Содержание к диссертации
Введение
I глава. Асимптотически оптимальный выбор узлов при приближении функций сплайнами
1.1.Предварительные результаты 18
1.2. О6 оптимальном выборе узлов при приближении функций локальными L -сплайнами 24
1.3.О6 уклонении интерполяционных сплайнов от локальных
1.4. О выборе узлов для интерполяционных сплайнов минимального дефекта .51
1.5.О выборе узлов при приближении функций сплайнаминаилучшего приближения. 60
II глава. Оптимальное восстановление функций и функционалов .
2.1.Постановка задач. Предварительные результаты 67
2.2. О6 асимптотически оптимальном восстановлении интеграла на классах 72
2.3. О6 оптимальном восстановлении интеграла 76
2.4.О6 оптимальном восстановлении функций на классах Wf 83
2.5. О восстановлении функций с использованием дополнительной информации 88
Литература 94
- О6 оптимальном выборе узлов при приближении функций локальными L -сплайнами
- О выборе узлов для интерполяционных сплайнов минимального дефекта
- О6 асимптотически оптимальном восстановлении интеграла на классах
- О восстановлении функций с использованием дополнительной информации
Введение к работе
диссертационная работа посвящена исследованию задачи выбора последовательности асимптотически оптимальных разбиений при приближении функций сплайнами и задаче оптимального и асимптотически оптимального восстановления функций и функционалов.
Основные результаты диссертации состоят в следующем: указан выбор последовательности асимптотически оптимальных разбиений при приближении функций локальными L -сплайнами, интерполяционными сплайнами минимального дефекта и сплайнами наилучшего приближения; получена асимптотически наилучшая весовая квадратурная формула на классах "Wp ( г = 3,5 )и исследована задача оптимального восстановления интеграла на некоторых классах функций, задаваемых модулем непрерывности; решена одна задача оптимального восстановления функций по информации, использующей значения функции и её производных в точках.
Функцию Se С (к= Г} ) называют сплайном порядка г дефекта к по разбиению если на каждом интервале (tUl п tL п ") она совпадает с алгебраическим многочленом степени не выше f
Через Srl< ( Л n ) обозначим множество всех сплайнов порядка г дефекта к по разбиению Art . Заметим, что S гк ( Дп.") - множество функций вида
Наиболее часто применяются интерполяционные сплайны мини- мального дефекта. Сплайн s ^ (ос, Аа) є S г- ± С An ) назовем интерполяционным для функции ос , если при г= 1 ,"5,5,,.. и для с граничными условиями
С (*,**. О = х (О О=0, LO-i)/2], 1 = 0,1"), ( где LZ1 - целая часть числа ) или с периодическими граничными условиями (О / . х w)
Существование и единственность таких сплайнов доказаны в монографиях дж.Алберга, Э.Нильсона, Дж. Уолша [21 и С.Б.Стеч-кина, Ю.Н.Субботина [43J .
На практике широко применяются локальные сплайны, характерным представителем которых являются эрмитовые сплайны.
Сплайн Р (ее, Дп) є. S2t^.i r (A„; называется эрмитовым, если
Р^(осАЛі,„) = * а1п) (*-0,<ч, і-О.*).
Простейшие сплайны давно известны в математике, например, хорошо известен метод ломаных Эйлера. Лебег использовал ломаные для промежуточного приближения при доказательстве теоремы Вейер-штрасса. Позже промежуточные приближения сплайнами успешно применялись Н.П.Корнейчуком [22 J
В теории экстремальных задач сплайны нередко являются экстремальными функциями.
Естественным путем сплайны возникли в работах С.М.Никольс- кого, А.Сарда и др., посвященных наилучшим квадратурным формулам.
В качестве самостоятельного объекта исследований сплайны рассматривались в работах И.Шенберга, Н.П.Корнейчука, Ю.Н.Субботина, Ю.С.Завьялова и др.
