Содержание к диссертации
Введение
1 Пучки умеренного роста 14
1.1 Функциональное исчисление, порожденное пучком 14
1.2 Пространство обобщенных вектор-функций Шварца 18
1.3 Задача об ограниченных решениях в 8 27
2 Бисекториальные пучки 31
2.1 Определение бисекториального пучка 32
2.2 Функция Грина 37
2.3 Двусторонняя последовательность пространств Сп 45
2.4 Задача об ограниченных решениях 47
3 У1-бисекториальные и Х-1-бисекториальные пучки 54
3.1 (—1)-бисекториальный пучок 55
3.2 Уг1-бисекториальный пучок 56
3.3 Х 1-бисекториальный пучок 62
3.4 Примеры 64
4 Биограниченные пучки 71
4.1 Построение разложения единицы 71
4.2 Полная функция Грина 74
4.3 Задача об ограниченных решениях 77
5 Функция Грина, имеющая конечномерный образ 83
5.1 Полугруппа с конечномерным образом и нулевым спектром 83
5.2 Полугруппа с конечномерным образом 90
5.3 Функция Грина, имеющая конечномерный образ 94
Литература
- Пространство обобщенных вектор-функций Шварца
- Функция Грина
- Уг1-бисекториальный пучок
- Полная функция Грина
Введение к работе
Актуальность темы. Задачей об ограниченных решениях называют задачу о нахождении ограниченных на действительной прямой R решений линейного дифференциального уравнения u' — Au = f, соответствующих ограниченным свободным членам f. С одной стороны, задача об ограниченных решениях является разновидностью краевых задач, в которых роль краевых условий играют условия ограниченности решения на бесконечности. С другой стороны, задача об ограниченных решениях тесно связана с задачей об устойчивости: существование единственного ограниченного решения при любом ограниченном свободном члене соответствует специальному типу неустойчивости — экспоненциальной дихотомии решений однородного уравнения.
В литературе в основном изучен случай, когда коэффициент A является матрицей, либо линейным ограниченным оператором, действующим в банаховом пространстве. Задача об ограниченных решениях для обыкновенных дифференциальных уравнений считается классической и имеет многочисленные применения. Поэтому актуальна задача перенесения известных результатов на более общие уравнения — уравнения с неограниченными операторами (являющиеся моделью уравнений с частными производными) и уравнения, не разрешенные относительно производной.
Настоящая диссертация посвящена уравнению
Fu' — Gu = f, (1)
не разрешенному относительно производной. Здесь F и G — линейные ограниченные операторы, действующие из банахова пространства X в банахово пространство Y.
Ограниченность решения u и свободного члена f можно интерпретировать несколько по-разному, что и делается в разных главах диссертации. В самом общем виде (глава 1) под ограниченностью понимается принадлежность пространству обобщенных функций Шварца S'. Более узкая трактовка понятия ограниченности — принадлежность пространству C непрерывных и ограниченных на R функций или пространству Cn непрерывных и ограниченных на R вместе с производными до n-го порядка функций. Также рассматриваются ( 2.3) пространства Cn с отрицательными п. Обсуждается вопрос о связи гладкости решения u и свободного члена f.
Целью работы является нахождение условий, при которых каждому ограниченному свободному члену f соответствует единственное ограниченное решение u уравнения (1).
Научная новизна. Основными результатами диссертации являются следующие.
Доказано, что условием однозначной разрешимости уравнения в пространстве обобщенных функций умеренного роста является существование и полиномиальный рост резольвенты пучка на мнимой оси.
Для бисекториальных пучков изучена связь между гладкостью свободного члена и гладкостью решения.
Показано, что изменение нормы в пространстве операторов позволяет улучшить зависимость гладкости решения от гладкости свободного члена.
Изучена структура функции Грина биограниченного пучка.
Доказано, что функция Грина, имеющая конечномерный образ, является прямой суммой нулевого оператора и обратимого оператора, осуществляющего изоморфизм между некоторыми конечномерными пространствами.
Методы исследования. Основным средством решения поставленной задачи являются методы функционального анализа: спектральная теория операторов и операторных пучков, функциональное исчисление и обобщенные функции. Кроме того, используются основные понятия дифференциальных уравнений и методы теории функций комплексного переменного.
Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации имеют в основном теоретическую ценность. Они могут быть использованы для исследования дифференциального уравнения (1).
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Воронежских зимних математических школах С.Г. Крейна 2008 [3], 2010 [4], 2012 [10], на Крымских осенних математических школах 2008, 2009, 2010 [5], на конференции DFDE 2011 [11], на семинарах А.Г. Баскакова, а также на научных сессиях ВГУ.
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в [1 - 11]. Работы [7, 8, 9] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка литературы, включающего 89 наименований. Общий объем диссертации составляет 104 страницы.
Пространство обобщенных вектор-функций Шварца
Настоящий параграф содержит определения и предварительные сведения, которые нам потребуются в дальнейшем.
Все линейные пространства в настоящей диссертации рассматриваются над полем комплексных чисел. См. также замечание 5.2.7 на с. 94.
Напомним терминологию, связанную с алгебрами, подробнее см. [15, 53, 69]. Единицей алгебры В называют элемент 1 = їв Є В такой, что А1 = 1А = А для всех А Є В. При этом саму алгебру называют алгеброй с единицей. Обратным к элементу Л Є В алгебры В с единицей называют элемент А 1 Є В такой, что АА 1 = А 1А = 1. Алгебру В называют коммутативной, если АВ = В А для любых А, В Є В.
Если алгебра В является банаховым пространством и при этом выполнено свойство АВ Л Ц-ВЦ, то говорят, что В — банахова алгебра. Если дополнительно алгебра В имеет единицу и 1) = 1, то говорят, что В — банахова алгебра с единицей. Наиболее известный пример банаховой алгебры — алгебра В(Х) линейных ограниченных операторов, действующих в банаховом пространстве X.
Пусть В — алгебра с единицей, и А Є В. Множество А Є С таких, что элемент XI —Ане имеет обратного, называют спектром А и обозначают символом сг{А) или сгв(А)- Дополнение р{А) = рв(А) = С \ г(А) называют резольвентным множеством А. Функцию (семейство) R\ = (XI — Л) 1, Л Є р(А), называют резольвентой А. Предложение 1.1.1 ([69, теорема 4.1.8]). Пусть В — алгебра с единицей. Резольвента R\ любого элемента А Є В удовлетворяет тождеству Гильберта Rx-Rp = -(\-n)R\R» Х,цЄр(А). (1.1.1) Пусть В — алгебра без единицы. Множество В = СфВ с покоординатными линейными операциями и умножением (а, А) (/?, В) = (о;/?, аВ + (ЗА + АВ), очевидно, является алгеброй с единицей 1 = (1,0). Элемент (а, А) обозначают символом al + А. Алгебру В называют алгеброй В с присоединенной единицей. Если алгебра В банахова, то относительно нормы ай + А\\ = \а\ + \\А\\ алгебра В также банахова. Спектром (резольвентой) элемента алгебры без единицы называют спектр (резольвенту) этого элемента в алгебре с присоединенной единицей. Если В содержит единицу, то под алгеброй В с присоединенной единицей будем понимать саму алгебру В.
Пусть А и В — алгебры. Отображение (р: А — В называют [15] морфизмом алгебр, если р(А + В) = (р(А) + (р(В), р(аА) = аср(А) и р(АВ) = cp(A)ip(B). Если А и В содержат единицы и У(1А) = 1в, то говорят, что (р — морфизм алгебр с единицей.
Пусть X и У — комплексные банаховы пространства. Обозначим символом В(Х, У) множество всех линейных ограниченных операторов, действующих из X в У. Пусть F,G Є В(Х,У). (Линейным) пучком называют [19, 20, 30, 41] функцию
X XF-G, Хе С. (1.1.2)
Резольвентным множеством пучка (1.1.2) называют [9, с. 30] множество p(F, G), состоящее из всех Л Є С, при которых оператор XF — G обратим, а резольвентой — функцию (семейство)
Rx = (XF - G) \ Дополнение cr(F,G) к резольвентному множеству называют спектром пучка. Пучок называют регулярным, если его резольвентное множество не пусто. В дальнейшем всегда будем считать, что мнимая ось принадлежит резольвентному множеству пучка. Таким образом, все рассматриваемые пучки окажутся регулярными.
ПРИМЕР 1.1.1. Пусть У — банахово пространство, A:Y—» У — линейный замкнутый оператор с областью определения ХСУ,а1:У—»У — тождественный оператор. Введем на X норму графика \\х\\х = \\X\\Y + Асу. Относительно этой нормы оба оператора 1, А : X —» У являются ограниченными. Тем самым обсуждение пучка Л н- Л1—А укладывается в рассматриваемую схему. Предложение 1.1.2 (см., например, [37, предложение 5]). Резольвента пучка удовлетворяет F-тождеству Гильберта R\-R» = -(Л - riRxFRp, А, ц є p(F, G). (1.1.3)
Зафиксируем пучок Л f— XF — G: X — У и рассмотрим его резольвенту R\, А Є p(F,G). Обозначим через В( с)(У,Х) замыкание по норме пространства В (У, X) линейной оболочки всех операторов R\, А Є p(F, G). Введем на В с У Х) операцию F-умножения [37] по формуле AQB = AFB. В силу F-тождества Гильберта F-умножение не выводит из B(p,G)(Y, -X")-Степени относительно F-умножения будем обозначать символами типа АпО и 4-І. Теорема 1.1.3 ([37, теорема 8]). Относительно F -умножения пространство В(_р)(2)(У, X) является коммутативной банаховой алгеброй. Эта алгебра содержит единицу тогда и только тогда, когда оператор F: X —» У обратим; при этом единицей является F l.
Предложение 1.1.4 ([37, предложение 9]). Резольвента пучка является максимальной F-псевдорезольвентой, т. е. не может быть продолжена на более широкое, чем p{F, G), множество с сохранением F-тождества Гильберта (1.1.3).
Предложение 1.1.5 ([38, предложение 53]). Резольвентное множество p(F, G) пучка открыто, а резольвента на нем является аналитической функцией со значениями в алгебре В( ?)(У, X). При этом в окрестности любой точки fi Є p(F, G) резольвента пучка раскладывается в степенной ряд где R+1Q — (п + 1)-ая степень относительно F-умножения. Предложение 1.1.6 ([38, следствие 57]). Пусть резольвента пучка Щ) определена в проколотой окрестности точки оо и имеет там полюс порядка w. Тогда разложение резольвенты пучка в ряд Лорана в проколотой окрестности бесконечности имеет вид тт A A2Q /430 A = -iV-AiV20-...-A iV-+10 + + 4 + - + - + ..., (1.1.4) А А 2 А"3 А4 где N, П, А Є В(і?с)(У, X) — некоторые операторы, обладающие свойствами Nw+2Q = Q П2 = П) дг0П = U(DN = Q А0П = П0А = А Следствие 1.1.7. Операторы Р = UF: X — X и Q - FU: Y -+Y, где П определен в предложении 1.1.6, являются проекторами. Кроме того, РЦ = П, ВД = П, PN = 0, NQ = 0, РА = А, AQ = А. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Имеем UFUF = П о IIF = ILF и FUFU = FU П = FTI. Остальные равенства проверяются аналогично. Пусть К С С — замкнутое подмножество комплексной плоскости С. Обозначим через О (К) множество всех аналитических функций /:[/— С, каждая из которых определена в некоторой открытой окрестности U множества К (предполагается, что для каждой / окрестность U своя). Будем говорить, что две функции /i: JJ\ — С и /2: ІІ2 — С эквивалентны, если существует такая открытая окрестность U С JJ\ П С/г множества К, что /і и /2 совпадают на U, т. е. /і (А) = /г (А) для всех А Є U. Нетрудно показать, что это действительно отношение эквивалентности. Таким образом, элементами О(К), строго говоря, являются классы эквивалентных функций. Очевидно, О (К) является алгеброй с единицей и(Х) = 1. Будем говорить, что последовательность /п Є О (К) сходится к функции / Є О (К), если все эти функции имеют общую область определения U, причем сходимость на U является равномерной.
