Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1 Линейные интегральные уравнения Вольтерра с однородными ядрами степени 18
1.1 Устойчивость уравнения 19
1.2 Допустимость некоторых пар пространств относительно уравнения 21
1.3 Критерии допустимости пар (Ао, Ао) и (Со, Со) относительно оператора 25
1.4 Критерии допустимости пар (Ао, Ао) и (Со, Со) относительно уравнения 28
1.5 Критерии допустимости пар (ХА,т, Хл,т) и (Хл,т, Хл, т) относительно уравнения 29
ГЛАВА 2 Линейные интегральные уравнения Вольтерра с однородными ядрами степени 38
2.1 Представление резольвенты разностного несуммируемого ядра 39
2.2 Асимптотика резольвенты однородного ядра, порождающего неограниченный в ВС оператор 59
ГЛАВА 3 Асимптотика решения уравнения Вольтерра с однородным ядром степени 68
3.1 Некоторые свертки 69
3.2 Асимптотика решения со свободным членом из Ап 80
Литература 96
- Допустимость некоторых пар пространств относительно уравнения
- Критерии допустимости пар (Ао, Ао) и (Со, Со) относительно уравнения
- Асимптотика резольвенты однородного ядра, порождающего неограниченный в ВС оператор
- Асимптотика решения со свободным членом из Ап
Введение к работе
I. Настоящее диссертационное исследование посвящено изучению асимптотических свойств решений линейных интегральных уравнений Вольтерра t x(t) = J K(t, s) x(s) ds + /( ), t 1, (B.l) і с однородным ядром K(t, s).
Изучение различных асимптотических свойств решений уравнений составляет значительную часть соответствующей теории уравнений. Достаточно сослаться на методы малого параметра, усреднения, ВКБ-метод и другие. Не меньшее значение имеет и выяснение асимптотических по времени свойств решений уравнений, описывающих эволюционные процессы. Например, для дифференциальных уравнений этой задачей занимались такие математики, как А. Пуанкаре, О. Перрон, М. Хукухара, Э. А. Коддинг-тон, Ф. Хартман и А. Уинтнер, Р. Беллман и многие другие. Их результаты уже вошли в учебники (см. [10], [23], [37], [42]).
В середине XX века активно изучалось асимптотическое поведение решений при t — со дифференциальных уравнений с запаздыванием (см., например, монографии А. Д. Мышкиса [28], Р. Беллмана и К. Кука [4]).
Асимптотика решений интегральных уравнений Вольтерра с разностным ядром, по-видимому, впервые изучалась Н. Винером и Р. Пэли [11]. Кроме того, в связи с задачами теории восстановления активно изучалось поведение решения уравнения восстановления. Соответствующие результаты подробно изложены в книгах В. Феллера [41] и Б. А. Севастьянова [38], [39]. Асимптотика решений интегральных уравнений Вольтерра с разностным ядром, а также асимптотическое представление резольвенты, интенсивно изучались Дж.Дж. Левиным [60]-[62], З.Б. Цалюком [46]-[48], [18]-[20], В. А. Дербеневым [15], [16], [18]-[20].
В последнее десятилетие в ряде задач физики, биологии, теории игр и т.д. возникли интегральные и интегро-дифференциальные уравнения с периодическими и однородными ядрами (см., например, [21], [52], [54], [68]).
Изучением асимптотики решений уравнений Вольтерра с периодическими ядрами активно занимались В. Ф. Пуляев, В. А. Дербенев, 3. Б. Ца-люк, В. Р. Винокуров (см. [3], [12], [17], [35]).
Первые достаточно полные исследования интегрального уравнения Вольтерра с однородным ядром степени —1 принадлежат Л. Г. Михайлову [27]. В связи с приложениями к задачам механики асимптотику некоторых уравнений с однородными ядрами рассматривал Р.В. Дудучава [21]. Вопросы инвариантности некоторых пар пространств относительно операторов и уравнений с однородными ядрами, нетеровость, а также асимптотика решений по логарифмической шкале изучались в ряде работ ростовских математиков Н. К. Карапетянца, С. Г. Самко, М. А. Бетилгириева и других (см. [1], [2], [5]-[8], [13], [22]).
Асимптотика решений, в основном, изучалась для уравнений с однородными ядрами степени однородности —1. Как известно, этот класс уравнений при помощи экспоненциальных замен сводится к уравнению с ядром K(t — s), зависящим от разности аргументов (см., например, [40]). При этом рассматривался тот случай, когда К Є L\[0, оо).
В данной диссертации рассматриваются вольтерровы уравнения и асимптотика их решения. В ней изучается не только случай однородного ядра степени —1, но и ядра с другими степенями однородности. При этом в случае степени однородности ядра —1 исследуются уравнения, которые сводятся к разностным уравнениям с несуммируемыми ядрами.
Основная задача — выяснить свойства решения в зависимости от свойств свободного члена, в частности, получить условия, при которых при заданной асимптотике свободного члена решение также будет иметь определенное асимптотическое представление. Чтобы не быть связанными с определенной асимптотикой свободного члена, изучается разложение резольвенты, которое в каждом конкретном случае позволяет получить необходимые результаты. В работе асимптотическое представление резольвенты применяется к нахождению асимптотики решений при свободных членах, имеющих разложение по естественной для математического анализа степенной шкале.
Так как, кроме того, в диссертации изучается проблема устойчивости, то здесь естественно потребовать, чтобы соответствующий интегральный оператор с однородным ядром действовал в пространстве ВС непрерывных ограниченных функций. Как оказалось, для этого необходимо, чтобы степень однородности была — 1. Именно такие ядра и рассматриваются в данной работе.