Позже получило распространение обобщение полиномиальных сплайнов - L, -сплайны. Функция S&L называется L - сплайном дефекта К , порожденным дифференциальным оператором Uo если где m a, L'xa)=K-i)'l{^t)^t)}.
Теорию L -сплайнов развивали Ю.С.Завьялов, Р.Варга и др.
Пусть |р (;,йп)} некоторая последовательность операторов, отображающих С в S гкСЬп) ( р ^ г - к ).В частности, РГ1, (ос, tSri) может быть интерполяционным сплайном ми-нимального дефекта, эрмитовым сплайном и пр.
При фиксированных г* , 9 и р последовательность разбиений < й п V назовем асимптотически оптимальной для функции ос е С "*1 и последовательности операторов г.к. /р
С« ^ СО г,к ^^'-ft '"р х '-Єѫ,^)1В (i*»W)-
Для клаоса функций Щ с L р положим
Е„СТП,Р,,К)Р^ sup {Еп С*,PPiK)p 1 х- Щ }
В случае, если Р^к (х, Дл) оператор наилучшего приближения, порядок величин Е n (W р , РГ(КХ (і ^ р, 9 ^ ) был найден Ю.Н.Субботиным и Н.ЙЛерных [45 J . Точное значение величин Ea(Wp Рн)о дая некоторых р , Q и г , в случае когда Р,. (ос, &п)эрмитовые сплайны, получено С.Б.Стеч-киным, Ю.Н.Субботиным 2 J , [43] и А.А.Лигуном, В.Ф.Стор-чаем [30] , [31] .
Величины Е п С^РЛ о для ^-і рассматривались в [20] , [14] и др., где находились алгоритмы численного решения этой задачи путем сведения её к задачам нелинейного программирования.
Задача выбора узлов для кубических сплайнов таким образом, чтобы главный член асимптотики уклонения сплайна от функции был на каадом отрезке одинаков, рассматривалась Ю.С.Завьяловым, Б.И.Квасовым, ВД.Мирошниченко [19] , Б.М.Шумиловым 50] и др.
В работе [44] С.Б.Стечкин рассматривал задачу минимизации по разбиениям Д^ функционала где f положительная функция и у выпуклая функция.
Эта задача тесно связана с задачей выбора последовательности асимптотически оптимальных разбиений при приближении функций Ос є (С таких, что xG:)HJ (іє [ОД]) сплайнами.
Задачу выбора последовательности асимптотически оптималь- ных разбиений при приближении функций ссе (С таких, что ос Ш^О It є І0,і] J сплайнами порядка ir рассматривали А.А.Лигун, В.Ф.Сторчай, А.И.Гребенников, Де Вор и др. Утверждение следущей теоремы получено независимо для г*{ , *=0, р = 2. В.С.Азариным и В.И.Барминым [ I] , для 9 = 0, р = оо А.И.Гребенниковым [II] ив общем случае А.А.Лигуном и В.Ф.Сторчаем [30j,f32J.
Теорема А. Пусть г= 1,ъ,5 ,...» V = 0,0-0/2 и р є П,«3 Тогда, если o(.=(r+i- ^+p"i)~ » то W"1 с є С *+ таких, что ос^4 СО ^0 Сіє ГОД]4); последовательность разбиений ід*!.00 _ГГх* \ft I определяемая из равенств ^Ц* J^ " иЧа iUo Jas< будет асимптотически наилучшей, причем /л fl (і . V^ л14'-' е„(х1Грд = ^ mx'-Wdi).*'» где г+< ^ ^+^ BwsCM^! Н-Г'-РДС-ГГ п.унр
Позже А.А.Лигун обобщил этот результат, сняв условие положительности Сг+ і)~й производной.
