Содержание к диссертации
Введение
1. Весовые пространства Соболева. Уравнение связи .
2. Псевдодифференциальные формы и ПДО 28
3. Сведение квадратичных форм на границу. Эллиптическая невырожденная связь 33
4. Вспомогательные сведения из теории операторов в гильбертовом пространстве 39
5. Формулировки и доказательства основных теорем. Модельный случай 43
6. Формулировки основных теорем. Общий случай 49
7. Формулировки основных теорем. Задача с вырождающейся связью 54
8. Регулярность решений эллиптического уравнения второго порядка, вырождающегося на границе области. Доказательство теоремы 7,1 58
9. Сведение квадратичных форм на границу. Эллиптическая вырождающаяся связь . Доказательство теоремы 7.2 64
Литература 68
- Весовые пространства Соболева. Уравнение связи
- Сведение квадратичных форм на границу. Эллиптическая невырожденная связь
- Вспомогательные сведения из теории операторов в гильбертовом пространстве
- Формулировки и доказательства основных теорем. Модельный случай
Введение к работе
Результаты работ [23], [24] для нас недостаточны, поскольку в них весовой класс, которому принадлежит решение уравнения Ltl/=f с оператором вида (6), жестко связан с порядком вырождения. Мы опираемся на работу А.И.Кароля, в которой для исследования оператора (6) были введены специальные весовые классы. На основе развитой в [18] техники автор исследовал вопрос о повышении гладкости решений. Отметим, что сам этот вопрос для операторов с нецелым порядком вырождения существенно сложнее, чем для операторов без вырождения (а также с вырождением целого порядка). Дело здесь в том, что уже решения однородного уравнения имеют на границе особенности, и любые теоремы о повышении гладкости обязаны учитывать их характер.
Оба типа задач различаются не только степенью трудности, но и характером результатов: порядок вырождения квадратичных форм AQ И I3Q непосредственно отражается на порядке асимптотики спектра задачи, в то время как вырождение оператора связи на асимптотику не влияет, но ограничивает шкалу пространств, на которых может быть поставлена задача.
Основные результаты диссертации изложены в параграфах 1-9. Им предпослан нулевой параграф, в котором собраны основные обозначения и некоторые предварительные сведения, используемые . на протяжении всей работы. В § I проведено изучение свойств оператора L и связанного с ним пространства Н (.Q,L). Пусть L - правильно эллиптический оператор порядка Ql Известно (см., например, OQ, [25], С27]), что для Н в 1-/2 имеют место теорема о следах и теорема о продолжении для пространств Н (Ц) или И (D) с одной стороны и пространства Н (0JQ) с другой. Для случая И - в Ь Уо, (исключая дискретное множество значений VI-в ) подобные соотношения установлены для пространств Н (О., L) и Н (0jQ) . (см. 025], 02). В диссертации аналогич it в ные результаты получены для пространств Н (D, L) . В § 3 и § 9 проведено сведение квадратичных форм вида А и 6 на границу для задач с невырожденной и вырождающейся связью соответственно. Доказано, что при наличии эллиптической связи формы, задаваемые интегралами по границе, в главных членах совпа - 8 дают с формами некоторых ИДО на д1 . Аппарат, используемый в § 3 и § 9 разработан в § 2. Главное отличие от соответствующих результатов работы [5] заключается в том, что допуская вырождения мы должны учитывать пространства Соболева в -Q с дробными показателями, в то время как в С5] фактически достаточно рассматривать пространства с целыми показателями. Основные результаты работы, т.е. теорема об асимптотике спектра отношения форм В/А » а также теорема, указывающая алгебраическое условие положительности формы А , сформулированы и доказываются в§5-§7.В§5 рассматривается "модельная" ситуация: формы А и В заданы интегралами по области, уравнение связи, определяемое правильно эллиптическим скалярным дифференциальным оператором, имеет тривиальное ядро. Обобщению задач, решаемых в § 5, посвящен параграф 6. Формы А и В представляются линейной комбинацией интегралов по области и его границе, причем в форме А (так же для В ) старшей может быть как форма А , так и А«п , а также они могут быть равноправны. Уравнение связи задается эллиптическим оператором (системой), от требования правильной эллиптичности можно отказаться. Здесь изложение носит обзорный характер. В § 7 сформулированы результаты задачи с вырождающейся связью. Здесь же анонсируется основная для этого случая теорема о гладкости решений первой краевой задачи для вырождающегося на &Q эллиптического оператора второго порядка, доказательству которой посвящен § 8.
