Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Цепи на вещественно-аналитических гиперповерх ностях в комплексном пространстве 9
1, Уравнения строго псевдовыпуклых вещественно аналитических гиперповерхностей 9
2. Свойства функций перехода при замене локальных координат 15
3, Параметризация цепи, определяемая ее наклоном к комплексной касательной плоскости 32
Глава 2. Нормальные параметризации цепей и отображения строго псевдовыпуклых вещественно-аналитических поверхностей 47
1. Цепи и продолжение биголоморфных отображений. 47
2. Оценка изменения нормального параметра 52
3, Сходимость вещественно-аналитических гиперпо верхностей и их отображений 58
Литература 64
- Свойства функций перехода при замене локальных координат
- Параметризация цепи, определяемая ее наклоном к комплексной касательной плоскости
- Оценка изменения нормального параметра
- Сходимость вещественно-аналитических гиперпо верхностей и их отображений
Введение к работе
Изучение вещественных гиперповерхностей в комплексном прост ранстве размерности, большей единицы, было начато А.Пуанкаре в 1907 г. в работе С15 Л в связи с проблемой классификации областей в . Он поставил задачу исследования как локальной, так и глобальной биголоморфной эквивалентности гиперповерхностей, а также связи между локальной и гйобальной эквивалентностью. Важным результатом Пуанкаре явилось описание им всех локальных би-голоморфных отображений трехмерной единичной сфера из в себя, которые, как он показал, совпадают с дробно-линейными автоморфизмами единичного шара.
Позднее вещественные гиперповерхности в двумерном комплексном пространстве изучались в 1930-е гг. Сегре [І6Л и Э.Картаном С12J . Отметим, в частности, что Э.Картан установил существование на всякой гладкой строго псевдовыпуклой гиперповерхности би-голоморфно инвариантного семейства кривых, названных им цепями. На сфере цепи представляют собой линии ее пересечений с комплексными прямыми. В случае большей размерности пространства гиперповерхности с невырожденной формой Леви исследовались в 1960-е гг. Н.Танакой (см. Г ГО иЕШ ),
В 1974 г. С.Черном и Ю.Мозером в работе С 1.3Л было предложено два подхода к изучению гладких вещественных гиперповерхностей с невырожденной формой Леви. В рамках одного из них, являвшегося развитием идей Э.Картана, изучалась внутренняя геометрия таких поверхностей. При этом было показано, что на гиперповерхностях в пространстве размерности, большей двух, также можно оп-редлить инвариантное семейство кривых - цепей. Второй подход, - 4 ~ развитый в ГІЗЗ для вещественно-аналитических гиперповерхностей Ю.Мозером, заключался в поиске локальной голоморфной системы координат,в которой поверхность записывается уравнением, имеющим некоторую специальную форму. Оказалось, что цепи можно определять в терминах таких систем координат. При этом на всякой цепи выделяется некоторое семейство параметризаций. Это определение цепей для случая вещественно-аналитической строго псевдовыпуклой гиперповерхности приводится в I главы I.
В 1974 г. Г.Александер (С8Л ), не зная, по-видимому, работы Пуанкаре, повторил его резулы»ат о локально биголоморфных отображениях сферы в себя. Совпадение локальных биголоморфных автоморфизмов сферы с дробно-линейными автоморфизмами ограниченного этой сферой шара вытекало и из работы С13Л . Это вызвало гипотезу о том, что подобным свойством аналитического продолжения обладают произвольные локально биголоморфные отображения одной вещественно-аналитической строго псевдовыпуклой гиперповерхности в другую. Однако в работе д.Бернса и С.Шнайдера С ЮЛ был приведен пример такой гиперповерхности, локально биголоморфно эквивалентной сфере, что некоторое отображение сферы в эту поверхность аналитически не продолжалось.
Существенным продвижением в задаче об аналитическом продолжении отображений строго псевдовыпуклых гиперповерхностей стала работа С.И.Пинчука ІІ7Л , в которой показано, что локально биголо-морфное отображение веществешю-аналитической строго псевдовыпуклой гиперповерхности N в (L , не эквивалентной локально сфере, в другую такую же гиперповерхность г\ аналитически продолжается вдоль путей на И , если П компактна. Из этого результата следует, например, что, если границы двух вещественно-аналити- - 5 -ческих строго псевдовыпуклых областей в (L односвязны и локально биголоморфно эквивалентны, то биголоморфно эквивалентными являются и сами области.
Доказательство в [73 было основано на возможности приведения поверхности в некоторой голоморфной системе координат к упомянутой выше специальной форме. Оно использовало таксе предложенное Ч.Фефферманом в CI43 определение цепей на гиперповерхности П в Ц, как проекции световых лучей некоторой индефинитной конформно-инвариантной метрики на Гм * j (доказательство эквивалентности этого и других определений цепей см.в [93, 193) . При этом существенно использовалось, что поверхности задаются одной картой, то есть лежат в VL .
