Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Аппроксимации сингулярного интегрального оператора с непрерывными коэффициентами на вещественной оси 18
1.1. Предварительные сведения 18
1.2. Основные результаты 21
1.3. Приложения теоремы 34
ГЛАВА 2. Аппроксимации сингулярного интегрального оператора с кусочно-неперывными коэффициентами на вещественной оси 36
2.1. Предварительные сведения 36
2.2. Промежуточные результаты 43
2.3. Случай двух неинтегрируемых особенностей 48
2.4. Случай сингулярной особенности при х = 0 59
2.5. Аппроксимации на «большом» отрезке 64
ГЛАВА 3. Аппроксимации бисингулярного оператора 79
3.1. Случай аппроксимаций бисингулярного оператора с непрерывными коэффициентами на контуре 79
3.2. Аппроксимации бисингулярного оператора с кусочно непрерывными коэффициентами на плоскости 102
Литература 128
- Приложения теоремы
- Промежуточные результаты
- Случай сингулярной особенности при х = 0
- Аппроксимации бисингулярного оператора с кусочно непрерывными коэффициентами на плоскости
Введение к работе
Актуальность темы. Диссертация посвящена изучению вопроса о применимости к операторам типа сингулярных приближенных методов по некоторым классам сильно аппроксимирующих их операторов. В частности, рассматриваются семейства, возникающие при замене оператора сингулярного интегрирования семействами интегральных операторов с ограниченными ядрами.
Теория одномерных и многомерных сингулярных интегральных уравнений изложена в известных монографиях Б.В. Хведелидзе, Н.И. Мусхелишвили, Ф.Д. Гахова,. С.Г. Михлина, В. В. Иванова, И.Ц. Гохбергаи И.А. Фельдмана.
Практически одновременно с появлением первых работ по сингулярным интегральным уравнениям возник вопрос о методах их приближенного решения. Он приобрел еще большую актуальность, когда выяснилось, что значительная часть интегральных уравнений, встречающихся в приложениях, не может быть решена в замкнутой форме. Основная идея заключалась в предварительной "аппроксимации" уравнения и последующем точном решении "аппроксимирующего" уравнения. Последнее конструировалось таким образом," что его решение сводилось к рассмотрению конечной системы уравнений. Среди многообразия изучавшихся приближенных процессов особенно удобными оказались те из них, которые приводили к решению конечных систем линейных алгебраических уравнений. При этом вначале, большое внимание уделялось изучению полиномиальных аппроксимационных методов, а при доказательстве их устойчивости широко использовались различные факторизации рассматриваемых операторов. Таким способом была доказана устойчивость ряда полиномиальных приближенных методов для сингулярных интегральных уравнений с достаточно гладкими коэффициентами.
Основные достижения данного периода отражены в монографиях и обзорных статьях В.В. Иванова, И.Ц. Гохберга и И А Фельдмана, 3. Пресдорфа и Б. "УпьЯ^руяння. R-A, Зппо-
srs4asg
таревского. В то же время, становится ясно, что методы доказательства устойчивости, основанные на аналитической факторизации, не позволяют достигнуть существенного прогресса для уравнений с разрывными коэффициентами.
Одним из наиболее эффективных методов построения теории сходимости приближенных методов является локальный принцип. Этот принцип был разработан И.Б. Симоненко для решения вопроса о фредгольмовости операторов типа сингулярных. Для этого метода рядом авторов были построены обобщения и модификации, позволившие с одной стороны, усилить получаемые с его помощью результаты, а с другой - расширить область его применения. В частности, А.В. Козаком была предложена схема анализа сходимости проекционных методов с помощью локального принципа. Эта схема сводила решение задачи к вопросу об обратимости элемента некоторой банаховой алгебры. Дальнейшие модификации такого подхода имеются в работах Б. Зильберманна, B.C. Пилили.
При решении поставленной задачи в диссертации исследуются различные варианты аппроксимаций операторов типа сингулярных. Для всех рассматриваемых случаев получены необходимые и достаточные условия применимости приближенного метода. Сходимость приближенных методов равносильна условию равномерной обратимости аппроксимирующих семейств, и именно в её терминах сформулированы основные теоремы. При исследовании вопрос о равномерной обратимости сводится к анализу обратимости элемента некоторой банаховой алгебры. Для решения последней задачи применяется модифицированный подходящим образом локальный принцип.
