Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Пространства функций типа берлинга и румье 19
I.1. Пространства пробных функций 20
I.2. Пространства пробных функций типа Берлинга и Румье 30
I.3. Пространства ультрадифференцируемых функций типа Берлинга и Румье. 37
ГЛАВА II. Теорема бореля для пространств ультрадифференцируемых функций типа берлинга и румье 49
II.1. Постановка задачи и формулировка основного результата. 50
II.2. Достаточные условия справедливости аналогов теоремы Бореля в терминах пространств целых функций 52 Н.З. Доказательство основного результата 66
ГЛАВА III. Теорема уитни для пространств ультрадифференцируемых функций типа берлинга и румье 69
III.1. Теорема о продолжении для классов {шу 70
III.2, Теорема о продолжении для классов 87
ГЛАВА IV. Необходимое условие выполнения аналога теоремы уитни 95
IV.1. Специальные семейства многочленов 95
IV. 2 Необходимое условие сюръективности оператора сужения 103
Литература 112
- Пространства пробных функций типа Берлинга и Румье
- Достаточные условия справедливости аналогов теоремы Бореля в терминах пространств целых функций 52 Н.З. Доказательство основного результата
- Теорема о продолжении для классов
- Необходимое условие сюръективности оператора сужения
Введение к работе
Актуальность темы. В диссертационной работе решается задача о продолжении по Уитни в пространствах ультрадифферен-цируемых функций типа Берлинга и Румье, определяемых при помощи многомерного веса. Пространства бесконечно дифференцируемых функций с ограничениями на рост производных изучались многими математиками и имеют многочисленные приложения (см., например [17], [25], [36], [39], [43]). Известно два основных подхода к заданию ограничений на рост производных: при помощи фиксированной последовательности положительных чисел (подход Данжуа-Карлемана) или через весовую функцию (подход предложен А.Берлингом в [24] и реализован впоследствии Г.Бьорком в [25]), Дальнейшее развитие второй подход получил в работе Р.Брауна, Р.Майзе и Б.А.Тейлора [30]. В отличие от Г.Бьорка, который брал полуаддитивную сверху функцию N вещественных переменных, они рассмотрели, с одной стороны, более узкий класс весовых функций, имеющих вид и(\х\),х M.N, но, с другой стороны, ослабили требование полуаддитивности ш сверху, заменив его следующим условием:
ЭК > 1 : и(х + у) < К{1 -f оо(х) -f и>(у)) для всех х > 0, у > 0.
Пространства, исследуемые в [30], задаются при помощи весовых
последовательностей вида {nw}^ и {-и;}Ц, и называются про-
странствами ультрадифференцируемых функций типа Берлинга и Румье соответственно. В частном случае ш(г) — тр пространство, задаваемое последовательностью {—м}*, совпадает с про-
странством Жеврея порядка -, которое, как известно, используется в математической физике и теории тригонометрических рядов. Недавно А.В.Абаниным и Е.С.Тищенко [2], [15] (см. также [16]) была исследована более общая, чем в [30] ситуация, когда
пространства определяются с помощью произвольных (возрастающих или убывающих по индексу) последовательностей весовых функций {wn}il!Li» зависящих от одной переменной. Случай, когда весовые функции зависят от переменных ]xi|,..-, |xjy|, а пространства задаются последовательностями как в [2], [15], [16] не рассматривался. Существенным отличием изучаемых нами пространств от [2], [15], [16], [30] является то, что рост производных одного и того же порядка может удовлетворять отличным друг от друга весовым оценкам.
С другой стороны, в последнее время возрос интерес к решению задач типа Бореля и Уитни о продолжении в различного рода пространствах (см., например, [5], [6], [8]-[10], [27], [28], [32], [33], [36], [42]).Эти задачи возникли на основе следующих двух теорем:
Теорема Бореля (1895г.; см. [29]) Для любой последовательности {#a}aeNo вещественных или комплексных чисел существует бесконечно дифференцируемая функция f одной вещественной переменной с f^a\0) — #<*» Va Є N0.
Теорема Уитни (1934г.; см. [44J) Пусть К ф 0 — компакт в R1* и (/0)aeNw —последовательность непрерывных на компакте К функций (иными словами, джет). Следующие утверждения эквивалентны:
(0 Э/ 6 С(Е"): /(а)|х - Г, Va Є Nfc (ii) Vm Nq и а N^ равенство
Ау) = X) J\fa+0(x)(y - xf + (\У - x\m) выполняется
равномерно no x> у Є К, когда \у — х\ — 0, Интерес к этим проблемам обусловлен, в частности, тесной взаимосвязью решения задач о продолжении с задачей о разрешимости различных функциональных уравнений и о разложении в ряды экспонент (см,, наприм., [8]). Ю.И.Любич и В.А.Ткаченко в [9] доказали, что для квазианалитических классов, определяемых при помощи последовательности {тпп}^1 положительных чисел аналог теоремы Бореля места не имеет. В то же время, как было установлено в ряде упомянутых выше работ, в случае неквазианалитических классов при дополнительном ограничении
на {тц}*0 аналоги теоремы Бореля справедливы. В частности, в [5] дано прямое построение функций f(x) по значениям ее производных в нуле для классов Жеврея. Для пространств,
определяемых последовательностями {пш}^=1 и {—ш}^!, где ы—
п одномерная весовая функция задачи Бореля и Уитни рассмотрели Дж.Бонет, Р.Браун, Р.Майзе, Б.А.Тейлор в работах [27], [28], [42]. Они получили критерий, дающий полную характеризацию пространств ультрадифференцируемых функций типа Берлинга и Румье, для которых такие аналоги имеют место. Необходимо отметить, что достаточная часть критерия справедлива для любого непустого компакта К (К—компакт из теоремы Уитни), а необходимая часть выполняется при дополнительном ограничении, что компакт К—выпуклый. А.В.Абаниным в работах [1], [21] было установлено, что вышеупомянутый критерий справедлив в случае компактов произвольной структуры.
В связи с вышеизложенным представляется актуальной задача о распространении результатов, полученных в [30], [2], [15] на случай пространств ультрадифференцируемых функций, задаваемых последовательностями многомерных функций {иу}» неубывающих и невозрастающих попи решение проблем Бореля и Уитни о продолжении в пространствах, определяемых последовательностями вида {nw}^Lj, {—wj-Jjlj, где w—многомерный вес.
Цели работы. В диссертационной работе исследованы следующие аспекты сформулированных выше задач:
-изучение свойств пространств ультрадифференцируемых функций типа Берлинга и Румье, построенных по произвольной последовательности многомерных весовых функций; описание топологически сопряженных к ним, получение аналога теоремы типа Пэли-Винера-Шварца;
-получение необходимых и достаточных условий на многомерный вес си, при которых для соответствующих пространств ультрадифференцируемых функций справедливы аналоги теорем Бореля и Уитни.