В работе А.Г.Витушкина, В.В.Ежова и диссертанта [223 было показано, что аналитическое продолжение отображений имеет место и в более общем случае строго псевдовыпуклых гиперповерхностей в произвольных комплексных многообразиях. Доказательство этого факта потребовало существенно иного подхода. Оказалось, в частности, полезным-перейти от мозеровской формы уравнений гиперповерхности к другой форме, введенной А.Г.Витушкиным в [S3,, что привело к необходимости рассматривать новое семейство параметров на цепях. Эти параметры называются нормальными (определение см. в I главы I). Норлальные параметризации оказались тесно связаны с продолжением локально биголоморфных отображений поверхности вдоль цепей и их исследование было существенно для доказательства общего результата в [223 .
Особый интерес с этой точки зрения представляло изучение нормальных параметризаций на таких цепях, у которых образуемый ими с комплексной касательной плоскостью к гиперповерхности угол не отделен от нуля. Теорема I, доказанная в диссертации (см. 2 главы 2) утверждает, что интервал изменения всякого нормального параметра вдоль такой цепи не ограничен. Это означает, что, если локально биголоморфное отображение гиперповерхности М в П переводит некоторый отрезок цепи V на М в цепь у' на /м и угол V* с кошлексной касательной к М не отделен от нуля, то f продолжается аналитически вдоль всей цепи У.
Доказательство теоремы I основано на лемме 8 (также см. 2 главы 2), в которой дана оценка снизу интервала изменения нормального параметра на отрезке цепи в терминах длины этого отрезка и угла, образуемого цепью в начальной точке отрезка с комплексной касательной, вычисленных относительно какой-либо локальной системы координат. Существование такой оценки объясняется тем, что цепи на произвольной строго псевдовыпуклой гиперповерхности, проходящие под малым углом к кошлексной касательной близки к аналогичным цепям на сфере, т.е. к окружностям малого радиуса. На сфере же один оборот вдоль такой окружности соответствует изменению нормального параметра на %!РС.
На лемму 8 опирается и доказательство другого результата диссертации - теоремы 2 (см. 3 главы 2). Эта теорема утверждает, что, если дана последовательность локально биголоморфных отображений вещественно-аналитических строго псевдовыпуклых гиперповерхностей, локально не эквивалентных сфере, в подобные же поверхности, то из сходимости гиперповерхностей в образе и прообразе следует существование сходящейся подполедовательности отображений.
Теорема 2, с одной стороны, дает новую, быть может более естественную, конструкцию продолжения локально заданного отображения строго псевдовыпуклых гиперповерхностей. С другой стороны, частным случаем теоремы 2 оказывается результат о компактности группы локальных автоморфизмов строго псевдовыпуклой гиперповерхности, локально не эквивалентной сфере, полученный А.Г.Витуш-киным и В.К.Белошапкой в["2Л (см.также 4Л ), и вытекающее из компактности этой группы, как показано в совместной с А.В.Лобо-дой работе диссертанта C23J , существование локальной голоморфной системы координат, в которой все локальные автоморфизмы этой поверхности являются линейными унитарными преобразованиями по переменным вдоль комплексной касательной плоскости в неподвижной точке. А это, в свою очередь, показывает, что всякий локальный автоморфизм такой гиперповерхности определяется ограничением своего дифференциала в неподвижной точке на комплекс ную касательную, что было с использованием других методов доказано В.К.Белошапкой ( Г13 ) и А.В.Лободой ( С6Л ). Заметим, однако,что результат Белощапки и Лободы остается верным и для гиперповерхностей с невырожденной индефинитной формой Леви, когда теорема Z не может быть применена.
Еще Э.Картан отметил, что на строго псевдовыпуклой гиперпо-верхности, локально не эквивалентной сфере, в окрестности точки общего положения, кроме исходной *~ К -структуры, можно определить другие инвариантные структуры, как то: инвариантную метрику, инвариантное векторное поле и т.п. Эти инварианты находили применение при исследовании отображений гиперповерхностей (см. ["2ІЛ » СИЛ ) В ходе доказательства теоремы & мы используем наличие на подобной гиперповерхности нетривиальной вещественной I-формы, непрерывно продолжающейся во все точки поверхности, впервые введенной С.Вебстером (202 , Г2ІЛ ). С помощью этой формы мы можем следить за растяжением отрезков цепей при голоморфных отображениях одной гиперповерхности в другую, что, в совокупности с результатом леммы 8 о нормальных параметризациях цепей, позволяет доказать нужное утверждение.
Основной результат диссертации с полным доказательством опубликован в работе С24Д . Упомянутые во введении совместные работы диссертанта с другими авторами С22Л tf233 , относящиеся к обсуждаемой теме, а диссертацию не включены.
Автор глубоко благодарен члену-корреспонденту АН СССР А.Г.Витушкину за научное руководство.
