Введение к работе
Актуальность темы. В современной геометрической теории функций активно взаимодействуют, дополняя друг друга, различные методы исследования. Появление и развитие вариационного метода, метода экстремальных метрик и метода симметризации привело к пониманию существенной роли, которую играют в решении экстремальных задач квадратичные дифференциалы. Было установлено, что границы экстремальных областей в ряде задач лежат на траекториях ассоциированного квадратичного дифференциала. Поэтому геометрические характеристики этих областей тесно связаны с кратностью и расположением критических точек (т.е. нулей и полюсов) этого дифференциала, которые часто заранее неизвестны и являются параметрами подлежащими определению. Если не предполагается та или иная симметрия в расположении критических точек, то число допустимых (т.е. удовлетворяющих всем необходимым условиям данной конкретной задачи), но не реализующих искомого максимума конфигураций быстро растет с возрастанием числа этих точек. Кроме того, в ряде задач даже при достаточно небольшом числе критических точек нахождение искомых экстремальных величин в явном виде значительно усложняется тем обстоятельством, что приходится иметь дело с эллиптическими и гиперэллиптическими интегралами. С такого рода сложностями, в частности, приходится иметь дело в двух классических задачах геометрической теории функций:
Задача 1.1. Пусть Е— континуум на комплексной плоскости С, п > 2, и пусть dn(E) — л-й диаметр Е:
і 2/[л(л-1)1
d„(E)
с. .с. є/;'
Найти максимум dn(E) в семействе всех континуумов единичной емкости.
Задача 1.2. Пусть с\,...,сп— система различных точек римаповой сферы С, D\,...,l)„ — система неналегающих односвязных областей на
С таких, что CjE Dp j-\,...,n, и пусть R(Dj,Cj) — конформный радиус области Dj относительно точки Cj. Найти максимум функционала
Г -|-2/(»-1)
ГЇОД,с7) ПК -',1
/ = ! [iSlS/Sn J
для всех указанных систем точек су и областей Dj.
В настоящее время решения задач 1.1 и 1.2 получены только для «=2,3,4. Представляется актуальным получение конкретных частных результатов в задачах 1.1,1.2 и аналогичных задачах о неналегающих областях, а также доказательство общих утверждений качественного характера, уменьшающих число возможных допустимых конфигураций в задаче и
дающих качественную информацию в тех случаях, когда указание явного вида экстремальных величин оказывается затруднительным.
Одно из современных направлений в геометрической теории функций состоит в изучении классов однолистных функций с точки зрения функционального анализа. Этому кругу вопросов посвящена в частности монография Г. Шобера1. Пусть Я(Л) — пространство аналитических в области Д = {> 1} функций с топологией равномерной сходимости на компактах в
Д, Ї и 2 — классы функций f {) = ^ + ^^.^0 vg~v мероморфных и однолистных соответственно в областях А и С\[0,4]. Функция /єї называется опорной функцией класса Е, если существует линейный непрерывный, отличный от константы, функционал L в Я(Д) такой, что Re{L(/)} > Re{L(g)} для любой функции є I. Известно1, что выпускаемое множество Г= С\/(Д) опорной функции / є Е является объединением конечного числа аналитических дуг, лежащих на траекториях квадратичного дифференциала
регулярного в некоторой окрестности Г. Г. Шобер предположил2, что дифференциал (1) может иметь только простые нули на множестве Г и, следовательно, выпускаемое множество опорной функции не может содержать более трех дуг, выходящих из одной точки. Доказательство этого факта было сведено3 к проверке следующего утверждения
Гипотеза А. Для каждого п > 3 существует функция f(Q є 2 такая, что
Re{/(Q}„ > 0. (2)
Здесь под {/()}„ понимается коэффициент при C,~v в разложении функции /(Q в окрестности бесконечно удаленной точки. Эта гипотеза интересна также тем, что при п = 1,2, как это вытекает из известных результатов для класса X, в классе справедливо обратное неравенство
Re{/(Q}„<0. (2')
Таким образом, представляет определенный интерес как доказательство самой гипотезы А, устанавливающей указанные свойства опорных функций
1 SchoberG. Univalent functions — selected topics. Lect. Notes Math., 1975,
N 478, 200 p.
2 Schober G. Some conjectures for the class . — Contcmp.Math., 1985, vol.38,
p.13-21.
3 Leung YJ., Schober G. Low order coefficient estimates in the class 2. Ann.Acad.
Sci.Fcnn. Ser. A.LMath., 1986, vol.11, p.39-61.
класса 2, так и исследование с точки зрения выполнения или невыполнения неравенств (2-2') классов функций регулярных в области С \ [0,4].
Цель работы. Установление экстремальных свойств систем отображений круга и кольца на неналегагощне области, изучение свойств опорных функций класса 2, оценка коэффициентов в некоторых классах функций.
Методика исследования. В работе применяются вариационные методы, метод интегральных представлений, ряд общих результатов метода экстремальных метрик, используются результаты о локальной и глобальной структуре траекторий квадратичных дифференциалов.
Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми. Доказано, что ассоциированные квадратичные дифференциалы в задачах 1.1 и 1.2 имеют только простые ііули. Найден максимум третьего диаметра в семействе континуумов заданной гиперболической емкости. Получен ряд результатов в задаче о максимуме произведения конформных радиусов трех неналегающнх односвязных областей на комплексной плоскости. Доказана гипотеза Шобера-Льюнга при всех л>4. Получено интегральное представление и установлен ряд экстремальных свойств некоторых классов типично вещественных функций.
Теоретическая и практическая ценность. Результаты, полученные в диссертации и примененная в ней техника исследования могут найти применение при решении экстремальных задач геометрической теории функций.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинарах Петербургского отделения Математического института РАН и на Всероссийской научно-методической конференции в СПГУВКе в 1994г.
Публикации. По теме диссертации автором опубликованы пять работ (одна из них совместно с Г.В. Кузьминой), список которых приведен в конце автореферата.
Структура и объем работы. Диссертация изложена на 118 страницах и состоит из введения, трех глав и списка литературы из 59 наименований.