В качестве основных результатов можно выделить следующие:
- установлено, что в случае степени однородности ядра — 1 из действия оператора в пространстве ВС следует устойчивость уравнения;
- доказано, что в устойчивом случае из действия оператора в некотором замкнутом подпространстве X С ВС следует допустимость пары (X, X) относительно уравнения, то есть при свободных членах из X решение тоже принадлежит X;
- получены условия, при которых если свободный член уравнения разлагается по некоторой степенной асимптотической шкале, то и решение имеет аналогичное разложение;
- в случае степени однородности —1 для ядра, сводящегося к несумми-руемому разностному ядру, получено представление резольвенты в различных вариантах расположения корней символа;
- найдена асимптотика решения на бесконечности как в устойчивом, так и в неустойчивом случае при свободном члене, имеющем тейлоровское разложение в окрестности бесконечности.
Все результаты диссертации являются новыми.
Работа носит теоретический характер. Полученные в работе результаты могут быть использованы при изучении интегральных уравнений Вольтерра с однородными ядрами, а также в некоторых задачах прикладного характера.
Результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинарах и конференциях: семинар кафедры дифференциальных уравнений Кубанского государственного университета (руководитель — доктор физико-математических наук, профессор З.Б. Цалюк); Воронежская зимняя математическая школа „Современные методы теории функций и смежные проблемы", Воронеж, 2001; XXXIX международная научная студенческая конференция „Студент и научно-технический прогресс", Новосибирск, 2001;
международная научная конференция „Дифференциальные и интегральные уравнения. Математические модели", Челябинск, 2002; Воронежская весенняя математическая школа „Понтрягинские чтения - XIII", Воронеж, 2002; X международная конференция „Математика. Экономика. Образование", Ростов-на-Дону, 2002; школа-конференция „Лобачевские чтения", Казань, 2002; Воронежская весенняя математическая школа ,Донтрягинские чтения - XIV", Воронеж, 2003; VI Казанская летняя школа-конференция „Теория функций, ее приложения и смежные вопросы", Казань, 2003; международная конференция „Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения", Махачкала, 2003; Воронежская весенняя математическая школа „Понтрягинские чтения - XV", Воронеж, 2004; Воронежская зимняя математическая школа „Современные методы теории функций и смежные проблемы", Воронеж, 2005.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [72]-[85]. В работе [78], выполненной совместно с 3. Б. Цалюком, ему принадлежит постановка задачи и указание методов исследования. Автору диссертации принадлежит подробное проведение доказательств.
II. Прежде, чем перейти к изложению основных результатов диссертации, приведем ряд известных утверждений, необходимых нам в дальнейшем.
Рассмотрим уравнение t x(t) = J K(t, s)x(s) ds + /( ), t a, (B.2) a и оператор t (Kx) (t) = I K(t, s)x(s) ds. (B.3) a Как известно (см., например, [43]), если ядро K(t, s) удовлетворяет условию Радона (например, непрерывно), то оператор (В.З) действует в пространстве С [а, со) непрерывных функций и является вполне непрерывным, а уравнение (В.2) при любом свободном члене / Є С[а, оо) имеет в С [а, оо) единственное решение. •
Определение В.1 [43, глава 2, § 2]. Пара (X, Y) называется допустимой относительно оператора К, если любой элемент из пространства X он переводит в элемент пространства Y, то есть КСХ.) С Y.
Справедливы следующие теоремы.
Теорема В.1 [43, глава 2, §2]. Для допустимости относительно оператора К пары (ВС, ВС) необходимо и достаточно, чтобы t sup I \K(tt s)\ ds oo. t a J a t І; sup f\K(t, s)\ds t a J
Теорема B.2 [43, глава 2, §2]. Для допустимости пары (Ао, Ао) относительно оператора К необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия t 4 oo; 2) J K{t,s) а t a T ds Є Ао; 3) I K(t, s)(T -s)ds Є A0 для любого Т а. а Теорема В.З [43, глава 2, § 2]. Для допустимости пары (Со, Со) относительно оператора К необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия t 1) sup / \K(t, s)\ ds oo; a T t a J 2) I K(t, s)(T - s)ds Є C0 при любом T a.
Определение B.2 [43, глава 2, §2]. Пара (Y, X) называется допустимой относительно уравнения (В.2), если для любого свободного члена / Є Y соответствующее ему решение ж Є X.
Определение В.З [43, глава 2, §1]. Уравнение (В.2) и ядро K(t, s) называются устойчивыми, если для любого є 0 найдется такое S 0, что из / Є ВС, /вс S следует х Є ВС и хВс є.
Теорема В.4 [20, §3]. Уравнение (В.2) устойчиво тогда и только тогда, когда выполнено одно из следующих условий:
1) пара (ВС, ВС) допустима относительно уравнения (В.2);
t
2) sup / \R(t, s)\ ds oo, где R(t, s) — резольвента ядра K(t, s);
t a J a
3) пара (ВС, ВС) допустима относительно резольвентного оператора R.
Справедлив также следующий критерий устойчивости. Теорема В.5 [45]. Пусть выполнены условия oo; t 1) sup 2) существует такое Т 1, что JT = sup / IК(t, s)\ ds 1. t T J T Тогда уравнение с ядром K(t, s) устойчиво.
Определение В.4 [43, глава 2, § 1]. Уравнение (В.2) и ядро K(t s) называются асимптотически устойчивыми, если они устойчивы и из / Є Со следует х Є Со Теорема В.6 [20, §3]. Уравнение (В.2) асимптотически устойчиво тогда и только тогда, когда выполнено одно из следующих условий:
1) пара (Со, Со) допустима относительно уравнения (В.2);
2) пара (Со, Со) допустима относительно оператора R.
Рассмотрим уравнение t x(t)= J K(t-/s)x(s)ds + f(t)i t 0. (B.4) о Теорема B.7 [20, §4]. Пусть К Є i[0, oo).
1) Для того, чтобы R Є і[0, со) необходимо и достаточно выполнения условия K(z) ф\ npuRez 0. (В.5)
2) Если выполнено условие (В.5) и tpK Є Хі[0, со), где р Є N, то tpR Є Li[0, сю). Если, кроме того, tlK = о(1) при t — • со, где 0 I р, то и tlR = о(1) при t — 00.
