Введение к работе
Актуальность темы
Данная диссетрация относится к теории пространства Соболева, которые играют важную
роль в современном анализе и его приложениях.
В диссертации рассматриваются операторы продолжения
Г:^(П)->^(/{"),
действующие в пространстве Соболева ty (fl), 1Де"л,/ е Л', ISpS -Hw, Я С j?" открытое множество класса lip 1, состоящем из измеримых функций f, для которых имеет смысл и конечна норма
а = (а, а,)- мультииндекс,а, є Nt, і = 1,...,л,]а\ = «, + +<*„, Df = Di -D"'/ -
обобщённая производная функции f.
Существование ограниченного оператора продолжения Т: Wp(ti) —> Wp(G), Q с G,
обеспечивает унаследование пространством W (1)ряда свойств от пространства WAG), что
может быть с успехом использовано, когда С1 - сложная область. Операторы продолжения для пространств Соболева используются в многочисленных приложениях к исследованию решений дифференциальных уравнений в частных производных, получению оценок постоянных в различных неравенствах, изучению вопросов вложений функциональных пространств и численного анализа.
Подробное изложение теории пространств Соболева имеется в книгах Соболева С. Л., Бесова О.В., Ильина В.П. и Никольского СМ. атакже Стейна И.М. Результаты изучения различных направлений задачи о продолжении функций из пространств Соболева можно найти в работах Кудрявцева Л.Д., Никольского СМ., Буренкова В.И., Стейна И.М., Бесова О.В., Ильина В.П., Гольдштейна В.М., Решетняка Ю.Г., Водопьянова С.К., Калябина ГА
Задача о продолжении функций класса W.(О), где л, t е N, I Sp і +оо, для некоторой ограниченной области на множество Цс',ПсЦ,с сохранением класса состоит в отыскании оператора (по возможности линейного) Т :Wf(Cl)—* W,(0|), (Tf)(x) = f[x),
X є 3,для которого справедливо неравенство
(2) M.iw^c.tr./.nAH/l.j
;<Піі —n '—"tf n»-;<(i)
РОС НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА СПетсрв^ «ІЗ
где постоянная 0,(7,/,0,0,) зависит от способа продолжения (т.е. конструкции оператора 7*), показателя гладкости /, областей 1 и П,, п, р и не зависит от /
Вопрос о продолжении функций изучался во многих направлениях, и о нём накоплена обширная литература.
В работе Хестинса М.Р. указан сравнительно простой приём продолжения функций класса С' (С1) при dCleC'. В.М. Бабич и СМ. Никольский распространили приём Хестинса на классы W (Q) при том же предположении: дСіеС'. ВработахКальдеронаАЛ. и Стеши И.М. решалась задача о продолжении функций при дСІ є Lip\.
Для отдельных значений параметров известны необходимые и достаточные условия продолжения например, если п = 1, р = 1 и/ = 1, такие условия для односвязньж областей получены Водопьяновым С К., Гольдштейном В. М., Лагфулиным Т.Г.
Простейшим из известных способов продолжения является продолжение по Хесгенсу, Например, для областей в виде подграфика гладкой функции П = (хеЛ": -оа<х,<-к», і = 1,„,и-1; х„<<р(х)\, <реС',
(3) ЯП-
"»/<*,*. -Ь^х.-фії)), хєА" \а,
где т /, ак и bt > 0 удовлетворяют системе уравнений
Метод Хесгенса применим для пространств W' (П), 1 р < +», но получаемый при этом оператор зависит от порядка дифференцирования /.
Оператор продолжения (3) был модифицирован Сили Р.Т., и результирующий оператор уж( не зависит от порядка дифференцирования /.Для О = {(7,дг,): х є Л""', лгя > 0/ оператор Сили задается следующей системой
fix), хєП
где (і є С" (Л), {(} = 1 при О і 1; #(') = 0 при < 2. Числа atM tj < 0 так подобраны, чтобы выполнялись условия
^<. ЕЫ*«Г<+"- т=і.2.„ ,
Эти сравнительно простые конструкции не годятся дня О є Lipl.
Более сложные конструкции операторов продолжения были получены в работах Буренкова В.И., Сгейна И.М. и Митягина Б.М. Эти операторы нашли широкое применение при получении оценок норм операторов продолжения.
