Введение к работе
Актуальность темы.
Множество С(Х) всех непрерывных вещественнозначных функций на тихоновском пространстве X обладает различными топологиями. Идея прозрачного описания предельного перехода во множестве функций достигается средствами общей топологии — путем определения той или иной естественной топологии на множестве непрерывных функций С(Х): отражающей свойства связываемых функциями пространств. На множестве С(Х) топологии можно вводить различными неэквивалентными способами, и каждая из возникающих топологий имеет свои преимущества в определенных ситуациях.
Исторически изучение пространств непрерывных отображений из одного топологического пространства в другое активно ведется с конца XIX века. Первые топологии на пространствах функций вводились с целью изучения различных видов сходимости функциональных последовательностей; это были топология поточечной сходимости и топология равномерной сходимости на всем пространстве. Первыми работами, посвященными этой тематике были статьи Асколи1, Арцела2 и Адамара3.
В 1906 году на пространстве отображений из топологического пространства X в произвольное метрическое пространство Y Фреше4 впервые рассмотрел supremum metric, и соответствующую ей топологию.
Топология равномерной сходимости на С(Х) задается базой в каждой точке / Є С(Х). Эта база состоит из всех множеств вида
{дєС(Х): sup{\g(x)-f(x)\} <є}.
Естественным обобщением этой топологии является топология равномерной сходимости на элементах семейства А (А-топология), где А — фиксированное семейство непустых подмножеств пространства X. Базу А-топологии в точке / Є С(Х) образуют все множества вида
{д Є С(Х): sup{\g(x) - f(x)\} < є}, где F є А и є > 0.
Если в качестве семейства А взять все конечные подмножества про-
1Ascoli G., "Le curve limite di una varieta data di curve". Mem. Accad. Lincei, 1883, v.(3)18, p.521—586. 2Arzela G , "Funzioni di Knee". Atti della Reale Accademia dei Lincei, Rendiconti v.5, 1889, p.342—348. 3Hadamard J., "Sur certaines applications possibles de la theorie des ensembles". Verhandle. Eastern Intern Math.Kongress, B.G.Teubner, Leipzig, 1898.
4Frechet M., "Sur quelques points du calcul functionnel". Rend. del.Circ.Mat.di Palermo, 1906 p. 1—74.
странства X, то получившаяся топология называется топологией поточечной сходимости на пространстве СР(Х); если взять все компактные подмножества X — топологией равномерной сходимости на компактах, или компактно-открытой на пространстве СС(Х).
В 1945 году Фокс5 определил компактно-открытую топологию СС(Х), предбазу которой образуют все множества вида
{/ Є С(Х): f(F) С U}, где F — компактное подмножество пространства X, a U — открытое подмножество числовой прямой. Заметим, что топология поточечной сходимости может быть определена похожим образом: заменой в определении предбазы компактных подмножеств конечными.
В следующем, 1946 году Арене6 ввел понятие допустимой топологии на С(Х, Y) (т.е. топологии, для которой непрерывно отображение вычисления), а в 1951 году Арене и Дугунджи7 определили собственные топологии. В дальнейшем компактно-открытая топология изучалась Джексоном8, Моритой 9, Келли10 и другими.
На пространствах непрерывных отображений рассматривались и другие типы топологий. В 1969 году Крикорян11 впервые рассмотрел тонкую топологию, которая является обобщением топологии, порожденной supremum metric. В дальнейшем эта топология исследовалась Эклун-дом12, МакКоем13 и другими топологами.
В конце 60-х годов активно изучалась топология графиков — здесь окрестности функций из С(Х, Y) определяются окрестностью их графиков в X х Y. Отождествляя функции с их графиками, МакКой14 рас-
5Fox R. Н., "On topologies for fuction spaces". Bull. Amer. Math. Soc, 1945, v.51, p. 429—432.
6Arens R., "A topology of spaces of transformations". Annals of Math., 1946, v.47, p.480—495. 7Arens R. , Dugundji J., "Topologies for functions spaces". Pacific J. Math., 1951, v.l , p.5—31. 8Jackson J. R., "Spaces of mappings on topological products with appliances to homotopy theory". Proc. Amer. Math. Soc, 1952, v.3, p. 327-333.
9Morita K., "Note of mapping spaces". Proc. Japon Acad., 1956, v.32, p.671—675.
10Kelley J. L., "General topology". — Van Nostrand, New York, 1955.
nKrikorian N ., "A note concerning the fine topology on function spaces". Composito Math., 1969, v.21, p.343-348.
12Eclund A. D. — The fine topology and other topologies on C(X, Y). — Dissertation, Virginia Politehnic Institute and State University, Blacksburg, Virginia, 1978.
13McCoy R. A. — The topology on function spaces. — Intern.J.Math, and Math., Sci, 1986, v.9, p.417— 424.
14McCoy R. A. , Ntantu I., "Topological Properties of Spaces of Continuous Functions". Berlin: Springer-Verlag, Lecture Notes in Mathematics, 1315, 1988, 124pp.