Теорема В.8 [20, §5]. Пусть существует такое целое р 0, что (tp + 1)К Є Ьі[0, oo). Если уравнение 1 — K(z) = 0 имеет в полуплоскости Rez 0 конечное число корней Ai, Аг, ..., Ад целой кратности mi, Ш2, ..., т„ соответственно и р ро = max m,-, mo резольвента Re А,=0 лфа - ( ) имеет вид R(t) = D{t) + #о(0 + ЯоВД, где () = Pmj_i(f)eA и tp P°Ro Є і[0, 00). Если, кроме того, i=i Z.K" = о(1) при t — со, / р — ро, то tlRo = о(1), — 00.
Теорема В.9 [20, §6]. Пусть уравнение 1 — K(z) = 0 имеет в полуплоскости Re2 0 конечное число корней Ai = ryi, ..., Аг = «7г Аг+і, ..., Ад кратности mi + ai, ..., mr -f аг, mr+i, ..., mg соответственно, где m,j 0 целые, ot3- Є (0, 1), причем т\ = гаг = • • • = mr = = р0 = шах га,-. Пусть, далее, ( + І)і ( ) Є L\[0, 00) и о\/іл всех
Re Aj=0
І = 1,2,...,Л
t po-l+a, _ [ _ syo-i+bie-bfjctyda eLi[0, 00).
0 Тогда резольвента R(t) представима в виде
R(t) = D(t) + Ді( ) + (D R2) (t) = R3{t) + (D i?4) (t),
г g
2 feD(t) = " (Oe + Pmj-lW uRi Є Li[0, OO). fern, кроме 3=1 j=l
того, K(t) = o(l) при t -+ 00, mo и ify() = o(l) при — • 00.
Теорема B.10 [47]. Пусть K(t) Є Li[0, 00) и уравнение 1—K(z) = 0 ішеет в полуплоскости Re z 0 конечное число корней Ai, ..., Ад кратности ті, ..., Шд соответственно, причем ті, ..., тг — г е/ше, a ттг,-, j г — нет. Пусть, далее, для тех j, при которых Re Xj = 0, t i-i _ f{t _ 5) - - (5) cfc Є Li[0, 00) и t jKM _ j{t - 5)И;]-іе-Аі к(s) ds Є Li[0, oo). Тогда резольвента R(i) представима в виде R{t) = D(t) + До( ) + (D До) ( ), где с) = Е -і( )ел ,+ Е [ -i«+ {mibliw )]eA ( j=l j=r+l u До Є Ьі[0, oo).
III. Перейдем к обзору основных результатов диссертации. Работа состоит из введения, трех глав и списка литературы.
В первой главе рассматривается уравнение (В.1) с ядром степени однородности — 1 и исследуются вопросы устойчивости и допустимости некоторых пар пространств относительно интегрального оператора и порождаемого им уравнения.
Положим Q(t) = K(t, 1), тогда уравнение (В.1) можно переписать в виде t x{t) = J±QQx(s)ds + №. (в.6) Определим оператор Q равенством t (Qx)(t) = J±QQx(s)ds. і Показано (§1.1), что для того, чтобы Q действовал в ВС, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия: а 1 и t sup- I \Q(T)\T -2dr oo. (B.7)
і Как оказалось, эти же условия являются достаточными и для устойчивости уравнения, то есть из допустимости пары (ВС, ВС) относительно оператора Q следует допустимость ее относительно уравнения (В.6).
В § 1.2 изучаются свойства решений в зависимости от свойств свободного члена. Иначе говоря, устанавливаются условия допустимости различных пар пространств относительно уравнения (В.6). Основным результатом здесь является следующее утверждение.
Теорема 1.2. Пусть выполнено условие (В.7) «X - замкнутое подпространство пространства ВС. Если пара (X, X) допустима относительно оператора Q, то пара (X, X) допустима и относительно уравнения (В.6).
Заметим, что аналогичный результат имеет место в теории интегральных уравнений Вольтерра с неотрицательными ядрами. В случае произвольного ядра этот факт пока не доказан, но и не опровергнут.
Таким образом, имея критерии допустимости для ядра, можно получать соответствующие результаты и для уравнений. Основными, интересующими нас, замкнутыми подпространствами ВС являются пространство Ао непрерывных функций, имеющих предел на бесконечности, и его подпространство Со функций, стремящихся к нулю. Допустимости пар (Со, Со) и (Ао, Ао) относительно оператора Q и уравнения (В.6) посвящены § 1.3 и § 1.4 соответственно.
Сформулируем основной результат этих параграфов.
Теорема 1.5. Пусть выполнено условие (В.7). Если, кроме того, t JL J Q{T)T»-4T Є А0, то пара (Ао, Ао) допустима относительно уравнения (В.6); если же t фгг J Q(r)ra 2 dr Є Со, і то пара (Со, Со) допустима относительно уравнения, то есть уравнение (В. 6) асимптотически устойчиво.
В § 1.5 диссертации изучается допустимость относительно уравнения (В.6) пар незамкнутых линейных подпространств (Хл,т, Хл,т) и (Хл.ті Хл,т) (см. стр. з). В частности, показано, что в случае существо вания такого п О, что t sup 1"" f rn+a-2\Q{T)\ dr oo, t i J і при свободном члене /() Є Хл,т(Хл,т), где Лт п, решение также принадлежит этому пространству.
Вторая глава посвящена изучению резольвенты однородного ядра степени —1. В этом случае экспоненциальными заменами уравнение с s \s/ однородным ядром -QI -1 сводится к уравнению с ядром, зависящим от s \s/ разности аргументов.
Условие суммируемости полученного разностного ядра равносильно условию €Li[l,oo). (В.8)
Таким образом, если однородное ядро удовлетворяет условию (В.8), то соответствующие результаты для уравнения t x(t)= [ Q( )x(s)ds + f(t) і легко вытекают из теорем В.7-В.10. Поэтому в этой главе изучается уравнение (В.6) при условии, что Q(t) , . . —-— f. Li[l, оо). Точнее, мы предполагаем, что Ъ к Q(t) = QiW + QoW = Pn,-i(}nt)tP + Q0(t)t (B.9) i=i где Re - 0 и 2 21 є [1, oo).