Методы исследования. В диссертационной работе, в основном, используются классические методы теории обобщенных функций, функционального анализа и теории целых функций. При исследовании аналогов теорем Бореля и Уитни существенную роль
играют методы теории двойственности и, в частности, переход к сопряженной задаче.
Научная новизна и практическая значимость. Полученные в диссертации результаты являются новыми, носят теоретический характер и могут найти дальнейшее применение, в задачах разрешимости уравнений типа свертки и в вопросах разложения ультрадифференцируемых функций в ряды экспонент.
Апробация работы. Основные результаты неоднократно докладывались на научном семинаре кафедры математического анализа Ростовского государственого университета (руководитель — профессор Ю.Ф.Коробейник), на Международной школе-семинаре по геометрии и анализу, посвященной 90-летию Н.В.Ефимова (Абрау-Дюрсо, сентябрь 2000г.).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 работ, список которых приведен в конце литературы. Результаты главы I опубликованы в [45], [46], глав II и III— в [48], [49], главы IV— в [47]. В совместной с научным руководителем работе [45] по результатам главы I А.В.Абаниным были предложены условия на многомерный вес, при которых удается обобщить результаты работ [2], [15], [30], а само это обобщение и все результаты получены автором диссертации.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы из 49 наименований. Объем диссертации — 115 страниц машинописного текста.
Обзор главы І. В первой главе диссертационной работы осуществлено распространение подхода Берлинга-Бьорка, получившего свое развитие в [30] и обобщенного недавно в [15], на более общий случай. Остановимся кратко на основных моментах последних двух работ, имеющих непосредственное отношение к исследуемой в этой главе проблеме.
Согласно определению из [30] и [15], непрерывная неубывающая на [0; +оо) функция ш : [0; +оо) — [0; +оо) называется весовой, если она удовлетворяет следуюшим условиям:
(а) ш(2г) — 0(ш(г)) при г —у +оо
(7) In г = o(u>(r)) при Г -» +00
{S) <0и{х) := ш{ех) выпукла на [0; +оо). Двойственная по Юнгу с <рш(х) функция <р*ш(у):— sup(xy — (pw{x))
в дальнейшем будет обозначаться <р*.
Для каждой весовой функции и и открытого в Rp множества G в [30] определяются следующие два типа пространств бесконечно дифференцируемых функций:
{/Є C0O(G): для любого компакта Я" с С и любого п N п,к := sup sup \/{а)(х)\ехр[ -тр*[ — ) ) < оо} и
aNg *
M(G) := {/ C{G) : для любого компакта К С G найдется п N |
WfWifnjc := sup 8up\f{a)(x)\exp(--
Эти пространства наделяются естественными топологиями. Первое пространство называется пространством ультрадифференци-руемых функций типа Берлинга, а второе—типа Румье. Фактически (ы) и {ы) определяются весовыми последовательностями
{гш}^ и {-ш}=1} соответственно. В [15] рассматриваются про-
п странства удьтрадифференцируемых функций типа Берлинга и
Румье, определяемые произвольными последовательностями {wn}SLi весовых функций, неубывающих или невозрастающих по п соответственно. Одним из основных результатов обеих работ является аналог теоремы типа Пэли-Винера-Шварца об описании сопряженных к (W){G) и {U}{G) пространств как пространств целых функций, удовлетворяющих определенным весовым оценкам (С—выпуклая область в Rp). Заметим, что авторам из [30] удалось рассмотреть лишь два крайних случая—"максимальный" ({лш}^)
и "минимальный" {{—u>}Lj), в то время как в рамки исследования
п [15] укладывается и "нормальный"случай (например, {qnw}%Li>
где qn /1 q или qn \ q> q Є (0; со)).
Основной целью главы I является распространение результатов [15] на случай, когда весовые функции зависят от переменных |#i|,...,|а?лг| и, в частности, получение аналога теоремы Пэли-Винера-Шварца, на котором в значительной мере основаны наши последующие исследования в главах II и III. Существенным отличием изучаемых нами пространств от [15] и [30] является то, что рост производных одного и того же порядка может зависеть
3*/ dkf
от мультииндекса. Например, производные -т—г и —-г при і ф j
охк OXj могут удовлетворять отличным друг от друга весовым оценкам
относительно к,
В целом, применяемые нами в главе I методы известны. Сначала вводятся соответствующие пространства пробных функций и распределений, затем линейные непрерывные функционалы на (w) и Є{ы} характеризуются как распределения с компактными носителями в G, и, наконец, для выпуклых областей G при помощи преобразования Фурье-Лапласа устанавливается аналог теоремы Пэли-Винера-Шварца. Основные трудности на пути реализации этой схемы имеют технический характер и обусловлены многомерностью весов.
В первом разделе сначала вводится понятие ЛГ-мерноЙ весовой функции:
Определение 1.1.1 Пусть и): [0; оо)^ —> [0; оо) —непрерывная на [0; +оо)я функция, неубывающая по каждой переменной и удовлетворяющая следующим условиям:
(а) существует константа С > 1 такая, что для любого фиксированного к при всехх^у^ Є [0; -foo) (j ~ 1,..., N)
и{хЪ ..., Xk-U %к + Уку Sfc+1> —і ^jv) <
(Я /
< C(w(xu»*,zit) + ш(хі,...,хь-1,Ук,Хк+и...,хя) + 1); а?(г,...,г)
1+Г3
dr < оо;
(7) Jm ln(Ic^||fil) = 0, где \Щ\= m« *4| t Є [0; +oo)*;
($)
Такие функции мы будем называть N—мерными весовыми функциями.
Отметим, что при N — 1 определение 1.1.1 совпадает с определением весовой функции из [30] и [15]. Для x = (xi,...t Xn) Є R^ полагаем w(x) := w(|:ri|, ..., \xn\). Как обычно, символом D{K) обозначим пространство всех бесконечно дифференцируемых в R^ функций, носители которых содержатся в компакте К из W* с непустой внутренностью. Далее вводятся банаховы пространства пробных функций. Со всякой непрерывной неубывающей по каждой переменной и удовлетворяющей условию 1.1.1(7) Функцией U) свяжем подпространство в D(K):
D{u; K) = {fe D(K): (|/||w : - J \f(x)\e^ dx < oo},
где f(x) — I f(t)e~t
Функцию
хф;+оо)ы
будем называть монотонно сопряженной по Юнгу к ^ив дальнейшем писать просто ср+. В следующей теореме получены оценки на производные функций из D{w\ К).
