Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Дифференцируемые отображения аффинных Qm и проективных Рв пространств
Введение 30
1. Аналитический аппарат 32
2. Отображение Vі :0 —»Р п,п п п
3. Отображение Vі :0 —»Р (т п) т,п т п /
4. Отображение Ylmn :Qm - Ри (т п) 48
5. Отображение Vm2,B:Qm- Рв 55
6. Характеристические направления в точке В є Qm 57
Глава II. Поля инвариантных геометрических образов дифференцируемого отображения аффинного пространства в многообразие невырожденных нуль-пар проективного пространства
Введение 64
1. Аналитический аппарат 65
2. Геометрическая интерпретация отображений Wlm п, Уш2и и /ш2и 66
3. Случай т п 67
4. Случай т п 73
5. Поля гиперконусов OLiс Qm и центроаффинных преобразований 83
6. Поля гиперконусов Q j cQm и Q2 : с Qm з
Глава III. Связности дифференцируемого отображения аффинного пространства в многообразие невырожденных нуль-пар проективного пространства
Введение 96
1. Аналитический аппарат 97
2. Поля геометрических образов на базе Qm (т п) 99
3. Базовые инвариантные связности расслоения П 9 104
Глава IV. Дифференцируемое отображение ранга г аффинного пространства Qm в многообразие невырожденных нуль-пар проективного пространства Р (r min(m,n))
Введение 117
1. Аналитический аппарат (г)
2. Отображение Vі 120 т,п (г)
3. Отображение Уш2и (г)
4. Отображение /ш2и :Qm М2и 135 (г)
5. Характеристические направления в в г-плоскости в случае отображения
6. Заключение 142
Список литературы 143
Публикации по теме диссертации
- Отображение Vі :0 —»Р (т п) т,п т п
- Геометрическая интерпретация отображений Wlm п, Уш2и и /ш2и
- Поля геометрических образов на базе Qm (т п)
- Характеристические направления в в г-плоскости в случае отображения
Отображение Vі :0 —»Р (т п) т,п т п
Q 2 nl(y ,Х) = {v е QBIve \JnA(k,y,v)} пучок гиперквадрик, отвечающих гиперплоскости у є Рв. Асимптотический гиперконус этого пучка, отвечающий гиперплоскости уєРв, обозначим Kn_l(y)czQn (т = п). Тогда каждой гиперплоскости Ггі(и)сОл, проходящей через точку BeQn и являющейся прообразом гиперплоскости уеР при отображении Vі :Q - Р , отвечает гиперконус QBl(w)cQB (т = п) второго порядка с вершиной в точке В. Полярой направления we QB относительно гиперконуса Ql iu) является гиперплоскость, которая обозначается Г ,(w,w)cQ . Тогда в точке Be Q существует при каждом фиксированном направлении we Q направление h(v,w), являющееся пересечением гиперплоскостей Гв_ ,ш). Таким образом, каждому направлению we QB отвечает центропроективное преобразование Il(w), которое направлению ve Q сопоставляет направление h(v,w)e Q . Поэтому каждой точке Be Q в случае (т = п) отвечает гиперплоскость Ґ ,={weQ \terH(w) = 0}c:Q .