сматривал пространство С(Х, Y) как подпространство пространства замкнутых подмножеств произведения X х У, наделенное топологией Вье-торисса.
И все же наиболее известные топологии на пространстве отображений С(Х, Y) — это топология поточечной сходимости и компактно-открытая, одно из достоинств которых состоит в том, что они линейны. Существует несколько естественных обобщений этих топологий: множественно-открытая топология, слабо множественно-открытая топология и топология равномерной сходимости на элементах семейства подмножеств пространства X. Некоторые свойства этих топологий и их взаимотношения описаны в монографиях Маккой и Нтанту15 и А.В. Архангельского16. Множественно-открытой топологии и топологии равномерной сходимости посвящены кандидатские диссертации М.О. Асанова17, С.Э. Нохрина18 и М.И. Альперина19 в которых установлено несколько утверждений, связанных с кардинальнозначными инвариантами пространства функций.
Множественно-открытая топология является обобщением компактно-открытой топологии и топологии поточечной сходимости. Множественно-открытая топология на семействе А — непустых подмножеств пространства X (Л-открытая топология) была впервые введена Р. Аренсом и Ж. Дугунджи 20. Предбазу Л-открытой топологии образуют все множества вида {/ Є С(Х): f(F) С U}, где F Є Л, a U — открытое подмножество числовой прямой.
Топология равномерной сходимости на семействе ограниченных подмножеств (ограниченно-открытая топология) была определена в 1970 году Бухвалтером21. Предбазу такой топологии образуют все множе-
15МсСоу R. A. , Ntantu I., "Topological Properties of Spaces of Continuous Functions". Berlin: Springer-Verlag, Lecture Notes in Mathematics, 1315, 1988, 124pp.
16Архангельский А.В., "Пространства отображений и кольца непреывных функций". Итоги науки и техники, фундаментальные направления, т.51, с.81—172.
17Асанов М.О., "Пространство непрерывных отображений". Диссертация на соискание ученой степени к.ф-м.н., Свердловск, 1980г.
18Нохрин С.Э., "Пространство непрерывных функций в множественно-открытых топологиях". Диссертация на соискание ученой степени к.ф-м.н., Екатеринбург, 1997г.
19Альперин М.И., "Вложение пространств функций". Диссертация на соискание ученой степени к.ф-м.н., Екатеринбург, 1994г.
20Arens R. , Dugundji J., "Topologies for functions spaces". Pacific J. Math., 1951, v.l , p.5—31.
21Buchwalter H., "Parties barnees d'un espace topologique completment regulier". Sem. Choquet: 1969/70. Initiation а Г Analyse Fasc. 2, Exp. 14. Paris: Secretariat mathematique, 1970. 15 p.
ства вида {/ Є С(Х): f(F) С U}, где F — ограниченное подмножество пространства X, a U — открытое подмножество числовой прямой. Слабо множественно-открытая (слабо Л-открытая) топология на семействе произвольных подмножеств Л является естественным обобщением ограниченно-открытой топологии. Предбазу слабо Л-открытой топологии образуют все множества вида
{/ Є С(Х): f(F) С U}, где F Є Л, a U — открытое подмножество числовой прямой.
Основными объектами исследования диссертационной работы являются пространства С\(Х) и С\*(Х) — всех непрерывных вещественнознач-ных функций в Л-открытой и слабо Л-открытой топологиях.
Почти все вопросы, исследуемые в диссертации, имеют следующий общий вид: какими свойствами должны обладать пространство X и семейство Л, чтобы пространства С\(Х) и С\*(Х) обладали теми или иными "хорошими" свойствами. И наоборот, пусть С\(Х) (или С\*(Х)) — в каком-либо смысле "хорошее" пространство. Что можно в этом случае сказать об топологических свойствах пространства X и семействе Л ?
Рассматривая эти вопросы, видим, что пространства X и С\(Х) не равноправны: на X есть только топологическая структура, в то время как С\(Х) несет топологию и две естественные алгебраические операции — сложения и умножения.
Это позволяет рассматривать С\(Х) (или С\*(Х)) в зависимости от семейства Л как топологическое пространство, как топологическое кольцо, топологическую группу или как линейное топологическое пространство, что открывает возможность исследовать свойства пространства X и семейства Л в соответствии с тем, определяются ли они алгебраической структурой кольца С(Х): зависят ли от свойств С\(Х) как линейного топологического пространства или могут быть полностью охарактеризованы чисто топологическими свойствами пространства С\(Х).
Цель работы. Работа посвящена исследованию тополого-алгебраических свойств множества С(Х): наделенного множественно-открытой или слабо множественно-открытой топологией.
Целью работы является решение следующих задач.
1) Выделение свойств пространства X и семейства Л, которые харак-
теризуются одними лишь топологическими свойствами С\(Х).
-
Выделить свойства пространства X и семейства Л, отвечающие свойствам топологического векторного пространства С\(Х).
-
Какие свойства X и семейства Л зависят от свойств С\(Х) именно как топологического кольца или топологической алгебры?
-
Найти свойства пространства X и семейства Л, характеризующиеся одними групповыми свойствами С\(Х).
