Введение к работе
Актуальность темы. Пусть P(r,i/), Q(x,y) --- полиномы от переменных х, у с комплексными коэффициентами и F = (/'. Q) — отображение С2 в С2, порожденное этими многочленами. Обозначим через .1(F) якобиан отображения F, т.е.
J{F) = ^LdA^dJLdA,
Ох ду ду Ох
Известная гипотеза о якобиане требует доказать обратимость отображения F при условии
J(F) = const. 0.
Эта гипотеза была сформулирована Келлером 1 в 1939г.
Имеются разнообразные подходы к этой задаче, которые привели к большому количеству частных результатов, некоторые из которых представляют самостоятельный интерес. По этой тематике было написано два обзора 2 3.
Якобиан J(F) — это многочлен от х, у, коэффициенты которого есть билинейные функции от коэффициентов многочленов Р и Q. Условие J(F) = const, ф 0 означает, что все эти билинейные функции, кроме одной, равны нулю, и это порождает большое число соотношений на коэффициенты многочленов Р и Q. Анализ этих соотношений позволяет доказать, что для многочленов Р и Q небольшой степени гипотеза о якобиане справедлива, т. е. в этом случае отображение обратимо. Это верно для многочленов степени меньше чем 100 4.
С другой стороны, анализ этой системы соотношений позволяет построить серию примеров необратимых рациональных отображений с гго-
1Ке11ег О.Н., Gauze Стетопа - Transformationent Monatsh. Math, шиї Phis. 47 (1939), 299-305.
2Vitushkin A. G. On polynomial transformation of C", in Manifolds (Tokyo,1973), Tokyo Univ. Press, Tokyo, 1975, 415-417.
3Bass H., Connell E.H., Wright D., The Jacobian Conjecture: reduction of degree and formal expansion of the inverse, Bull. Amer. Math. Soc, 7 (1982), 287-330..
4Moh T.-T. On the Jacobian Conjecture and t/ie configuration of roots, .1. Reiiie Angew. Math., 340 (1983), 140-212.
стоянным (ненулевым) якобианом. Ряд таких примеров построен А. Г. Ви-тушкиным. В этих примерах получается так, что если степень рационального отображения велика, то на кривой ветвления обратного отображения имеются особые точки типа каспа (здесь и далее под кастами понимаются особые точки на кривой, задаваемые локальным уравнением степени > 3). Поэтому естественно предположить, что и в возможном контрпримере в задаче о якобиане это свойство (наличие каспов) имело бы место. Доказательство этой гипотезы было бы хорошей подсказкой при" поиске контрпримеров в проблеме о якобиане. Этот вопрос остается открытым, но в некоторых аналогичных постановках задачи о локально гомеоморфных отображениях R2, как будет видно ниже, ответ на него отрицателен. Изучение этого вопроса является основным предметом данной диссертации.
Наряду с алгебраическими методами (имеется в виду, в частности, анализ вышеуказанной системы уравнений) имеется значительный цикл работ, основанных на топологических методах. Суть топологического подхода состоит в следующем. Пространство С2 пополняется конечным набором римановых сфер (Si) до компактного комплексного многообразия М таким образом, чтобы задающие отображение полиномы Р(х,у), Q(x,y) можно было продолжить до непрерывного отображения всего М в СР1 X СР1. Добавленные сферы 5,- образуют дерево, т. е. они либо не пересекаются, либо пересекаются трансверсально и в каждой точке не более, чем по две. При этом оказывается, что для каждой из этих сфер выполняется одно из двух: либо одна из отображающих функций тождественно на всей сфере равна бесконечности, либо обе эти функции во всех точках сферы, быть может кроме одной, принимают конечные значения (при этом указанная обособленная точка переводится в точку, лежащую на бесконечности пространства СР1 х СР1).
Обозначим через М открытое подмногообразие М. состоящее из точек, в которых обе продолженные функции Р и Q принимают конечные значения. Пара (М, F) будет разветвленным накрытием над С2, если исключить из М те сферы набора (Si), которые переводятся отображением F в точку, лежащую в С2 (см. ниже). Множество точек, в которых ото-
бражение F\jg локально гомеоморфію, будем называть регулярной частью накрытия (Л/, F) и обозначать через М'. Регулярная часть состоит из С2 и конечного числа комплексных кривых, гомеоморфных С1. Каждая из этих кривых является проколотой сферой из набора (Si). Множество М \ М' состоит из конечного числа кривых, изоморфных С1, на которых отображение F имеет ветвление, а также из тех сфер набора (5,-), которые отображением F стягиваются в точку, лежащую в С2. Ясно, что из доказательства отсутствия накрывающей с такими свойствами следовал бы положительный ответ в гипотезе о якобиане.