Все полученные в диссертации, результаты носят теоретический характер.
Цель работы. Получение критериев применимости к операторам сингулярного типа приближенных методов по некоторым семействам операторов.
Методика исследования. Исследование проводится методами функционального анализа. Используется теория банаховых алгебр, теория мультипликаторов, локальный принцип Гохберга- Крупника.
Научная новизна. В диссертации получены следующие результаты:
для аппроксимирующих операторов, являющихся операторами свертки, порождаемых мультипликаторами достаточно общего вида, действующих на вещественной оси в случае непрерывных коэффициентов получен критерий равномерной обратимости;
для некоторых классов сильных аппроксимаций одномерных сингулярных интегральных операторов на оси с кусочно-непрерывными коэффициентами получены критерии равномерной обратимости;
для регулярных аппроксимаций достаточно общего вида бисингулярного интегрального оператора на замкнутом контуре разработана конструкция анализа и получен критерий равномерной обратимости;
для регулярных аппроксимаций бисингулярных интегральных операторов на плоскости с кусочно-непрерывными коэффициентами разработана алгебраическая конструкция, построена схема локального анализа и получен критерий равномерной обратимости.
Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер и может быть отнесена к фундаментальным исследованиям.
Достоверность исследования. Поставленные в диссертации задачи имеют ясный математический смысл, все полученные результаты строго обоснованы.
Апробация работы. Основные результаты работы неоднократно докладывались на семинарах кафедры алгебры и дискретной математики (руководитель - профессор Симоненко И.Б.), а
также на следующих научных конференциях:
- научная конференция, аспирантов РГУ. Ростов-на-
Дону, 1999 г;
международная школа-семинар по геометрии и анализу, посвященная 90-летию Н.В.Ефимова. Абрау-Дюрсо, Лиманчик, 2000 г;
международная конференция "Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений". Минск, БГУ, 2001г.
- международная научно-практическая конференция
"Строительство-2001". Ростов-на-Дону, РГСУ, 2001 г.
Публикации. По материалам диссертации опубликовано 11 печатных работ [31-41]. Работы [31-33, 35] выполнены совместно с научным руководителем. В этих работах B.C. Пилиди принадлежит постановка задачи и определение общих методов исследования, проведение подробных доказательств принадлежит автору диссертации.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы. Теоремы (предложения, леммы, формулы) нумеруются тремя цифрами, первая из которых указывает на номер главы, вторая на номер параграфа, третья показывает номер теоремы,(предложения, леммы, формулы). Объем работы 132 страницы. Библиография насчитывает 41 название.
Приложения теоремы
В заключение этой главы рассмотрим несколько примеров приложения доказанной теоремы к конкретным аппроксимациям оператора сингулярного интегрирования. Мы не будем переформулировать эту теорему для вводимых аппроксимаций, указывая лишь значения констант у±. Для всех вводимых ниже в примерах 1)-4) функций mz(y) є 0 выполняются условия 1)-5) 1.2, п.1, обобщенные очевидным образом на случай континуальной параметризации при є—»+0. 1) Ранее, в работе [18] рассматривалась последовательность функций те(у) є 0: где si(,y) определяется равенством: 2) В работе [31] была рассмотрена последовательность функций Соответствующие операторы имеют следующий вид: 3) Введем в рассмотрение последовательность функций mt (х) e"eW cos єу sign у, jeR, є 0. Соответствующие операторы имеют вид: Данная глава посвящена рассмотрению аппроксимаций сингулярного интегрального оператора на вещественной оси Е. В этом случае оператор сингулярного интегрирования формально является сверткой с функцией , которая имеет две неинтегрируемые особенности: при 7ЇЇ X х = 0 и х = оо. Мы рассматриваем случаи сглаживания конечной особенности и вырезания бесконечной особенности. Кроме того, рассматривается вопрос о возможности замены полного сингулярного интегрального оператора на вещественной оси аппроксимирующим оператором на достаточно большом, симметричном относительно нуля, отрезке. Найден критерий того, что все операторы на достаточно больших отрезках обратимы, и нормы обратных к ним операторов равномерно ограничены. Аналогичная задача для других классов аппроксимаций рассмотрена ранее в работах [16,19]. 1 . Для измеримого множестваЕ(аШ) через РЕ будем обозначать действующий в пространстве Lp(R) оператор умножения на характеристическую функцию множества Е. Пространство Lp(E) отождествляется с подпространством пространства L (Ж), состоящим из функций, равных нулю на ШЕ. Поэтому можно считать, что РЕ действует из Ьр(Щ в Ьр(Е). Пусть R+(!_)- положительная (отрицательная) вещественная полуось. Операторы РЕ в случаях =R+, R_, [ т,т] (т- 0) мы обозначаем через P+tP_,Pz соответственно. Обозначим через Вр(Е) банахову алгебру всех линейных непрерывных операторов, действующих в Lp(E). Пусть Я (Е)а В (Е)-множество всех компактных операторов в L (Е).