§2.1 носит вспомогательный характер и в нем рассматривается уравнение с разностным ядром K{t) = Kx(t) + KQ{t), где KX{t) = p»,-i(t)e = ч j=\ j=\ »=о Re (JLJ О, rij Є N, j = 1, ..., к и K0(t) Є Li[0, oo). Полученное для этого случая представление резольвенты используется затем в § 2.2 для изучения асимптотического представления резольвенты однородного ядра -Q(_) где Q{t) имеет вид (В.9). Стоит заметить, что композиция линейных интегральных операторов Вольтерра с однородным степени —1 ядром также является интегральным оператором с ядром степени однородности —1. Поэтому резольвента, в свою очередь, будет однородной степени — 1. Обозначим резольвенту через Я з(, s), тогда, в силу однородности, ее можно представить в виде Д,(І,.) = ІЛ(І). Сформулируем основные результаты этого параграфа. Теорема 2.1. Пусть существует такое /3 0, что tP lQo{t) Є Є Li[l, oo). 1) Для того, чтобы r lR(t) Є Іі[1, оо) необходимо и достаточно выполнения условия оо 1- ( u (z+1)Q(u) du O, Rez -/3. (В.10) і 2) Если выполнено условие (В.10) и (ln)p -1Qo(0 Є і[1, со), где р Є N, то (Intyt Rit) Є Li[l, оо). Если, кроме того, (\nt)rtPQo(t) = о(1) при t —У оо, где О г р, то (lnt)rt R(t) = о(1) при t — оо. Определим оо Q(z)= fu-(z+VQ(u)du. і Теорема 2.2. Пусть _1Q0(0 Є Хі[1, оо) при некотором /3 0 и уравнение 1 — Q(z) = 0 имеет в полуплоскости Re 2 —ft конечное число корней Al, . . . , Ад кратности ті, ..., гад соответственно, причем mr+i, ..., mq — целые, а Wit J г нет. Пусть далее для тех j, при которых Re Xj = —(З, 3.(А,)(1п г- - / (in іу -ьШь t Є Li[l, оо), \ 8/ S J Є Іі[1, оо). где Тогда резольвента Rq(t, s) представимо в виде t RQ{t, s) = D(t, s) + ДЬ( , ) + У ! ( , ОЛЬК, ) de, s .)-;tMhMb3 (bi)]er І=1 L + j=r+l 1« ft и і?о(, s) = --Ro(-) — однородная функция степени однородности такая что -1До() Є Li[l, 00). -1,
Ha основании результатов второй главы при различных асимптотических представлениях свободного члена можно получать соответствующую асимптотику решения.
В предшествующих работах (например, [8]) изучался случай разложения свободного члена и решения по логарифмической шкале. Это было вызвано тем, что после сведения к разностному уравнению логарифмическая шкала преобразовывалась в степенную.
В третьей главе в качестве асимптотической шкалы для однородного уравнения выбрана естественная для математического анализа степенная шкала, так что свободный член допускает на бесконечности тейлоровское разложение.
Параграф 3.1 содержит некоторые, необходимые далее, свертки. В §3.2 получена асимптотика решения линейного интегрального уравнения Вольтерра с однородным степени —1 ядром.
В устойчивом случае справедливо следующее утверждение.
Теорема 3.1. Пусть существуют такие ft О и целое р О, что ((lntf)p + l) -1Qo(0 Є - i[l» о°) w уравнение 1 — Q(z) = 0 не имеет корней в полуплоскости Rez —(3. Тогда если свободный член f(i) Є Ап, где п /З, то решение имеет асимптотику:
1) при п = (3
/5
x(t) = Г " + t p • о(1), t - со; k=o
2) при п (3
Щ x(t) = ]Г акГк + (\nt)-pr0 • о(1), t -+ оо. л=о
Так как в случае наличия корней уравнения 1 — Q(z) = 0 в полуплоскости Re z —(3, по теореме 2.2, в выражение для резольвенты отдельно входят слагаемые, соответствующие корням с Re Xj — /? и с Re Xj = —/З, то ниже мы рассмотрим эти два случая отдельно.
Теорема 3.2. Пусть t lQo{t) Є 1 і[1, оо) при некотором (3 0 и уравнение 1 — Q(z) = 0 имеет в полуплоскости Kez —/3 конечное число корней Al, . • . , Ад целой кратности mi, ..., гад соответственно, причем Ке Xj — /3, J = 1, ..., q и Ai, ..., Аа fa 0 — целые и неотрицательные. Тогда если свободный член f(t) є Ап, где п (3, то решение имеет асимптотику я W x(t) = J2Pmfi t)iXj+ Е Л»,-1(1п ) + а Г + Г .о(1). 3=1 j =a+l fc=0 Теорема 3.3. Пусть t lQ {t) Є Ьі[1, со) при некотором f3 О и уравнение 1 — Q(z) = О гшеет в полуплоскости Re .г — /3 конечное число корней Ai, ..., Ад кратности mi, ..., mq соответственно, причем все они лежат на прямой Re z = —р\ Пусть, кроме того, для всех j = 1, 2, ..., д выполнены условия t \ QoMilntr -1 - J (in j)Wi VA -ds Є Li[l, oo), і Тогда если свободный член f(t) Є Ап, где п (3, то решение имеет асимптотику Р x(t) = Y,akt k + cQntybt- + (lnf)mor • o(l) k=o в случае, когда ft Є Ъ и уравнение 1 — Q(z) = О имеет корень А = — /3 def кратности тп = max ГПА, и x(t) = Y,akrk + (1п )тоГ - o(l) =o в противном случае. Библиография 85 названий.