1.1.2 Теорема. Для любой функции f из D(co; К) справедлива оценка:
sup SUp|/<>(^-*+W<-^||/i|w.
Введем далее банахово нормированное пространство Ь(ч>+\К) := {/ Є D(K) : |/|ы := sup sup !^М < оо\.
Следующий результат также носит вспомогательный характер и решает обратную задачу. Именно, он дает оценку преобразований Фурье-Лапласа функций из D(
1.1.3 Теорема.
Для всякой функции f Є D(
f(z) = f /ЮГ**'** eft, г Є С",
леллется titviou в CN функцией, удовлетворяющей оценке:
I/WI < т^(^)е2М^(1 + |И|)^*к(/т*)-Цг)|/и v* С*,
где Нк{у) — max < х>у >—опорная функция К, т^(К)~
мера Лебега компакта К в RN; Imz = (/т^і,...,/т2лг), ед = тах|М|.
Во втором разделе вводятся пространства пробных функций типа Берлинга и Румье и устанавливаются аналоги теорем типа Пэли-Винера, дающие изоморфную реализацию этих пространств в виде пространств целых функций.
Пусть {wn}Li— неубывающий по п набор функций, непрерывных и неубывающих по каждой переменной, для которых выполнено условие 1.1.1(7)- Будем также предполагать, что {con}^=l удовлетворяет следующему условию разделенности:
Vn Зт ЗС > 0 : V* [0; +00)*
w»M + Jn(l + ||*||) Последовательности, обладающие перечисленными свойствами будем обозначать символом П^. Образуем пространство пробных функций типа Берлинга >(fipr; К) := f] D{un\ К) и наделим его т»=1 топологией, задаваемой набором норм (j| Щ,)^. Будем кратко писать D(rtpf] К) = proj/)(wn; ЙТ), подразумевая, что проектив- ный предел берется относительно операций вложения D(Qpr; К) в D{wn\K) (п = 1,2,...). Кроме того, для последовательностей проективного типа будем предполагать, что имеется такая одномерная весовая функция ш(г), 0 < г < оо, что Vn Є N ЗСп > 0 : шп{х) < ш(\\х\\) + С», W Є RM. Это условие обеспечивает нетривиальность пространства >(}рт; К). Пусть \j)(z): CN -> R— локально ограниченная в С^ функция. Введем банахово пространство целых функций: Е(ф) = if Є H(CN) : |Л, := sup \f(z)\e~^ < оо). Для невозрастающей по п последовательности локально ограниченных в CN функций Фрт = {ipn}%Li через Р(Фрг) будем обозначать проективный предел банаховых пространств E(ipn): P{Vpr) = proj Е{фп). Сформулируем полученный в диссертации аналог теоремы Пэли-Винера. 1.2.2 Теорема. Для любого выпуклого в M.N компакта К преобразование Фурье Лапласа является топологическим изоморфизмом между D(0.^ К) и Я(*„), еде Фрт = {HK(Imz) - «*(*)}.! Введем теперь пространство пробных функций типа Румье. Пусть {WftJ^j — fiinrf—невозрастающий по п набор непрерывных и неубывающих по каждой переменной функций, удовлетворяющих условию 1.1.1(7). Как и в случае пространств типа Берлинга, будем предполагать, что )^ удовлетворяет более жесткому условию разделенности: Vn Зт и ЗС > 0 : V* [0; -f 00)* um(t) + ln(l + \\t\\) Образуем пространство пробных функций типа Ру- мье D^ind] К) = (J D{it)n\ К) и наделим его топологией внут- реннего индуктивного предела пространств D(ojn;K). Кратко будем писать D(tiin<i; К) := іікШ(и>п; К). Для неубывающей по п последовательности локально ограниченных в С^ функций Ф»ті = {^n}^i через 7(Фind) будем обозначать индуктивный предел банаховых пространств E(ipn) ' 1{Фш) ~ indE(ipn), Сформулируем теорему типа Пэли-Винера для D(ftind; К), 1.2.4 Теорема Для любого выпуклого в компакта К преобразование Фурье-Лапласа является топологическим изоморфизмом между D($lind\ К) и 1[Уш), где Vind := {HK(Imz) - w„M}.i. Третий раздел посвящен пространствам ультрадиффе-ренцируемых функций типа Берлинга и Румье, которые определяются следующим образом. Пусть П = {wn}^.1— последовательность непрерывных и неубывающих по каждой переменной функций, удовлетворяющих 1.1.1(7)) одного из двух типов — проективного или индуктивного, ф+ = {(p+}%Li—соответствующая ей последовательность монотонно сопряженных к фп(хи..., xjv) — шп(еХі,..., eXfT). Для открытого в U.N множества G введем пространства *ж, = {/ С-(0 : «ир supJ№L = MriJC < ooj и f(fipr; G), 5(0»тм(; G), которые как векторные пространства описываются следующим образом: ( S(Qind; G) = {/ C"(G): Vtf є G 3n Є N: ||/||^ < со}. В этом разделе доказывается основной результат главы—теорема типа Пэли-Винера-Шварца,которая позволяет получить описание сильных сопряженных пространств к (Qpr',G) и ()«**; G) как пространств целых функций, удовлетворяющих определенным оценкам роста. 1.3.8 Определение. Для любого функционала ц, Є '(Г2; G) зададим его преобразование Фурье-Лапласа формулой 1.3.14 Теорема. Пусть G—выпуклая область в RN. Тогда преобразование Фурье-Лапласа функционалов задает следующие топологические изоморфизмы: f(*V; G) ~ md/(Ф*); 5'(П^; G) ~ md Р(Ф*), где 1{ФК) = іп(1(Яд:(/тг) + wn(z}), Р(Ф*) = proj#(tfK (Imz) + «,(*)). Обзор главы II. Вторая глава посвящена достаточным условиям справедливости теоремы Бореля в пространствах бесконечно дифференцируемых функций типа Берлинга и Румье, опре- 1 деляемых последовательностями {пш}^! и {— o>}Li, где ш— многомерная весовая функция. Как уже отмечалось выше, задачей справедливости теоремы Бореля в пространствах бесконечно дифференцируемых функций с ограничениями на рост производных занимались многие математики. Для пространств ультрадиф-ференцируемых функций, определяемых одномерными весовыми функциями эта проблема решена в [28] и [42]. Авторы этих работ показали, что необходимым и достаточным условием справедливости аналога теоремы Бореля в таких пространствах является следующее условие на весовую функцию: ЗВ > О : / ^kt< Вш(у) + В, Уу> 0. Основная цель этой главы—распространить результаты из [28] и [42] на случай многомерного веса. Вторая глава состоит из трех разделов. В