Весовые пространства Соболева. Уравнение связи
Задача о спектре отношения квадратичных форм при наличии полной системы эллиптических связей подробно исследована М.Ш. Бирманом и М.З.Соломяком (DO - MX Ими разработана техника, позволяющая сводить задачу на границу, получены явные формулы главных символов тех ЦДО на границе, которые при этом возникают; на этой основе найдены формулы асимптотики спектра. В вышеупомянутых работах рассматривалась ситуация, в которой как формы А и В , так и связь LU = О не содержат вырождения.
Целью диссертации является распространение результатов работ М.Ш.Бирмана и М.З.Соломяка на вырождающийся случай.1 Рассматриваются два типа задач. В обоих случаях предполагается, что квадратичные формы A_Q И B_Q могут вырождаться на ЭО (т.е., например, Ьф 0 в (3)J. В первом случае эллиптическое уравнение связи невырождено, во втором оператор L , задающий связь, является вырождающимся эллиптическим оператором дивергентного типа. Эти задачи неодинаковы по трудности. Первая из них решается фактически в рамках схемы работ \jf\ - [7]. Основную трудность здесь представляет изучение некоторых свойств "граничного оператора для случая р $ . Более сложной является вторая задача. Это обусловлено недостаточностью имеющихся в литературе результатов о регулярности решений первой краевой задачи для операторов вида (6).
Хотя задачам с вырождением эллиптичности посвящено много работ ([4], [13], [15], [37), [29], [37] - [41]), априорные оценки старших производных для уравнений, порождаемых операторами вида (6) были получены лишь в случае натурального порядка вырождения об .1 Операторы с нецелым порядком вырождения подробно исследовались П.И.Лизоркиным и С.М.Никольским [23], [24], и А.И.Каролем [18].
Результаты работ [23], [24] для нас недостаточны, поскольку в них весовой класс, которому принадлежит решение уравнения Ltl/=f с оператором вида (6), жестко связан с порядком вырождения. Мы опираемся на работу А.И.Кароля, в которой для исследования оператора (6) были введены специальные весовые классы. На основе развитой в [18] техники автор исследовал вопрос о повышении гладкости решений. Отметим, что сам этот вопрос для операторов с нецелым порядком вырождения существенно сложнее, чем для операторов без вырождения (а также с вырождением целого порядка). Дело здесь в том, что уже решения однородного уравнения имеют на границе особенности, и любые теоремы о повышении гладкости обязаны учитывать их характер.
Оба типа задач различаются не только степенью трудности, но и характером результатов: порядок вырождения квадратичных форм AQ И I3Q непосредственно отражается на порядке асимптотики спектра задачи, в то время как вырождение оператора связи на асимптотику не влияет, но ограничивает шкалу пространств, на которых может быть поставлена задача.