Допустимость некоторых пар пространств относительно уравнения
В этом параграфе изучаются свойства решений уравнений в зависимости от свойств свободного члена. Иначе говоря, устанавливаются условия допустимости различных пар пространств относительно уравнения (1.2). Пусть выполнено условие (1.3) предыдущего параграфа, т.е. следующее утверждение. Лемма 1.2. В пространстве ВС молено ввести такую норму где что V II \\ Р и II II вс эквивалентны; Доказательство. Покажем эквивалентность норм. Действительно, если Следовательно min{6, е аТ} ІІ Цвс \\х\\„, (6+ 1) IWIBC Выберем, далее, такие положительные а, Ь и Т, чтобы соответствующая норма \\Q\\(p оператора Q была меньше единицы. Имеем Тогда имеем lim it(, а) = 0 при каждом фиксированном . Так как функция u(t, а) монотонно убывает по а и стремится на компакте [1, Т] к 0, то по теореме Дини сходимость равномерная. Следовательно, найдется такое до статочно большое число а, что u X — замкнутое подпространство ВС. Если пара (X, X) допустима относительно оператора Q, то пара (X, X) допустима и относительно уравнения (1.2). Доказательство. Так как выполнено условие (1.3), выберем норму \\,р согласно лемме 1.2. Пусть теперь в уравнении (1.2) свободный член f(t) Є X. Возьмем некоторую начальную функцию xo(t) Є X и определим последовательные приближения формулой Покажем, что все последовательные приближения лежат в пространстве X. Проведем и относительно уравнения (1.2). Доказательство. Так как выполнено условие (1.3), выберем норму \\,р согласно лемме 1.2. Пусть теперь в уравнении (1.2) свободный член f(t) Є X. Возьмем некоторую начальную функцию xo(t) Є X и определим последовательные приближения формулой Покажем, что все последовательные приближения лежат в пространстве X. Проведем доказательство по индукции. Предположим, что при некотором к функция Xk(t) Є X. Тогда, в силу допустимости пары (X, X) относительно оператора Q, имеем Qxk(t) Є X, а следовательно, и Xk+i{t) = = Qxk{t) + f(t) также лежит в пространстве X. Таким образом, Xk(t) Є X для всех к. Так как \\Q\\ p 1, то последовательные приближения Xk(t), построенные по любому xo(t) Є X С ВС, сходятся к решению по норме Ц , а в силу эквивалентности норм, и равномерно на [1, со). По условию теоремы пространство X замкнуто. Следовательно, решение, являющееся пределом последовательности функций из X, также принадлежит X. Таким образом, если свободный член f(t) X, то и соответствующее Замечание. В частности, если X = ВС, то пара (ВС, ВС) допустима относительно уравнения (1.2), что и означает устойчивость (см. теорему В.4). Особый интерес представляют некоторые специальные замкнутые подпространства ВС. В частности, пространство Ао функций x(t) Є ВС, имеющих конечный предел на бесконечности.
В следующей теореме приведены условия допустимости пары (Ао, Ао) относительно оператора Q. Теорема 1.3. Пара (Ао, Ао) допустима относительно оператора Q тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия: t Доказательство. Как известно из теории линейных операторов Вольтерра (см. теорему В.2), для допустимости пары (AQ, AQ) относитель но оператора Q необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия Отсюда следует допустимость пары (Ао, Ао) относительно операто Также справедливо доказательство по индукции. Предположим, что при некотором к функция Xk(t) Є X. Тогда, в силу допустимости пары (X, X) относительно оператора Q, имеем Qxk(t) Є X, а следовательно, и Xk+i{t) = = Qxk{t) + f(t) также лежит в пространстве X. Таким образом, Xk(t) Є X для всех к. Так как \\Q\\ p 1, то последовательные приближения Xk(t), построенные по любому xo(t) Є X С ВС, сходятся к решению по норме Ц , а в силу эквивалентности норм, и равномерно на [1, со). По условию теоремы пространство X замкнуто. Следовательно, решение, являющееся пределом последовательности функций из X, также принадлежит X. Таким образом, если свободный член f(t) X, то и соответствующее Замечание. В частности, если X = ВС, то пара (ВС, ВС) допустима относительно уравнения (1.2), что и означает устойчивость (см. теорему В.4). Особый интерес представляют некоторые специальные замкнутые подпространства ВС. В частности, пространство Ао функций x(t) Є ВС, имеющих конечный предел на бесконечности. В следующей теореме приведены условия допустимости пары (Ао, Ао) относительно оператора Q. Теорема 1.3. Пара (Ао, Ао) допустима относительно оператора Q тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия: t Доказательство. Как известно из теории линейных операторов Вольтерра (см. теорему В.2), для допустимости пары (AQ, AQ) относитель но оператора Q необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия Отсюда следует допустимость пары (Ао, Ао) относительно операто Также справедливо следующее утверждение.