первом разделе дается постановка задачи и формулируется основной результат главы. Второй и третий разделы посвящены доказательству этого результата. Здесь мы остановимся лишь на точной постановке задачи, формулировке основной теоремы и кратком описании метода доказательства. Пусть w—iV-мерная весовая функция. Введем пространство уль-традифференцируемых функций типа Берлинга, определяемое при помощи последовательности {ncj}^: e{u)(RN) = {/ Є <7~(R*) :j , Vm Є N : \f\m,m'-= SUP SUp\f{a\x)\exp(-nnp+[ —) ) < Co}. Наделим это пространство естественной топологией проективного предела! которая задается набором преднорм {( |m,m}^=i. Возьмем произвольную функцию / Є (W)(M.N). Тогда для последовательности {/^(0)}«єм* ПРИ любом т N выполняется условие sup \f^(0)\exp[ — rrnp+( — I ] < oo. Рассмотрим пространство всех последовательностей комплексных чисел, удовлетворяющих этому условию: *М({0}) = {/ « <Д W Є С< : Vm Є N \f\m := sup |/в|еаср(-mv?;( ^ J J < oo}. Аналогично введем пространство ультрадифференцируемых функций типа Румье, задаваемое последовательностью {—w}Lj: {u)(RN) « {/ C^R*): Vp > 0, 3m Є N : lt/lki»:= SUP sup|/^(a:)jexp(»—й(ат)) < со}. Наделим его естественной топологией, взяв сначала индуктивный предел по т при каждом фиксированном р, а затем проективный предел по р. Определим также пространство последовательностей комплексных чисел типа Румье %({0}) - {/ - (Л W С"" : 3m Є N в котором вводится топология внутреннего индуктивного предела. Всюду далее будем писать », если речь идет о пространствах ультрадифференцируемых функций или последовательностей обоих типов. Введем в С(51^) в рассмотрение оператор сужения рщ : / &(R*) -> (/^(0)),,^ Є едо». Тогда задача Бореля состоит в том, чтобы найти условия на весовую функцию о?, при которых оператор рщ будет сюръективен. Основным результатом главы является ІІ.З.З Теорема. Пусть и—строгий N-мерный вес, то есть, ЗВ > 0 : У для есех у с % > 0, j = 1,..., ЛГ. Тогда оператор Р{0) ' *(RW) —> *({0}) сюръективен. Другими словами, для пространств ^(RN) и {wy(SN) справедлив аналог теоремы Бо-реля. В доказательстве мы следуем схеме из [27], [41]. Именно, с помощью общей теории двойственности и дополнительных топологических свойств пространств ,(M.N) и *({0}) устанавливается, что аналог теоремы Бореля для * имеет место тогда, когда *({0}) является топологическим подпространством в ^(R^) (как и прежде '—сильное сопряженное к пространство). Далее применяется описание сопряженных в терминах целых функций и принцип Фрагмена-Линделефа. Обзор главы III. Дадим следующее определение: IIL1.1 Определение. Пусть Аф— замкнутое подмножество в R№. Джетом на А называется семейство F — (/а)аеп С(АУ*", то есть, такая последовательность, что каждый ее элемент fa —непрерывная на А функция. Джет (/)вЄк* , удовлетворяющий условию (и) из теоремы Уитни, приведенной нами выше, называется джетом Уитни. Обозначим через {К) пространство всех джетов Уитни на компакте К. Введем оператор сужения рк, который каждой бесконечно дифференцируемой функции N вещественных переменных ставит в соответствие последовательность ее производных, суженных на компакт К: (f^ \к)а&ф Тогда теорема Уитни означает, что оператор рк действует сюръективно из Coc'(M.N) на (К), Мы уже отмечали, что задача Уитни для неквазианалитиче-ских классов бесконечно дифференцируемых функций рассматривалась многими авторами. Наши исследования наиболее близки к работам Дж.Бонета, Р.Брауна, Р.Майзе и Б.А.Тейлора [27], [28], [42], которые рассмотрели случай одномерных весов. Основную идею для доказательства теоремы Уитни в случае {W}(RN) авторы взяли из [31], где показано, что аналог теоремы Уитни о продожении в неквазианалитических классах функций справедлив тогда и только тогда, когда он справедлив для точки (то есть, выполняется теорема Бореля) и если класс содержит так называемые функции-"срезки", удовлетворяющие определенным условиям. В настоящей главе, опираясь на работы [27], [28], [42], мы устанавливаем аналог теоремы Уитни для пространств типа Берлинга 5И(Е") иРумье {W}(R*), определяемых строгим TV-мерным весом ш. Для компактного множества К в Ry положим ЛмУО := {/ UrN) : SuMf) С К}, D{U)(K) :* {/ {U}(RN) : Supp(f) С К} Заметим, что указанное описание пространств пробных функций типа Берлинга D{W)(K) и Румье D^{K) эквивалентно описанию пространств D(Qpr; К) и D(Qin4; К) для конкретного случая когда Прт - {nv(x)}%Ll} a Qind ~ {-о;(ж)}« t. Для джета F на А , точек х, у Є А и мультииндексов m Т$о и а Nq :\а <т определим: (RTF)a(y) = r(y)- lfa+fi(s)(y-*f- Эти функции играют роль остаточных членов в формуле Тейлора для джета. IIIЛ.2 Определение. Пусть w—N-мерный вес и пусть А ф 0—замкнутое подмножество в RN. Джет F — (fa)aefi» *« А называется и-Уитни джетом типа Румье, если выполняются следующие условия: для любого компакта К С А существуют т N и М > О, такие, что имеют место оценки: (ШЛА) \fa(x)\ < Мехр(-^(та)), Vx К, Va N^; (///.1.2) VI Є Nj\ Va N с afc < lh% для всех к cm І до N и Vx, у К \(RlxF)a(y)\ Через f {wj(A) обозначим линейное пространство всех w -Уитни джетов типа Румье на А. III.2.1. Определение. Пусть и—N-мерный вес и А Ф 0— замкнутое подмножество в RN. Джет F = (fa)a^N на А называется из —Уитни джетом типа Берлинга, если выполняются следующие условия: для любых К С А и т Є N существует М > 0 такое, что имеют место оценки: (///.2.1) \fa{x)\ < Мехр(т<р+ (\\, Ух Є /Г, Va Є Nfc (///.2.2) V/ N?, Va N^ с ak < lk, для всех k от 1 до N и Var, у 6 К Обозначим через («)(А) линейное пространство всех из -Уитни джетов типа Берлинга на А, В