Введение к работе
Актуальность т е мы . Вероятно одним из первых я, как оказалось в дальнейшем, одним из наиболее существенных отличай теории функций двух и более комплексных переменных от теории функций одной комплексной переменной оказался результат,опубликованный в 1906 г. Ф.Гартогсом. Приведем этот результат в формулировке» максимально близкой к оригинальной (см.Сб]). Пусть функция $(->%) двух комплексных переменных определена а голоморфна в области {Сх,)е.л: /д?/< t, Ъ< /#/< ±] .представляющей собой прямое произведение диска на круговое кольцо. Предположим дополнительно, что для каждого х из некоторой окрестности нуля V* , например V => {х; ./аг кч} функция fix,*) , как функция одного комплексного переменного у. , голоморфно продолжается с кольца {^ ; -^<ЩК і} на диск &'!&)<&].
Теорема Гартогса. В этих условиях '$ голоморфно продолжается на биднск Д .
Данное утверждение указывает на разительное отличие свойств голоморфных функций двух комплексных переменных от свойств функций одной комплексной переменной. А именно, рассмотрим область, в которой первоначально была определена наша функция:
Mil) * {Oc,)eJ:mi6o ІХІ<і,»<іді<іІ либо Ш<4,#/<*І.
4 Н (-) принято.именовать фигурой ала областью Гартогса. Теоре
ма Гартогса утверздает, что пара областей Hit) $г АЛ обла
дает следующим свойством: лвбая функция голоморфная в Н(Ъ) го-
ломорфно продолжается на .Для областей на комплексной
плоскости такое явление невозможно. Ибо хорозс известно, что в лябой области на плоскости можно построить голоаорфЯ70 функции.
. . : 2
которая вн в какую большую область голоморфно не продолжается.
Отправной точкой в исследованиях Гартогса послужили две краткие заметки Осгуда [I2],(l3j . где исследовался вопрос о том, является ли функция, аналитическая по каждому переменному в j .аналитической по совокупности переменных? Осгуд дал положительный ответ на этот вопрос в предположении ограниченности рассматрлвае-иой функции. Гартогс сумел избавиться от* этого условия, и основным идейным моментом у него было сведение доказательства к;утверждение о продолжаемости аналитической функции с области Hit) на бадйск.
Несколькими годами, позже Е.Леви показал,'что в точности та-; кая же теорема о продолжении справедлива и для.ыеррморфных функций (см. [10]). Перечисленные вше результаты послужили ОСНОВОЙ для развитой затем теории аналитического продолжения голоморфных функций Гартогсом, мероморфдах функций и аналитических множеств - Ротитойнон {cu.ffiLSji), ':.".'"
В диссертации рассматриваются вопросы аналитического продолжения голоморфных и мороморфных отображений областей в комплекс-ше многообразия. Основной вопрос, изучаемый нами, можно' сформулировать следутаим образом. Пусть X комплексное многообразие. Верно ла,что для любой облаоти Dc <"" лобоё голоморфное (мерОморФ-Е08) отображение S - D—т X продолжается до голоморфного (меро-корфного) отображения у-D —> X оболочки .голоморфности D 7. области D в X ? Иначе говоря, обладают, ли голоморфные (месо-їлорфнне) отображения в многообразие X теми же свойствами продол-eshse, что в голоморфные (квроморфныо) функции? Если голоморфные (кароморфнне) отобразецая в X продолжаются с областей из 01 на sx оболочки голоморфности, хо мы будем говорить, чтоїїїоответ-еащущах стобрааенлй в'; X справедливатеорема о продолжении тзпа
' 3
Гартогса. Иногда мы для краткости Будем говорить, что многообразие X обладает свойством голоморфного (мероморфного) продолжения.
Впервые вопрос о голоморфном продолжении отображений был рассмотрен Андреотта и Штолем в I960 г. (см.[1]). Затем Дхень а 1970 г. C3J предположил, что для голоморфных отображений а комплексное многообразие X , обладающее полной эрмитовой метрикой неположительной голоморфной секционной кривизны, справедлива теорема о продслкении типа Гартогса. На этот вопрос был дан положи-, тельный, ответ независимо Ф.Гриффитцем и БЛиффманом з 1971 г. (см. [б]и [іб]). В этой асе работе Гриффитц показал, что голоморфное отображение проколотого шара аз С**, я»$ , в компактное кэлерово многообразие иероморфно продолжается з ноль. Основываясь на этом результате он предполояял, что для мероморфных отображений в компактное кэлерово многообразие справедлива теорема о продолжении типа Гартогса. 3 последующие 20 лет работы о продолжении отображений з основном вращалась вокруг попыток доказательства этой гипотезы (см., напр.,C?J[lS]^0l а также ряд других).