Основные результаты диссертации изложены в параграфах 1-9. Им предпослан нулевой параграф, в котором собраны основные обозначения и некоторые предварительные сведения, используемые . на протяжении всей работы. В I проведено изучение свойств оператора L и связанного с ним пространства Н (.Q,L). Пусть L - правильно эллиптический оператор порядка Ql Известно (см., например, OQ, [25], С27]), что для Н в 1-/2 имеют место теорема о следах и теорема о продолжении для пространств Н (Ц) или И (D) с одной стороны и пространства Н (0JQ) с другой. Для случая И - в Ь Уо, (исключая дискретное множество значений VI-в ) подобные соотношения установлены для пространств Н (О., L) и Н (0jQ) . (см. 025], 02). В диссертации аналогич it в ные результаты получены для пространств Н (D, L) . В 3 и 9 проведено сведение квадратичных форм вида А и 6 на границу для задач с невырожденной и вырождающейся связью соответственно. Доказано, что при наличии эллиптической связи формы, задаваемые интегралами по границе, в главных членах совпадают с формами некоторых ИДО на д1 . Аппарат, используемый в 3 и 9 разработан в 2. Главное отличие от соответствующих результатов работы [5] заключается в том, что допуская вырождения мы должны учитывать пространства Соболева в -Q с дробными показателями, в то время как в С5] фактически достаточно рассматривать пространства с целыми показателями. Основные результаты работы, т.е. теорема об асимптотике спектра отношения форм В/А » а также теорема, указывающая алгебраическое условие положительности формы А , сформулированы и доказываются в5-7.В5 рассматривается "модельная" ситуация: формы А и В заданы интегралами по области, уравнение связи, определяемое правильно эллиптическим скалярным дифференциальным оператором, имеет тривиальное ядро. Обобщению задач, решаемых в 5, посвящен параграф 6. Формы А и В представляются линейной комбинацией интегралов по области и его границе, причем в форме А (так же для В ) старшей может быть как форма А , так и А«п , а также они могут быть равноправны. Уравнение связи задается эллиптическим оператором (системой), от требования правильной эллиптичности можно отказаться. Здесь изложение носит обзорный характер. В 7 сформулированы результаты задачи с вырождающейся связью. Здесь же анонсируется основная для этого случая теорема о гладкости решений первой краевой задачи для вырождающегося на &Q эллиптического оператора второго порядка, доказательству которой посвящен 8.
Сведение квадратичных форм на границу. Эллиптическая невырожденная связь
Условие (5.6) не входит в условие теоремы 3.1. Однако, если условие (5.6) выполнено, то из (2.3), (3.3) следует неравенство
Отсюда вытекает, что Обратно, если выполнено (5.14), то (5.13) имеет место в силу неравенства Гординга [42]. Вместе с (3.2) это означает, что в левой части (5.13) можно заменить (ІРф,ф) на Д [ГФ]. С учетом (І.І6) отсюда получаем Последнее равносильно (5.6) на подпространстве конечной коразмерности в Н(А) Условия (5.14) и (5.7) равносильны. 4. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 5.2. Из определения матриц Р(Х,) и Q(%,1) следует, что спектр алгебраической задачи совпадает со спектром отношения (5.9). Как было показано в п.З, . Матрипу Р(#,) можно представить в виде Р=5 5. (Здесь S - эрмитова сопряженная матрица). Тогда (5.15) преобразуется к задаче (4.7) с матрицей R(x,I)=[S(oc,I}lQ(x,!)[5( !)] . (5.16) Матрицу 5 можно выбрать так, чтобы R(&,J) была гладкой функцией, однородной порядка -2s&, se — (p-S) (CL-d) 0 . Пусть У и Q какие-либо классические ПДО на дО. , с главными символами 5 и Q- . Будем считать, что Q (в существен-ном) самосопряжен в L2(3.Q,(D ) и ke if 0 . Это возможно за счет подходящего выбора младших членов. В качестве !Р и % возьмем операторы Р= if if ж л = (/)" a (if4). (5.17) Свойства алгебры главных символов ПДО позволяют утверждать, что главный символ оператора (5.17) совпадает с матрицей (5.16). Тогда, свойства функции N(X,T) (см. 4 п.2), вместе с теоремой 3.1 показывают, что главный член спектральной астштотики для отношения (5.8) и для отношения одинаков. Полагая в (5.18) і/Ф=Фи переходя 0т вариационной записи спектральной задачи к операторной, мы придем к уравнению (4.8) с оператором (5.17). К нему применима теорема 4.1. Спектр задачи (4,7( с матрицей (5.16) совпадает со спектром отношения ± Ь% [_1 ]/а% СИ , є F(#,J) . Таким образом, теорема 5,2 доказана. 6. Формулировки основных теорем. Общий случай 1. Вариационную задачу вида (5.8) можно рассматривать для форм, содержащих помимо интегралов по области, также интегралы по границе области, при менее ограничительных требованиях на уравнение связи. При этом не требуется новых, по сравнению с до казательствами основных теорем в модельном случае и соответствую щих утверждений в С З, М, соображений для получения результа тов аналогичных теоремам 5.1, 5.2. . 2, Пусть в ограниченной области D.C К , dD C , задано эллиптическое выражение L(oC,2)) , 0 ьд/доС t порядка к, действующее на вектор-функции и =(Щ,.,., ). Через С (.Q,L) обозначим множество функций ИЗ С (jQ), удовлетворяющих уравнению Ltl/= 0 .