Критерии допустимости пар (Ао, Ао) и (Со, Со) относительно уравнения
Полученные в 1.3 критерии допустимости некоторых пар относительно оператора Q позволяют сформулировать ряд утверждений, дающих условия допустимости этих же пар относительно уравнения (1.2). Теорема 1.5. Пусть выполнено условие Если, кроме того, mo пара (Ао, Ао) допустима относительно уравнения (1.2); если же то пара (Со, Со) допустима относительно уравнения, то есть уравнение (1.2) асимптотически устойчиво. Доказательство. Так как в первом случае выполнены условия теоремы 1.3, а во втором — теоремы 1.4 (пространства Ао и Со — замкнутые подпространства ВС), то пара (Ао, Ао) (или (Со, Со)) допустима относительно оператора Q. Таким образом, мы находимся в условиях теоремы 1.2, следовательно, пары (Ао, Ао) и (Со, Со) допустимы относительно уравнения (1.2) соответственно в первом и втором случаях. Так как допустимость пары (Со, Со) равносильна асимптотической устойчивости (см. теорему В.6), то если оператор Q устойчив и то уравнение (1.2) асимптотически устойчиво. Ш В предыдущих параграфах рассматривалась асимптотика решений с точностью до функций, стремящихся на бесконечности к нулю. Пусть, далее, имеется некоторая счетная система действительных чисел Будем считать VJ = 0. Напомним, что о Во всех остальных случаях линейные подпространства Хд.т и Хд.т не яв ляются замкнутыми в ВС. как при любом п функция —j- = 0(1) при —) со, то все #„() Є Хд.т- Последовательность {#„()} сходится к функции x(i) = /J -д- + - - рав номерно. Чтобы показать это, докажем сначала, что последовательность Vn(t) = —г (а 0) равномерно по t 1 сходится к функции y(t) = —, то , Таким образом, xn(t) — x() равномерно no 1. Однако, как легко видеть, m 1 \nt предельная функция x(t) = TJ — + -j— Хл,т) то есть линейное мно fc=0 гообразие Хд,т действительно не замкнуто и, следовательно, теорема 1.1 неприменима. Этот же пример показывает, что Хл,т также не является замкнутым подмножеством ВС. Рассмотрим, далее, такую систему Л, что для каждого А Є Л, имеем Л + (а — 1) Є Л, где —а — степень однородности ядра уравнения (1.2). В этом случае можно получить условия допустимости пар (Хл т, Хл.,т) и (Хл,т, ХЛ)т) Для уравнения (1.2). и Так как по условию система Л такая, что если А Є Л, то А + а — 1 = = Xjk Є Л, где jk fc, то равенство (1.7) выполнено в обоих случаях. Из (1.7) и условия п Хт получаем следующее представление которое при jk т принимает вид Свободный член в силу условия теоремы имеет вид
Подставив x{t) и /() в уравнение, получим Тогда если свободный член уравнения (1.2) имеет асимптотическое представление m=tU+1e -р- - k=0 Подставив х и / в уравнение, получим Так как ядро —Q (" ) ( ) асимптотически устойчиво и свободный член f(t) = о(1), то и решение x(t) = о(1) при t — оо. Таким образом, решение x(t) уравнения (1.2) допускает указанное в формулировке теоремы разложение. В качестве частных случаев системы Л можно взять, например, А = {к(а-1) : к = 0, 1, 2, ...}, где —а — степень однородности ядра уравнения (1.2), или Сформулируем соответствующие утверждения. Следствие 1. Пусть существует такое п О, что выполнено условие (1.6), и свободный член уравнения (1.2) имеет асимптотическое представление Тогда, Следствие 2. Пусть существует такое п О, -что выполнено условие (1.6), и свободный член уравнения (1.2) имеет асимптотическое представление В этой главе изучаются линейные интегральные уравнения Вольтерра с однородными ядрами степени однородности —1. Такие уравнения, как известно, сводятся к уравнениям с ядрами, зависящими от разности аргументов, для которых, в случае суммируемого ядра, структура резольвенты изучена достаточно хорошо (см., например, [43], а также теоремы В.7 -В.10). Таким образом, можно сформулировать соответствующие результаты и для уравнений с однородными ядрами. Здесь рассматривается случай, когда полученное разностное ядро несуммируемо. Так как структура резольвенты такого ядра не изучена, то сначала изучаются уравнения с несуммируемыми ядрами, точнее с ядрами, представляющимися в виде суммы суммируемой функции и квазимногочлена, а затем эти результаты применяются для соответствующих уравнений с однородными ядрами. Доказательство. Проведем сначала некоторые преобразования. Рассмотрим уравнение выше г. Кроме того, будем считать, что P i(t) = 0 и 53 = 0. о Как видно, ядро K(t) суммируемо, если K\{t) = 0. В случае K(t) Є L\[0, со) представление его резольвенты Rait) достаточно хорошо изучено (см. В.7 - В.10). Если же Ki(t) ф 0, то K(t) ф Li[0, со). Чтобы получить представление резольвенты для таких ядер, естественно попытаться свести этот случай к случаю ядра из Li[0, со). Ниже будет показано, что это можно сделать путем преобразования ядра, при котором основные характеристики, определяющие представление резольвенты, не изменяются. Пусть x(t) лежит в пространстве непрерывных функций С[0, со). Так как K(t) суммируема на любом отрезке [0, а] при всех а 0, то, как известно (см. [14, с. 107]), оператор свертки действует в пространстве С[0, со). Умножая I — К на, некоторый оператор I + G, получим где L определяется ядром L(t) = K(t) — G(t) + К G(t). Покажем, что можно выбрать такую G(t), чтобы L Є lq[0, со).