Свойства функций перехода при замене локальных координат
Предположим, что гиперповерхность М в локальной системе координат (? №/) задана уравнением вида СІ). Пусть (Z,W) — какая-либо другая система координат, в которой уравнение И также имеет вид (I). Тогда, как следует из CI3J , преобразование Vp , связывающее эти две системы координат, есть компо зиция преобразований Vf и \fQ где U?Q - дробно-линейное отображение, определяемое унитарной матрицей U порядка П} ft -мерным комплексным вектором Q и вещественными числами /\ 0 и по формулам а - преобразование вида где р и О удовлетворяют условиям о При этом для всякого набора параметров J 5 Q ., Л, существует единственная система координат (2F W в которой уравнение Гм имеет вид (I) и которая связана с системой координат (Z}W) указанным образом. Следующая лемма уточняет вид преобразования W; Лемма I. Системы координат (2, 3 и (2 , ) связаны отобранием где 1 (2Ґ, ) имеет в начале координат нуль по крайней мере третьего порядка по совокупности переменных, а -нуль по крайней мере четвертого порядка. Для доказательства леммы нам потребуется следующее свойство оператора "Ьі , установленное в [133 , которое нетрудно проверить, используя формулу (3): всякий многочлен А- (Z;2) единственным образом представляется в виде где t l 2оГ О всякий многочлен Аз С Д) единственным образом представляется в виде где t ! А/ л-С а всякий многочлен Аоо (Zj2 ) — в виде при этом В-л , Q Q и DQQ задаются формулами Доказательство леммы I. Достаточно доказать, что D(?.W ) и О (2 jW ) имеют нули порядков, соответственно, три и четыре. Прежде всего заметим, что, если в системе координат (Z)W ) поверхность задается уравнением вида (I), то и после замены ее можно задать уравнением вида (I). Аналогично, замена переводит уравнение Сі) в уравнение того же вида. В силу этого мы можем без ограничения общности рассмотреть только случай, когда U есть единичная матрица, A—i t a 1=0, то есть, когда дробно-линейное отображение имеет вид Обратншл к PQ является преобразование Обозначим 0 = L QjQ) W -2 t. 2 ,Q } , тогда Пусть в координатах ( Z \A/ ) поверхность r\ задается уравнением вида Сі): Навдем уравнение поверхности в координатах С Z ;W ).
Поскольку мы получаем, что Половив W — U +L\r уравнение поверхности можно переписать следующим образом:Разрешив полученное равенство относительно \Г , мы запишем уравнение поверхности в виде Следуя Мозеру Г 13 1 разлоним Г в ряд по многочленам одинакового веса от Z Z Ьі где Z и имеют вес І, а Поскольку уравнение (10) получено разрешением равенства (9), совать члены F при V 6 f поэтому в (9) мы конем выписать явно только члены веса, не превосходящего 6: - 23 " " форме фициентами, аналитически зависящими от U 4 Равенство (И) позво до членов веса 7, Так, например, Неизвестные члены имеют вес, больший 6, и первую степень как по 2 так ипо Z , Это значит, что их степени по U не меньше 3, Мы будем обозначать это следующим образом: Аналогично получаем, что Утверждение I. Доказательство, Используя соотношение (3), нетрудно пока зать, что для всякого полинома hy ("2:,?) и всякого векто ра ge(Ch из kAKpO следует, 4iote2(AKg(2/»=0 и ttl2(AKg Z,Z ) 0 а из ІЧ.2 AKg = 0 следует, что к3 (АК Z, )=t z.3 (Дк Z,Z»=0. В силу этого, утверждение непосредственно вытекает из приведенных выше формул для полиномов P\(f Продолжим доказательство леммы I. Пусть преобразование Учитывая, что Г v ) / = \ ; + члены веса 4, что разложение Q(Z ; +cF ) в степенной ряд начинается с членов веса -3, разложение p(Z U+Lr ; - с членов веса 2и что ЪрУЧ $(0)=0, перепишем это равенство следующим образом: родных многочленов по г с коэффициентами, аналитически зависящими от U : Выделяя в равенстве (12) члены, отвечающие одинаковым степеням по Z „ Z „ мы получил соотношения, которым должны удовлетво рять многочлены р
И О Соотношение для членов, не зависящих от 2 и Z имеет вид гГт Я - Re F00 + -ц Im Foo = Foo " Р, Р0 +2Гт 3 г Р fbo+ чтт веса 7 Как бшю показано выше, KQO Q». ИЗ условия (8) следует, что р = Ол и р — OJ ) значит, р: р )-(У. В силу этого,соотношение принимает вид Подобным не образом для «ленов, имеющих первую степень по с. и не зависящих от Z , получаем а для членов второй степени по Z , не зависящих от Z , " Из (ІЗ) следует, что 1 2(0) = 1 3 )=0. Поскольку, согласно (8), RQ $-JL(0) = O , то --J0fO)=0 и G. — 0«. Так как р - О2 то W) означает, что С ) то есть, что Q 9 /Т\\ — О Таким образом, Функция Q, имеет в начале координат нуль порядка, не меньшего трех. Из (15) шгаекаеш, чю i- :(0) = 0. Выпишем теперь, с учетом полученных равенств, соотношение на члены второй степени по! и первой по И . Таким образом, разложения p и d 2/gW B степенные ряды начинаются с членов веса 3. Этот результат позволяет придать равенству (12) следующий вид: м F" в Первый сомножитель в левой части (18) может быть выражен через значение оператора Z4. на многочлене, стоящем в правой части по формуле, приведенной в начале 2. Однакоt t/v /jT «j f" = 0, а все остальные слагаемые, стоящие в правой части есть Q/, поскольку р - 0 . Поэтому Так как C — Oq , a из утверждения I следует, что 6 0- J so ГтСГ ) = 0,, » Гт a\p ) = Ог. a»»»» с равенством Кб (2 ,р ) =0 э1 означает, чтоО-CL то есть (0\-