-
Исследовать аналогичные вопросы для множества С(Х) в слабо множественно-открытой топологии.
-
Изучить свойства семейства Л при котором множественно-открытая (слабо множественно-открытая) топология совпадает с топологией равномерной сходимости на семействе Л.
-
Найти внутренние характеристики S(n) компактно функционально замкнутых (S(n)CFC) пространств.
-
Исследовать вопрос о мультипликативности подклассов неуплотня-емых пространств.
Основной метод исследования. В диссертации используются методы общей топологии, функционального анализа и теории множеств, развитые в работах отечественных и зарубежных математиков.
Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми.
-
Решается вопрос о совпадении А-открытой топологии и А-топологии на множестве C(X,Y): где Y — метризуемое топологическое векторное пространство (ТВП) или дискретное пространство.
-
Получены свойства семейства А необходимые и достаточные для того чтобы пространство C\(X,Y): где Y — метризуемое ТВП, являлось топологической группой, ТВП, топологической алгеброй.
3) Определяется С-компактно-открытая топология на множестве
С(Х) и изучаются топологические свойства пространства СГС(Х) такие,
как субметризуемость, сепарабельность, метризуемость, полнота по Чеху,
вторая и первая аксиомы счетности и другие.
4) Строится пример топологического пространства X у которого мно
жество функций С(Х) обладает различными (не гомеоморфными) клас
сическими множественно-открытыми топологиями.
-
Получены свойства семейства Л необходимые и достаточные для того чтобы множество C(X,Y): наделенное слабо множественно-открытой топологией, являлось топологической группой, ТВП, топологической алгеброй.
-
Получен ответ на вопрос Н.В.Величко22 о существовании внутреннего (без привлечения vX) критерия для веса пространства С\*(Х).
-
Получен ответ на вопрос Н.В.Величко23 о компактности семейства Л при условии, что пространство С\*(Х) линделёфово и уплотняется на пространство СР(Х).
-
Решается задача Фредлера, Джироу, Петтей и Портера24 о внутренней характеризации минимально урысоновских пространств.
-
Получен ответ на вопрос Фредлера, Джироу, Петтей и Портера25 о внутренней характеризации минимально регулярных пространств.
10) Решается проблема 1984 года, поставленная Дикманом и Порте
ром26, о произведении CFC-пространств.
Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации носят теоретический характер. Они могут найти применение при дальнейшем исследовании тополого-алгебраических свойств функциональных пространств в общей топологии, теории дифференциальных уравнений, функциональном анализе, топологической алгебре и теории меры.
Апробация результатов работы. Основные положения и работа в целом докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах.
-
Международной конференции посвященной памяти Л.В. Келдыш (г. Москва, 2004).
-
Всероссийские молодежные конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики"(г. Екатеринбург, 1998-2011).
22N.V. Velichko, "A-Topologies on Function Spaces". Journal of Mathematical Sciences, 131, No. 4, (2005), pp. 5701-5737, Вопрос 1.
23Там же. Вопрос 4.
24L. М. Friedler, М. Girou, D. H. Pettey and J. R. Porter, "A survey of R-, U-, and СЯ-closed spaces Topology Proceedings, (1992), Vol. 17, 71-96, Question 40.
25Там же. Question 39.
26R.F. Dickman, J.R. Porter, "Between minimal Hausdorff and compact Hausdorff spaces". Topology Proceedings (1984), Vol. 9, 243-268.
3) International conference on topology and its applications (Aegion,
Greece, 2006).
-
Первом Российском Научном Форуме "Демидовские чтения"на Урале (г. Екатеринбург, 2006).
-
Международной конференции по математике и механике, посвященной 130-летию Томского государственного университета (г. Томск, 2008).
-
International conference on topology and its applications (Brno, Czech Republic, 2009).
-
International conference on topology and its applications (Nafpaktos, Greece 2010).
-
Международной конференции по алгебре и геометрии, посвященной 80-летию со дня рождения А.И. Старостина (г. Екатеринбург, 2011).
-
International conference on topology and its applications (Islamabad, Pakistan, 2011).
-
11th Prague Topological Symposium (Praga, Czech Republic, 2011).
-
Международной молодежной школе-конференции "Современные проблемы математики "(г. Екатеринбург, 2012).
-
На топологическом семинаре под руководством Н.В. Величко в ИММ УрО РАН (г. Екатеринбург).
-
На топологическом семинаре кафедры общей топологии и геометрии под руководством В.В. Федорчука в Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова (г. Москва).
-
На семинаре по топологии и функциональному анализу под руководством СП. Гулько в Томском государственном университете (г.Томск).
-
На теоретико-множественном семинаре под руководством С. Фридмана в Венском государственном университете (г. Вена).
Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 30 печатных работ, список которых представлен в конце автореферата, 12 из них представлены в изданиях из перечня ВАК.
Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, четырёх глав, разбитых на параграфы, и списка литературы. Ссылка на теорему 2.1.5 означает, что эта теорема находится в параграфе 1 главы 2. Объем диссертации составляет 210 страниц машинописного текста и содержит 110 библиографических ссылок.