Обозначим h е Q - направление, полярно сопряженное гиперплоскости Г , относительно гиперконуса О2, сО . Тогда в точке Be О определяется центроаффинное преобразование П = П(/г) пространства QB в себя с центром в точке В. Поэтому в точке SeQn в случае т = п существует гиперконус
Таким образом, в каждой точке В е Q в случае т = п определены гиперконус Q2,cQ и локальное центроаффинное преобразование П пространства Q в себя с центром в точке В. В случае т п точке BeQm в соответствующем проективном пространстве Ри сопоставим точку Xehm. Обозначим у = (А0,Ай)у&е Vln_m прямую пересечения нормали Р!_ш с линейным подпространством, проходящим через Ьш и Т(Х)и -касательную к линии (X) , описываемой точкой X в направлении ueQ . Тогда линейное подпространство Т(у) UL ,}, проходящее через касательное подпространство к 1-семейству прямых (у)и в направлении и и содержащее
(и -w-1) -плоскость L№l, пересекает т -плоскость Lm по прямой, которую обозначим z. При этом предполагается, что точка X е Lm, а так же текущая точка Ye у не являются фокусами подпространств Lm и Ь и_ш_1 в смысле [1]. Итак, каждому направлению и е Q в соответствующем проективном пространстве Р отвечает центропроективное преобразование P(w) т -плоскости Lm в себя с центром в точке А0, которое каждую прямую x = A0Xehm переводит в прямую zeLm, проходящую через точку А . Поэтому и в случае т п точке В е Q отвечает гиперконус второго порядка с вершиной в точке В. В общем случае этот гиперконус является невырожденным. Следовательно, и в случае т п существует центроаффинное преобразование П пространства Qm с центром в точке В, порождаемое гиперконусами 0Ш2_! и Q2 . Геометрически это преобразование каждое направление ие Qm переводит в направление ve Q так, что v является полюсом той гиперплоскости относительно гиперконуса 0Ш2_15 которая полярно сопряжена направлению и относительно гиперконуса Q2 . В пятом же параграфе после несложных рассуждений, свойственных случаю т п (т = 2п, т 2п и т 2п), показывается существование в каждой точке В е Q гиперконуса Q2,cQ и аффинного преобразования П аффинного пространства Q в себя с центром в точке В. Каждому направлению ие Q (т п) отвечает центроаффинное преобразование 0(и) пространства Q в себя с центром в точке, которое каждое направление УЄГ2 переводит в направление we Г2 следующим образом: (T(v) UrHIr1 =гєГ , !T(z) UГ1 }IГ2=ш. Здесь направления v и z не являются фокальными в смысле [1] соответствующих линейных подпространств, причем символ Т(х) означает касательное линейное подпространство к 1-семейству (х) в элементе х вдоль направления у. Оказывается, что и в случае го п в точке В е Q определяется гиперконус Q ,={иєО lterQ(w) = 0}cQ . Существование аффинного преобразования П в точке Be Q (го п) обеспечивается следующими теоремами. - Точке BeQ отвечает в случае т = 2п центроаффинное преобразование П пространства Qm в себя с центром в точке В, которое удовлетворяют следующими свойствами: 1) Линейные подпространства Г2 и Ц1 неподвижны при этом линейном преобразовании в точке BeQ . 2) Линейное преобразование П разбивается на два линейных преобразования с центром в точке BeQ : А) В(1) - центроаффинное преобразование и-плоскости Г1 в себя; б) В(2) - центроаффинное преобразование и-плоскости Г2 в себя. - С аффинным преобразованием П в точке BeQ в случае т 2п ассоциируются два аффинных преобразования: 1) Аффинное преобразование В(1) (го - п) -плоскости Т1т-п в себя, причем Гш-2в вершина гиперконуса О2 , сО является ядром этого преобразования; 2) Центроаффинное преобразование В(2) линейного подпространства Г2 в себя с центром в точке В, причем и-плоскость Г2 неподвижна при линейном преобразовании П. - С аффинным преобразованием П в случае т 2п в точке BeQm ассоциируются следующие аффинные преобразования: 1) В(1) - центроаффинное преобразование (го - п) -плоскости Т2т-п в себя с центром в точке В; B(2) - центроаффинное преобразование (2и - т) -плоскости Т12п-т в себя с центром в точке В; В(3) - центроаффинное преобразование (т - п) -плоскости Т1т-п в себя с центром в точке В; 2) Линейные подпространства Т1т-п и Ги2 в точке BeQm неподвижны при аффинном преобразовании П.
6 посвящен изучению полей инвариантных гиперконусов О3 ,сО и02,сО . Каждому направлению ve Qm в аффинном пространстве Qm отвечает (m-2) мерная поверхность Um-2 (v) - пересечение Qm2-j со своим бесконечно близким первого порядка в направлении v. Точке BeQm сопоставляется пучок гиперквадрик q2 ,(V1)DU o(v). Обозначим К2 ,(уД)сО пучок асимптотических гиперконусов m-l \ " / т-1 m-l \ " / m пучка q2 ,(v,X). Оказывается, что в пучке К2 ,(УД) существует гиперконус К2 ,(v), m-l m-l v m-l отвечающий направлению и и аполярный гиперконусу Q с Qm. Следовательно, в точке BeQm определяется гиперконус QL-I = {v є Qm I v є K -j (v)} с Qm третьего порядка с вершиной в точке Be Q (для всех случаев т п). Заметим, что каждой точке BeQm отвечает гиперплоскость Гш4 ={VeQm\ K Cv) и Q2- аполярны } с Qm Поэтому в точке BeQm определено направление Г, которое является полюсом гиперплоскости Г , относительно гиперконуса Q2, сО . Следовательно, каждой m-l m-1 s-m точке Be Q соответствует гиперконус Q2 , cQ второго порядка с вершиной в точке В, который является квадратичной полярой направления Г относительно гиперконуса О3 ,сО . Таким образом, в главе 2 проведена аналитическая и геометрическая классификация отображений f n:Qm M2n в каждом из случаев т п и т п (т 2и и т 2и).
