Введение к работе
Актуальность темы. Построение Л.Д. Кудрявцевым в 50 - 60-х годах XX века теории вложений весовых пространств С.Л. Соболева инициировало исследование весовых неравенств Харди с максимально ослабленными требованиями к весовым функциям. Эти неравенства изучались в работах Г. Таленти, Г. Томаселли, Б. Мукенхо-упта, Дж.С. Брэдли, В.М. Кокилашвили, В.Г. Мазьи, А.Л. Розина, А. Куфнера, Э.Т. Сойера, Г.П. Хейнига, Г. Синнамона, В.Д. Степанова и других авторов1'2, а их дискретные аналоги — Г. Бенне-том и М.Л. Гольдманом. Наилучшим исходом в этом случае является характеризация неравенств в пространствах с мерами. Развитый технический аппарат позволил получить критерии выполнения (в разных формах) весовых неравенств Харди и их обобщений на интегральные операторы с ядром Ойнарова. При этом установился стандарт: форма критерия представляет собой константу, зависящую от весовых функций, конечность которой равносильна выполнению неравенства. Были получены также критерии выполнения неравенств Харди в пространствах с мерами, но сам оператор Харди оставался оператором интегрирования по мере Лебега и, используя такие естественные для пространств Лебега приемы как приближение абсолютно непрерывными функциями, интегрирование по частям, которые не работают в случае априори произвольных мер, полностью задачу характеризации неравенств Харди с мерами решить не удалось. В случае с обобщениями на интегральные операторы с ядром ситуация только усложняется.
В первой главе диссертации решена задача характеризации неравенств типа Харди в пространствах Лебега с произвольными мерами.
хОріс В. and Kufner A. Hardy-type inequalities. Pitman Research Notes in Mathematics Series V. 219, Longman Scientific & Technical, Harlow, 1990. -129 p.
2Kufner A. and Persson L.-E., Weighted inequalities of Hardy type. World Scientific Publishing Co., Inc., River Edge, NJ, 2003. - 357 p.
Во второй главе аналогичная задача решается для неравенства
) <с
р
1/'№ + / \f\rdu
для всех / Є C^(Q),
выражающего непрерывность оператора вложения типа С.Л. Соболева. Мы рассматриваем случай произвольных мер и(1сК. Здесь уже весовой случай, то есть когда мера Li абсолютно непрерывна относительно меры Лебега и производная Радона-Никодима ^ неогра-ничена, вызывает трудности, связанные с неинвариантностью меры Li относительно сдвигов, поэтому в предыдущих работах В.Г. Ма-зьи, Э.Т. Сойера, Л.И. Хедберга и других авторов3 рассматривался только случай, когда Li — мера Лебега.
Кроме этого в работе характеризуются неравенства с абсолютно непрерывными мерами для операторов дробного интегрирования Римана — Лиувилля и его вариантов и оператора геометрического среднего.
Более подробно история каждого вопроса и литература приводится во введении каждой главы.
Цель работы. Получение критериев выполнения неравенств, выражающих непрерывность интегральных операторов и операторов вложения в функциональных пространствах со счетно конечными мерами.
Методика исследования. В работе используются методы общей теории меры, теории линейных операторов в банаховых пространствах и ряда других разделов функционального анализа.
Научная новизна.
1. Получены критерии выполнения неравенств Харди в функциональных пространствах со счетно конечными мерами. Также характеризованы весовые неравенства Харди с отрицательными показателями.
3Maz'ya V.G. and Poborchi S.V. Differentiable functions on bad domains. World Sci. Publ., 1997.
-
Установлены критерии ограниченности интегральных операторов с ядром Ойнарова в пространствах Лебега с произвольными счетно конечными мерами.
-
Показано, что в случае ограниченности интегрального оператора, действующего из пространства функций суммируемых со степенью р Є (0,1) относительно непрерывной (неатомической) меры Л в пространство Лебега со счетно конечной мерой, оператор суть нулевой.
-
Изучены свойства емкости cap (g,G) в одномерном случае. Показано, что в этом случае емкость игнорирует сингулярную часть меры р и полностью определяется ее абсолютно непрерывной относительно меры Лебега частью ра. Дано явное выражение емкости через производную Радона — Никодима -^-.
-
Используя результаты 4, доказаны критерии выполнения неравенств типа теорем вложения Соболева.
-
Установлены критерии ограниченности и компактности весового оператора Римана — Лиувилля в пространствах Лебега. Даны приложения этих результатов к разрешимости одного интегрального уравнения Абеля и ограниченности одной билинейной формы в пространствах Соболева.
-
Получены критерии ограниченности операторов Римана — Лиувилля и геометрического среднего с переменными пределами интегрирования.
Теоретическая значимость. Результаты диссертации носят теоретический характер и могут применяться в исследованиях характеристических чисел интегральных операторов, теории интегральных уравнений и неравенств.
Апробация работы. Основные результаты диссертации и отдельных ее частей докладывались на научных семинарах: по теории функции и функциональному анализу под руководством академика РАН СМ. Никольского (МИ им. В.А. Стеклова РАН), по геометрии
и анализу под руководством академика Ю.Г. Решетняка (ИМ им. С.Л. Соболева СО РАН), по функциональному анализу под руководством чл.-корр. РАН В.Д. Степанова (ВЦ ДВО РАН), отделения математики университета г. Лулео (Швеция) под руководством профессора Л.Е. Перссона.
Доклады, основанные на результатах диссертации, сделаны на российских и международных конференциях, в частности: «Международная школа-конференция по анализу и геометрии», посвященная 75-летию академика Ю.Г. Решетняка, Новосибирск 2004; «Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ», посвященная столетию СМ. Никольского, Москва 2005; «The 8th international Spring School on Nonlinear Analysis, Function Spaces and Applications (NAFSA 8)», Прага 2006; «Дальневосточная математическая школа-семинар имени академика Е.В. Золотова», Владивосток 2006; «Весовые оценки дифференциальных и интегральных операторов и их приложения», Астана 2007; «Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования», посвященная 85-летию члена-корреспондента РАН Л.Д. Кудрявцева, Москва 2008.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1—17]. Из них работы [8-10] написаны совместно с В.Д. Степановым, [11,12] с Л.-Е. Перссоным. В диссертации использованы результаты непосредственно полученные автором.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, разбитых на 16 параграфов, которые в свою очередь делятся на пункты, и списка литературы. Параграфы, формулы и пункты занумерованы двойным индексом: первая его часть представляет номер главы, вторая — порядковый номер соответственно параграфа, формулы, пункта в данной главе. Так, например, «(1.3)» означает третью формулу в первой главе, а запись «теорема 2.5» означает, что речь идет о теореме пункта 2.5. Библиография содержит 97 названия. Объем работы 197 страниц.