В случае, если число р(1 р ) выбрано и зафиксировано множества 5Sp(R) и Л (М) будут обозначаться далее через 25 и Я соответственно. Пусть {Еп}=] -монотонно возрастающая последовательность изме римых подмножеств множества R, Е = \ ЕЯ, Апє1Вр{Е„) п = 1,2,..., А є 23р(). Запись s - lim Ап = А означает, что операто рыАаРЕ (є 8 ()) сильно сходятся к оператору А при п—»оо. Если, кроме того, такое же соотношение связывает сопряженные операторы, будем писать s - lim Ап = А. В дальнейшем будут рассматриваться семейства операторов, зависящих от одного или двух из следующих параметров: є, т, N( 0). При этом обозначения s -lim, s -lim, s - lim заменяются на s -lim, s -lim, s -lim соответственно. Аналогично заменяются обозначения t JV двойных пределов. Пусть {Ле t: є 0, х 0} - семейство линейных непрерывных операторов, и для всех є,т Аех е 8р([-т,х]). Приведем следующие стандартные определения применительно к рассматриваемым двухпараметриче-ским аппроксимациям. Определение. Семейство операторов {ЛЕ т : є 0, т 0} назовем асимптотически равномерно обратимым, если существуют такие є0,т0( 0), что семейство {Лєт :0 є є0,т т0} равномерно обратимо. Определение. Будем говорить, что к оператору А(є 53) применим приближенный метод по семейству операторов {АЕХ} при - 0,т— оо, если существуют такие є0( 0),т0( 0), что операторы Д,т обратимы при 0 є є0,т т0, и для любой функции g(eL (№)) решения /Et(eLp([-x,T])) уравнений / = PTg, (0 є є0,т т0) сходятся по норме к решению /(є Lp ([-т, т])) уравнения A/ = g. В этих обозначениях справедливы следующие утверждения, аналогичные предложению 1.1Л. и лемме 1.1.1. Предложение 2.1.1. Предположим, что s-Hm Asx = А и оператор А обратим. К оператору А применим приближенный метод по семейству операторов {ЛТ} при Е—»0,т—»оо тогда и только тогда, когда семейство {Аех: є 0,т 0} асимптотически равномерно обратимо. Лемма 2.1.1. Пусть s — У\тАе1. = /4(єОЗ). Если для некоторых е0,х0 ( 0) семейство {АЕХ :0 є є0,т т0} равномерно обратимо, то оператор А обратим, JM"1 i sup{ -i[:0 e e0,T T0} ы -11111 = -1. Это утверждение вытекает из леммы 1.1 гл. 3 книги [4]. Отметим, что в упомянутой лемме из [4] рассматриваются последовательности
Промежуточные результаты
Введем в рассмотрение следующие вспомогательные операторы. Будем обозначать, через Ux (k 0), действующие в пространстве Lp(W) операторы: Число р считается фиксированным. Поэтому зависимость Ux от р мы не отмечаем. Заметим, что оператор Ux является изометрическим и обратимым, U =/ід. Сужение оператора Ux на Lp([a,b]) изометрически отображает это пространство на Lp{[ajX\bjX\). Это сужение мы также будем обозначать Ux, указывая в случае необходимости область определения этого оператора. Сужение оператора Ux на инвариантное подпространство Zp(R±) обозначается через U . Справедливы следующие легко проверяемые равенства: 2. Приведем необходимые нам сведения об операторах Винера-Хопфа с кусочно-непрерывными предсимволами [6]. Обозначим через М множество всех комплекснозначных функций, каждая из которых определена и непрерывна на R всюду, кроме конечного числа точек, имеет в этих точках конечные односторонние пределы, имеет конечные пределы при х- ± х и является L -мультипликатором при любом р (1,00). Пусть Ш. = Ми{-оо,оо}— двухточечная