Введение к работе
Актуальность темы.
Многие задачи геофизики, гидродинамики, спектроскопии и других разделов естествознания сводятся к линейным операторным уравнениям первого рода, не удовлетворяющим условиям корректности по Адамару. Необходимость их решения и невозможность использования традиционных методов (обращение оператора, метод наименьших квадратов) привели к созданию теориии некорректно поставленных задач, основы которой заножены в работах академиков А.Н.Тихонова, М.М.Лаврецтьева, чл.-корр. В.К.Иванова. На сегодняшний день эта теория хорошо развита, и нашла отражение во мпогих монографиях.
Ввиду повышенных требований, предъявляемых к детальности описания реальных объектов в указанных выше задачах, возникает проблема выбора из всех возможных методов решения операторных уравнений первого рода таких, которые наиболее точно приближают искомое решение при возмущении исходных данных.
Исследованием на оптимальность методов решения некорректных задач занимались многие математики: В.Я.Арсении, А.Л.Агеев, А.Б.Бакушинский, Г.М.Вайникко, В.В.Васин, В.А.Винокуров, А.И. Гребенщиков, В.В.Иванов, В.К.Иванов, Т.И.Королюк, О.А.Лисковец, В.А Морозов, В.Н.Страхов, В.П.Танана, А.М.Федотов и др.
Теория оптимизации приближенных методов к настоящему времени хорошо развита только для невырожденных операторных уравнений. Невозможность прямого перепоса результатов для задач с единственным решением па вырожденный случай объясняется тем, что оценочные функции, характеризующие точность методов, в вырожденном случае перестают стремиться к нулю при стремлении к нулю погрешностей исходных данных.
Исследования Тананы В.П. и Янченко СИ. показали, что попытки ЛисковцаО.А. преодолеть эту трудность введением понятия модуля Р - непрерывности не решили проблему, так как модуль /3 - непрерывности стремится к нулю тогда и только тогда, когда оператор, входящий в уравнение конечномерен.
Поэтому проблема поиска оптимальных методой решения чадач с неединстпениым решением фактически осталась открытой. Так как многие задачи, встречающиеся на практике, имеют неединстненное решение, исследование вопросов оптимизации для таких уравнений является актуальным.
Новый подход к решению этой проблемы предложил Танана В.П.1, который развивался в его последующих работах и работах его учеников и последователей.
Настоящая работа представляет собой продолжение исследований в этом направлении.
Цель работы. Разработка теории оценивания точности методов решения (вырожденных и невырожденных) операторных уравнений с приближенным оператором, не являющихся нормально разрешимыми, при различной априорной информации о решении и операторе. Построение оптимальных по порядку методов.
Общая методика исследования. В работе используются методы теории функций и функционального анализа, а также теории некорректно поставленных задач.
Научная новизна. Полученные в работе различные (в зависимости от априорной информации и определения погрешности) точные по порядку оценки методов (оптимальных и неоптимальных по порядку) являются новыми. Предложен новый оптимальный по порядку регуляризующий алгоритм, являющийся модификацией метода А.Н.Тихонова.
Практическая и теоретическая ценность. Результаты диссертации могут быть использованы для дальнейшего развития теории некорректно поставленных задач, а также специалистами по вычислительной математике при разработке численных алгоритмов решения вырожденных операторных уравнений или плохо обусловленных систем линейных алгебраических уравнений, а также некорректно поставленных задач с дополнительной информацией об операторе и решении задачи.
'Танана В.П. Об оптимизации методов регуляризации при решении вырожденных операторных уравнений // Изв. вузов. Математика. - 1985. - 9 - с. 20-21.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинаре кафедры теории функций и функционального анализа Челябинского государственного университета (руководитель - доктор физ.-мат. наук, профессор В.П.Танана) в 1998 году, а также докладывались на международной конференции "Некорректно поставленные задачи в естественных науках" (г. Москва,1991 г.), на Всесоюзной конференции "Асимптотические методы теории сингулярно-возмущенных уравнений и некорректно поставленных задач" (г. Бишкек, 1991 г.), на XVI Всесоюзной школе по теории операторов в функциональных пространствах (г. Нижний Новгород, 1991 г.), на конференции в рамках форума "Наука, культура и образование России накануне третьего тысячелетия" (г.Челябинск, 1997 г.), на Всероссийской научной конференции, посвященной памяти В.К. Иванова (г. Екатеринбург, 1998).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в [1-11]. В работах [3-11] В.П.Таиане принадлежит постановка задач и идейная сторона, диссертанту - реализация этих идей.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения и трех глав, изложена на 76 страницах. Список литературы содержит 106 наименований.