Геометрическая интерпретация отображений Wlm п, Уш2и и /ш2и
Поскольку это отображение является как бы объединением отображений Vlmn и Уш2в , то оно обладает одновременно теми же геометрическими свойствами, которыми обладают указанные отображения. В этом же параграфе доказывается существование отображения fm2n , а , следовательно, и представление дифференцируемого отображения /2в . В аффинном пространстве Q с произволом г функций (т-г) аргументов задается голономная (т - г) -поверхность Sm_r ={B}m_r cQm с касательной (т - г) -плоскостью Гт_г в текущей точке В є S с Q . Каждой точке В є S сопоставляется центропроективное пространство
Ри с центром в точке А0 так, что в этом пространстве задаются г -плоскость Lr э А0 и плоскость Lre_r_1 cLB_r. В итоге вдоль Sm_r cQm точка Д, является текущей точкой г -поверхности SrcPB с касательной г -плоскостью Lr, а гиперплоскость Lr_j будет текущим элементом г -семейства (L ,} с характеристическим элементом L ,. 2.4.5. В 5 изучается специальной вид характеристических направлений в г -плоскости
В главе 1 в случае т = п каждому направлении z є Р , отвечающему точке BeQm (т = п) в случае регулярного отображения Vlnn определено центропроективное преобразование П(г) пространства Ри в себя. В этой же главе с использованием преобразования П(г) дана новая геометрическая интерпретация характеристических направлений в смысле [110] и [84]. Каждой точке A0eSr, отвечающей точке Be Qm при отображении Vlnn сопоставим оснащающую (п - г) -плоскость L1 к S в точке А,. Так же, как и в регулярном случае, показывается, что (и - г)-плоскость L!B_r отвечает центропроективное преобразование П (z) г -плоскости Lr в себя . Справедлива теорема - Каждой оснащающей (и - г) -плоскости L1 г-поверхности S в точке А, отвечающей точке BeQ при отображении Vі в аффинном пространстве Q соответствуют характеристические (и - г +1) -плоскости, образами которых при указанном отображении являются неподвижные направления z = A0Zehr при центропроективном преобразовании П(г), отвечающим любой точке прямой z. Эти направления в г-плоскости L касательной к S в точке А. называются характеристическими направлениями.
Эта теорема дает дополнительные геометрические свойства отображений Л/]п . Отметим, что при заданной оснащающей (и - г) -плоскости L1 в точке А є S сР и—г Urn существует не более Т -1 характеристических направлений в г -плоскости Lr. Так же, как и в 3 главы 1, можно провести инвариантное построение оснащающей (п - г) -плоскости L 1 к S в точке А„ є Р В первой главе аналитически и геометрически доказывается что с каждым дифференцируемым отображением Qm - Ри и QM - Рв инвариантным образом ассоциируется отображение Qm - М2п = Ри х Ри (т п,т п). Здесь Qm - аффинное т -пространство, Р - проективное и-пространство, а Р - двойственное или сопряженное п -пространство к Ри. Глава состоит из 6 параграфов. Первый параграф посвящен аналитическому аппарату. В этом параграфе в терминах подвижного аффинного репера Q = {В,а}(а =1,т) пространства Qm и подвижного проективного репера Р={ А7} (7 = 0,и) пространства Ри с соответствующими структурными уравнениями и деривационными формулами рассматриваются дифференциальные уравнения нижеследующих дифференцируемых отображений. 1) Точечное отображение Vlmn:Qm - Ри, которое каждой точке В є Qm в проективном пространстве Ри сопоставляет вполне определенную точку А0 є Ри. 2) Тангенциальное отображение Vm2„:Qm P;, которое каждой точке BeQm сопоставляет в Ри вполне определенную гиперплоскость Ln_1 = (Al,A2,...,An)( Pn, AeL .. 3) Отображение /т2и:Qm — М2и = {Д,! }, Д g L , которое каждой точке 5 є Qm в проективном пространстве Ри сопоставляет вполне определенную невырожденную нуль-пару {Д,Ь .}, принадлежащую 2я-мерному многообразию М2в ассоциированному с пространством Ри. В данном параграфе при тип, удовлетворяющих каждому из соотношений (т п, т = п и т п), отмечается, что в 2 - 5 данной главы решаются следующие задачи:
Это отображение используется для инвариантного оснащения указанной т-поверхности Sm с помощью нормальной плоскости Vln_m : Д, є Vln_m, Р U Ьш = Ри. С помощью этой нормальной плоскости удается геометрически и аналитически решить соответствующие задачи 1 и 2 в случае т п.