компактификация вещественной оси Ш. Определим на Е функции рр (у) условием: Пусть !,22 є С. Определим дугу l(zx z2, /?) параметрическим уравнением: , y =U, Множество l(z{iz2tp) является дугой окружности или отрезком с концами Zj,z2. Пусть а є М. Дополним множество значений функции а(у) (у є R) дугами вида во всех точках разрыва функции а. Мы получаем замкнутую кривую в комплексной плоскости С, которую будем обозначать через уа . Выберем на кривой у направление обхода по следующему правилу: на промежутках непрерывности функции а направление соответствует возрастанию аргумента функции д, на дугах вида (2.2.1) направление соответствует возрастанию аргумента функции фр для конечных точек и убыванию этого аргумента при Е=ао. Предположим дополнительно, что Ogyd/). Обозначим через indyo;, индекс кривой у . Справедливо следующее утверждение, вытекающее из теорем 1.1 и 4.1 работы [6]. Предложение 2.2.1. Оператор Wa(aeM) является Ф-оператором тогда и только тогда, когда 0уар. Оператор Wa обратим тогда и только тогда, когда О у и indу = 0. Пусть А+,Л_ -действующие в пространстве L (Ж) инвариантные относительно сдвига операторы. Рассмотрим действующий в том же пространстве парный оператор А = Р+А+ + Р Л,. Справедлив следующий результат. Лемма 2.2.1. Оператор А является Ф-оператором тогда и только тогда, когда обратимы операторы А+,А_ и оператор AQ=P+A+AZP+ , -Е действующий в L (Ш+) является Ф— оператором. Оператор А обратим тогда и только тогда, когда обратимы операторы А+,А ,А0. Это утверждение при р = 2 следует из результатов работ [4, гл.5 1, 30].
Случай произвольного р рассмотрен в работе [16, лемма 5]. Отметим, что следуя работе [24], мы используем несколько другую терминологию, например, определение функции рр (у), в связи с этим немного изменяется формулировка результатов из [6]. Вернемся теперь к анализу обратимости некоторых операторов. Следующий ряд утверждений получается путем модификации полученных ранее в работе [16, леммы 6-11] утверждений, поэтому доказательства приводиться не будут. Лемма 2.2.2. Пусть а,рєС. Для обратимости действующего в L„(Щ (1 р со) оператора a,I + $St (aZ + pS1) необходимо и достаточно, чтобы а + Хр О для всех Xє[—1,1] (Хє[-Х0,Х0]). Пусть Zj,z2 є С. Обозначим через D(z},z2tp) замкнутое множество в комплексной плоскости С, ограниченное дугой l(zt,z2,p) и отрезком, соединяющим ее концы z, и z2. Пусть a+,a_,p+,p_ є С. Предположим, что а_+Яр_ о при -1 X і 1. Введем дуги: Обозначим через D(C) замкнутое множество в комплексной плос кости С, ограниченное дугами /0 и lx. Предполагая дополнительно, что сс_ + А-Р_ 0 при - Х0 X Х0, определим дугу Действующий в Ьр(Ш+) (1 р оо), оператор Р+ (a/ + pS, )Я+ обратим тогда и только тогда, когда OgD(a-p,a + p,p). Лемма 2.2.4. Пусть а,рєС. Действующий в L {Ш_) (1 р са) оператор P_(al + fiSl)P_ 1 обратим тогда и только тогда, когда Ог (а + р,а-р,/?). Лемма 2.2.5. Парный оператор P+(a+l + $+Sl) + P_(a_\ + $_Sl), действующий в L, (Ж), обратим тогда и только тогда, когда a± + А-Р± 0 npu)is[--l,\] и OeZ). Лемма 2.2.6. Парный оператор Р+(а+1 + 3+S,) + P_(a_I + _SX\действующий в L (Ж), является Ф—оператором, тогда и только тогда, когда а± + Хр± 0 при -1 Х \ и 0 г /0 u /,. Лемма 2.2.7. Парный оператор Р+(а+1 + $+S]) + P_(a-J + $Sl), действующий в Lp(R), обратим тогда и только тогда, когда а±+ Р± 0 пРи є[ о о1 и O D. Используя леммы 2.2.2-2.2.7, можно переформулировать указанные в теоремах условия применимости приближенных методов в эффективных терминах. Например, из равенства и леммы 2.2.5 получаем простые условия обратимости этого оператора. В этом параграфе мы доказываем теорему 2.1.1. Доказательство проводится по схеме близкой к используемой в работе [19] для других аппроксимаций, поэтому мы останавливаемся лишь на моментах, отличных от [19], приводя необходимые ссылки. 1 . Докажем сначала необходимость условий теоремы 2.1.1. Предположим, что семейство операторов асимптотически равномерно обратимо. Тогда для любого (є IR) асимптотически равномерно обратимо семейство равенства и леммы 2.1.1 получаем, что оператор aJ + bJSx обратим. Аналогично из асимптотической равномерной обратимости семейства равенства и леммы 2.1.1 получаем, что последний оператор обратим.
Случай сингулярной особенности при х = 0
В этом пункте приводится доказательство теоремы 2.1.2. Оно достаточно близко к доказательству теоремы 2.1.1, поэтому остановимся только на существенно отличных моментах. Всюду ниже A=aI+bS+ Т— рассматриваемый обратимый полный сингулярный интегральный оператор, АЕ = al + bSt + Т (є 0) семейство его аппроксимирующее. Алгебра 21 состоит теперь из ограниченных по норме однопараметрических семейств {В: є 0} линейных непрерывных операторов в L (К), для которых существуют пределы s —l\mBE. Е Это единственное изменение, касающееся определения алгебры 21, ее идеалов и локализующих классов. В этом параграфе, говоря об этих объектах, мы имеем в виду семейства зависящие только от є. Справедливо такое утверждение, вытекающее из доказательства леммы 2.3.1. Лемма 2.4.1. Пусть (рєС(М). Тогда существуют оператор ТєЯ и семейство {Де}(є30) такие, что выполняется равенство Из этой леммы следует, что элемент {Ае} + 3А коммутирует со всеми элементами локализующих классов М ( є Ш). Предположим, что семейство операторов {Ае: є 0} асимптотически равномерно обратимо. Тогда при некотором є0( 0) равномерно обратимо семейство {АЁ :0 є є0} и, как и в предыдущем случае, отсюда выводим обратимость операторов А и a I + b S} (eR). Обратно, перенося результаты 2.3 п.2 на случай однопараметрических семейств, получаем: если оператор a I+b Sl (єК) обратим, то М —обратим смежный класс {a I + b Ss : z 0} + Зк, М — эквивалентный классу {Аг} + Зк. Для завершения доказательства теоремы 2.1.2 нам нужно найти необходимые и достаточные условия Мт - обратимости класса {Ае} + 3А. Введем семейство операторов J =aa0I+baaSe (є 0), действующих в L (Ж). Классы {Д.} + 3Л и {А} + Зк Мда - эквивалентны. Поэтому достаточно рассмотреть вопрос о Мж - обратимости последнего смежного класса. Оператор В (є2S) является Ф - оператором тогда и только тогда, когда обратим смежный класс В+Я (єФ/Л) [3, с.150, теор. 7.1]. Введем следующую стандартную систему локализующих классов в 25/Л (см. [3, с.357]). Обозначим через М (2; є И) множество всех смежных классов вида ф/+Л (еЯЗ/Я), где фєЗЯ . Семейство {М} t является покрьтваю щей системой локализующих классов в В/Л. Для любой функции ф, непрерывной на R, коммутатор операторов А? и ф/ является, очевидно, компактным.