Асимптотика резольвенты однородного ядра, порождающего неограниченный в ВС оператор
Рассмотрим уравнение С помощью замен (для удобства переобозначим t уравнение (2.16) приводится к виду где Уравнения (2.16) и (2.18) эквивалентны в том смысле, что если х(і) является решением уравнения (2.16) со свободным членом /(), то функция y(t) = х(ег) — решение уравнения (2.18) с g(t) = f(el) и наоборот, если y(t) — решение (2.18) со свободным членом g(t), то x(t) = 2/(ln) является решением уравнения (2.16) с f(t) = g(\nt). Резольвенты этих уравнений также связаны, следовательно, зная свойства одной из них, можно получить соответствующие свойства другой. Докажем следующее вспомогательное утверждение. Лемма 2.6. Пусть K\(t, s) и K2(t, s) — однородные функции степени однородности р\ и Р2 соответственно. Тогда есть однородная функция степени однородности р\ -\- р2 + 1. Доказательство. Пусть Л 1. соответственно, то Ki(Xt, Хи) = XPlK\(t, и) и К2(Хи, Xs) = Х&К и, s), следовательно Заметим, что для уравнения (2.16) с однородным ядром степени однородности —1 резольвента также будет однородной функцией той же степени однородности. В самом деле, по лемме 2.6 все итерированные ядра, а следовательно и резольвента, ядра -Q(-) — однородные функции степени — 1. s \s/ Обозначим через .RQ(, S) резольвенту уравнения (2.16). Тогда, в силу однородности, ее можно представить в виде Как известно (см., например, [43], [20]), резольвента Rq(t, s) является единственным решением уравнения Используя свойство однородности резольвенты, его можно переписать в виде Далее, с помощью замен (2.17) (для удобства переобозначив t = т, s = 9), получим то есть R{el) является резольвентой ядра K(t). Для уравнения с ядром, зависящем от разности аргументов, уже получены определенные результаты, дающие представление резольвенты. Соотношение (2.20) позволяет сформулировать соответствующие утверждения для резольвенты Яд(, s). Учитывая отмеченную выше связь однородного ядра с разностным, заметим, что несуммируемому ядру вида (2.2) соответствует однородное ядро где Re/ij 0 и —— Є L\\l, со). Как отмечалось выше, его резольвента Теорема 2.1. Пусть существует такое (3 0, что _1Qo() Є Є Li[l, со). 1) Для того, чтобы t lR{t) Є Li[l, со), необходимо и достаточно выполнения условия 2) Если выполнено условие (2.21) и (Int)pt& 1Qo(t) Є Li[l, ею), где р Є N, то (Intf Rit) Є Li[l, со). Если, кроме того, (lnt)rt Qo(t) = о(1) при t —) оо, где О г р, то (lnt)rt R(t) = о(1) при — со. Доказательство
Тогда имеем Так как функции К\ (t, s) и K2 (, s) однородные степени однородности р\ ир2 соответственно, то Ki(Xt, Хи) = XPlK\(t, и) и К2(Хи, Xs) = Х&К и, s), следовательно Заметим, что для уравнения (2.16) с однородным ядром степени однородности —1 резольвента также будет однородной функцией той же степени однородности. В самом деле, по лемме 2.6 все итерированные ядра, а следовательно и резольвента, ядра -Q(-) — однородные функции степени — 1. s \s/ Обозначим через .RQ(, S) резольвенту уравнения (2.16). Тогда, в силу однородности, ее можно представить в виде Как известно (см., например, [43], [20]), резольвента Rq(t, s) является единственным решением уравнения Используя свойство однородности резольвенты, ) и (2.18) эквивалентны в том смысле, что если х(і) является решением уравнения (2.16) со свободным членом /(), то функция y(t) = х(ег) — решение уравнения (2.18) с g(t) = f(el) и наоборот, если y(t) — решение (2.18) со свободным членом g(t), то x(t) = 2/(ln) является решением уравнения (2.16) с f(t) = g(\nt). Резольвенты этих уравнений также связаны, следовательно, зная свойства одной из них, можно получить соответствующие свойства другой. Докажем следующее вспомогательное утверждение. Лемма 2.6. Пусть K\(t, s) и K2(t, s) — однородные функции степени однородности р\ и Р2 соответственно. Тогда есть однородная функция степени однородности р\ -\- р2 + 1. Доказательство. Пусть Л 1. соответственно, то Ki(Xt, Хи) = XPlK\(t, и) и К2(Хи, Xs) = Х&К и, s), следовательно Заметим, что для уравнения (2.16) с однородным ядром степени однородности —1 резольвента также будет однородной функцией той же степени однородности. В самом деле, по лемме 2.6 все итерированные ядра, а следовательно и резольвента, ядра -Q(-) — однородные функции степени — 1. s \s/ Обозначим через .RQ(, S) резольвенту уравнения (2.16). Тогда, в силу однородности, ее можно представить в виде Как известно (см., например, [43], [20]), резольвента Rq(t, s) является единственным решением уравнения Используя свойство однородности резольвенты, его можно переписать в виде Далее, с помощью замен (2.17) (для удобства переобозначив t = т, s = 9), получим то есть R{el) является резольвентой ядра K(t). Для уравнения с ядром, зависящем от разности аргументов, уже получены определенные результаты, дающие представление резольвенты. Соотношение (2.20) позволяет сформулировать соответствующие утверждения для резольвенты Яд(, s). Учитывая отмеченную выше связь однородного ядра с разностным, заметим, что несуммируемому ядру вида (2.2) соответствует однородное ядро где Re/ij 0 и —— Є L\\l, со). Как отмечалось выше, его резольвента Теорема 2.1. Пусть существует такое (3 0, что _1Qo() Є Є Li[l, со). 1) Для того, чтобы его можно переписать в виде Далее, с помощью замен (2.17) (для удобства переобозначив t = т, s = 9), получим то есть R{el) является резольвентой ядра K(t). Для уравнения с ядром, зависящем от разности аргументов, уже получены определенные результаты, дающие представление резольвенты. Соотношение (2.20) позволяет сформулировать соответствующие утверждения для резольвенты Яд(, s). Учитывая отмеченную выше связь однородного ядра с разностным, заметим, что несуммируемому ядру вида (2.2) соответствует однородное ядро где Re/ij 0 и —— Є L\\l, со). Как отмечалось выше, его резольвента Теорема 2.1. Пусть существует такое (3 0, что _1Qo() Є Є Li[l, со). 1) Для того, чтобы t lR{t) Є Li[l, со), необходимо и достаточно выполнения условия 2) Если выполнено условие (2.21) и (Int)pt& 1Qo(t) Є Li[l, ею), где р Є N, то (Intf Rit) Є Li[l, со). Если, кроме того, (lnt)rt Qo(t) = о(1) при t —) оо, где О г р, то (lnt)rt R(t) = о(1) при — со. Доказательство. Заменяя K(i) = Q(et) и обозначая