Попытки доказать гипотезу о якобиане, используя лишь некоторые топологические свойства полиномиальных отображений, желаемого результата не дали. Это показывают примеры накрытий над С2 и над открытым шаром в С2, построенные А. Г. Витушкиным 5иС. Ю. Орев-ковым 6. Отметим, что в этих двух примерах на кривых ветвления обратного отображения каспов нет, но это не опровергает гипотезу о каспах, упомянутую на с. 2, поскольку в этих случаях нет компактификации накрывающих поверхностей посредством дерева сфер, которая имеет место в случае полиномиальных отображений.
Весьма интересен еще один пример Оревкова 7. В связи с гипотезой о каспах отметим также, что в данном примере кривая ветвления обратного отображения имеет касп.
Отметим результат С. И. Пинчука 8 об отображениях, задаваемых полиномами с вещественными коэффициентами, и пример В. А. Зорича необратимого симшпщиалъного отображения RP2 на двумерную сферу, которое локально гомеоморфно в R2 С RP2 и переводит бесконечно удаленную окружность в окружность (неопубликовано).
Вещественным аналогом гипотезы о каспах является следующая ги-
5Витушкин А.Г., Некоторые примеры в связи с задачей полиномиальных преобразований С", Изв. Акад. Наук СССР, Сер. Мат., 35 (1971), 2G9-279.
60ревков С.Ю. Диаграммы Рудольфа и аналитическая реыизация примера Ви-nv/viKima., Мат. Зам., 60 (1996), в. 2, 206-224.
7Оревков С.Ю., Один пример в свяли с гипотезой о якобиане. Мат. Зам., 47 (199()), в. 1, 127-136.
sPmchuk S. A counterexample to the strong real Jacobian conjecture. Math. Z., 217 (1994), 1-4
потеза: гладкое двумерное многообразие, состоящее из одной открытой двумерной клетки и конечного числа открытых одномерных клеток, не допускает собственного гладкого отображения в R2, которое имело бы не более чем складки вдоль одномерных клеток. Примеры Зорича и Пин-чука не опровергают эту гипотезу; например, для отображения Зорича, хотя кривая ветвления обратного отображения и не имеет особых точек, само отображение имеет две точки типа сборки над R2 (подробнее см. п. 1.2 диссертации).
Цель работы. Цель этой работы — изучение возможности продолжения локально гомеоморфных симплициальных отображений R2 в связи с проблемой обращения полиномиальных преобразований С2 с постоянным якобианом.
Научная новизна. Основные результаты работы являются новыми.
-
Построен пример двумерного открытого многообразия М, состоящего из одной открытой двумерной клетки и трех открытых одномерных клеток, и собственного гладкого отображения F : М —> К2, локально гомеоморфного на двумерной клетке и имеющего не более чем складки вдоль одномерных клеток.
-
Доказано, что этот пример продолжается до симпяициального отображения из некоторой комлактификапшг R2 в RP1 х RP1, которое в топологическом смысле во многом похоже на полиномиальное отображение. Указанная компактификация осуществляется посредством дерева из 18 окружностей. Построенное отображение является локальным гомеоморфизмом на R2, а его особенности над R2 С RP1 х RP1 оказываются простыми складками без каких-либо изолированных особых точек. Построенный пример показывает, что сформулированная выше гипотеза Витушкина о каспах на особых кривых отображения, обратного к полиномиальному, не верна без условия полиномиальности отображения.
Методы исследования. В работе используются общие методы комплексного анализа и комбинаторной топологии.
Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит
теоретический характер. Результаты могут быть использованы для продвижения к решению гипотезы о якобиане.
Апробация работы и публикации. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на объединенном семинаре по комплексному анализу отдела Теории функций комплексного переменного Математического института им. В.А. Стеклова и кафедры теории функций и функционального анализа механико-математического факультета Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова. Основные результаты диссертации опубликованы в двух статьях, список которых представлен в конце автореферата.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения и двух глав, первая глава разделена на 5 параграфов, а вторая глава — на 6 параграфов. Она снабжена оглавлением, списком рисунков из 8 наименований и списком литературы из 16 наименований. Текст работы изложен на 63 страницах.