Поэтому для исследования вопроса об обратимости смеж ного класса /4"+Л можно применить локальный метод по системе локализующих классов {Ml} , . Лемма 2.4.2. Смежный класс {A } + 3k (є21/3А) Ма- обратим тогда и только тогда, когда Af является Ф — оператором. Доказательство. 1) Предположим, что смежный класс{А }+Зк Ма - обратим. Покажем сначала, что смежный класс А + Я (є 03/Л) М - обратим. По условию существует ф(є ЯЯ ), {#е}(є 21)» {Сє}(є 30), Т(є Л) такие, что ( 0), для которого jj СЕ 1 и выберем такую функцию /(єЗЛ ), что ц \\ =\\/. Оператор / + СЕ(е05) обратим. Умножая обе части последнего равенства слева на Ut(I + Се)-1, справа на vj/f/"1 и учитывая, что А - U lAUe, получим Поскольку /гєШЇ , Т0 є Л, полученное равенство означает, что класс А + Л М л - обратим слева. Аналогично доказываем его М -обратимость справа, т.е. класс А + Л М -обратим. Введем операторы В ( є К) действующие в L (Ш): любого (єЕ). Случай =оо тривиален. Пусть ад. Достаточно показать, что классы S +Я и Л М -эквивалентны. Для этого покажем, что inf 5,ф/ =0. Для любого р (1 р оо) и любой функции (pe9JL ІІ ф/Ц Sx . Поэтому, в силу интерполяционной теоремы Рисса Торина [7, т.2, гл. 12], можно ограничиться случаем р=2. Пусть suppcpc[2; — 8, + 8], 5 0. Тогда у-л-/ у-л + і Остается заметить, что при , 0 ( 0) смежные классы аю/ + Я и о(+оо)/+Л (д(-оо)/ + Л) М - эквивалентны. По условию класс А+Я М - обратим. Отсюда, очевидно, следует, что при достаточно больших 12; этот класс М — обратим. Поэтому при этих М - обратимы классы В + Я, т.е. д(+оо) 0, д(-оо) 0. Отсюда, учитывая равенство BQ = а(+оо)Р+ + д(-оо)Р_, получаем, что все операторы В (eR) обратимы и, следовательно, соответствующие классы В +Я М - обратимы. В результате применения локального метода, получаем, обратимость смежного класса А +Я в ЇБ/Л. Это означает, что оператор / является Ф-оператором.
Аппроксимации бисингулярного оператора с кусочно непрерывными коэффициентами на плоскости
Рассмотрим вопрос о применимости к полному бисингулярному интегральному оператору с кусочно-непрерывными коэффициентами, действующему на плоскости, проекционного метода по некоторой системе проекторов. Аналогичный вопрос для сингулярных интегральных операторов рассмотрен ранее в работе [19, теорема 5]. 1. Основные обозначения. Далее мы используем обозначения и определения введенные нами ранее в главе 2. Через 8(Е)(&(Е)) будем обозначать множество всех линейных непрерывных операторов (множество всех компактных операторов), действующих в пространстве {Е). Пусть {Еп}=1 -монотонно возрастающая последовательность изме Q0 римых подмножеств множества Ш, Е = \jEn, Ап є 8(я), А„РЕ єШ() сходятся в сильной операторной топологии, при и-»ад, к оператору А. Если, кроме того, такое же соотношение связывает сопряженные операторы, мы пишем s — lim А„ - А. Аналогичный смысл при дается значениям s— lim и s - lim в сходных ситуациях. В дальнейшем будут рассматриваться двухпараметрические семейства операторов, зависящие от параметров xt, т2( 0). При этом обозначение s - lim заменяется на s — lim . На этот случай переносятся при веденные в 1 этой главы определения и результаты, формулируемые для случая однопараметрических семейств. Ниже будет использован следующий известный результат теории С -алгебр ([1, с.77, предложение 4], [5, с.20]). Предложение 3.2.1. Пусть 21 — С —алгебра с единицей, 2 -ее подалгебра с той же единицей. Если элемент х є 2(Q обратим в 21, то Функции feI7C(M.) сопоставим семейство определенных на R функций / ( є Е) следующего вида: для є Н Определим также функции /?