П Для доказательства леммы нам осталось показать, что в начале координат в нуль обращаются Ъ PAW 2 и третьи производные — функции О, Для членов третьей степени по 2" , не зависящих от Н "} выполняется соотношение 4г Q/ = О о \ показывающее, что и Из (17) и (20) получаем, что Представим Ьзз + Т ІнТ J в виде занного выше утверждения I следует, что BQO O-f Далее, и, поскольку с1! (133"" 3 3 ) то то есть Re 3 /c)U 3 = 0 j a Re -= 0 . Вместе с (12) это означает, что fy - Ол , или О /Ъ\Ми w)-"b . Из соотношений (16) и (19) видно, что Рассуждения, аналогичные только что проведенным, показывают, что = 0. Лемма доказана. Поскольку преобразованием (5) уравнение вида (I) переводится в уравнение вида (4), из леммы I вытекает следующее утверждение: Следствие. Пусть в координатах ( Г р 0) в С по верхность М задается уравнением вида (4). Для веяной другой системы координат (Z . } б )} в которой уравнение г\ имеет вид (4) существует такой набор параметров 17,0, А }Ч. } что указанные две системы координат связаны отображением где W-Qg \У =Осрс а P и Q имеют в точке (? =0 С/ О нули, соответственно, третьего и четвертого порядков по совокупности переменных. Параметры Ufi A однозначно определяют координаты (Z jP б У
Параметризация цепи, определяемая ее наклоном к комплексной касательной плоскости
Напомним, что в I мы задали параметр Г на цепи V , лежащей на строго псевдовыпуклой гиперповерхности М в условием Иначе эту параметризацию МОЕНО определить следующим образом: для произвольной точки Xe/VJ обозначим через Пх вектор из касательного пространства I % М } ортогональный к комплексной касательной Ну г\ направленный в соответствии с введенной в I ориентацией на у M/Hv М И имеющий единичную длину; тогда параметр ОТ выбран таким образом, чтобы вектор с У/?/ Г " П v(C\ ПРИ" надлежал п v (({Л Предположим вначале, что поверхность п задана уравнением вида (4): и что цепь V проходит через точку [H-0jW= j. Положим Форма Ы —СЬії есть вещественная І-форма на М , причем для всякой точки Х М HxM={ eTxM: Cft) = 0} Единичная нормаль Пд к Н М в точке имеет вид где Ог и О л обозначают функции, имеющие в точке (z=0 "О нули, соответственно, третьего и четвертого порядков по совокупности переменных. Поэтому значение формы v-0 На векторе П есть І+Оп В силу определения параметра С С If/c Tj я СОСП С ))« Следовательно, если мы введем на V новый параметр t » Для которого O X/o/fcJ — V , причем у (. ) « (0,1) при t - О , то, с точностью до членов пятого порядка в нуле, В следующих ниже леммах 2-4 выбор параметра на существенен только с точностью до членов четвертого порядка, поэтому их можно формулировать как в терминах параметра t , так и в терминах параметра С\ комплексной касательной \_W - ч \ . Выберем вектор ( (С1 так, что - С Q совпадает с проекцией касательного вектора на координатную плоскость ±t Согласно следствию из леммы I, существуют координаты (z W ) W =р Q в которых
И также задается уравнением вида (4) и которые связаны с координатами QZ; w) отображением где 1 и Q. имеют в точке 2 = О , W - »j нули третьего и четвертого порядков. В системе координат [Z W } Y представляет собой дугу окружности fz = О» W I = 1) а " есть нормальный пара метр на V % Лемма 2. 0/0 (0)-0, с1 9 /оНЧ0)=0, Доказательство. В локальных координатах ( ZjWj где коэффициенты дифференциальной формы /\ имеют в точке (ОД) нули по крайней мере третьего порядка. Найдем выражение для формы и) в координатах (Z ,W )i где коэффициенты / имеют нули третьего порядка в точке На цепи І мы имеем Замечание, Утверждение лемш 3 южно доказать, исходя из дифференциальных уравнений, задающих цепи на гладкой строго псевдовыпуклой поверхности, полученных Д.Бернсом и С.Шнайдерои в103 Однако, поскольку это утверждение является простым следствием лемш 2, мы не будем использовать результат Бернса и Шнайдера, Доказательство леммы 3. Пусть 0 - введенный выше нормальный параметр на V. Поскольку сі в /сіі2- (0)=0, СІ Э /o/t (0) = В координатах (Z jW ) Y задается уравнениями %-OtW = - Є j поэтому в координатах QZ W) ее уравнение имеет вид Таким образом, и Лемма доказана. Произведем распрямление V по параметру fc, Пусть уравнение Щ в результате этого распрямления принимает вид Утверждение леммы 4 непосредственно вытекает из леммы Z и формулы (6), Рассмотрим теперь случай, когда гиперповерхность П задана уравнением (7), не обязательно икеюдим вид (4). Сделаем замену координат после которой в правой части уравнения г\ не останется членов, квадратичных по переменным Ъ.
