Введение к работе
Актуальность темы. Работа является исследованием в области нелинейного анализа и теории экстремальных задач. Речь идет прежде всего об изучении связи колмогоровских поперечников
dn(\v;(i),Lq(i))
Соболевских классов функций I = [0,1] —» R и спектров нелинейных
дифференциальных уравнений - стационарных точек релеевского от
ношения х. .
R = R,p,q)= .,^0 , 1<Р,9<оо. (1)
If1 'lu,(/)
Начало этой проблематике положено А.Н.Колмогоровым , исследовавшим случай р = q = 2 (1936), который приводит к спектру линейного дифференциального уравнения. Систематическое изуче -ние нелинейного случая ((р— 2)2+(q~2)2 ф 0) началось после работ В.М.Тихомирова (1960 - 1970), в которых, в частности, полностью исследована эта проблема в равномерной метрике р — q = оо. При (р —2)2 + ((/-2)2 ф 0 принципиальными являются не только вопросы аппроксимации, но и качественные свойства спектров соответст -вующих нелинейных уравнений.
В гораздо менее полном объеме в работе рассмотрена задача о стационарных точках отношения Ландау
*(п)ні;
4.) = ^^. и
4,,(/)11-^ '!!,(/)
1 < Pi9, г < со, п Є N,k Є Z+,Q < к < п.
Интерес к этой проблематике основан на работах Балле - Пуссена (1892) по оценкам нулей дзета - функции Рішана, а также Ландау (1913) и Адамара (1914) и в большой степени стимулирован основополагающим результатом Колмогорова (1939).
Цель работы - описать стационарные точки функционала Ре-лея
Л(г,Р,9) = 1Ик,(/)/|Иг)||м/),
построить спектр соответствующего нелинейного уравнения и исследовать его свойства. Решить задачу о колмогоровских и других п -поперечниках W* в Lq при различных соотношениях на р, q.
Методика исследования. Для доказательства существования первых точек спектра достаточно стандартных методов теории экстремальных задач (теорема Вейерштрасса). Конструкция спектра в общем случае получена соединением метода Келлога с исследованием образа октаэдра при отображении Пуанкаре.
Для оценки поперечников сверху используется метод аппроксимации интерполяционными сплайнами, предложенный Тихомировым (р = q = оо) и допускающий распространение на случай р > q. Оценки снизу получены композицией метода Пуанкаре и теоремы Тихомирова о поперечниках шара.
Большинство задач теории функций, рассматриваемых в работе, имеют естественный дискретный аналог, допускающий непосредственное применение вычислительной техники как одного из аппаратов исследования. Поэтому существенное место в работе заніь-мают конечномерные задачи.
Научная новизна. Работа продолжает исследования, начатые Колмогоровым (1936) и существенно продвинутые затем Тихомировым (1960 - 1970), Пинку сом (1975 - 1985) и многими другими.
В диссертации содержатся следующие новые результаты.
1. Точные значения колмогоровских и бернштейновских попе -
речников соболевских классов функций, определенных на единичном
отрезке.
2. Конструкция спектров нелинейных уравнений , исследова
ние их качественных свойств, вычислительные алгоритмы получе
ния решений, асимптотика собственных значений.
3. Качественный анализ экстремальных функций в неравенствах Колмогорова для норм функции и ее производных.
Теоретическая и практическая значимость работы. Работа носит теоретический характер в области теории функций и теории дифференциальных уравнений, хотя существенное внимание уделяется и интерпретации полученных результатов в нелинейной механике, а также вычислительным методам.
Апробация работы и публикации. Основные результаты по мере их получения в рабочем порядке обсуждались на семинаре по теории приближений в МГУ (рук. проф. В. М. Тихомиров).
Различные фрагменты работы докладывались на следующих конференциях, школах и семинарах
1) Всесоюзных школах по теории операторов в функциональных
пространствах (Минск, 1982г.; Рига, 1983г.; Тернополь, 1984 г.; Че
лябинск, 1986г.);
2) Международных конференциях по теории аппроксимации
(Киев, 1983 г.; Варна, 1987 г.);
-
Всесоюзных школах по теории функций (Саратов, 1986 г.; Ереван, 1987 г., Иркутск, 1987 г.; Воронеж, 1990г.);
-
Второй и Третьей Северо-Кавказских конференциях "Функционально - дифференциальные уравнения" ( Махачкала, 1988г. и 1992г.)
-
Республиканской научной конференции "Экстремальные задачи теории приближений" (Киев, 1990г.);
-
семинаре по теории функций в МИРАН,руководители акад. СМ. Никольский и член-корр. Л. Д. Кудрявцев (1992);
-
семинаре по теории аппроксимации в МИРАН, руководители проф. СБ. Стечкин и проф. С. А. Теляковскип (1992г.);
-
семинаре по теории ортогональных рядов в МИРАН, руко-
водители проф. Б.С.Кашпн и проф.В.Н.Темляков (1990-1992 г.г.);
9) семинаре по теории функций в МГУ, руководители чл. - корр.
П.Л.Ульянов и проф. Б.С.Кашин (1992);
-
семинаре по дифференциальным уравнениям в МГУ , руководитель проф. А.Г.Костюченко (1991);
-
семинаре кафедры общей математики ВМК МГУ, руководители чл. корр. Бицадзе А.В. , акад. Ильин В.А., проф. Моисеев Е.И. (1992) .
-
семинаре по теории функций в РУДН , руководитель проф. В.И. Буренков (1992).
-
семинаре по дифференциальным уравнениям в Харьковском университете, руководитель акад. Марченко В.А. (1992).
-
семинаре по дифференциальным уравнениям в МНИТ , руководитель проф. Мышкпс А.Д. (1993).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 16 работах ( 3 из них в соавторстве).
Структура и объем работы. Диссертация состоит из пред -варительных сведений, введения, трех глав и списка литературы, содержащего 181 название; работы автора по теме диссертации пере -числены с 15 по 30 позиции списка литературы.