Асимптотика решения со свободным членом из Ап
Так как, в случае наличия корней уравнения (3.4) в полуплоскости Re z —/?, по теореме 2.2 в выражение для резольвенты отдельно входят слагаемые, соответствующие корням с Re Xj —/3 и с Re Xj = —{З, то ниже мы рассмотрим эти два случая отдельно. Договоримся, что запись А , ..., Л/ при I к означает, что таких А нет. Теорема 3.2. Пусть -1Qo( ) Є - і[1 оо) при некотором /3 О и уравнение (3.4) имеет в полуплоскости Re z —/3 конечное число корней целой кратности mi, ..., mq соответственно, причем Re Xj —f3, j = 1, ..., q и Ai, ..., Aa (a 0) — целые и неотрицательные. Тогда если свободный член уравнения (3.3) представим в виде где п /3 и целое, a p(t) = о(1) при t — оо, то решение имеет асимптотику Доказательство. Так как выполнены условия теоремы 2.2, то резольвента Rq(t, s) представима в виде где D(t, s) = -D(-J и Ro(t} s) = -RQ(-J — однородные функции степени однородности —1, такие что Следовательно кратности гаї,..., mq соответственно, причем все они лежат на прямой Re z = — /3. Пусть, кроме того, для всех j = 1, 2, ..., q выполнены условия где QoW определяется равенством (2.25) Тогда если свободный член уравнения (3.3) представим в виде где п /3 и г елое, а /?() = о(1) при t -+ 00, mo решение имеет асимптотику w уравнение (3.4) имеет корень А = — /3 кратности гао = max rrij, и асимптотику W x(t) = Y akt k + {Inty t-P о(1) =о в противном случае. Доказательство. По условию теоремы уравнение (3.4) имеет корни Лі, ..., \q кратности mi, ..., mq соответственно, причем все они лежат на прямой Re z = —/3. Заметим, что в этом случае кратности могут быть как целые, так и нет. Пусть где rar+i, ..., mq — целые, a mi, ..., тг — нет (0 г q). Так как выполнены условия теоремы 2.2, то резольвента RQ{1, S) пред-ставима в виде где D(t, s) = -D(- j и Ro(t, s) = -Ло(-) — однородные функции однородности —1, такие что и t Roit) Є Li[l, oo). Обозначим Предположим, далее, что Л = —(3 — корень уравнения (3.4) целой кратности. Пусть в списке корней он имеет номер q, то есть Лд = — /3. В этом случае Теорема 3.4. Пусть -1Qo() Є - i[l» ) nPu некотором /3 0 и уравнение (3.4) имеет в полуплоскости Re «г — (3 конечное число корней [1] Авсянкин О. Г. Об асимптотике многомерных интегральных уравнений с однородными ядрами. Ростовский гос. ун-т. Ростов-на-Дону, 1997. - 27 с. - Деп. в 11.04.97, № 1201-В97. [2] Авсянкин О.Г., Карапетянц Н.К. Интегральное уравнение с однородным ядром в полушаре или в октанте. Ростовский гос. ун-т. Ростов-на-Дону, 1995. - 52 с. - Деп. в 24.10.95, № 2798-В95. [3] Барсукова В.Ю., Пуляев В.Ф. Об асимптотике решений интегрального уравнения на полуоси с периодическим ядром // Известия вузов Сев.-Кавк. регион.
Естеств. науки. - 2003. - № 4. - С. 3-5. [4] Беллман Р., Кук К. Л. Дифференциально-разностные уравнения. - М.: Мир, 1967. - 548 с. [5] Бетилгириев М. А. Об асимптотике некоторых интеральных уравнений с однородными степени -1 ядрами. Ростовский гос. ун-т. Ростов-на-Дону, 1981. - 26 с. - Деп. в 20.08.81, № 4180-81. [6] Бетилгириев М. А. Асимптотическое разложение решений одного ин-терального уравнения с однородными степени -1 ядром // Дифференциальные и интегральные уравнения и их приложения, Элиста. - 1983. -С. 12-18. [7] Бетилгириев М. А. Об одном классе операторов с однородными ядрами в пространстве _ // Математический анализ и его приложения, Грозный. - 1984. - С. 65-70. [8] Бетилгириев М.А. Исследование асимптотики интегральных операторов свертки и с однородными ядрами. Диссертация на соискание ученой степени канд. физ.-мат. наук. Ростов-на-Дону, 1985. - 120 с. [9] Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. - М.: Наука, 1974. - 504 с. [10] Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. - М.: Мир, 1968. - 464 с. [11] Винер Н., Пэли Р. Преобразование Фурье в комплексной области. - М.: Наука, 1964. - 268 с. [12] Винокуров В. Р. Об ограниченности решения системы линейных интегральных уравнений Вольтерра с периодической матрицей // Учен, зап. Уральск, ун-та. - 1960. - Вып. 23. - С. 3-9. [13] Гиль А. В., Карапетянц Н. К. Интегральный оператор с однородным ядром в пространстве функций с ограниченной средней осцилляцией // Доклады РАН. - 2004. - Т. 397. - № 1. - С. 1-4. [14] Данфорд Н., Шварц Дж.Т. Линейные операторы. Т. 2. - М.: Мир, 1966. - 1063 с. [15] Дербенев В. А. Асимптотика уравнения восстановления. Диссертация на соискание ученой степени канд. физ.-мат. наук. Кубанск. гос. ун-т. Краснодар, 1975. - 103 с. [16] Дербенев В. А. К вопросу об асимптотике уравнения восстановления // Дифференциальные уравнения. -1976. - Т. 12. - № 4. - С 743-746. [17] Дербенев В. А., Пуляев В. Ф. Структура резольвенты и устойчивость линейных интегральных и интегро-дифференциальных уравнений // Изв. Сев.-Кавказск. научн. центра высш. школы. Сер. естеств. наук. -1992. - № 1-2. - С. 7-14. [18] Дербенев В. А., Цалюк 3. Б. К вопросу об асимптотическом разложении решений уравнения восстановления // Дифференциальные уравнения. - 1974. - Т. 10. - № 2. - С 335-341. [19] Дербенев В. А., Цалюк 3. Б. Асимптотика резольвенты неустойчивого уравнения Вольтерра с разностным ядром // Мат. заметки. - 1997. -Т. 62. - Вып. 1. - С. 88-94. [20] Дербенев В. А., Цалюк 3. Б. Асимптотика решений линейных уравнений Вольтерра с разностным ядром. - Краснодар, 2001. - 88 с. [21] Дудучава Р. В. Интегральные уравнения свертки с разрывными пред-символами, сингулярные интегральные уравнения с неподвижными