Функция Грина
Чтобы получить более точные соотношения между гладкостью свободного члена / и решения и уравнения Fu — Gu = /, в настоящей главе накладывается дополнительное условие бисекториальности пучка. Оно является аналогом условия секториальности, широко используемого при изучении начальной задачи. Условие секториальности означает, что спектр пучка лежит в некотором секторе, содержащемся в левой полуплоскости, а резольвента удовлетворяет полиномиальной оценке роста на бесконечности. Бисекториальность означает, что спектр пучка содержится в двух секторах, лежащих соответственно в левой и правой полуплоскостях, а резольвента удовлетворяет полиномиальной оценке роста на бесконечности. Понятие бисекториального пучка (в терминологии оригинала — биполугруппы) Л н- Л1 — А (здесь 1 — тождественный оператор), порожденного одним неограниченным оператором А, введено в [75] и исследовалось в [81]. В настоящей диссертации рассматривается более общий линейный бисекториальный пучок Л і—» XF — G. Операторы F и G предполагаются ограниченными; напомним (пример 1.1.1), что во многих ситуациях случай неограниченных F и G к этому сводится.
Определение бисекториального пучка дается в параграфе 2.1. В параграфе 2.2 изучаются свойства функции Грина. В параграфе 2.4 обсуждается существование и единственность ограниченного на оси решения дифференциального уравнения. Основной результат этого параграфа и всей главы — теорема 2.4.3. Примеры бисекториальных пучков будут приведены в следующей главе в 3.4. 2.1 Определение бисекториального пучка
Пусть X и Y — банаховы пространства. Напомним, что символом В(Х, Y) мы обозначаем линейное пространство всех линейных ограниченных операторов, действующих из X в Y. Рассмотрим (линейный) пучок X XF-G, А Є С, где ,єВ(Х,У). Пучок Л і—» XF — G назовем (ср. [81, с. 16]) ги-бисекториалъпым, где w Є Ъ, или просто бисекториалъпым, если существуют такие бо Є (0,7г/2] и До 0, что множество (см. рис. 1 слева) tosoM = {А Є С: - 50 arg А + 0}и Г . _ 37Г . 37Г _ "I U Л Є С: — - 8Q arg А — + 60j U {А Є С: ReA h0} содержится в резольвентном множестве пучка, причем для каждых 5 Є (О, 5Q) и h Є (0, ho) существует такое М 0, что \\(XF - G)-1 : Y - Х М(1 + A)W, А Є Q5,h- (2.1.1) В этой главе всюду предполагается, что рассматриваемый пучок является бисекториальным. Очевидно, бисекториальный пучок является частным случаем пучка умеренного роста. Поэтому для него справедливы заключения предложения 1.3.1 и теоремы 1.3.2. Обозначим через Ow(a(F, G)) множество всех функций /, каждая из которых определена и является аналитической в некоторой окрестности (зависящей от /) множества Usth = С \ tts,h, где Q,s,h С П$,Л» S Є (0,S0), h Є (0, ho), а также для некоторого N 0 подчиняется оценке І/WI (i + JV« А є и " (2Л-2) где w то же, что и в (2.1.1). Обозначим через Г контур, являющийся границей множества Us,h и ориентированный как показано на правом рис. 1. Как видно из рисунка, он состоит из двух частей — Г и Fjh. і 0 1 А / ..// / / //// \. Ч\ \ \ \г+1 6оМ г+\ ІА Г 6,h / / S / /ГбоА / /S Ф/ / / V ч \\ Рис. 1: Слева: множество fis0,h.0 (выделено белым); справа: границы Ts0,ho и Г л множеств Qs0,h0 и Cis,h соответственно (стрелками показана ориентация) Для функций / Є Ow(cr(F, G)) положим (Я = 2 / f(X)(XF-G)-ld\. Оператор (f{f) будем называть функцией f от бисекториального пучка X XF-G. Предложение 2.1.1. Для каждой функции f Є Ow(a(F, G)) оператор tp(f) не зависит от выбора контура Ts,h с 5 Є (0, бо) и h Є (0, ho).
Возьмем две произвольные пары параметров 5 , 8" є (О, So) и h , h" Є (0, h0) и покажем, что интегралы по контурам Fs\h и IV7/j" равны.
Рассмотрим вначале случай, когда 0 8 8" 8Q И 0 h! h" ho. В этом случае I5s ,h S",h" Э I5s0,h0 (и; в частности, из справедливости оценки (2.1.2) на I5s ,h вытекает справедливость оценки (2.1.2) на 15б",Ы )- Поэтому на Us ji П QsQ,hQ выполняется как оценка (2.1.1), так и оценка (2.1.2). Следовательно, П/(А) АГ-О)-Ч РТ&) А Є I3s ,h П tts0,ho Из этой оценки и теоремы Коши [39] ясно, что интегралы по контурам Ts h и Г ,h" совпадают. Общий случай сводится к этому путем рассмотрения вспомогательных параметров 0 5 , 5" 5 " SQ и 0 /г , h" Ы" h0. Приводимая ниже теорема 2.1.4 является аналогом теоремы 1.1.8 для рассматриваемого случая. Предложение 2.1.2. При w — 2 множество Ow(a{F,G)) образует алгебру относительно поточечных операций.
Уг1-бисекториальный пучок
В этой главе более детально изучается ситуация, когда резольвента пучка убывает на бесконечности как j. Как мы уже видели в следствии 2.4.5, в этом случае все решения выражаются через (регулярную) функцию Грина. Иными словами, полная функция Грина состоит только из регулярного слагаемого. Задача настоящей главы — перенести этот результат на случай, когда резольвента становится убывающей на бесконечности как j лишь после изменения нормы в пространстве В (У, X) (примеры из 3.4 показывают, что при этом в исходной норме резольвента может оказаться только ограниченной). Заодно окажется, что в рассматриваемом случае гладкость решения по времени (в отличие от следствия 2.4.5 на единицу повышается).
Необходимость изменения постановки задачи (по сравнению со следствием 2.4.5) показывает приводимая ниже теорема 3.1.2. А идея замены нормы на множестве значений функции Грина подсказана аналогией с теорией полугрупп, порожденных секториальными операторами.
В случае неограниченного секториального оператора А и соответствующего уравнения и —Ли = f коэффициент А действует из своей области определения D(A) С X в X, но порожденная ими полугруппа операторов T(t), t О, действует из X в X (а не в D(A)\). Поэтому решение u(t) = fQ T(s)f(t — s) ds принимает значения в X (а не в D(A)).
В случае бисекториального пучка Л н-» XF—G и уравнения Fu —Gu = / пространство X, на котором заданы F и G, является аналогом D{A) и поэтому для функции /, принимающей значения в Y, следует ожидать, что решение принимает значения в более широком пространстве, чем X. Для уравнения Fu — Gu = f нахождение более широкого подходящего пространства, содержащего X, является дополнительной зада чей. Она обсуждается в 3.3. А в 3.2 обсуждается более простой (но в значительной мере эквивалентный) подход, когда вместо расширения пространства X используется сужение пространства Y. Иными словами, рассматриваются функции /, принимающие значения в некотором подпространстве Y1 пространства Y. Неявно это означает, что X превращается в пространство, объемлющее область определения F и G. После этого дополнительные построения позволяют применять полученный результат (теорему 3.2.8) к случаю (теорема 3.3.3), когда и принимает значения в более широком пространстве X 1, чем X.
В рамках обсуждаемого в этой главе подхода всплывает принципиальное отличие случая рассматриваемых уравнений от случая обыкновенных дифференциальных. Если для обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений и — Ли = / с неограниченным секториальным оператором А функция Грина t н- Q(t) имеет в нуле разрыв первого рода, то для произвольного бисекториального пучка возникает суммируемый разрыв второго рода (предложение 3.2.7, замечание 3.4.4).
Возможность существования суммируемой функции Грина ранее отмечалась в статье [3]. В ней показано, что если существует суммируемая функция Грина, то при любой ограниченной правой части существует единственное ограниченное решение, но условия существования этой функции Грина не приводятся. Близкие вопросы рассматривались также в [65]; в отличие от рассматриваемого нами случая в [65] часть спектра, лежащая в правой полуплоскости, предполагалась ограниченной; так что этот случай можно интерпретировать как промежуточный между обсуждаемым в этой главе и в следующей.
В настоящем параграфе доказывается (теорема 3.1.2), что нетривиальных примеров пучков, обладающих свойством (—1)-бисекториальнос-ти (см. следствие 2.4.5) не бывает. Предложение 3.1.1. Пусть А, В є B(X,Y), причем оператор А обратим. Если 11 11 Р_111 1, то элемент А — В также обратим. При этом (А- В)-1 = А-1 + A lBA l + A lBA-xBA-1 + ... . (3.1.1) ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим ряд А 1 + А 1 В А 1 + А 1 В А 1 В А 1 + A lBA-lBA lBA-1 + .... Представим его как A 1(l+BA-1+BA-1BA-1+BA-1BA 1BA-1 + ...). Поскольку -ВА_1 Б А_1 1, этот ряд абсолютно сходится. Обозначим его сумму через С. Проверим, что С совпадает с обратным к А — В. Действительно, С(А -В) = (А-1 + А-1 В А-1 + А-1 В А-1 В А 1 + ...) (А - В) = (А-1 А - А 1 В) + {A lBA lA - A lBA lB) + {A lBA-lBA-lA - А ВА ВА В) + ... = 1. Аналогично проверяется, что (А — В)С = 1. Теорема 3.1.2. Пусть пучок является (—1)-бисекториальным. Тогда оператор F обязательно обратим. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В силу определения (—1)-бисекториальности имеем \\(iuF - G) l : У - Х\\ М(1 + И)"1, ш 6 R. Откуда Ы М и т О. м, 1 + М (F + -G) l:Y- X \ lid J Возьмем w настолько большим, чтобы го; M = —\\G\\-M 1. \ш Тогда в соответствии с предложением 3.1.1, полагая А = F + 4jG, а В = 4-G, получаем, что А — В = F обратим. В условиях обратимости оператора F резольвента пучка оказывается аналитической в проколотой окрестности бесконечности. Такой случай более подробно обсуждается в главе 4. Предположим, что в У имеется линейное подпространство У1, полное относительно своей нормы Ці, обладающей свойством \\у\\ \\у\\і для у Є У1. Очевидно, ЦТ : У1 - Х\\ \\Т : У - Х (3.2.1) для любого Т Є В (У, X). Примеры таких подпространств У1 приводятся см. в параграфе 3.4. Пучок Л і— XF — G назовем Y1-бисекториальным или подробнее (У1,— I)-бисекториальным, если существуют такие 5Q Є (0,7г/2] и /іо О, что множество П 50)л0 (см- Рис- 1) содержится в резольвентном множестве пучка, причем для каждых S (0, 5Q) и h Є (0, ho) существует такое М О, что выполнена оценка \\(XF - G)-1 : У1 - Х г щ, Л Є П,іЛ. (3.2.2) При этом выполнение оценки (2.1.1) не требуется. В этом параграфе всюду предполагается, что пучок Л i- XF—G является У бисекториальным и фиксирован.
Обозначим как и прежде через 0_i (cr(F, G)) множество всех функций /, каждая из которых определена и является аналитической в некоторой окрестности (зависящей от /) множества Us,h = С \ tyj , 5 Є (О, 5Q), h Є (0, ho), а также для некоторого N Є R подчиняется оценке /(Л) щ , Л Є VSih. Для функций / Є 0_i (cr(F, б?)) положим где резольвента (Лі 1 — 3)-1 рассматривается как действующая из У1 в X. Тем самым i(/) оказывается оператором, действующим из У1 в X. Оператор (fi{f) будем называть функцией f от У1-бисекториального пучка X н-» AF — (7.
Полная функция Грина
Этот параграф является вспомогательным. В нем доказывается теорема 5.1.1 — специальный случай приводимой ниже теоремы 5.2.1, которая, в свою очередь, содержит в себе основную техническую часть доказательства теоремы 5.3.1
Пусть X— комплексное банахово пространство. Будем обозначим символом В (X) = В (X, X) банахову алгебру всех линейных ограниченных операторов, действующих из X в X. Через Кег А = {х Є X: Ах = 0} будем обозначать ядро оператора А Є В(Х), а через 1т А = {у Є X: Зх Є X Ах = у} — образ оператора А. Символом 1 Є В (X) будем обозначать тождественный оператор, а символом О Є В(Х) — нулевой оператор.
Резольвентным множеством оператора А Є В(Х) называют множество р(А) всех комплексных чисел Л, для которых оператор XI — А обратим. Дополнение сг(А) = С\р(А) называют спектром оператора А. Операторнозначную функцию Л н-» R(\, А) = (Л1 — А)-1: р(А) —» В(Х) называют резольвентой оператора А. Отображение Т: R+ — В(Х), где R+ = (0, +оо), называют [69, 25, 31, 53] полугруппой операторов, если T( + «) = T(i)T(s), t,s 0. Полугруппу операторов T(t), t 0, из В(Х) называют сильно непрерывной, если каждая функция вида ipx{t) — OO j фх- R+ — -X" является непрерывной. Множество КегТ = П КегТ() называют ядром полугруппы. Полугруппу T(t) называют вырожденной, если она имеет ненулевое ядро, т. е. КегТ т {0}.
Интерес к вырожденным полугруппам активизировался [7, 9, 34] в последние годы в связи с приложениями к дифференциальным уравнениям Fu — Gu = f, нераврешенным относительно производной. Одними из первых работ в данном направлении являются статьи [28, 34], в которых исследованы вырожденные полугруппы, состоящие из фредгольмовых операторов. В этом и следующем параграфах рассматривается другой крайний случай, когда полугруппа состоит из операторов с конечномерным образом.
Теорема 5.1.1. Пусть X — банахово пространство, а Т: R+ — В(Х) — сильно непрерывная полугруппа операторов, обладающая свойством dimImT() со, t 0. Пусть дополнительно a(T(t)) = {0}, t 0. Тогда T(t) есть нулевой оператор при всех t 0. Подчеркнем, что в теореме 5.1.1 dimImT() априори может зависеть от t. Подчеркнем также, что сильная непрерывность полугруппы в доказательстве теоремы 5.1.1 использоваться не будет. Кроме того, для доказательства утверждения T(t) = 0 при фиксированном t 0 справедливость равенства T(r + s) = T(r)T(s) будет использоваться только на множестве г, s t Q, где Q — множество рациональных чисел. Доказательство теоремы 5.1.1 разобьем на несколько утверждений. Положим En(t) = Ker(T(t))n. Очевидно, Ei{t) С E2(t) С E2(t) С ... С En{t) С .... Предложение 5.1.2. Если En+\(t) = En(t), то En+k(t) = En(i), к = 2,3,.... ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Достаточно доказать равенство En+2(t) = En+i(t). Очевидно, имеет место включение En+\{t) С En+2{t). Пусть х Є En+2{t), т. е. (T(t))n+2x = 0. Для такого х имеем (T(t))n+l(T(t)x)=0, а значит, T(t)x Є En+i(t) = En(t). Отсюда (T(t))n+1x = 0. Следователь но, x Є En+i(t). Таким образом, En+i(t) = En+2(t). П Будем говорить, что в последовательности пространств En(t) стабилизация наступает на шаге п, если п — минимальное число, для которого En+1(t) = En(t). Пусть N — подпространство линейного пространства X. Линейный оператор П: X — X/N, определенный по правилу Их = х + N, называют [53] каноническим отображением или канонической проекцией. Предложение 5.1.3. Пусть X иУ — банаховы пространства. Для любого оператора А Є В (X, Y) существует единственный линейный оператор А: X/ Кег А —» F такой, что коммутативна диаграмма X -5- - Х/КетА А Y = Y При этом Л - 4, Кег А = {0}. Здесь П — каноническое отображение. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Доказательство непосредственно следует из [53, тео рема 1.41]. Оператор А из предложения 5.1.3 называют фактор-оператором. Он действует по правилу Ах = Ах, где х — класс эквивалентности из X/ Кег А, содержащий вектор х. Следствие 5.1.4. Если в условиях предложения 5..1.,3 образ Im А конечномерен, то фактор-пространство X/ Кег А также конечномерно, причем dim {X/ Кег А) = dim Im А. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В качестве Y в условиях предложения 5.1.3 возьмем пространство Im А. В силу его конечномерности из условия Ker А = {0} следует обратимость А.
В дальнейшем для сокращения записи будем обозначать через А произвольный линейный ограниченный оператор, имеющий конечномерный образ. Таким свойством, в частности, обладают операторы T(t), t 0, и их степени.
Пусть dim (X/ Ker А) = I со. Возьмем базис еі7Є2,...,еі Є X/ Ker А. Возьмем произвольные прообразы Єї, Є2,..., еі Є X элементов этого базиса относительно канонической проекции П: X — Х/КегА. Очевидно, что они линейно независимы. Обозначим через Х\ линейную оболочку, натянутую на векторы Єї, Є2,..., Єї. Очевидно, сужение П: Х\ — Х/Кет А является изоморфизмом.