Для сплайнов наилучшего приближения ( для некоторых к , р и с условием положительности (г+О-й производной приближаемой функции) задачу выбора последовательности асимптотически оптимальных разбиений решали А.А.Лигун, В.Ф.Сторчай, А.Д.Малышева [28] , [29J . Для сплайнов двух переменных аналогичная задача рассматривалась А.И.Гребенниковым [13] ив совместной работе автора с А.А.Лигуном [54] (эти результаты не вошли в диссертацию). Для сплайнов, построенных по методу В.С.Рябенького ( т.е. эрмитовых сплайнов, для которых значение интерполируемой производной функции в узле заменено формулой приближенного дифференцирования), задача выбора последовательности асимптотически оптимальных разбиений рассматривалась в совместной работе автора с А.А.Лигуном, результаты которой не вошли в диссертацию.
В первой главе диссертации исследуется задача выбора последовательности асимптотически оптимальных разбиений при приближении функций сплайнами. Результаты, приведенные в диссертации, отличаются от полученных ранее тем, что, во-первых, снято условие положительности ( г + і ) -й производной приближаемой функции, во-вторых, полученные результаты позволяют строить алгоритмы выбора узлов асимптотически оптимальных разбиений, использующие только значения приближаемой функции в узлах. И, в третьих, решается задача выбора последовательности асимптотически оптимальных разбиений при приближении функций сплайнами; не являющимися локальными: интерполяционными сплайнами минимального дефекта и сплайнами наилучшего приближения.
Используя последние результаты, строится асимптотически наилучшая весовая квадратурная формула на классе "W р для каждого конкретного непрерывного веса.
Перейдем к детальному изложению результатов диссертации.
В 1.1, носящем вспомогательный характер, приводятся некоторые свойства моносплайнов.
Через О (эс, & а у будем обозначать эрмитовый L - сплайн по разбиению Да , т.е. L - сплайн дефекта m такой, что
Результаты 1.2 посвящены выбору последовательности асимптотически оптимальных разбиений при приближении функций L - - II - сплайнами. Основной результат этого параграфа содержится в следующей теореме:
Теорема I. Пусть m»12 * = 0,m-i t р&И,1 t сЛ-(2т-^р~1У , }~ = (2-(-^ (2т+і-н))~ и П-+ОЭ . Тогда для
2 т. х„ __ последовательность асимптотически оптимальных разбиений {Aftj ~{{*i,nj. J определяет- ся из равенств 5 (і^а)і+соЧі/п))^і = = i { (I а. 01 -ro/CiAO^cit (і.іГа), модуль непрерывности где со СО = со (L* L эс Л) ( 05 ( *, О - функции зб е (С в метрике пространства ) и { ^« jn_ любая последовательность,функций такая, что
IlL'Lx- g„IL ^оЛОАО, и при этом (0) [1) ( величина S *. D * определена в теореме А).
Кроме того, если -х є С такова, что |L*L оеЙ)| ^ О, то последовательность разбиений, определяемая из равенств [L,n 1 Zn tt)| ^ = і- J I *n-a)i *сИ Ci-M ), где { n} любая последовательность функций такая, что ll*n-L*L ее 11^ — О, будет асимптотически оптимальной.
Для функций хєС таких, что I Ь L xlw I ^и> при п ОД s L L зс ft) и p = этот результат был получен А.И.Гребенниковым [12 J
В этом же параграфе аналогичный результат получен для более общего вида локальных Ь - сплайнов.
Результаты 1.3 носят вспомогательный характер, хотя имеют и самостоятельный интерес. Здесь найдены уклонения интерполяционных сплайнов минимального дефекта от локальных, в частности, установлена
Теорема 2. Пусть ) = 0/3 и разбиение Лп таково, что \Кі,п'К^іпКпМп\^і > где Ku»tL|flL-tL.4in и
Тогда для кубических интерполяционных сплайнов минимального дефекта 5й[х,&п) и эрмитовых сплайнов Р2>(ос,^п) будут справедливы неравенства U3 Ссс,Ап)-Р Сх;(\п)|Ь , . ^К.цп рйс,іива. где С0 = і / 3S4 , е<= i/v2, сг=і/і2, с5={/іі.
Подобная теорема получена в работе Халла и Майера E47J .
Аналогичный результат получен для сплайнов порядка 2, 4,5.