(х) ( є R) следующим образом: Обозначим Ж = RxK, (R) =RxR. Рассмотрим множество всех определенных на М функций, представимых в виде конечных сумм где /,g, e77C(R) для всех значений индекса /. Замыкание этого множества по норме пространства (Ш1) обозначим через ПС(Ш.2). Функции / вида (3,2.1) поставим в соответствие семейства функций / ,7 ,/ ,/6,11 (5,л єї) следующего вида: По аналогии строятся семейства функций / Л/" 11»/ ,/ п (,Л єї), Для фиксированного єІ отображение /— / " является непре-рывным в метрике L (R ) и может быть продолжено по непрерывности на все ЯС(Е ). Аналогично для всех остальных отображений. Рассмотрим действующий в пространстве 2(Е2) бисингулярный интегральный оператор: Для произвольных т,,т2 0 определим действующие в пространстве ([-1 ,- ]х[-т2,т2]) операторы А равенством: Для любых єІ и TJ,T2 0 определим семейства операторов действующих в пространствах / ([—1,13х[ т2,х2]) и / ([ Ttlxt-ІД]) соответственно: + 4 -(IS) + afi(SS))(PlPi2), Л л =(РТ1 Px)(a (II) + al4S0 + + af (/ S) + а#(5 5))( , Рх). (3.2.5) Введем в рассмотрение также следующие операторы, действующие в пространствах ([-1,1]хІК)» г(Кх[-1,1]), Z2([-l,l]x[-l,l]) соответственно: Основным результатом этого параграфа является следующая теорема. Теорема 3.2.1. Семейство асимптотически равномерно обратимо тогда и только тогда, когда обратимы операторы В силу предложения 2.1.1 теорема 3.2.1 может быть переформулирована в следующем виде. Теорема 3.2.2. К действующему в пространстве L2(M. ) обратимому бисингулярному интегральному оператору А с коэффициентами из ПС(Ш.2) применим приближенный метод по системе операторов (4М2 : т, 0,т2 0}(єВ([-т„тІ]х[-т2,т2])) при т,, х2 - со тогда и только тогда, когда обратимы операторы 4(e»([-U]xR)). Л (е В(Мх[-1,1])) и r(ea-U]x[-UD). Все дальнейшее изложение посвящено доказательству теоремы.
В п.2 доказывается необходимость условий, п.3-6 посвящены доказательству достаточности условий. Предположим, что семейство операторов асимптотически равномерно обратимо, то есть существуют такие т,т2( 0), что семейство операторов {A : т, xf,x2 Х2} равномерно обратимо. Тогда равномерно обратимы семейства операторов, действующие соответственно в пространствах 2([_Ul]x[_t2,x2]), ЗД- т.М-Щ и L2([-UM-\,\]) — унитарный оператор введенный ранее в 2.2, п. 1. Из равенства обратимость оператора Л,д (є 8([-1,11х R)). По аналогии, рассматривая равенства: 3. Рассмотрим схему доказательства достаточности условий теоремы 3.2.1. Следующее утверждение, доказательству которого посвящен четвертый пункт, позволяет свести вопрос об асимптотической равномерной обратимости двухпараметрического семейства к аналогичной задаче для однопараметрических семейств. Рассмотрим операторы, действующие в пространствах L2(Rx[-x2,x2]) и Z,2([2,T2]X1R) соответственно: В пятом пункте анализируются семейства первого типа, фигурирующие в этом предложении. Справедлив следующий результат. Предложение 3.2.3. Если обратимы операторы то семейство {А : т2 0} (єШ([-1Д]х[-т2,т2]) асимптотически равномерно обратимо. В шестом пункте анализируются семейства второго типа, фигурирующие в формулировке предложения 3.2.2. Для всех ,гєК. введем в рассмотрение семейство операторов, действующее в пространстве L2(Rx[-l,l]), следующего вида: этих обозначениях справедливо утверждение. Предложение 3,2.4. Если для всех єМ обратимы операторы Лд? (Є Ч Х[-1Д])) и обратим оператор (е В(М(2)), то семейство {Лк : т2 0} (e B(Rx[-x2,T2])) асимптотически равномерно обратимо. Из предложений 3.2.2-3.2.4, учитывая справедливость симметричных результатов для предложений 3.2.3, 3.2.4, получаем справедливость достаточных условий теоремы 3.2Л.
