Соболевских классов, а именно из W\ — для состояний задач I, II и W 0 — лля состояния задачи III, удовлетворяющие соответствующим интегральным тождествам.
В главе 4 предложены алгоритмы численного решения сеточных задач оптимального управления, аппроксимирующие исходные задачи оптимального управления. Построение численных алгоритмов подробно приведено для аппроксимирующих задач главы 3. Построенные алгоритмы численной минимизации сеточных функционалов основано на сочетании метода штрафных функционалов, учитывающих часть ограничений типа неравенств и методов проекции градиентов, проекции сопряженных градиентов, условного градиента. Вычисление градиентов сеточных функционалов эффективным образом базируется на решении соответствующих вспомогательных линейных сопряженных задач. Исследован также вопрос об определении градиента сеточного функционала, отвечающего выбору некоторых других скалярных произведений.
В приложении рассмотрены примеры и результаты расчетов конкретных задач исследования и оптимизации процессов теплопроводности и диффузии вещества в нелинейных системах управления, иллюстрирующие применение разработанных в работе математических методов оптимизации в системах нелинейного типа. Результаты вычислительных экспериментов подтверждают, что разработанные алгоритмы обладают универсальностью, гибкостью и модульностью - качествами, которые требуются от методов, реализуемых при проведении вычислительных экспериментов, соответствующих структуре и возможностям современных ЭВМ, позволяют эффективно, за приемлемое время численно решать широкие классы задач оптимального управления для систем управления нелинейного типа, просты в реализации.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Международной конференции «Оптимизация численных методов», посвященной 90-летию со дня рождения С.Л.Соболева (г.Уфа, 1998 г.), на Международной конференции «Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы» (г.Уфа, 2000 г.), на Международных конференциях «Дифференциальные уравнения и их приложения» (г. Саранск, 1998, 2000, 2002 гг.), на региональных школах-конференциях для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике (г.Уфа, 2000, 2001, 2003 гг.), на Международной научной школе «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» (г.Саранск, 2003г.), обсуждались на семинарах, которые проходили в рамках программы «Интеграция» (руководители Ф.В. Лубышев, М.Д. Рамазанов), на семинарах в Институте математики с ВЦ УНЦ РАН (руководители М.Д. Рамазанов, P.M. Асадуллин), в Башгосуниверситете (руководители Ф.В. Лубышев, Я.Т. Султанаев).
Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 11 печатных работ, в том числе 8 статей и 3 тезисов докладов на научных конференциях. Основные результаты содержатся в работах [110, 111, 113-115, 117, 120, 172-175]. Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю профессору Федору Владимировичу Лубышеву за постановку темы диссертации, постоянное внимание и полезные обсуждения результатов работы, консультации.