Линейной заменой по 2 приведем форму . Леви \ DZJZ К сумме квадратов. Теперь, как следует из результатов CI3J и формулы (5) перехода от уравнения (I) к уравнению вида (4), [А может быть единственным образом приведена к виду (4) отображением таким, что при Z = О i \Л/ = і Это отображение мы будем называть стандартным приведением поверхности їм к виду (4) в окрестности точки [2 = 0, /= ] Стандартное приведение определено с точностью до выбора репера в комплексной касательной к И в точке (0,1), ортонормального относительно формы Леви, Для определенности мы будем считать, что такой репер зафиксирован. Пусть 0 - угол между произвольным вектором п , касатель ным к п в точке (0,1), трансверсальным к комплексной касательной \_W=0\ и комплексной касательной в исходных координатах, а 0 -угол между этим же вектором и комплексной касательной в координатах, отвечающих стандартному приведению. Тогда, если GZ 2У ФРма Леви И в точке (0,1) и через обозначена норма матрицы о , то для некоторой величины C-j = = Cf (II 8 И, И 8 11) " Н6 зависящей от к Предположим, что после стандартного приведения
И к виду (4) в окрестности точки (0,1) гиперповерхность задается уравнением Форда есть вещественная І-форма на П в окрестности (0, ). В локальных координатах (2 ) -9І ) на М форма COQ имеет вещественно-аналитические коэффициенты,, и, если эти коэффщиенты продолжаются как голоморфные функции (2.Ц-Н) комплексных переменных в шар радиуса \\ 4: і и не превосходят по абсолютной величине ГП в шаре радиуса H[J n//X) т0» как следует из работы В.К»Белошапки и А.Г.Витушкина C2J, Рассмотрим цепь V С И „ проходящую через точку (0t -і)} и параметрТ на V Дудем считать, что V (Q }= (0 ). Введем, кроме того, на V вспомогательный параметр up условиями: wo(c /c/t0)H и ( о)«(0, 0 при t0=0. Пусть Ы.($С) угол между и Ну чМ в координатах угол между Y и комплексной касательной {_W — 0] в координатах (Z Ц/J после стандартного приведения п к виду 4 в окрестности Лемма б.СиТф/с/гС ОЗгг / и Для некоторых положитель ных ВеЛИЧИН Сц С г-j ЗаВИСЯЩИХ ОТ 1\ D \\; \\ О II} К )1Т)ш } выполнены неравенства Доказательство, Обозначим через Ну единичный вектор, касательный к М в точке X 6 М} нормальный к Ну М , направление которого согласовано с ориентацией Ту УЦ /НуМ. Тогда Определим функцию /.(х) равенством есть положительная вещественно-аналитическая функция, причем в точке (0,1) она равна единице. Вдоль цепи Y
Оценка изменения нормального параметра
Доказанные в главе I леммы 6 и 7 позволяют оценить снизу длину цепи на гиперповерхности и дать оценку интервала изменения нормального параметра на отрезке цепи в терминах длины этого от резка и угла между цопью и комплексной касательной к поверхности. Лемма 8. Пусть гЛ -вещественно-аналитическая строго псевдо выпуклая гиперповерхность, заданная уравнением (7), и цепь на iv\ проходит через точку под углом о 0 к комплексной касательной плоскости { W = Oj. Существуют положительные величины С , C-Q и C -f зависящие только от гчш, такие, что на Y определен отрезок Д с началом в точке (0,1) длиною Cg , причем, если о Цо то на всяком отрезке цепи длиною L- O Q принадлежащем А изменение любого нормального параметра составляет не меньше 2.