В 1.4 получены результаты,относящиеся к выбору последовательности асимптотически оптимальных разбиений при приближении функций интерполяционными сплайнами минимального дефекта.
Основным результатом 1.4 является
Теорема 3. Пусть г = 2^5 , v>= Of 0=2,0, )-1^ (г =3,5 ), /Г г+*
Тогда для любой функции хє (L последовательность асимптотически оптимальных разбиений { An У = Ц^іЛ г определяется из равенств - ІЗ - где 05 00 = ш (ос , О и последовательность функций {За] такова, что
При этом где J3 r+j Сі) - функция Бернулли, т.е. ґ -й 1-периодический в среднем равный нулю на периоде интеграл от функции J)i (4) = = t-0,5 (t є (0,1)).
Если ієС такова, что їх rf (О)*"0 ft^LMJX то последовательность разбиений,определяемая из равенств
5 ЫЛШ di-\ і I «a ft)] di a-o7o, где последовательность функций i%n\ такова, что при п-^оо II гл-х{Р+0Н оо^-о будет асимптотически наилучшей.
Здесь же приводятся некоторые результаты,показывающие преимущество асимптотически оптимальных узлов перед равномерными при приближении функций интерполяционными сплайнами, а также указан один способ построения алгоритмов нахождения узлов асимптотически оптимального разбиения, использущий только значения приближаемой функции в узлах.
В 1.5 решается задача выбора последовательности асимптотически оптимальных разбиений для сплайнов наилучшего приближения порядка г дефекта к. . Ранее для сплайнов максимального дефекта эта задача рассматривалась А.А.Лигуном и В.Ф.Стор-чаем [293 , а для к = 2 » p=i А.А.Лигуном и А.Д.Малышевой Г 28J ( при условии положительности (г+О -й производной приближаемой функции). В этом параграфе,в частности, показано, что главный член асимптотики уклонения интерполяционных сплайнов минимального дефекта порядка 2 и 4 с асимптотически оптимальными узлами совпадает с главным членом уклонения сплайнов наилучшего приближения того же порядка с асимптотически оптимальными узлами.
О6 оптимальном выборе узлов при приближении функций локальными L -сплайнами
Диссертационная работа посвящена исследованию задачи выбора последовательности асимптотически оптимальных разбиений при приближении функций сплайнами и задаче оптимального и асимптотически оптимального восстановления функций и функционалов.
Основные результаты диссертации состоят в следующем: - указан выбор последовательности асимптотически оптимальных разбиений при приближении функций локальными L -сплайнами, интерполяционными сплайнами минимального дефекта и сплайнами наилучшего приближения; - получена асимптотически наилучшая весовая квадратурная формула на классах "Wp ( г = 3,5 )и исследована задача оптимального восстановления интеграла на некоторых классах функций, задаваемых модулем непрерывности; - решена одна задача оптимального восстановления функций по информации, использующей значения функции и её производных в точках. Функцию Se С (к= Г} ) называют сплайном порядка г дефекта к по разбиению если на каждом интервале (tUl п tL п ") она совпадает с алгебраическим многочленом степени не выше f Через Srl ( Л n ) обозначим множество всех сплайнов порядка г дефекта к по разбиению Art . Заметим, что S гк ( Дп.") - множество функций вида Наиболее часто применяются интерполяционные сплайны минимального дефекта. Сплайн s (ос, Аа) є S г- ± С An ) назовем интерполяционным для функции ос , если при г= 1 ,"5,5,,.. и для с граничными условиями ( где LZ1 - целая часть числа ) или с периодическими граничными условиями Существование и единственность таких сплайнов доказаны в монографиях дж.Алберга, Э.Нильсона, Дж. Уолша [21 и С.Б.Стеч-кина, Ю.Н.Субботина [43J . На практике широко применяются локальные сплайны, характерным представителем которых являются эрмитовые сплайны. Сплайн Р (ее, Дп) є. S2t .i r (A„; называется эрмитовым, если Р (осАЛі,„) = а1п) ( -0, ч, і-О. ). Простейшие сплайны давно известны в математике, например, хорошо известен метод ломаных Эйлера. Лебег использовал ломаные для промежуточного приближения при доказательстве теоремы Вейер-штрасса. Позже промежуточные приближения сплайнами успешно применялись Н.П.Корнейчуком [22 J В теории экстремальных задач сплайны нередко являются экстремальными функциями. Естественным путем сплайны возникли в работах С.М.Никольского, А.Сарда и др., посвященных наилучшим квадратурным формулам. В качестве самостоятельного объекта исследований сплайны рассматривались в работах И.Шенберга, Н.П.Корнейчука, Ю.Н.Субботина, Ю.С.Завьялова и др. Позже получило распространение обобщение полиномиальных сплайнов - L, -сплайны. Функция S&L называется L - сплайном дефекта К , порожденным дифференциальным оператором Uo если где m a, Теорию L -сплайнов развивали Ю.С.Завьялов, Р.Варга и др. Пусть р (;,йп)} некоторая последовательность операторов, отображающих С в S гкСЬп) ( р г - к ).В частности, РГ1, (ос, tSri) может быть интерполяционным сплайном ми-нимального дефекта, эрмитовым сплайном и пр. При фиксированных г , 9 и р последовательность разбиений й п V назовем асимптотически оптимальной для функции ос е С " 1 и последовательности операторов Для клаоса функций Щ с L р положим Е„СТП,Р,,К)Р sup {Еп С ,PPiK)p 1 х- Щ } В случае, если Р к (х, Дл) оператор наилучшего приближения, порядок величин Е n (W р , РГ(КХ (і р, 9 ) был найден Ю.Н.Субботиным и Н.ЙЛерных [45 J . Точное значение величин Ea(Wp Рн)о дая некоторых р , Q и г , в случае когда Р,. (ос, &п)эрмитовые сплайны, получено С.Б.Стеч-киным, Ю.Н.Субботиным 2 J , [43] и А.А.Лигуном, В.Ф.Стор-чаем [30] , [31] . Величины Е п С РЛ о для -і рассматривались в [20] , [14] и др., где находились алгоритмы численного решения этой задачи путем сведения её к задачам нелинейного программирования. Задача выбора узлов для кубических сплайнов таким образом, чтобы главный член асимптотики уклонения сплайна от функции был на каадом отрезке одинаков, рассматривалась Ю.С.Завьяловым, Б.И.Квасовым, ВД.Мирошниченко [19] , Б.М.Шумиловым 50] и др. В работе [44] С.Б.Стечкин рассматривал задачу минимизации по разбиениям Д функционала
О выборе узлов для интерполяционных сплайнов минимального дефекта
Пусть s Ссе) - 2.% - периодический сплайн мини / мального дефекта порядка г с узлами в точках 2 к Ж /п (к = о"д ) » интерполирующий функцию ос в точках 2 кЯ/n +.X(d+H)r)/0/n) =0 ), sn r Coc) дважды интерполяционный 2JC - периодический сплайн, введенный в предыдущем-параграфе. Результаты, приведенные в следующей теореме, получены Н.П.Корнейчуком [25J и А.АДигуном [37] Теорема 2.5.1. Пусть Yi,r = i,2,... и ре Ll,ooJ, тогда Обозначим через 3r множество индексов і, к =2(к-і) (К = і, 0+2)/2) при г четном и ьк = 2к-і (к =4, О+:0/) при г нечетном, и L - множество индексов Lк =2к (к = 1,0-4)/2 ) если и нечетной LK =2к+1 (к=4, 0-2)/2 ) при Г четном. -со Пусть 3Cwр L01Ll и СС нечётное 2ж -периодическое продолжение xCh) , и ос - к -й периодический интеграл от СС в среднем равный нулю на С. о,2Ж J . Пусть SM „(з:) - сплайн минимального дефекта порядка с узлами в точках кЖ/п (к-0,/1), интерполирующий функцию х в точках кж/п (к Dji ) при г нечетном и (2к+1) И/С2.