Введение к работе
Настоящая работа посвящена построению линейных положительных операторов и операторов класса S? в смысле П.П.Коровкина и оценке приближения этими операторами и операторами Фейера-Коровкина различных классов функций. Особое внимание уделяется получению точных асимптотических оценок для приближения дифференцируемых функций.
Актуальность темы исследования.
П.П.Коровкин в 1960 году предложил1 общий метод построения линейных положительных операторов
cn(f;x) = - J f(x + t)un(t)dt, (1)
— т
1 п~2
un(t) = - + ^2 Ajt,„ cos kt > 0, t Є [-7Г; 7г],
основанный на представлении Фейера четных неотрицательных тригонометрических полиномов:
МО
і2 = -1,
где у>(х) — функция, непрерывная на отрезке [0; 1]. Если <р{х) — 1, то операторы (1) — это известные операторы Фейера, если <р(х) = 1 — 2\х — \\ — то полиномы Джексона.
П.П.Коровкиным были исследованы основные свойства операторов, которые могут быть построены с помощью данной конструкции. В частности, для f(x) = sin7ri им были построены операторы, наилучшим образом (среди всех линейных положительных операторов) приближающие дважды дифференцируемые функции. Эти операторы, получившие впоследствии название операторов Фейера-Коровкина, имеют вид
Kn(f;x) = — sin2- ff(x + t). CS''^ ,.2<Й. (2)
7Г71 її ; (cos і — cos - )*
'Коровкин П.П. Асимптотические свойства положительных методов суммирования рядов Фурье// Успехи мат. наук. 1960. 15, N1. С. 207-212.
Однако, если функция у?(х) достаточно произвольна, то операторы (1) непросто привести к виду, удобному для получения оценок приближения ими различных классов функций (см., например, статью Бутцера и Штарка2 с <р(х) = sin37ra; ).
Однако можно заметить, что ядра многих линейных операторов, которые используются в теории приближений, получаются сходным образом, а именно: берется четная степень функции sin ' или cos ^ и Делится или па соответствующую степень sin | (для операторов Фейера, Джексона и некоторых других) или на (cost — cos f-J2 — для операторов Фейера-Коровкина. В общем случае можно взять четную степень любого тригонометрического полинома Т2т(х) и разделить ее на четные же степени разностей (cost — costj>n), где tjiTl — нули нолинома Тп(х):
Пт(х)
П (cost -cos ti>n)2mi
Если ti,n —* 0 при п —* оо, то после соответствующего нормирования данное выражение может быть использовано в качестве ядра пекоторого аппроксимирующего оператора.
В работе изучаются операторы с ядрами вида:
1 cos2 пі
Xі- » (3)
am<n n(cos*-cosQ02
где Qjt = 7rpjtn-1, к = l,m, pk — нечетные числа, такие что 0 < pi < р2 < ...
Ага,„ = /
cos2f
2- dt.
П (cost — cos а*.)2
Выбор этого случая объясняется тем, что таким путем получаются операторы типа Фейера-Коровкина, которые, как отмечалось выше, обладают рядом замечательных свойств. Сходная конструкция также была
2Butzer P.L., Stark E.L. On a trigonometric convolution operator with kernel having two zeros of simple multiplicity // Acta Math. Acad. Sci. Hung. 20(1969). P. 451-461.
рассмотрена Р.К.Васильевым3 в целях построения операторов классов S2 и 54 Однако, представление полученных им операторов в виде, удобном для получения асимптотических оценок приближения функций различных классов значительно более сложно, чем аналогичное представление, для операторов (4), ввиду того, что формулы для коэффициентов AJi7n полученные с помощью методов теории вычетов, хотя и компактнее, но гораздо более сложны для преобразований и построения конкретных примеров операторов, чем полученные, например, в теореме 1.1.1 настоящей работы.
Цель работы заключается в изучении аппроксимациопных свойств построенных линейных положительных операторов и операторов класса 5г в смысле П.П.Коровкииа. Особое внимание уделяется получению точных асимптотических оценок для приближения дифференцируемых функций.
Научная новизна. В работе
построено новое семейство линейных положительных операторов, обеспечивающих наилучший возможный порядок равномерного приближения для дважды дифференцируемых фупкций,
исследованы аппроксимационные свойства построенных операторов,
получены точные асимптотические оценки для приближения указанными операторами, а также операторами Фейера-Коровкина, дифференцируемых фупкций,
построено новое семейство операторов класса 52) обеспечивающих наилучший возможный порядок равномерного приближения для четырежды дифференцируемых функций, изучены аппроксимационные свойства построенных операторов.
Практическая ценность работы. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты использовались автором при проведении занятий со студентами, специализирующимися в области теории приближений на кафедре математического анализа Тверского государственного университета.
Апробация результатов. Результаты настоящей работы докладывались на 7-й Саргітовской зимней школе по теории функций и приближений (Саратов, январь 1994 г.), научной конференции, посвященной 25-летию Тверского госуниверситета (Тверь, май 1996 г.), международной конференции по теории приближений, посвященной памяти профессора П.П.Коровкииа (Калуга, июнь 1996 г.), научном семинаре кафедры
3VassiIiev R.K. Certaines methodes de Summation de series de Fourier dormant lo meilleur ordre d'approximation // Acta Math. Hungar. 63 (1) (1994), P. 65-102.
математического анализа Тверского госуниверситета (рук. проф. Tali ков Л.В. и проф. Шеретов В.Г.).
Публикации. Материалы диссертации послужили основой для нани сания 5 статей, список которых приводится в конце автореферата.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, тре; глав, списка литературы, содержащего 26 наименований, и списка обо значений. Полный текст диссертации занимает 148 страниц.
