Введение к работе
Диссертация посвящена решению многомерных экстремальных задач теории приближений и теории функций в пространствах с весом — задачи о точной константе Джексона в пространстве 1/2 с весом и связанной с нею задачи Логана для целых функций.
Актуальность темы. Задача о точной константе в неравенстве Джексона (константе Джексона) между величиной наилучшего приближения И МОДулеМ НепрерЫВНОСТИ фуНКЦИИ В Пространстве 1/2
является важной экстремальной задачей теории приближений. Первый точный результат для одномерного тора Т был получен Н.И. Черных в 1967 году. Несмотря на кажущуюся простоту метрики 1/2 и возможность явной записи элемента наилучшего приближения задача о константе Джексона оказалась весьма сложной и привлекла внимание многих математиков. Развитие тематики шло по пути расширения списка многообразий, на которых рассматривалось пространство 1/2 и усложнения определения модуля непрерывности.
Точные неравенства Джексона были доказаны для многомерного тора Td (В.А. Юдин), евклидова пространства M.d (Н.И. Ибрагимов и Ф.Г. Насибов, В.Ю. Попов, А.Г. Бабенко, А.В. Московский), гиперболоида Hd (В.Ю. Попов, Д.В. Горбачев и М.С. Пискорж), евклидовой сферы 5^-1 (В.В. Арестов и В.Ю. Попов, В.Ю. Попов, А.Г. Бабенко), проективных пространств (А.Г. Бабенко).
Точные неравенства Джексона с к-м и более общими модулями непрерывности были доказаны Н.И. Черных, А.Г. Бабенко, А.И. Козко и А.В. Рождественским, С.Н. Васильевым, B.C. Балаганским и другими математиками.
Константа Джексона, зависящая от приближающего подпространства и модуля непрерывности, имеет глобальный минимум. Если фиксировать приближающее подпространство, то интересной и сложной становится задача нахождения минимального значения аргумента в модуле непрерывности, при котором константа Джексона становится наименьшей. Минимальное значение аргумента модуля непрерывности называют оптимальной точкой или точкой Черных. Первый оптимальный аргумент нашел Н.И. Черных для тора Т. Наиболее полные результаты для евклидова пространства M.d были получены Е.Е. Бердышевой, Д.В. Горбачевым. Они показали, что оптимальная точка зависит как от геометрии спектра приближающих целых функций, так и от геометрии окрестности нуля в определении модуля непрерывности. Е.Е. Бердышева установила глубокую связь между
оптимальной точкой в неравенстве Джексона и экстремальной задачей Логана для целых функций многих переменных из пространства Li(Md).
Нахождение констант Джексона для широкого класса пространств 1/2 на компактных и локально компактных многообразиях использует развитый гармонический анализ. Наличие такого анализа определяется наличием группового сдвига, или наличием богатых групп движений на этих многообразиях, позволяющих естественным образом определять приближающие подпространства, обобщенный сдвиг и модули непрерывности.
Создание Ч. Данклем и другими математиками содержательного гармонического анализа на евклидовом пространстве M.d с обобщенным степенным весом делает актуальным решение указанных задач и в пространствах с весом.
Цель работы. Основной целью диссертации является решение экстремальной задачи о константе Джексона в пространстве 1/2 на M.d с обобщенным степенным весом и на Td с периодическим весом Якоби. Нахождение оптимальной точки в неравенстве Джексона в пространстве 1/2 на M.d с обобщенным степенным весом и решение связанной с ней экстремальной задачи Логана для целых функций многих переменных.
Методы исследования. Применяются методы теории функций, теории приближений, функционального анализа, гармонического анализа в пространствах с весом.
Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:
1. Доказана непрерывность константы Джексона в пространстве
1/2 (M.d) с обобщенным степенным весом.
2. Многомерная задача о константе Джексона в пространстве
1/2 (M.d) с обобщенным степенным весом для случая, когда приближаю
щее подпространство и модуль непрерывности определяются евклидо
выми шарами, сведена к одномерной задаче в пространстве 1/2 (К+)
со степенным весом.
В случаях, когда приближающее подпространство определяется евклидовым шаром, а модуль непрерывности — евклидовым шаром или параллелепипедом, в неравенстве Джексона в пространстве 1/2(M.d) с обобщенным степенным весом найдены оптимальные точки.
Решены экстремальные задачи Логана, Фейера, Дельсарта для целых функций из пространства Li(Kd) с обобщенным степенным
весом.
5. Доказано точное неравенство Джексона в пространстве 1/2(Td) с периодическим весом Якоби.
Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты и предложенные методы могут быть использованы при решении экстремальных задач в других пространствах с весом.
Апробация работы. Результаты работы докладывались на Между нар одной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики» в г. Туле (2009, 2010, 2011), VI Международном симпозиуме «Ряды Фурье и их приложения» в г. Новороссийске (2010), научном семинаре д.ф.-м.н., профессора В.И. Иванова в ТулГУ (2009-2011).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в трех статьях [1, 2, 3] в журнале, входящем в перечень ВАК РФ.
Тезисы докладов на конференциях опубликованы в [4, 5, 6, 7].
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Главы разбиты на 10 параграфов. Общий объем диссертации - 121 страница. Библиография содержит 79 наименований.