п) (к=47Гі)при Vй четному граничными условиями stt;, (л,1) =ac CO ОєЗ,., иод). Тогда где І U [0Jtj сужение функции У на 1о,%1 Аналогично, если s„ w . GxO - сплайн минимального де фекта порядка f с узлами в точках кЗї/с2л)+ (і +ЫУ )х/(8п) (к = 0,2п-1) интерполирует функцию ее и её производную в точках к Л/л. (к = 0,а) с граничными условиями Существование сплайнов S„ г Cx") , s п г л Со:) и их единственность следует из существования и единственности сплайнов Sn С О и Snn(x); соответственно. Задача оптимального восстановления функций с использованием дополнительной информации рассматривалась в работе Г8] , где была найдена величина R Щ t0%11 Сп ( (определение Сп (Зг) см. в 2.1). Теорема 2.5.2. Пусть ty r=i,2,... и р. є Li, ooj , тогда Ъп ( ]-г \огд- оптимальным восстановлением функции на классе V 0]t-, является s СF сао) = 5Я П, C -i) (N-a(m-L04) ]+l)) и дри этом из работ [37J и [38 J следует, что где tpnrC0 = 9n,r + r + M,r"ooo,2Tuj)причем fr выбра-- но так, что м р Со) = 0 . Отсвда и из леммы 2.1.2 сразу следует оценка снизу для (2.5.5). Оценка сверху следует из (2.5.1) и (2.5.4). Перейдем к доказательству соотношения (2.5.6). Из леммы 2.1.2 и теоремы 2.1.3 получим
О6 асимптотически оптимальном восстановлении интеграла на классах
Кроме того, если ос є С такова, что х (01 0 (t Є СОДІ ) , то последовательность разбиений,, определяемая из равенств - любая последовательность функций такая, что будет асимптотически оптимальной. при г нечетном и v = 0, г при г четном. Тогда для любой Теорема 1.4.3. Тогда если для функции ее є L последовательность раз биений {Ап jn4 выбрана из условий (I.4.I), а если кроме того \ +і\щ о{і[0}-і ]) , то из условий (1.4.4), то при П -оо Их -9, СзсЛ)Цр .сГ « Доказательству этих теорем предпошлем два следующих утверждения, первое из которых легко доказывается методом неопределенных множителей Лагранжа. Лемма 1.4.4. Для любого и = і,2,,.. и при условиях RL)Li 0 С 1 Й =В справедливы соотношения тиг и Теорема 1.4.5. Пусть г=і,г,... , у =4 , p&Li J и м - ex. . Тогда для любой функции ее є L последо вательность разбиений /д I , определяемая из равенств (1.4.1), а если хе Сr+1 "такова, что / )( 0 (ULO.il), то из (1.4.4), будет асимптотически оптимальной для Pr vAaJ, причем где х(сПа) (х а-о) х{У0(ы ш. Доказательство теоремы 1.4.5 аналогично доказательству теоремы І.2.І. Доказательство теоремы 1.4.2. Для любого М 1 обозначим через Sj/ разбиение отрезка С о, І J точками L/M (L=o,J/) и XM 6rtl(x, оя) -интерполяционный сплайн минимального дефекта, построенный в [43J стр. 131. Тогда ( см. [43J стр. 131) при Л/- Выберем ЯвЯ(x,rfп) как наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенству Отсюда и из предыдущего следует, что при п — оо Из [29] , в частности, следует, что для любой функции xeC \Srr+1 ( A J найдется число М 0 такое, что удлвєЗ ((д„).- »xcVwiip г Д-,. «-4-6 Следовательно, II хЙ- вСЛх, Да)1 - II a?- sf С ,,Д Д + » Ы ) „ (Л СО , = II а Р т.е. для доказательства теоремы достаточно показать, что при П —9-00 І»/{І -Л«,Л)ЇРІАЛ" (1-4,7) р (\ і ig (t)i dtj + о (j ; Зафиксируем О - 4,г ) и для каждого і = i,S выберем промежуток Lai.. hi с: CCi-O/N, L/АІ 3 такой, что на этом промежутке а" - sC/}(ctH, Aa )11 ПУСТЬ її = h ai и бн = hn П [al,BL]= k. n\ni , где П - число узлов Ч . L J lJ j = о разбиения Дп , попавших в промежуток СО--, J Учитывая, что x +i = coast , f е [(-0//1, i/N] (UijO, положим CL= X +i) Ci/H-Q) (иЮ . Тогда для pe El,00) Поэтому Точки Q. и & можно выбрать так, чтобы промежутки Г0.-4)/)1, aL 3 и С& , t/Л 3 содержали не более, чем до f узлов разбиения An , кроме того из [29] вытекает.