качестве вышеупомянутых функций-"срезок"будем использовать функции, построенные в [27] для пространства Д^^К^"), где П—одномерная весовая функция, задаваемая следующим образом: П(г) - из(г,..., г), где г - $Ife|. Функции-"срезки" будут принадлежать и нашему пространству D^R^), так как, в этом случае Ощ{К^) «-» D{W}(R^). Если теперь взять функцию а = сг(г,..., г) такую, что Q — о{д) при г —> +оо, то построенные в пространстве D^-}{RN) функции-"срезки"будут принадлежать и пространству D^(RN)% вследствие того, что D{a}(RN) ^ Dm(RN) ^+ D(w)(IR*). Для каждой весовой N-мерной функции ш и компакта К из RN рассмотрим на пространствах ^(R^) оператор сужения Рк:/ є C~(R*) _> (/<e>kW. Сформулируем основной результат главы. III.2.6 Теорема Для каждого N-мерного строгого веса и каждого непустого компакта К в RN отображение рк +(RN) -f *{К)~сюръективно. Обзор главы IV. В настоящей главе доказывается необходимость условия строгости для справедливости теорем типа Уит-ни в случае произвольного непустого компакта К и пространств, определяемых iV-мерноЙ весовой функцией, имеющей специальный вид: w(r) = ші(гі)+. -+wjv(?*7v), где г - (п,... trN) Є [0; +oo)*t uk — одномерные веса (k = 1, ...tN). Такую функцию будем называть JV-мерным распадающимся весом. Основным результатом главы является IV.2.5 Теорема. Пусть ш— N-мерная распадающаяся весовая функция. Если й) —нестрогая, то оператор рк : S*(RN) — *{К) не является сюръективным для любого непустого компакта К Доказательство основано на построении семейств полиномов со специальными свойствами (см. Лемму IV.I.2) и некоторых фактов из теории двойственности локально выпуклых пространств. Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю А.В.Абанину за постановку задачи и постоянное внимание к работе. В настоящем разделе вводятся пространства пробных функций типа Берлинга и Румье, в которых ограничение на рост задается При ПОМОЩИ Последовательностей ftp, = {о/п} И Сіі„4 — {( }n} Li7 гДе первая не убывает, а вторая не возрастает по п, и они обе удовлетворяют условию разделенности функцией 1п(1 + \\х\\). Получены теоремы типа Пэли-Винера, дающие изоморфную реализацию этих пространств в виде пространств целых функций. Пусть {ww}jJLi— неубывающий по п набор функций, непрерывных и неубывающих по каждой переменной, для которых выполнено условие 1.1.1(7), обеспечивающее полноту набирающих пространств. Последовательности, обладающие перечисленными свойствами будем обозначать символом fipr. Образуем пространен ство пробных функций типа Берлинга D{Q.W\ К) := f] П(шп;К) и наделим его топологией, задаваемой набором норм (jj [w„)Li. Здесь учтено, что D(u}n+i;K) С D(ujn;K) (п = 1,2,...). Мы будем кратко писать D(npr;AT) — pro}D(un;K), подразумевая, что проективный предел берется относительно операций вложения D(lpr;K) в Ю(шп;К) (п = 1,2,...). Так как набирающие пространства полны, то и /?(Орг; К) полно, то есть, оно является пространством Фреше. В силу отмеченного в предыдущем разделе при условии, что D(i Jn+\; К) вложено вполне непрерывно в D(u)n\ К) (n = 1,2,...). Поэтому (1.2.1) обеспечивает то, что D(Clpr; К) является М -про-странством в терминологии Себаштьяна-и-Сильвы (см. [13], стр.68). Обозначим через {у+}—последовательность монотонно сопряженных функций к функциям шп (п Є N) и введем в рассмотрение пространство (Ф; К) — proj D{ p$; К). Оно обладает свойства п ми, аналогичными (Прг; К). Именно, оно есть пространство Фреше, а при дополнительном предположении о выполнении (1.2.1) является Л/ -пространством. В дальнейшем, не оговаривая этого дополнительно, мы будем предполагать, что Прт удовлетворяет более жесткому, чем (1.2.1) условию разделенности: Очевидно, что для любой подпоследовательности Wnh}kLi —: & рг последовательности Прг пространства D(Clpr;K) и / (Пр ; #) совпадают как множества и топологически. Поэтому в (1.2.2) можно перейти к подпоследовательностям и без ограничения общности считать, что ton удовлетворяют условию: Покажем сначала, что при этом дополнительном ограничении введенное нами пространство 1 (Ф; К) пробных функций, определяемое при помощи последовательности функций монотонно сопряженных с рпу совпадает как множество и топологически с пространством 0{Прг] К) пробных функций, задаваемым при помощи ограничений на рост их преобразований Фурье. Так как в силу следствия из теоремы 1.1.2 D(wn\ К) - D( p%\ К) при каждом п N, то D{lpr; К) м- 1)(Ф+;.ЙГ). Далее, по следствию 2 из теоремы 1.1.3 для любого п Є N В свою очередь, из условия (1,2.3) разделенности Qpr следует, что при каждом п N Поэтому D(vi+1; К) - D{u n; К) (n = 1,2,...), откуда І)(Ф; Л")«-+ (n .; К"). Это и доказывает, что пространства D(lpr;K) и 1 {Ф К) совпадают как множества и топологически. Следующей нашей целью является доказательство аналога теоремы Пэли-Винера для пространства (},».; К) (или, что все равно, (Ф+; К)). Пусть ф{х): С - К— локально ограниченная в С функция. Введем банахово пространство целых функций: Внешне похожие записи норм j и w легко отличить друг от друга, так как первая берется от целых в С функций, а вторая— от функций, определенных в W . Для невозрастающей по п последовательности локально ограниченных в CN функций Фу, — {фп}%,і через Р(Фрг) будем обозначать проективный предел банаховых пространств Е(фп): Если Фрг удовлетворяет условию разделенности: то E(ipn+i) вложено вполне непрерывно в Е(фп), а следовательно, пространство Р(Фрг) будет М -пространством, 1.2.2 Теорема. Для любого выпуклого в KN компакта К преобразование Фурье-Лапласа является топологическим изоморфизмом между Z)(V; 1). Зафиксируем произвольное п N. Из теоремы ІЛ.