Вспомогательные сведения из теории операторов в гильбертовом пространстве
На получаемых результатах будет основываться изучение свойств оператора (7.1). Напомним, что 0 Ь \ , У% Q-dL-Ъ 72 Ж ЛЕММА. 8.1. Для любого Т 0 существует 6 0 такое, что для любого в R , III 6 оператор {ЬгД} непрерывно действует из Н (0,Т) на Н (0,Т)Х С , Ядро оператора одномерно. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть сначала = 0 . Фундаментальная система решений уравнения L.U 0 состоит из функций 1 и t . Неоднородное уравнение L0U, = $ имеет решение Отметим, что из условий 1с Н (0,Т) . У% 2 -Ъ следует, что функция (t)t " є Ц,(0,Т). Продифференцируем функцию Ц-л: и получим, что функция tk Є Н (0,1) , если к н (о,т). Поскольку ї\ = 0 и УР = 0 , оператор {Ь Д j дейст вует из Н (0,Т) на Н (0,Т)хСи имеет одномерное ядро. Непрерывность оператора L0 вытекает из следующих неравенств: d, 2 d % 2 4-1 2 Ъ+с Н 2 , i+d 2 2 lit &u-i cit auie, 0 p у Введем ф -функционал на H (0,Т) , такой что Y. ,, гФ0 . Тогда оператор { L„, У , Ф } будет изо-морфизмом пространств Н (и,Ту и п (С/,Тух(Ь, При малых 111 коэффициенты L близки к коэффициентам оператора L0 , поэтому существует б 0 такое, что при)51 6 оператор [ I, , У , ф } также будет изоморфизмом нужных пространств. ЛЕММА 8.2. Для любого & 0 существует Т 0 такое, что для любого є В , j 51 6 оператор L х непрерывно дей-ствует из Н IT, + со) на Н ( I ,+0) , его ядро одномерно. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО Покажем непрерывность оператора Vr . Име ют место неравенства В силу неравенства Харди Объединяя полученное неравенство с лредьщущшл, получим требуемое. Теперь покаяем, что Lx действует "на". . „ Для любого T 0 оператор R : (J- {Pfj t/(T) J является при \Ф0 изоморфизмом пространств Н(Т+оо) nL (T+o)x(D, и при этом величина II Р? непрерывно зависит от J и HP t II убывает с ростом 6 є. &+ . Тогда оператор 1/- {Р. ,lJ+RlT, 1T(T)J также является о »5 j изоморфизмом Н(Т,+ 0) и Ц(Т,+ оо)х ([} .Использовав неравенство Харди, получим, что из неравенства - 61 следует неравенство llwll « С,(ф+\Т «(Т)1), Я,4ЛЪ Z Ъ которое завершает доказательство леммы. ЛЕММА 8.3. Для любого Є Я , ї=0 , оператор { Lt X J - изоморфизм Н ((?+) и Н (R+J X (С , ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Леммы 8.1 и 8.2 позволяют решать в нужных классах уравнение (8.1) в окрестности нуля и в окрестности бесконечности при одинаковых 5 . На любом промежутке (TJ,T2X 0 Т "J 2 +оо , уравнение LU = имеет приєЬ2(ТЇДг) решение из класса Н СЪ}Т2) » а значит, и из Н (ТА, То)» Пространство решений однородного уравнения L =0 на этом промежутке двумерно, и состоит из гладких на [Ті, ПЛ функций. Подсчет размерностей показывает, что индекс оператора {Lr,#} равен нулю. Из леммы 8.2 вытекает, что ядро оператора L в Н (п/+) одномерно. Таким образом, лемма 8.3 доказана.