Общая методика исследования
В работе использованы идеи и классические подходы теории пространств функций с обобщенными производными, заложенные в работах Соболева С Л., Никольского СМ., Бесова О. В., Буренкова В. И., Мазьи В. Г., Рететняка идр. Существенным образом используются идеи, конструкции и методы получения двусторонних оценок операторов продолжения, разработанные Буренковым В. И., Стенном И. М., Сили Р. Т.,' Купцовым Н. П., Балашовой Г. С, Митягиным Б. М., Калябиным ГА идр.
Доказательство оценок для операторов продолжения,, зависящих от порядка дифференцирования, проводится на основе разработанного в данной диссертации аппарата оценок норм производных для специального класса ядер усреднений, входящих в интегральное представление функций.
Двусгороння оценка минимальной нормы операторов продолжения для пространств Соболева в одномерном случае выводится применением схемы Хесгенса, результата Буренкова В. И. о точных постоянньж в неравенствах для норм промежугочньж производных на конечном интервале, и неравенства Колмогорова - Стейна.
Для многомерного случая доказывается лемма об оценке производных от элементов разбиения единицы, выводятся оценки сверху кратности и других параметров покрытия открытого множества, удовлетворяющего условию конуса ограниченными областями звёздными относительно шара. В результате, в диссертации получена двусторонняя оценка точной постоянной для Lp - нормы промежуточной производной.
Дл - специальной липшицовой области доказывается оценка сверху минимальной нормы операторов продолжения. Доказательство опирается на полученные в данной диссертации оценки усреднений со сдвигами для ядер с моментами, равными нулю.
Оценка сверху минимальной нормы операторов продолжения для пространств Соболева, не зависящих от порядка дифференцирования, выводится с использованием методов продолжения, предложенных Стенном И. М., Балашовой Г. С, Митягиным Б.М.
Цель работы
1. Получить точные двусторонние оценки минимальной нормы операторов
продолжения для пространств Соболева и выяснить порядок роста минимальной нормы оператора при стремлении параметра гладкости к бесконечности.
Получить точные двусторонние оценки постоянной в неравенстве для Lp - нормы промежуточной производной.
Получить оценки сверху минимальной нормы операторов продолжения для пространств Соболева, не зависящих от порядка дифференцирования.
Научная новизна
В диссертации получены следующие новые результаты.
В одномерном случае, для О = {а,Ь) получена двусторонняя оценка минимальной нормы операторов продолжения, точная как по порядку гладкости /, так и подлине интервала (а,Ь). .
Получены в некотором смысле неулучшаемые оценки производных ядер усреднения класса С*(Л") с определёнными специальными свойствами.
Получены точные оценки для ядер интегральных операторов, входящих в интегральное представление функции через производные порядка /.
Получены точные оценки производных элементов специального разбиения единицы для подграфика липшицевой функции.
Получена оценка точной постоянной в неравенстве для Lr - нормы промежуточной
производной, точная по порядку гладкости /.
В многомерном случае доказала теорема о точной, по порядку гладкости /, оценке наименьшей нормы операторов продолжения для пространств Соболева для липшицевых областей.
В одномерном случае выводится оценка сверху наименьшей нормы операторов продолжения для пространств Соболева, не зависящих от порядка диференцирования.
Теоретическая значимость
Диссертация имеет теоретический характер. Ее результаты могут применяться в теории функциональных пространств, теории дифференциальных уравнений в частных производных, разработке методов численного анализа и других вопросах.
Результаты диссертации докладывались и обсуждались неоднократно, по мере их получения, на семинаре по функциональным пространствам Российского Университета Дружбы Народов (руководители: профессор Буренков В И. и профессор Гольдман М. Л), на XVI-ой школе по теории операторов в функциональных пространствах (Нижний Новгород, 1991 г.), на ХХГХ-й научной конференции факультета физико-математических и естественных наук Российского Университета Дружбы Народов (Москва, 1993), на семинаре по математическому анализу в Уэльсском университете (руководители: профессор Д Эванс и профессор В. И Буренков), Кардифф, 1995 г., а также на конференции по математическому анализу и его приложениям, посвященной 60-летию профессора Л И. Хедберга, в г. Линчепинг, 1996 г.
Основныерезультатыдиссертацииопубликованывработах[1], [2], [3], [4].