З с учетом условия разделенности (1.2.3) имеем, что для любой функции / Є (Ф+; К) Следовательно, преобразование Фурье-Лапласа—линейный непрерывный оператор из (Ф; К) в Р(Фрт). Остается применить предложение 1.2.1, чтобы заключить, что оно— линейный непрерывный оператор из D(Qpr; К) в Р(Фрг). 2). Если / = 0 в С для / D(lpr\K)% то, применив обратное преобразование Фурье, получим Таким образом, этот оператор инъективен. 3). Пусть и Є Р(Фрт), то есть, Vn 1 удовлетворяет условию 1.1.1(7), то VM О ЗЯ 0 : Vz Є - t.U,(/«») wM(i + !Nirw(i + Д) «Я (Л,И , v є с Согласно классической теореме Пэли-Винера (см.[17], теорема 7.3.1) функция u{z) является преобразованием Фурье функции f(x) = . .N I e% Xlt u(t)dt, x R , которая принадлежит D(K). Покажем, что / Є D(Upr;K). лишь от n и N. Следовательно, / Є (о л; A"), Vn Є N. Далее, f(z) — и(г), Vz Є RNy и обе эти функции целые. В силу теоремы единственности для голоморфных функций многих переменных f(z) s u{z) в С . Таким образом, всякая функция и Є Р(Фрг) является преобразованием Фурье-Лапласа некоторой функции / (Прт;#), то есть, оператор Фурье-Лапласа сюръ-ективно действует из D{0.w\ К) на Р(Фрт). Вместе с (1.2.5) это означает, что обратный к преобразованию Фурье-Лапласа оператор определен всюду на Р(Фрт) и действует в D(Upr;K) непрерывно. Теорема полностью доказана. Пусть G — открытое множество в RN . Определим пространство D(Qpr] G) — J D(lpr\ К) и наделим его тополо гией внутреннего индуктивного предела относительно вложений D(Clpr; К) в D(Qpr; G). Справедлив следующий результат, доказательство которого стандартно следует из предыдущей теоремы. 1.2.3 Теорема (Пэли-Винера для -0(0 ; С?))(см.[46], п.5.2). Для любого открытого выпуклого множества G в RN преобразование Фурье-Лапласа устанавливает топологический изоморфизм между D(Qpr; G) и пространством целых функций Пусть ш—N-мерная весовая функция. Очевидно, что последовательности {nuj(x)} =l и {—и}{х)} =1 удовлетворяют условиям (1.2,3) и (1.2.7) соответственно. Следовательно, все результаты, полученные в первой главе справедливы для пространств пробных и основных функций, определяемых этими весовыми последовательностями. Тогда, если еще в качестве исчерпывающей KN последовательности компактов взять расширение куба {х Є M.N \ \\х\\ 1} в п раз (n = 1,2,...), то согласно теореме 1.3.14 будет справедливо следующее утверждение: N Для р : N + [0; +оо) : p(z) = 2\lmzj\ + u {z) i=i преобразование Фурье - Лапласа функционалов ,?"(//) — Д : z -к e i x,z является линейным топологическим изоморфизмом, то есть ,UJRN) т A ,}{CN) и [Ш)(К") А$(С»). И.3.2 Предложение. Пусть и}—строгий N-мерный вес. Тогда оператор сужения / {о : (W)(RN) — (ш){{0}) сюрвективен. Доказательство. Рассмотрим следующую диаграмму: Здесь Т—оператор Фурье-Лапласа для функционалов, Z—оператор вложения, //—оператор, сопряженный к рщ, a Q—оператор из (И.2.2). Проверим коммутативность диаграммы. Пусть tp L)({0})-Тогда Q{tp) = Pa(-iz) где рл = ip(ea). Подействовав на p {w)({0}) теперь оператором / , а потом на полученное оператором Фурье-Лапласа , имеем: Что и доказывает коммутативность диаграммы. Так как уи7-линейные топологические изоморфизмы, то р топологический изоморфизм "в"тогда и только тогда, когда X обладает этим свойством. Так как о» удовлетворяет условию И.2.3 (с), то по предложению И.2.5 X— топологический изоморфизм "в". Отсюда следует, что оператор р{о}— сюръективен (см. [18], IV.7.8). Аналогичные, только что проведенным рассуждения, показывают, что если о;—строгий JV-мерныЙ вес, то и в случае пространств типа Румье оператор р1 : Li({0}) — \UJJ3LN) является топологическим изоморфизмом "в". Использовав еще топологическую структуру Cfw }(R% которое является Р№пространством и { -.{{0}), которое—Л/ -пространство, получаем, что аналог теоремы Бореля имеет место и в случае пространств типа Румье. Тсіким образом, справедлив следующий результат: 1 для всех у с у; 0, j = 1,... tN. Тогда оператор Р{о] (R-N) - ({0}) сюргективен. Другими словами, для пространств )( ) u (] N) справедлив аналог теореми Бореля. В 1934 году Уитни получил следующее обобщение теоремы Бо-реля: Теорема (см. [44]). Пусть К ф 0 компакте RN и {fa)a K последовательность непрерывных на компакте К функций (иными словами, джет). Следующие утверждения эквивалентны: Джет (/a)aNJV і удовлетворяющий условию («), называется джетом Уитни. Обозначим через {К) пространство всех джетов Уитни на компакте К. Введем оператор сужения рк f —У (/ \к)аеяк- Тогда теорема Уитни означает, что оператор рк действует сюръективно из C0O(RN) на (К). Аналогичная задача для неквазианалитических классов бесконечно дифференцируемых функций и связанных с ними пространств джетов, удовлетворяющих определенным оценкам роста производных и соответствующим оценкам компонентов джетов, рассматривалась многими авторами [5], [10], [27], [28], [33], [36], [42], Наиболее полные результаты по обобщению теоремы Уитни установлены Р.Брауном, Р.Майзе, Б.А.Тейлором и Дж.Бонетом [27], [28], [42] для пространств ультрадифференцируемых функций, определяемых одномерной весовой функцией о?. Основную идею для доказательства теоремы Уитни в случае f{wj.(Rw) » они взяли у Дж.Вруна [31], который показал, что аналог теоремы Уитни о продожении в классах неквазианалитических функций справедлив тогда и только тогда, когда он справедлив для точки (то есть, выполняется теорема Бореля) и если класс содержит так называемые функции-"срезки", удовлетворяющие определенным условиям. В настоящей главе, опираясь на работы [27], [28], [42], получен аналог теоремы Уитни для пространств типа Берлинга и Румье (U)(RN) и {Ы}(К.