Формулировки и доказательства основных теорем. Модельный случай
Уравнение с переменными коэффициентами в области. Здесь мы рассматриваем в области 1 уравнение Lti/ = , где с краевым условием Ху,= У. Поскольку в любой внутренней подобласти Q , _Q а) выражение 1, эллиптично, наличие априорных оценок хорошо известно (см., например, J3J, [25]» [32]). Старшая часть Ь в окрестности границы, в локальных координатах (3C,t) (X - координаты в д1 , V направлено по конормали L ) имеет вид (8.2). Тогда утверждение теоремы 7.1 следует из леммы 8.4. - 64 9. Сведение квадратичных форм на границу. Эллиптическая вырождающаяся связь Доказательство теоремы 7.2 основано на принципах, которые использованы для установления истинности утверждения теоремы 3.1. "Основное внимание уделяется изучению оператора G(V): і/« 1І Rm Ядро V строится по функции J-[C(#,f) И (см. п.З 7), где Из определения классов H.. вытекает, что ядро V( #,1, t)= = @() [C(#,)Q принадлежит классу tf0 . Функция 6 и встречающаяся далее функция СО определены в 3. ЛЕММА. 9.1. (Частный случай леммы 2.4). Для 5 % с1 и HeZ+ Н-5 - G(V): H W H (R+). (9.1) ЗАМЕЧАНИЕ. Условие S % -Ж порождается условием \ -5 -У% в лемме 2.4. Здесь V= \ d/. Приведенные ниже утверждения являются аналогами утверждений 1 - 4 параграфа 3. Их доказательства полностью повторяют соответствующие утверждения из параграфа 3 и поэтому здесь не приводятся. 1. Пусть ДєС (fj ), -j . Тогда для любого 5ЄЙ и nsZ+ таких, что И/-в+\)і\ + в- - - 65 t ДСзсі Ю G: H (R ) -» H (B+ ). (9.2) 2. Пусть L главная часть дифференциального выражения L(L=lv0+p 0) в новых координатах (X,t) ПРИ = 0 Тогда для любого ПЄ-Z и S % cb L0G:H (t)- H (R+). (9.3) ЗАМЕЧАНИЕ. Условия V-5 - 6 и ft-$H-cb -fy для 5 -оС выполнены, причем показатель V для ядра V оператора L0G будет определяться первым слагаемым в представлении (7.10). 3 . Пусть Де С (к+ ) . Тогда для 0. такого, что 20-00-8,- ,+ 2 4 полуторалинейная форма j X W) S)fG j5)tfeG (ia it (9.4) отвечает в La (В ) классическому ЦЦО порядка tyWyel+j8f+j32-2 Ч с главным символом І Є(00)\ЯА(Х,0)1i+ 2\ [C(Xj)t]f2[C№,I)tJtit. (9.5) #+ 4. Из (7.12) прямо следует, что йУ\ь=0 = віУ -Ну). (9.6) Здесь М - оператор порядка-оо. Следующая лемма является аналогом леммы 3.1. Некоторые различия в формулировках объясняются ограничением на S » обуславливаемым свойствами ядра.