В последнем параграфе 6 рассматриваются характеристические направления отображения Vlmn :Qm — РИ в смысле [ПО], [84] и [4]. Эти направления не используются при решении задач 1 и 2 в 2 - 5. Отметим, что в 6 доказывается теорема, которая дает новую геометрическую интерпретацию указанным характеристическим направлениям. В этом же параграфе обосновывается другое решение задач 1 и 2 с использованием характеристических направлений отображения
Поля геометрических образов на базе Qm (т п)
В соответствии с замечанием 1.6.4 данная глава 2 посвящена изучению полей инвариантных геометрических образов, определяемых компонентами внутреннего фундаментального геометрического объекта отображения f2n : QM - М2п аффинного пространства Qm размерности т в 2/г-мерное многообразие М2и всех невырожденных нуль-пар {A,L ,},(A,L ,) проективного пространства Р размерности п. При этом Л) п-\ \) п-\ п используются дифференцируемые отображения Vlmn : Qm - Ри и V2n: Qm - Рв , ассоциированные с отображением f2n, о которых идет речь в главе 1 (см. (1.1.3) и (1.1.6)). состоит из 6 параграфов. Первый параграф посвящен аналитическому аппарату, которой используется в данной главе в полном соответствии с 1 глава 1. В 2 приводится дополнительная геометрическая интерпретация отображений f2n, Vl и
Параграф 5 посвящен изученного полей гиперконусов Q„-i cQm и центропроективных преобразований пространства Р во всех случаях (2.1.1). В заключительном 6 изучаются гиперконусы третьего порядка О3 , сО и второго порядка Q2 с Q с центрами в точке Be Q . В этом же параграфе с помощью указанных гиперконусов в каждой точке Be Qm изучается локальное центроаффинное преобразование базы Qm в себя с центром в точке В е Qm. 1. Аналитический аппарат
Как и в главе 1 рассматриваются m-мерное аффинное пространство Qm и w-мерное эквипроективное пространство Ри, отнесенные к подвижным аффинному Q={В ,є } (а =1,т) и проективному P ={ А,} (1 = 0,и) реперам с соответствующими деривационными формулами и структурными уравнениями (1.1.1) и (1.1.2). По аналогии с пунктом 1.2 главы 1 в данной главе 2 рассматриваются отображения 1) Точечное отображение V1 : Q —» P (1.1.3), которое в терминах реперов Q и P типа (1.1.3 ) каждую точку Be Qm переводит в соответствующую точку Д є Pи. 2) Тангенциальное отображение V2 :Q — P (1.1.6), которое при специально выбранным в главе 1 реперам Q и P каждую точку Be Qm переводит в соответствующую гиперплоскость (1.1.7). 3) Отображение f2n: Qm — M2и = {Д,L„_1}, Д Lи-1 (см. (1.1.10)), которое каждой точке Be Q сопоставляет соответствующую вполне определенную невырожденную нуль-пару (Д,Lи-1)є M2и - многообразию всех невырожденных нуль-пар, ассоциированных с проективным пространством Р . Замечание 2.1.1. В данной главе используются дифференциальные уравнения (1.1.4), (1.1.8) и (1.1.11), которым удовлетворяют компоненты геометрических объектов (1.1.5), (1.1.9) и (1.1.12) соответствующих отображений V „, V2n и f2n. Замечание 2.1.2. Из (1.1.3), (1.1.6) и (1.1.10) следует, что с отображением f2n ассоциируются отображения W1 mn и V2n. При этом геометрические объекты (1.1.5) и (1.1.9) являются подобъектами геометрического объекта (1.1.12). Замечание 2.1.3. В данной главе 2 находятся поля геометрических образов отображения f2n, а также и отображений W1 mn и V2n с учетом замечания 2.1.1 и 