Основным результатом диссертации, изложенным в первой главе, является доказательство этой, гипотезы.
Если многообразие X обладает, свойством голоморфного (меро
морфного) продолжения, то отображения в X обладалт и друтаки
свойствами. Например, как показал Шиффман з [ібі (IS9I) для го
ломорфных отображений а такое X справедлива теорема о сепарат
ной акалдтичнсста.' , . ^ . .
Цела я задача работы.!) Доказать теорему о продолжении тапа Гартогса-для мероыорфных отсбр&тенгй з ксм-пакткне кэ.теровы многообразия; 2) Доказать локаяьнув псевдсвкпух-лссть нгхрявгггих компактных кэлеровых многообразий. 3) Списать
препятствия к продолжению ыероыорфных отображений в компактные . комплексные многообразия, допускающие плввизамкнутую эрмитову метрическую форму. 4) Характеризовать компактные комплексные поверхности, не обладающие свойством мероморфного продолжения. 5) дать решение комплексной задачи Плато для широкого класса комплексны! многообразий.
Научная н о в и э на. В работе получены новые результаты, основными из которых являются следующие:
-
доказана гипотеза Гриффитца (І97Г г.) о том, что для ме-роморфкых отображений в компактные кэлерсвы многообразия справедлива теорема о продолжении типа Гартогса;
-
доказана гипотеза Харви-Карлсона (1976 г.) о том;что подобласть Штейнова многообразия, накрывающая компактное кзлерово многообразие, псевдовішукла;
-
доказано, что сферические ракушка являются еданстэенныци ЕрйЕятстваяш для продолжения мероморфных отобрааений ^двумерных ' области в компактные кшдлеканые.многообразия, допускающие плю-ризамвдутые кетрическаё формы ;--,
-
дано описанаа компактных комплексных шверхностей, не обладающих свойство» йэршорфаого продолжения .;.''
.-'.'.. 5) доказана разреяеаоагькомпйексноЁзадачи Япато для стро
го псевдовыпуклых «контуров" в і^огообраааяі, допускающих пяюря
аашснутую метрическую форму. :;'.._
М е т о д ы и с с л е д ої'а ни .я... 'В' работе .щшіеьеттс* ыетоды многомерного.комплексного анализа, комплексной.авалі:иїчз-скоЗ геоаетраи, теории потенциала, дифференциальной геом?.трак -и
ЇОПОЛОГИИ.
Т е о р е т е ч е с к а я и . п р а к т и я е с к. а я
И ь к п о он . Работа аоскт теоретический характер. Ьо резуль-
таты могут быть использованы в теории комплексных многообразий, теории плирипотенцнала, теории функций многих комплексных переменных.
Апробация. Результаты диссертации докладывались на семинарах по многомерному комплексному анализу а МГУ, Х1АН, на Всесоюзных конференциях по комплексному анализу: Красноярск, 1987? Уфа, 1988 ; Новосибирск, 1988; Ташкент, 1989 ; на международных конференциях а семинарах: Герцег Нови (Югославия),1988 ; Сайта Круз (США), IS69 : Лммини (Франция), 1992 ; Варшаза, 1992 ; Тренто (Италия), 1993; на коллоквиумах и семинарах ряда ведущих зарубежных университетов-: семинар Дольбо-Шкода, Пария Я.І99І ; Геттинген-ский университет , ФРГ, 1990, институт М.Паанка, Бонн, 1991 ; Университет .'Лшстера, Ш\ 1992.
Публикации . Результаты диссертации полное тьа опубликованы в 9 работах, список которых приведен а конце автореферата.
Объем и структура диссертация. Диссертация состоит из введения, трех глав а списка литературы аз 73 наименований. Общий объем диссертации - 165 страниц м&зано-писного текста.