Л-. Доказательство, Рассмотрим произвольную точку ХеМ. Сдвигом и унитарным преобразованием переведем X в точку (0,1), а касательную плоскость \ М - в [ 1? \л/= 01 Теперь гиперповерхность М вблизи (0,1) можно задать уравнением Нетрудно видеть, что существует некоторое 0. зависящее от fj f) 1\ б II} II G II такое, что, если расстояние от К до точки (0,1) не превосходит , то Кц , ҐЛо» , II и х II , II "х II можно оценить через величины, зависящие от тех же параметров» Стандартным приведением гиперповерхности к виду (4) в окрестности точки X будем называть стандартное приведение поверхности (26) к виду (4) в окрестности (0,1). В I главы I на всякой цепи на М был введен параметр С. Пусть TQ - верхняя грань таких Т 0, что при ПТе ОДІ j(0 лежит в замкнутой -окрестности точки (0,1) и котангенс угла ск( ) между V и комплексной касательной к гА в точке ][ С ) не превосходит 2.С.щоСф- -і% Если TQ = -+ с?о ТОэ поскольку норма касательного вектора clY/ol C равна СъЫ (?")) промежуток цепи ]f на котором параметр Т изменяется от 0 до Т имеет бесконечную Длину. Предположим, что TQ - + = , тогда указанный промежуток имеет конечную длину и потому существует ссщ Y( = Xn. г о Если точка XQ лежит на границе -окрестности точки (0,1), то длина этого промежутка не меньше , Рассмотрим случай, когда XQ находится внутри -окрестности точки, (О ). Цепь Ч шкет быть продолжена через точку XQ„ Действительно, пусть Се СОjТ 0J4 Сделаем стандартное приведение К к виду (4) в окрестности точки V (50 а полученную гиперповерхность переведем снова в гиперповерхность того не вида отображения с параметрами (см.следствие леммы I) U- единичная матрица, Л = "i j Т_ — О .
Параметр Q выберем таким, чтобы в результате цепь перешла в окружность { = 0 1W(=7 j Итоговое отображение обозначим через Q . Как показано BL2], -і радиус сходимости и производные отображения Qq- оцениваются через К ) vp S(\ j И 8 11 и норму вектора Q , которая, в силу того, что etc. оС (JC) 2.СГс о 0 + -/ также допускает оценку сверху. Поэтому для некоторого о 03 не зависящего от С с LOJTQ) цепь У содержит отрезок длины о с началом в Y (S ) . Поскольку при - - TQ длина промежутка (С /)) стремится к нулю, продолжается через XQ, Из определения TQ следует, что etc oL (TQ ) = 0. etc OLQ + 1. Если Ссе, $(Q 2.3 то, как показывает лемма 7, при ПГеСО, IQJ Это означает, что Поскольку норма касательного вектора o Y /ol C) как видно из -55 -определения С , не меньше единицы, длина отрезка V (С 0,Т 0 ) больше С Если же CIGO(C) 2. s то обозначим через Т максимальное из всех 1 таких, что на отрезке Ct J Ы (ЧГ) ± С оС 0 . тогда либо tg оС (Т. ) = 2 tgc 0l либо LG оС (Ту) r tco 0.Ha отрезке С O T-f ] А то есть .-f Таким образом, С0Ъ tg Ы0 у Т, 0 и длина отрезка V С Q T l ) равная Итак, положив Сд Н СС -— ц } мы видим, что на цепи У существует отрезок Д с началом в (0,1) длиною Сд. При этом, если Сие, OCQ 2. j то на этом отрезке Предположим, что оС - QT-Cto --, Сделаем распрямление V по параметру t" , после которого М задается уравнением Пусть - произвольный нормальный параметр на Y Тогда, как видно из (6), Обозначим через -L (Г) сомножитель при в правой части полученного выражения. Поскольку отрезок Д лежит в -окрестности точки (0,1), лемма 6 показывает, что, если угол оС Q достаточно мал, то в точках этого отрезка t-С ) "Щ4OCQ " Рассмотрим произвольную точку Хе Л и обозначим через л значение параметра h в этой точке.
Положим Тогда Так как есть нормальный параметр на цепи, поэтому на всяком отрезке между двумя последовательными нулями функции S ( ") параметр h увеличивается на 2.5 В точках А мы получили на ZC ) оценку сверху, из которой, в силу известных теорем о нулях решений линейных дифференциальных уравнений второго порядка, вытекает, что между любыми двумя нулями произвольного ненулевого решения уравнения находится по крайней мере один нуль функции SCC). Таким образом, если на некотором отрезке цепи, принадлежащем Л , пара-метр С возрастает на 1Q, Z ta c io нормальный параметр на этом отрезке изменяется более, чем на 2я.