2.1.2, которые определяются компонентами соответствующих внутренних фундаментальных геометрических объектов. С помощью этих полей геометрических образов проводится классификация отображений f2n по соответствующим соотношениям, которым удовлетворяют числа тип: т п,т п,т 2п,т 2п. (2.1.1) 2. Геометрическая интерпретация отображений Vm1,n , Vm2,n и f касательное к линии (ДД, описываемой точкой Л0еРп вдоль кривой (2.2.1). Аналогичным образом направление (2.2.2) при тангенциальном отображении (1.1.6) в силу (1.1.7) и (1.1.8) перейдет в характеристику Ch(LK_1)fcPK гиперплоскости ЬвЧ вдоль кривой (2.2.1), которая в точечных координатах проективного репера Р определяется уравнениями
Aiax ta =0, х=0. (2.2.4) Здесь Ch(Ln_1)t - пересечение L со своей бесконечностью близкой Vn_x первого порядка вдоль кривой (2.2.1). Таким образом, направление (2.2.3) и характеристика (2.2.4) геометрически определяют отображения (1.1.3) и (1.1.6), т.е. T(A0)t =V nt, Ch ) = V J, (2.2.5) соответственно. Из (1.1.10) в соответствии с замечаниями 2.1.1 - 2.1.3 при отображении fm" Qm " М2и направление t переходит одновременно в Т(ДДи в Ch(LK_j)f, т.е. Т(Д,) = fl" t, СЫЪ Х = /m2" t. (2.2.6) Замечание 2.2.1. Отображение /ш2и можно интерпретировать, используя расслоенное пространство Пш2в = (Qm,M2 ) с m-мерной аффинной базой Qm и 2/г-мерными слоями М2и. Задав в этом расслоении гладкое сечение /ш2и, мы каждой точке В є Qm сопоставим вполне определенную нуль-пару {Д Ь є М2и. Замечание 2.2.2. С учетом (2.2.1) - (2.2.6), (1.1.5),(1.1.9) и (1.1.12) заключаем, что с помощью компонент геометрических объектов первого порядка Г,1, rf и Ц3 геометрически определены отображения
Характеристические направления в в г-плоскости в случае отображения
В соответствии с замечанием 2.2.1 дифференцируемое отображение /ш2в: Qm - М2в аффинного пространства Qm размерности т в 2я-мерное многообразие М2в ={A0,LnJ всех невырожденных нуль-пар (A,L ,), AeL , w-мерного проективного пространства Ри интерпретируется как гладкое сечение (т + 2я) -мерного расслоенного пространства (расслоения) Пш2в =(Qm,M2B) с m-мерной аффинной базой Qm и 2/г-мерными слоями
Глава III состоит из 4 параграфов. Первый параграф посвящен аналитическому аппарату, в котором в соответствии с 1 глав 1 и 2 приводятся дифференциальные уравнения расслоение Пш 2и или отображения /ш2в, которым удовлетворяют компоненты внутреннего фундаментального геометрического объекта отображения /ш2в в смысле Г.Ф. Лаптева [39]. Во втором параграфе изучаются поля некоторых инвариантных геометрических образов на базе Qm расслоения Пш2и. Среди этих полей отмечается поле гиперконусов Q2 , є Q второго порядка с вершиной в точке В є Q . С помощью этого поля, а так же поля гиперконусов Q2 с Q , рассмотренного в главе 2, изучаются поле гиперконусов К2 ,cQ , а так же поле гиперконусов К3 ,сО третьего порядка с вершиной в точке Be Q . В 3 изучаются базовые инвариантные связности, т.е. связности, определенные с помощью инвариантных геометрических образов, изученных в главе 2 и в 2 данной главы. При этом отмечается связь между ними. 1. Аналитический аппарат
Как и в 1 главы 1, рассматривается m-мерное аффинное пространство Q , отнесенное к подвижному аффинному реперу Q={B ,а} с деривационными формулами и структурными уравнениями
