Содержание к диссертации
Введение 4
Глава I. Установившиеся колебания полуцилиндра с кубической упругой структурой и соответствующие самосопряженные квадратичные пучки 11
§1. Спектральные задачи а(ос) и l(a) в случае кубической структуры 11
1. Постановка задачи 11
§ 2. Сведение задач jfic) и 1(а) к пучкам La{a) и 1 (а) 15
1. Сведение задачи ш (от) к пучку La (а) 16
2. Сведение задачи -С(а) к пучку 1?а(а) 19
§ 3. Некоторые свойства пучков L0(a) и 1?а{сс) 20
1. Статический случай для задач ш(а) и 1?ш(а) 21
2. Основная теорема для пучков La(a) и а{а) 27
§ 4. Полнота корневых векторов пучка L(e ,a) 28
1. Квадратичный пучок L(a) 28
2. Теорема о двукратной полноте корневых векторов пучка L(a) 32
3. Теорема о полноте корневых векторов для задач а(сс) и !,(«) 33
§ 5. Некоторые предложения к задачам а(а) и а(а) 34
1. Нахождение корневых векторов задачи {а) в точке а = 0 34
2. Теоремы движения вещественных собственных значений 48
3. Спектральные задачи а{а) и і (а) в полуполосе 49
Глава II. Установившиеся колебания полуцилиндра с ромбической упругой структурой и соответствующие самосопряженные квадратичные пучки 55
§6, Спектральные задачи а(а) и ],{а) в случае ромбической структуры з
1. Постановка задачи 55
§ 7. Сведение задач t ia) и Ца) к пучкам 4,(сг) и ° (а) 59
1. Сведение задачи La(a) к пучку (аг) 59
2. Сведение задачи „(&) к пучку !,(«) 62
§ 8. Некоторые свойства пучков Ь {а ) и I (er) 63
1. Статический случай для задач La[a) и Х (а) 64
2. Основная теорема для пучков La(a) и д(а) 71
3. Теорема о полноте корневых векторов для задач 0(а) и (а) 72
§ 9. Некоторые предложения к задачам а(а) и і (ог) 73
1. Нахождение корневых векторов задачи J ia) в точке а = 0 73
2. Теоремы движения вещественных собственных значений 88
3. Спектральные задачи Ljjx) и -(°0 в полуполосе 89
Глава III. Установившиеся колебания полуцилиндра с триклинной упругой структурой и соответствующие самосопряженные квадратичные пучки 95
§10. Спектральные задачи а(сс) и ш(а) в случае триклинной структуры 95
1. Постановка задачи 95
§11. Некоторые свойства пучков La(a) и ],(а) 101
L Статический случай для задач а{ос) и l(a) 101
§ 12. Сведение задач 0(а) и (а) к пучкам Ьш(а) и 1?ф(а) 104
Заключение 107
Список литературы 1
Введение к работе
В работе изучаются спектральные свойства квадратичных операторных пучков, возникающих при разделении переменных в задаче о колебаниях полуцилиндра с разными упругими структурами. Постановка математической задачи основана на упругих свойствах кристаллов и их симметрии при малых деформациях структурной решетки кристалла.
Рассматривая какое-нибудь деформированное тело, мы имеем, что если деформация тела очень мала, то по прекращении действия вызвавших деформацию внешних сил, тело возвращается в исходное недеформированное состояние. Такие деформации называют упругими. При больших деформациях прекращение действия внешних сил не приводит к полному исчезновению деформации.
При рассмотрении упругих свойств кристаллов мы имеем дело со связью между тензорами напряжения и деформации. Так как они оба являются симметрическими тензорами второго ранга, т. е. имеют по шесть компонент, то наиболее общий вид линейной связи между напряжениями и деформацией будет зависеть от 6x6 = 36 коэффициентов (см. [34]).
Всего имеется 32 группы (класса) симметрии, которые относятся к 7 кристаллографическим структурам: триклинной, моноклинной, ромбической, тетрагональной или квадратной, ромбоэдрической или тригональной, гексагональной и кубической. В каждой из трех первых и двух последних структур все кристаллы ведут себя в отношении своих упругих свойств одинаковым образом, только в тетрагональной и ромбоэдрической структурах можно выделить по две подгруппы, различающиеся по упругим свойствам (см. [3]).
Основные математические основы по исследованию спектральных свойств ограниченных квадратичных самосопряженных пучков в задаче об установившихся колебаниях упругого полуцилиндра с изотропной структурой, были найдены в работе [1] А. Г. Костюченко, М. Б. Оразова. Эти результаты были фундаментальные, чтобы определить дальнейшее развитие по исследованию спектральных свойств квадратичных самосопряженных пучков в задаче об установившихся колебаниях полуцилиндра с разными упругими структурами, Следующее развитие в этом направление было осуществлено в работе [2] А, А. Шкаликовым, А. В. Шкредом, в задаче об установившихся колебаниях полуцилиндра с трансверсально-изотропной упругой структурой. На основе работ [1] и [2] мы смогли изучить спектарль-ные свойства ограниченных самосопряженных квадратичных пучков в задаче об установившихся колебаниях упругого полуцилиндра с любой упругой структурой.
В главе I §1. п. 1 приводим математическую постановку задачи в случае кубической структуры. В §2. п. 1 и п. 2 приводится сведение спектральных задач -Cffl(cr) и -,(«), которые являются неограниченными операторами при каждом а є С, к ограниченным самосопряженным операторам Ьщ (а) и 1?а (а) (подробно см. [1]). Подобное сведение позволяет применить ряд результатов из теории операторов в пространстве с индефинитной метрикой и из теории самосопряженных квадратичных пучков (см. [б, 22]).
При возрастании параметра со є R число вещественных точек спектра, растет. В связи с указанной локализацией спектра пучков а(а) и SJa(а) возникает вопрос: Какую часть корневых векторов, отвечающих вещественным собственным значениям ак(б)) задачи а(сс) (или 1?а(а) ), нужно добавить ко всем корневым векторам из верхней полуплоскости, чтобы получить полную и минимальную систему в 1 $У) . Ответ на этот вопрос получен в §4 п. 2. Решение этой задачи представляет значительный интерес, поскольку имеет непосредственное отношение к известному в теории упругости принципу Сен-Венана.
В главе I §4 п.1 и п. 2 даны, нужные определения и вспомогательные результаты из теории квадратичного пучка L(a), действующего в гильбертовом пространстве (подробно см. [1]). Все эти определения и результаты будут использоваться в нашей работе в случае кубической, ромбической и триклинной структур.
В главе I §5 рассмотрены некоторые предложения к задачам а(а) и {а) .В п.1, показано какой вид, имеют Жордановы цепочки, отвечающие собственному значению а - 0 для задачи i (uf), в случае кубической структуры, они вычисляются в явном виде и имеет место следующая теорема:
Задача о движении вещественных собственных значений тесно связана с задачей о полноте части корневых векторов. В этой связи представляет интерес теорема 5.2, которая утверждает, что при малом возмущении й)2-» у2 + /, 0 на вещественной оси не остается собственных значений, причем в верхней полуплоскости от каждого вещественного собственного значения смещается столько корневых векторов, сколько было необходимо добавить к корневым векторам из верхней полуплоскости, чтобы получить полную и минимальную систему в І2 (23).
В главе III приводим математическую постановку спектральных задач -щ(а) и ,{сс) в случае триклинной структуры, изучен статический случай, т. е. когда а = 0, было доказано, что условия эллиптичности спектральных задач Ljfit) и ш(а) для триклинной структуры почти совпадают с условиями эллиптичности спектральных задач -ffl(a) и т(сс) в случае ромбической структуры. Также уставлено, что сведение этих задач происходит тем же образом, как и в случае ромбической структуры, а это означает, что все результаты получены в случае ромбической структуры полностью переносятся на случай триклинной структуры. Например имеет место теорема: Теорема 12.1. Спектры 0-(/, ) и ст(°) пучков Lm(a) и °(сг), в случае триклинной структуры, со2 0 состоят из собственных значений а„ конечной кратности, симметрично расположенных относительно вещественной оси и начала координат и, за исключением конечного числа точек, которые находятся в произвольно малых углах, примыкающих к мнимой оси.
Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Костюченко Анатолию Гордеевичу за предоставление интересной темы и полезные советы, а также всему коллективу кафедры теории функции и функционального анализа за ценные замечания при обсуждении полученных результатов, способствовавшие успешной работе над диссертацией. Я также благодарен комитету по науке и технике Мексики (CONACyT) за помощь при осуществлении аспирантуры и совершении диссертации.