Отрезок А был определен так, что при малых о 0 на нем Поэтому на всяком отрезке , принадлежащем А , длиною 2.V5" 5Г х t"Go(0 параметр f увеличивается по крайней мере на 1$С О, 2. tti OCQ. ЭТО завершает доказательство леммы 8. Теорема I, сформулированная в I, является несложным следствием леммы 8, Доказательство теоремы I. Пусть Г- цепь на гиперповерхности 1м , угол которой с комплексной касательной к М не отделен от нуля. Пусть (Xv\- последовательность точек І 3 сходящаяся при і .с=—о к точке Х0-М причем направления касательных векторов к І в точках Xv сходятся к направлению из комплексной касательной Hv М. Выберем в окрестности V точки Х0 голоморфную систему координат (2,1 в которой К0 имеет координаты 2" = 0, = а М задается уравнением вида (7). Для больших Ї X/ Є V. Г Д V представляет собой объединение конечного или счет ного числа цепей на гиперповерхности їм /1 V. Пусть V - одна из этих цепей, проходящая через точку X; , а оО - угол между jr. и Х- относительно координат (.Z U/J. Поскольку последовательность [Х-- J сходится К XQ , МЫ можем применять ко всем цепям У; лемму 8, считая, что величи ны Со С о )С-И не зависят от І Согласно этой лемме, если оС ZCYQ TO изменение всякого нормального параметра вдоль У- не меньше С g/(C-f oC v )] 0.5Г3 где С ] обо значает целую часть числа. Таким образом, из oG — . Q следует, что интервал изменения всякого нормального параметра на Г" не ограничен,
Сходимость вещественно-аналитических гиперпо верхностей и их отображений
В этом параграфе мы докажем сформулированную в I теорему 2. Прежде, чем перейти непосредственно к доказательству, заметим, что, если последовательность вещественно-аналитических гиперповерхностей л сходится при А— - c= к вещественно-аналитической строго псевдовыпуклой гиперповерхности MQ 9 заданной уравнением где GCO)- 0} то, начиная,о некоторого номера -i j поверхности Нл тоже будут строго псевдовыпуклыыи в окрестности точки (0,1). Сходящейся последовательностью унитарных преобразований их можно перевести в гиперповерхности вида (7), Поэтому при доказательстве теоремы мажно без ограничения общности считать, что все рассматриваемые гиперповерхности имеют вид (7). Далее, для всякой гиперповерхности вида (7) мы определили в 3 главы I стандартное приведение ее к виду (4) в окрестности точки (0,1), отметив, что это стандартное приведение определено с точностью до выбора в комплексной касательной к гиперповерхности в (ОД) репера, ортонормального относительно формы Леви, Если Iу»ні и ІЧ0 заданы уравнениями вида (7) и гЦ сходятся к IMQ при -J — - = «= то соответствующие реперы также можно выбрать сходящимися. В этом случае последовательность стандартных приведений гы к виду (4) будет, как следует из 12,2 , сходиться к стандартному приведению MQ к виду (4) в окрестности (0,1). Поэтому нам достаточно доказать творе му в предположении, что поверхности I » о ) 0 ) І І Jзадаются уравнениями вида (4). При этом f / оказываются отображениями, переводящими гиперповерхности вида (4) в гиперповерхности того же вида, и, таким образом, как отмечено в следствии лемш I (см. 2 главы I), совпадают в младших членах с дробно-линейными отображениями указанного там вида и однозначно определяются параметрами Доказательство теоремы 2. Поскольку из последовательности унитарных матриц J_UJ J можно извлечь сходящуюся подпоследовательность \y-i \ то, перейдя к подпоследовательности и сде лав для каждого из fj унитарную замену координат в облас и ти значений, мы сведем задачу к случаю, когда матрицы UJ равны единичной матрице
Е. Переходя еще раз к подпоследова-тельности, мы добьемся, чтобы при А — с=»« направления векторов Oi сходились. Покажем, что последовательность [G-j } ограничена, а последовательность {. А \ ограничена сверху и отделена от Пусть У\ цепь на М/ } проходящая через точку (0,1). Отображение . переводит цепи в цепи, поэтому TV (Уі) принад-лежит некоторой цепи Yjf ва 1 » также проходящей через (0,1) Если вектор с координатами ( л; і і ) (относительно системы координат (Ji W) в которой мы рассматриваем все гиперповерхности) касается Y; в точке (0,1), то вектор ( A-j (и/"1 аА L) касается в (0,1) цепи .- . Отметим, что норма вектора П: бС равна котангенсу угла между Y/ и комплексной касательной в (0,1). В силу сходимости последовательностей 1 і и М j мы можем применять к ним лемму 8 с одними и теми же значениями величин Сд ,Суф С-м. Уменьшая, если потребуется, величину - f О будем считать, что WO --М 3 Рассмотрим цепь на IMQ , удовлетворяющую следующим условиям: Ч не лежит целиком на множестве точек MQ ,В которых ковариантная I-форма G Q на г\0 обращается в нуль; для вектора (п} t), касательного к Y в точке (0,1) 3 I п I etc C Q , причем п образует угол, меньший JL/3 с предельным направлением последовательности векторов {-L &л\ Такую цепь на MQ можно найти, поскольку MQ несферична и форма 0" обращается в нуль на некотором вещественно-аналитическом множестве. Пусть Y- - цепь на \Лл , проходящая через (0,1) в том же направлении, что и Y. Как показывают лемма 8 и соотношение S WO -H _) на цепях у,/ определены отрезки Л}{ с началом в точке (0,1), на которых нормальные параметры увеличиваются на 2.5f.