Рассматривается также n-мерное проективное пространство Ри, отнесенное к подвижному проективному реперу Р={А,} с деривационными формулами и структурными уравнениями: dAj=fAK, Df = , л , (I,J,К=0,п). (3.1.2) Здесь, как и в п. 1.1 главы 1 предполагается, что линейно независимые аналитические точки А, удовлетворяют условию [А0 Av..An] 0. В соответствии с 3) пункта 1.2 главы 1 обозначим М2и ={Lt);LB_1} = PB хРи (3.1.3) 2п-мерное многообразие всех невырожденных нуль-пар, состоящих из текущих точек LeP и соответствующих им гиперплоскостей L ,,L„ L ,. Иными словами, пара и п п—\\) п—\ (L„;L ,) является текущим элементом многообразия (3.1.3), т.е. (L„;L ,)є М2и. К этому многообразию присоединим репер Р так, чтобы LQ=AQ, hn_1=(A1,A2,...,An). (3.1.4) Здесь, как принято в главах 1 и 2, символом hs_1=(B1,B2,...,Bs) обозначается (s -1)-мерное линейное подпространство ((s -1)-плоскость) Ls-1 с Рв, проходящее через линейно независимые аналитические точки (или псевдовекторы) ДД,...,5,, соответствующие геометрическим точкам BVB2,...,Bs_x пространства Ри. расслоенное пространство (или расслоение) размерности т + 2п. Базой этого расслоения является аффинное пространство Qm, а слоем, соответствующим каждой точке B(u)eQm, служит многообразие (3.1.3). Здесь В (и) с радиус-вектором В (и) означает, что точка В базы Qm имеет криволинейные координаты и\и2,...,ит, которые являются первыми интегралами линейно независимых форм я и принимаются за главные параметры. Заметим, что соотношения (3.1.5) являются структурными уравнениями расслоения П 9 .
В расслоенном пространстве П 9 зададим гладкое сечение f2п: каждой точке B(u)e Qm сопоставим вполне определенную невырожденную нуль-пару (Д;ЬпЧ)є М2и. Тогда в силу (3.1.1) и (3.1.4) дифференциальные уравнения этого сечения с учетом (3.1.5) и (3.1.6) принимают следующий вид (см. (1.1.10), (1.1.11) и замечание 2.2.1): в смысле Г.Ф. Лаптева [36], удовлетворяющих дифференциальным уравнениям (3.1.8). При этом рассматриваются связности, известные в литературе, например, [3], [12], [24], [30], [40], [42] - [47], [53], [59], [61], [64], [73], [76] - [80], [83], [87] - [90], [91], [92], [102] - [105]. Эти связности дают дополнительную геометрическую информацию инвариантным полям геометрических образов расслоения Пш 2и, определяемых геометрическими объектами (3.1.9). Некоторые из этих геометрических образов изучены в предыдущей главе. В 2 главы 3 рассматриваются другие геометрические образы, определяемые компонентами геометрических объектов (3.1.9), которые используются в данной главе.
При этом гиперплоскость Hm_j(v) при любом направлении ve Qm будет проходить через это особое направление г. Заметим, что при т п гиперкомплекс (3.2.6) при отображении V m:Qm - Lm (см. (1.1.3)) перейдет в линейный (т -1) -мерный комплекс в т-плоскости L с Р . 2.2. Поле гиперконусов К с Qm и К2 с Qm 2.2.1. Поле центроаффинных преобразований базы Qm Как и в случае гиперконуса СИ ч с Qm (см. (2.5.22)), для гиперконуса Q2 с Qm получаем, что с учетом (3.2.1) каждому направлению ve Qm будет отвечать гиперконус K _j второго порядка с вершиной в точке В е Qm и определяемый в точечных координатах аффинного репера Q уравнением К2 ,(v) ФФ Н . uaubvc = 0, (3.2.7) которому аполярен гиперконус Q2 с Qm. Здесь величины Н . , симметричные по индексам аиЬ, определяются с учетом (3.2.5 ) и (3.2.5”) по формулам:
