Введение к работе
Актуальность темы. Предмет исследовании. Теория приближенных методов некорректно поставленных, задач ведет свое начало crt известных табот А. Н. Тихонова, М. М. Лаврентьева, В. К. Иванова. Эта работы пссдузндн мощным толчком е бурному развитою этой теории, которая к *>зсгс2гдаму времени приэе-.гва з достаточно стройную систему и изложена а многочисленных статьях н монографиях. Огранігаїмся здесь указанием следующих авторов; А. Л. Агеев, О. М. Алифанов. В. 3. Арестов, А. 5. 5ак\пинский, Ф. П. Васильев, Б. В. Васин. В. А. Винокуров, А. В. Гончарский, А. И. Гребешп'ков, А. М. Делиссз, А. С. Леонов, И. В. Мельникова, В. А. Морозов, В, Г. Романов, В. Н. Страхов, В. П. Танана. ІО. И. Худак, А. Г. Ягода. Т>. L. Fhffiips, J. N. Franklin. ..
Миогке некорректна поставленные задачи приводят к уравнению первого рода:
A* = J, (1)
где _-te(X, ->Х.), X\*Xz — банаховы пространства, J~l существует, по неограіжчея.
Пусть пара {и,/} удовлетворяет уравнению (I), но элемент / задан его <5-прнбажхеаіцпщ fs: lfs—f\ ^-3- Ести {Г;} (а>0 — параметр) —
некоторое семейство ограниченных операторов, определенных на всем пространстве Хг. действующих in Xz в Х,, к -экое, что \TdAu'—Ji\ —>0
при с—>0, з а — а(5) выбрано так, что ^^ГаЛ\ —?-0 цря 8-+Q, то семейство [ТЛіП} будет давать метод ирта-тяженного решения (или метод регулзркзашт) утавяевнх (1 \ так как \ T^Jbfs - и J _ -> О при 5 -> 0. Параметр я называется гирз-метром регуляри
|»г->Чгв^зтэ
Неослабевающий интерес к уравнениям первого рода поддерживается их приложениями в технике, физике, геофизике, астрофизике и других областях. Одним из актуальных направлений теории уравнений первого рода является теория оценок погрешности приближенных решений. В этой теории объектами исследования являются величины:.
' №,Т.,Ю = *ар$Тв&-4х:у-е-А4Хі8}, (2)
A(5,Ta,M) = supiTJs-u\\Xi: иеМ, \/е-Цх^&}, (3)
где А/ - некоторый класс из Хх, на котором сходимость ||ГаЛи-«|д, -> О
выполняется равномерно для всех и є М.
Величина А(6,Тп,й) называется погрешностью метода Та{6) в точке;
величина Н.ЗД'^^М) -погрешностью метода Та{1) на классе М.
Метод Ts(l?) называется оптимальным на классе М, если для любого 8 Д(5ДЭД,М) = Ы{Д(<5,Г,М): TeW}, где W — множество всех операторов, действующих из Хг ь X,.
Метод TS{S) будем называть оптимальным по порядку на классе М, если существует константа К, независящая от 5, что при 0<88^ выполняется оценка:
Д(5,Гад,М)<КМ{А(8,Т,М): TeW).
При исследовании оценки погрешности того или иного метода возникает
естественный вопрос: какова величина порядка по 8 в этой оценке? Как
правило, при ответе на этот вопрос указывается величина порядка при оценке
сверху. Что касается величины оптимального порядка, то здесь для уравнений
1 рода результаты известны лишь в немногие случаях для гильбертовых
Z- 9 < Ю
пространств (А.Б. Бакушинский, В.А. Морозов, В.Н. Страхов), а в близкой к
рассматриваемой здесь задаче — задаче восстановления значений
неограниченного оператора — в частных случаях есть результаты и для банаховых пространств (В.В. Арестов, В.Н. Габушин).
Вышеизложенное является основанием для вывода об актуальности темы данной работы.
Цель работы заключается в исследовании следующих вопросов.
1) Получение оценок:
Сх<р{6-)<,ЫМ8,Та,М)<С2<р(3) (4)
где q>(5) — некоторые известные функции, такие, что <р{3)—»0 при 8 —>0, 8 є(0,^], С, > 0, С, > 0 не зависят от 8;
-
Указание конкретной зависимости а = а(8) такой, что для Д(<5, Ta{S), М) имеет место оценка (4) с той же функцией <р{8).
-
Выяснение вопроса об оптимальности метода 7^(<5).
Методы исследования. В диссертации используются методы теории уравнений первого рода, теории приближения функций , а также теории -обыкновенных дифференциальных операторов. Именно, задача получения оценок для величины A(8,Ta(g), М) увязывается с решением известной в
теории приближений задачи Колмогорова-Никольского, а при решении последней задачи используется метод интегральных представлений. При исследовании метода регуляризации Тихонова для интегральных уравнений и ' изучении асимптотического поведения указанной величины использовались асимптотические методы теории дифференциальных уравнений. Вопрос об оптимальности порядков по 8, полученных в оценке (4), решался путём привлечения фактов из теории уравнений 1-го рода.
Научная новизна я практическая значимость. Основные результаты диссертации являются коввіми.
1. Разработан метод получения оценок погрешности приближенного решения уравнения Л") С указанием величины порядка по 8 в случге, когда
Г0> Г0л —шггеградъныс операторы, ЇГ.Г(а,.6]— пространство Соболева.
2. Получены оценки погрешности на классах А^[й,Ь], оптимальные по -
і порядку, в случаях, когда
а) А —оператор вложения «в С''[с,6] в ^[а,й] (уравнение 1-го рода с
таким простейшим оператором, по-видимому. рассматриЕаетсг впервые);
б) А — интегральный оператор, ядром которого является функция Грана
линейного обыкновенного дифференциального опера гора;
в) Л — интегральный оператор с разрывным ка дікігонедн ядром.
Гіріг этом в случаях б) и в) исследуется метод регуляркзацнз Тихонова; в случае а) — метод Тихонова, метод частных сумм рдда Фурье н негод S^^, построенный на базе оператора Стеклова.
-
В случае, когда в уравнении (1) Л — оператор вдоженнн ш С*** в L, (т.е. вдет речь о решении- задачи восстановления функций, заданных с погрешностью), получены новые, методы регулкрішцкя на базе оператора Стсклова.
-
На основании нроеедешщх исследований получено пріїлакешге" л задаче приближений непрерывных функций с помощью резольвент дпнейных .-дифференциальных операторов.
-
Найден метод и подучено решение обратной їздачи дяя лпкейаолз
ДІіффсрсНЦІЇЗЛЬНОГО ураШСННЙ, С Оценками ГіОґрешКОСШ, ЯВЗЕЇОЇЩЩЇКЗ
оптимшакимитіо порядку на классах &Qa,fe].
6. Получены нэаьа шггегральпыг представленій функций га
пространства Сбооясоа, -в том чііс&с, учігшіяющне їкйжкенкаг t» кик
краевые услоииа.
7. В случае, когда Ка — интегральный оператор, ядро которого Ка(х,) имеет непрерывные по лг производные до г —1-го порядка включительно, получены формулы для величин
^4^,^)=5^^^-^^: ИеМ;[а,Ь]} (5)
ff> {Ка — интегральные операторы, с ядрами -^—^^-A^^'^afi -К* )»
выражающие зтк величины через указанные ядра.
Теоретическая в практическая значимость. Работа носит
теоретический характер. Результаты её могут быть использованы в теории
уравнений 1-го рода, теории приближения функций, теории обратных задач
математической физики. Кроме того, результаты, полученные в работе,' в
частности, в задаче воссталовленнз фу кций (оценки погрешности,
необходимые н достаточные условия согласования а = а(5), конкретные
формулы этого согласованна) могут найти непосредственное применение при .
решении практических задач.
Апробапйя работы. Результаты диссертации докладывались: на Саратовских зимних школах по теории функций и приближений (1982, 1984, 1986, 1988, 1990, 1992, 1994, 1996). на Всесоюзной семинаре по некорректно поставленным задачам (Саратов, 1985), На Всесоюзной конференции "Условно-корректные задачи математической физики" (Алма-Ата, 1989), на -Международной конференции "Некорректно поо~авлетше задачи в естестзенных науках" (Москва, - 1991), на конференциях "Обратные и некорректно поставленные задачи" (Москва, 1995, 1996, 1998), на Всесоюзной школе со теории операторов в функциональных пространствах (Миасс, 1986), на Воронежских школах по теории функций (Ворсне;к, 1991, 1993), на Международной летней научной школе по теории функций (Миасс, 1998), на Международных конференциях ассошіацші "Жешшппа-математики" (Мосіша, 1993, 1994, Воронеж. 1995, Волгоград, 1996, Ростоз-на-Дону, 1997), на научных конференциях Саратовского университета (1991, 1997), s Московском университете на сешшаре д. ф.-м. н.,-проф. Ф. П. Васильева, в Научно-исследовательской Вычислительном центре МГУ на семинаре д. ф.-м. it, проф.
В. А. Морозова, на семинаре по теории приближений д. ф.-м. н., проф. Ю. IL. Субботина в ИММ УрО РАН (Екатеринбург, 1998).
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах автора, список которых приведен в конце автореферата.
Структура к объем диссертации. Диссертация состоит из введения и трех глав, разбитых на 10 параграфов. Нумерация параграфов своя в каждой главе. Нумерация теорем и лемм в каждой главе - своя, двойная; первая цифра обозначает номер . параграфа, вторая - номер теоремы или леммы. В автореферате сохранена нумерация теорем и лемм, под которой они присутствуют в диссертации. Объем диссертации 237 страниц машинописного текста.
"Список литературы содержит 91 наименование.