Поэтому, если A/ "/ то и на цепи ]j определен отрезок Д)(-л начтнающийся в (0,1), на котором нормальные параметры возрастают на 2\нГ. Рассмотрим отображение G , переводящее М в гиперповерхность вида (4), точку (0,1) - в (0,1), а цепь }L- - в окружность [_ Z = С), lW( = 1j, Отображение Q = Q о Г . приводит гиперповерхность М к виду (4), a )j j переводит в 2 = О IW \ = 1 j Как отмечалось в I главы:; I, отображение Q продолжается вдоль всей цепи У.-, a Q - вдоль J л . Отображение 1ч J oQ продолжает fv в окрестность отрезка А Ъ i причем переводит &Хл на Д V . Следовательно, если j; и О"- - инвариантные 1-формы на М J и М J , то При -і — " «=- = коэффициенты СГ; сходятся равномерно к коэффициентам инвариантной I-формы на MQ у поэтому второй интеграл в (ад оценивается сверху некоторой постоянной, умноженной на длину отрезка А У Согласно лемме 8 длина Л \; не превосходит Cff Л-, ft -. с Q ( С Ау [п ( . Первый ин теграл при J — -с= стремится к интегралу от формы 01 по отрезку Д V цепи У , на котором нормальные параметры увеличиваются на 2.5Т . Этот интеграл положителен и, таким образом, последовательность { Л .А отделена от нуля. Такие же рассуждения применительно к отображениям {j показывают, что последовательность [ Л; 1 ограничена сверху. ших Существование отрезка ЛУ-. цепи Vv у на котором нормальные параметры увеличиваются на 2?Г, мы установили выше в предположении i- -
Однако из ограниченности l j] сверху и из неравенства in i-Q i\ I Wj выполняющегося при боль л следует, что такой отрезок на V определен также, когда \Q:\ (цр кл) п Если это соотношение выполнено, то мы снова можем рассмотреть равенство (?) и воспользоваться тем, что длина отрезка А ; не превосходит С ц AJ \ Q-. І В результате мы получим оценку сверху на норму вектора С?--. (] Переходя к подпоследовательности, будем считать, что при отображение Мо в поверхность вида (4) с параметрами Е , 0) ) а 9 і " отображение, переводящее М в по верхность того же вида с параметрами Е, A; , Q J 0. из ра боты [2] вытекает, что при Л — «= = Q х равномерно в некоторой окрестности точки (0,1) сходятся к QQ поэтому для завершения доказательства теоремы осталось рассмотреть слу чай, когда отображение Мл в NM имеет параметры t,1,0,4-j. Итак, пусть параметры отображения [; есть с.;1) Л Li, Если из последовательности \ -л\ можно извлечь сходящуюся подпоследовательность, то соответствующая подпоследовательность отображений также будет сходиться. Таким образом, нам достаточно показать, что последовательность {T.-f l ограничена. Рассмотрим произвольную цепь I на /V\Q , проходящую через (0,1), в кочках которой 0 Q "ф О. Пусть вектор (лгД} касается І в точке (0,1). Переведем каждую из поверхностей 0 Мл v Mi Мн отображением с параметрами 1Z } "» } -СП Основа в поверхность вида (4). В новых координатах пара метры отображений {; не изменятся, а цепь \ оказывается дугой окружности 2 = 03 1\Л/1 = т J. Пусть Г -1 \ » -і-цепи на М; и гЬ , задаваемые уравнениями 2-=0 1 1 — /. Поскольку rL сходятся к r\g при л—_ с о для некоторого L , O C j не зависящего от Л ь цепи П содержат отрезки А Пі 3 на которых 04.0 W изменяется от нуля до . Отображение { - переводит поверхность вида (4) в поверхность вида (4), а цепь \ - в окружность \_2 = О3 \W\ = 1 }} поэтому \х аналитически продолжается вдоль I j. Положим А і -і - f - (,А\ j) j переводит точку (0 j ) цепи » ч в точку цепи VJJ . Так как 0 - то на отрезке Л П аргумент W увеличивается меньше, чем на + 204etc L v . Приэтом Из сходимости последовательности {J -i ] следует, что интеграл в левой части равенства сходится к положительному числу, что обеспечивает ограниченность последовательности ( "V снизу. Если же рассмотреть отрезки цепей 1-і , на которых Q4Q \Л/ изменяется от - до нуля при тех же условиях на , , то, повторяя проведенные рассуждения, мы получим оценку на Ц сверху. Теорема Z доказана.