О восстановлении функций с использованием дополнительной информации
Пусть s Ссе) - 2.% - периодический сплайн мини / мального дефекта порядка г с узлами в точках 2 к Ж /п (к = о"д ) » интерполирующий функцию ос в точках 2 кЯ/n +.X(d+H)r)/0/n) =0 ), sn r Coc) дважды интерполяционный 2JC - периодический сплайн, введенный в предыдущем-параграфе. Результаты, приведенные в следующей теореме, получены Н.П.Корнейчуком [25J и А.АДигуном [37] Теорема 2.5.1. Пусть Yi,r = i,2,... и ре Ll,ooJ, тогда Обозначим через 3r множество индексов і, к =2(к-і) (К = і, 0+2)/2) при г четном и ьк = 2к-і (к =4, О+:0/) при г нечетном, и L - множество индексов Lк =2к (к = 1,0-4)/2 ) если и нечетной LK =2к+1 (к=4, 0-2)/2 ) при Г четном. -со Пусть 3Cwр L01Ll и СС нечётное 2ж -периодическое продолжение xCh) , и ос - к -й периодический интеграл от СС в среднем равный нулю на С. о,2Ж J . Пусть SM „(з:) - сплайн минимального дефекта порядка с узлами в точках кЖ/п (к-0,/1), интерполирующий функцию х в точках кж/п (к Dji ) при г нечетном и (2к+1) И/С2.п) (к=47Гі)при Vй четному граничными условиями stt;, (л,1) =ac CO ОєЗ,., иод). Тогда aft) - s„,„ Ся.і) = f «a) - sn,,. СссД)] соад , 2.б.з) где І U [0Jtj сужение функции У на 1о,%1 Аналогично, если s„ w . GxO - сплайн минимального де фекта порядка f с узлами в точках кЗї/с2л)+ (і +ЫУ )х/(8п) (к = 0,2п-1) интерполирует функцию ее и её производную в точках к Л/л. (к = 0,а) с граничными условиями (О і ) V 3 Сое,О = х СО а=о,х, )єіД тогда Существование сплайнов S„ г Cx") , s п г л Со:) и их единственность следует из существования и единственности сплайнов Sn С О и Snn(x); соответственно. Задача оптимального восстановления функций с использованием дополнительной информации рассматривалась в работе Г8] , где была найдена величина R Щ t0%11 Сп ( (определение Сп (Зг) см. в 2.1). Теорема 2.5.2. Пусть ty r=i,2,... и р. є Li, ooj , тогда Ъп ( ]-г \огд- оптимальным восстановлением функции на классе V 0]t-, является s СF сао) = 5Я П, C -i) (N-a(m-L04) ]+l)) и дри этом а из работ [37J и [38 J следует, что «f {ll .«pL(W iF e ВпСіЛЕвіМ} И ги Up EO.4XJ. (2.5.8) где tpnrC0 = 9n,r + r + M,r"ooo,2Tuj)причем fr выбра-- но так, что м р Со) = 0 . - 91 Отсвда и из леммы 2.1.2 сразу следует оценка снизу для (2.5.5). Оценка сверху следует из (2.5.1) и (2.5.4). Перейдем к доказательству соотношения (2.5.6). Из леммы 2.1.2 и теоремы 2.1.3 получим.