№), определяемых ЛГ-мерным весом w. Мы уже показали справедливость теоремы Бореля для рассматриваемых нами пространств в случае строгой JV-мерноЙ весовой функции. В качестве функций-"срезок"будем использовать функции, построенные в [27] для пространства (11 ), где П—одномерная весовая функция, введенная нами в главе II. Функции-"срезки"будут принадлежать и нашему пространству Д К. ), так как, в этом случае .0 )(3 ) «- D jfR ). Если теперь взять функцию а — т(г,..., г) такую, что П = о( г) при г — +оо, то построенные в пространстве D fR ) функции-"срезки"будут принадлежать и пространству D ,)( LN), вследствие того, что Dm{&") ч D{ii)(R») - Diu)(R"). Пусть и—N-мерный вес, fa){RN) (S (RN)) пространствауль-традифференцируемых функций типа Берлинга (соотв. Румье), введенные нами в главе II. Для компактного множества К в RN положим Заметим, что в силу предложения 1.2Л, указанное описание пространств пробных функций типа Берлинга и Румье D (K) и D{U (K) эквивалентно описанию пространств D(Q,pr\K) и Пусть из—N-мерный вес и А ф 0— замкнутое подмножество в W . Джет F = (/й)аек wa А на-зываетсяи—Уитни джетом типа Берлинга, если выполняются следующие условия: для любых К С А и т N существует М О такое, что ішеют место оценки: и Vr, у Є К Через (ы)( Л) обозначим линейное пространство всех w -Уитни джетов типа Берлинга на А. Для каждой весовой N-мерной функции и и каждого замкнутого множества А С U.N введем оператор сужения рл : S (RN) - (wj(A), действующий по правилу: РЛ(Л = (/(а)Ц)веК Следующая лемма доказывается аналогично лемме 3.4 из [27]. III.2.2 Лемма. Пусть ш—N-мерная весовая функция. Тогда для каждого m Є N найдется SQ Є (0; 1), такое, что Vs — (su...,5 ) C5j6(0;so) Пусть теперь r(r)—строгая одномерная весовая функция такая, что Обозначим cr(xi,... ,XJV) := о (!М). Так как tr—строгая весовая функция, то г также является строгим весом. Тогда по лемме Ш.1.7 если К ф 0— компакт в RN и {Qj)jes, (Q )j eN і как в лемме Ш.1.6, то для любого п Є N существуют р Є N, го 6 (0; 1/2), Сі 0 и последовательность (Ф;)до Є D jfR ), которая удовлетворяет условиям (а)—(с) Ш.1.7 и (d) если dist(Qj, К) roMf1, то Для каждого m Є N оценим сверху выражение sup sup Ф;. (х)еа;р{ — т р%[ — ) ) при условии, что dist(QhK) rQM{1. Так как V& N ЭСе 0 : тогда Взяв є = —» получим, что для любых fc, m Є N и я О КТТЪ найдется D = D(T71, к), при котором Теперь, учитывая (111.1.4), заключаем, что справедлива следующая лемма: III.2.3 Лемма. Пусть Ь—строгая весовая функция: П(г) — о(а(г)) при г - оо. Пусть К, (Qj)jen, (QJ)jeN как в лелілеє Ш.1.7. Тогда для любых m,n Є N существуют Сі 0 и последовательность (Фу)до D(W)(R ), ?лл которой выполняются соотношения (а)—(с) Ш.1.7 и Ш.2.4 Лемма. Пусть и—N-мерный строгий вес, К ф 0 — компакт в UN и пусть F — (fa)a sf Є )(К). Тогда существуют компактный куб Н, содержащий внутри себя К, и число Л О такие, что для любого j Є N найдется семейство функций {fx : х 6 К} из пространства D(w)(#), для которого справедливы следующие высказывания: .Более того, существуют В± 0 « do (0; 1) такие, что Vae!? uVx,yeK,zeRN с\zk-xk\+\zk-yk\ d0(l k N) имеет место оценка Доказательство. Так как рщ : )(RN) - (w)({0}) сюръ-ективен и пространства (ы)({0}) и D(W)(HQ) (Щ—произвольный фиксированный куб, содержащий начало координат) являются рефлексивными пространствами Фреше (они даже М -пространства, откуда и следует, рефлексивность), то проведя рассуждения как в III.1.9, получим справедливость (III.2,4) и (Ш,2.5). Чтобы доказать (Ш.2.6), фиксируем я, у Є К І Є №N и а 6 NQ С cti li при всех і от 1 до N. ІЬк же, как в ІІІ.1.9 Для оценки выражения в квадратных скобках применим лемму Последнее неравенство справедливо в силу невозрастания функции Г2 . III.2.5 Теорема Для каждого N—мерного строгого веса ю и любого непустого компакта К в RN отображение Рк {u)№N) "" (w){K) сюръективно. Доказательство. Фиксируем F = (/а)аєм Є $(Ш)(К). Тогда существуют Л, Bx,do, как в лемме Ш.2.4. Положим m0,Afo, и mi как в Ш.1.6, и будем предполагать, что гщ 1 (это всегда возможно). Так как т выбрано так, что П — о{ т) при t - +оо и без ограничения общности можно считать, ЧТО 0 [О:1] = fij[0;l] то по лемме Ш.1.5 Vj N Зп N : Применим следствие III,2.3 с этим п. По нему для любого m N найдутся Сі О, І? 0 и последовательность (Ф7-)/єн Z?(wj(R"), удовлетворяющая условиям («)—(с) из Ш.1.7 и lll.2.Z(d"). Для каждого і Є N выберем х # так, чтобы Определим функцию Рассуждая так же, как при доказательстве вспомогательного утверждения в теореме ШЛ.10, устанавливаем справедливость следующего утверждения: Для каждого j N найдутся р є N J?2i - 0 такие, что ?ля любых х Є.К uz К с еьтолияетсд неравенство: Далее, для каждого фиксированного а Є N , определим функцию 0. zeRN\Ky z Є К, Покажем, что / Є C{RN) и /(в (г) = /a(z), Va Є Nf, V Є RN. Согласно лемме 1 из [18], достаточно показать, что все fa{z) непрерывны. Случаи когда х . К либо х К и z К рассматриваются аналогично теореме Ш.1.10. Если х Є К, a z . К и г — х\ достаточно мало, то что влечет непрерывность /х на компактном кубе Н, содержащем внутри себя К. Здесь мы применили (Ш.2.9), (Ш.2.7) для оценки первого слагаемого. Для оценки второго слагаемого мы использовали то, что fx Є D(W)(H). Стремление к нулю следует из того, что limfT(i) = +оо. Покажем теперь, что / Є (ц(К ). Пусть п N будет как в (Ш.2.7) и j—произвольное число из N. Найдем o(j) : Ь(у) —Dj, Vy Є [0; єо\ и выберем Для z R. \K с dist(z, К) є выберем х Є К так, чтобы \z - х\ — dist(z}K). Тогда для а Є N применим (Ш.2.9) и (Ш.2.5), получим, что для любого j N : Этого достаточно, чтобы утверждать, что теорема доказана, если применить далее рассуждения, завершающие доказательство теоремы Ш.1.10. Если объединитьтеоремыШ.1.10 и Ш.2.5, то получим следующее утверждение, являющееся основным результатом третьей главы. Ш.2.6 Теорема. Для каждого N—мерного строгого веса и) и любого непустого компакта К в R1 отображение рк +{RN) —У {К) сюръективно. Иными словами, для пространств (Ш)(Ш! ) и {Ы}(Ж ) справедлив аналог теоремы Уит-ни. Основная цель данного раздела—доказать необходимость условия строгости JV-мерного распадающегося веса из для сюръективности оператора сужения рк, а значит и для выполнения выполнения аналогов теорем Бореля и Уитни. Рассмотрим пространства ультрадифференцируемых функции-типа Берлинга и Румье, определяемые JV-мерным распадающимся весом &, то есть п оо). Определим следующие пространства целых функций: Для того, чтобы сформулировать и доказать следующую лемму, напомним, что в главе II при нахождении оценки сверху функции р+ (ш—многомерный вес), мы установили справедливость для нее соотношения (II.2.1). Очевидно, что это соотношение будет справедливо и для JV-мерного распадающегося веса , как частного случая многомерного веса. А именно, ЗА Є (0; +оо) IV.2.2 Лемма. Пусть и -N-мерный распадающийся вес и К—компактное в множество. Для каждой функции д{) = 2 9 Ла FvfASP) 1«1 о и каждой точки а К линейный функционал Доказательство. Согласно лемме 1 (см. [4],стр.142) для коэффициентов Тейлора функции g выполняется неравенство: Va Є N , Vr Є (0,+оо) \ga\ max \g(z)\ (г")"1, здесь 5(0,г) С С —поликруг, где Перейдя к инфимуму по г, получим: Из леммы 1.5 [30] следует, что функция —— возрастает по х \h) 1/Л - Л/5 на (0, +оо). Тогда —fopi IV.2.3 Следствие.Пусть а , К и а такие как в лемме IV.2.2. Тогда для каждого g Є {&){& ) (соотв. .7 )(0 ),/ линейный унедиомод fi непрерывен на (с,)(К) (соотв. }{К)). В частности, этот факт справедлив, если д—многочлен. IV.2.4 Определение. N-мерная распадающаяся весовая функция ш называется строгой, если она удовлетворяет условию ПЛ.2(е). XV.2.5 Теорема. Пусть и—N-мерная распадающаяся весовая функция. Еслиш —нестрогая, то операторрк : i$&N) - {К) не является сюръективным для любого непустого компакта К ей Доказательство. Без ограничения общности будем считать, что О Є К и К С {х Є RN : Xj О, Vj : 1 j N}. Тогда Y?: 1 j N, что будет справедливо неравенство: (IV.2.2) Рассмотрим многочлены ространства {R ), (uj{Rw). Пусть К— непустой компакт в HLNy (К) пространство всех джетов на компакте К. . Поэтому f/ (/)U,, - 2/ ,p) и, следовательно, P : wtej {mN) — ш {К) непрерывен. Тогда по свойствам индуктивных и проективных пределов оператор р действует из „(R ) в т(К) непрерывно. Сопряженный оператор р к : ЦК) — l(RN) действует по правилу: f/K( p), f = у», (/(а) ! )« 151 всех / е (R ) где р IV. 2.1 Замечание. Известно, что если отображение р% {$LN) — {К) сюръек-тивно, то оно открыто. Это следует из теорем 1 и 3 в приложении 1 Райкова к [12]. Пусть зафиксированы р (0; +оо) и h (0; +оо). Определим следующие пространства целых функций: Для того, чтобы сформулировать и доказать следующую лемму, напомним, что в главе II при нахождении оценки сверху функции р+ (ш—многомерный вес), мы установили справедливость для нее соотношения (II.2.1). Очевидно, что это соотношение будет справедливо и для JV-мерного распадающегося веса , как частного случая многомерного веса. А именно, ЗА Є (0; +оо) IV.2.2 Лемма. Пусть и -N-мерный распадающийся вес и К—компактное в множество. Для каждой функции д{) = 2 9 Ла FvfASP) 1«1 о и каждой точки а К линейный функционал Доказательство. Согласно лемме 1 (см. [4],стр.142) для коэффициентов Тейлора функции g выполняется неравенство: Va Є N , Vr Є (0,+оо) \ga\ max \g(z)\ (г")"1, здесь 5(0,г) С С —поликруг, где Перейдя к инфимуму по г, получим: Из леммы 1.5 [30] следует, что функция —— возрастает по х \h) 1/Л - Л/5 на (0, +оо). Тогда —fopi IV.2.3 Следствие.Пусть а , К и а такие как в лемме IV.2.2. Тогда для каждого g Є {&){& ) (соотв. .7 )(0 ),/ линейный унедиомод fi непрерывен на (с,)(К) (соотв. }{К)). В частности, этот факт справедлив, если д—многочлен. IV.2.4 Определение. N-мерная распадающаяся весовая функция ш называется строгой, если она удовлетворяет условию ПЛ.2(е). XV.2.5 Теорема. Пусть и—N-мерная распадающаяся весовая функция. Еслиш —нестрогая, то операторрк : i$&N) - {К) не является сюръективным для любого непустого компакта К ей Доказательство. Без ограничения общности будем считать, что О Є К и К С {х Є RN : Xj О, Vj : 1 j N}. Тогда Y?: 1 j N, что будет справедливо неравенство: (IV.2.2) Рассмотрим многочлены С?д(чд/ь = Qfc, сконструированные с помощью леммы IV. 1.2. Пусть 5 (&,..., jv) = X) а ,» 1 %я \ \ пь Используя эту лемму и соотношение (IV.2.2), получим По следствию IV.2.3 функционалы / j(/) являются непрерывными на {К) для любого натурального j. Очевидно, что pxtij, где р к—оператор, сопряженный с рк задается формулой:
aN?\x\
H/IU:- sup |/a|«a;p( V>J(<*m)) Ш{ШІ' -'УЛГІ) <й < Дм(уь ..., yN) + В,]X" -У^І~"*ехр(Уї(т{1 +1))).Пространства пробных функций типа Берлинга и Румье
Достаточные условия справедливости аналогов теоремы Бореля в терминах пространств целых функций 52 Н.З. Доказательство основного результата
Теорема о продолжении для классов
Необходимое условие сюръективности оператора сужения
Похожие диссертации на Аналоги теоремы Уитни о продолжении для пространств ультрадифференцируемых функций, определяемых многомерным весом
