Введение к работе
Актуальность темы. Задача о точных константах в неравенствах Джексона между наилучшим приближением и модулем непрерывности в пространстве L-2 на компактных множествах является важной экстремальной задачей теории приближений.
Наиболее естественна эта задача в пространстве L2 на компактных абелевых группах для приближений полиномами по системам характеров. Точные неравенства Джексона в пространстве L? на торе получены в работах Н.И.Черныха [1,2], Л.В.Тайкова [3], А.Г. Бабенко [4,5], В.А. Юдина [6] и других. Доказательству точных неравенств Джексона в пространстве L? на нульмерных группах посвящены работы Н.Я. Виленкина и А.И.Рубинштейна [7], В.И.Иванова [8].
В последнее время начали появляться первые результаты по неравенствам Джексона в пространстве іг на сильно однородных метрических компактах. Многие важные метрические компакты сами не являются группами, но обладают богатыми группами преобразований. Группа преобразований индуцирует на компакте обобщенный сдвиг [9], а квазирегулярное представление группы приводит к разложению пространства L,2 в ортогональную сумму конечномерных подпространств. Так в случае евклидовой сферы S" модуль непрерывности с помощью обобщенного сдвига был определен Х.Р. Рустамовым [10], а теорема Джексона доказана А.Г. Бабенко [11].
Экстремальная задача о константах Джексона в пространстве І2 на метрических компактах тесно связана с экстремальными задачами об оценках мощности кодов, дизайнов на этих компактах. Отметим работы Ф. Дельсарта [12], Мак Элайса - Родемича - Рам-сея - Велча [13], Г.А. Кабатянского и В.И. Левенштейна [14], В.М.Си-делышкова [15], В.И. Левенштейна [16], В.А. Юдина [17].
Цель работы. Диссертация посвящена доказательству точных неравенств Джексона в пространстве г на нульмерных группах Z~, т ^ 3 и в пространстве /г на конечной группе 7П\ с метрикой Хем-минга.
Методы исследования. Применяются методы теории приближений, абстрактного гармонического анализа, теории представления групп.
Научная новизна, а) Вычислены константы Джексона в пространстве Li на нульмерных группах Z^ для приближения по системам Крестенсона - Леви при т)3и малых аргументов и при т — 3,4 и всех аргументов в модуле непрерывности.
б) Доказаны точные неравенства Джексона в пространстве /г на конечной группе Z'2' с метрикой Хемминга для приближений суммой подпространств, на которых действуют неприводимые представления группы движений, и модуля непрерывности, определяемого с помощью обобщенного сдвига; доказаны новые свойства дискретных ортогональных многочленов Кравчука; установлена связь между константами Джексона и оценкой Дельсарта максимальной мощности двоичных кодов.
Все результаты являются новыми.
Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в теории приближений при исследовании экстремальных задач в пространствах Lp на метрических компактах.
Аппробация работы. Результаты диссертации докладывались на Международных конференциях по теории чисел в г. Туле (1993 г., 1996г.), Международной конференции по теории приближений в г.Калуге (1996г.), на семинаре С.А.Теляковского в МИРАН, на семинаре В.И. Иванова в ТулГУ.
Публикации. Основные результаты опубликованы в 4 работах, список которых приведен в конце автореферата. Две работы написаны в соавторстве с В.И. Ивановым.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка цитированной литературы. Общий объем диссертации — 107 страниц. Библиография содержит 42 названия.
