Содержание к диссертации
Введение
1 Предварительные сведения 34
1.1 Равномерные структуры 36
1.2 Ограниченные подмножества произведений 41
1.3 (Кусочно) полуравномерные произведения 46
1.4 Топологические группы 51
1.5 Топологические группы преобразований 55
1.6 Спектральные представления пространств 62
2 d- открытые действия 67
2.1 Элементарные свойства d-открытых действий 67
2.2 Равномерные структуры, порождаемые -открытыми действиями 75
2.3 Вполне ограниченные действий 84
2.4 Транзитивность и "а?-открытость"действий 87
3 G-расширения 94
3.1 Общий (равномерный) критерий продолжения действий 94
3.2 Топология произведения G х X и существование G-расширений 98
3.3 Характеризация действий равномерностями на произведении
3.3.1 Ограниченные действия 105
3.3.2 Равномерно равностепенно непрерывные действия 108
3.3.3 Квазиограниченные действия 111
3.4 Полурешетка бикомпактных G-расширений 115
3.5 Расширения пространств с d-открытым действием 122
4 Связь спектральных представлений действующих групп и пространств 134
4.1 d-открытые действия инфраметризуемых групп 134
4.2 Факторизация фазового пространства по гомоморфизму группы 139
4.3 Связь семейств отображений на группе и фазовом пространстве 142
4.4 Замена действущей группы с сохранением d-открытости действия 154
5 Топология действий и однородность 158
5.1 Сильная локальная однородность 158
5.1.1 Обобщение сильной локальной однородности 158
5.1.2 Расширения сильно локально однородных пространств 167
5.2 Счетная плотная однородность и G-бикомпактификации Q .175
5.2.1 Счетно плотно однородные пространства 175
5.2.2 G-бикомпактификации Q 179
5.3 Алгебраическая однородность бикомпактов 182
- Спектральные представления пространств
- Равномерные структуры, порождаемые -открытыми действиями
- Равномерно равностепенно непрерывные действия
- Обобщение сильной локальной однородности
Введение к работе
Актуальность темы. В диссертации проводится исследование пространств с дополнительной алгебраической структурой — их группами преобразований. Решаются следующие задачи: о свойствах пространств с действием подгрупп произведения полных по Чеху групп; об условиях алгебраической однородности G-пространств; о редукции действий; о роли структуры произведения G х X в продолжении действий; о строении полурешеток G-бикомпактификаций. Приведем кратко постановки и предистории этих задач.
В Эрлангенской программе Феликсом Клейном в основу изучения геометрии положено учение об „автоморфизмах" — преобразованиях, сохраняющих все рассматриваемые в этой геометрии свойства фигур. В топологии роль преобразований отводится гомеоморфизмам. Если, дополнительно, группу гомеоморфизмов пространства наделить топологией, в которой ее действие становится непрерывным, то как сама топология группы преобразований, так и топология ее действия становятся мощными исследовательскими инструментами в изучении взаимных связей между свойствами пространств, их групп преобразований и их действий. Например группа гомеоморфизмов компакта допускает топологию польского пространства, согласованную со структурой группы, в которой действие непрерывно. При непрерывном транзитивном действии компактной группы фазовое пространство диадично. Теорема Е. Эффроса 1, эффективно применяемая в теоремах о неподвижных точках, в исследованиях однородности 2, демонстрирует, что условие открытости транзитивного действия польской группы на метризуемом пространстве эквивалентно тому, что последнее является польским пространством. Л. Н. Ивановский 3 и В. И. Кузьминов 4, отвечая на вопрос П. С. Александрова, установили, что пространство бикомпактной топологической группы является диадическим бикомпактом. Позже М. М. Чобан 5 доказал, что всякий С^-бикомпакт в произвольной топологической группе или факторпространстве почти метризуемой группы по ее замкнутой подгруппе является диадическим. Б. А. Пасынков 6 усилил результаты М.М. Чобана, установив, что бикомпакты, в рассмотренных случаях, являются бикомпактами Дугунджи.
ХЕ. G. Effros, Transformation groups and C*-algebras, Amer. J. of Mathematics 81 (2) (1965) 38-55.
2G. S. Ungar, On all kinds of homogeneous spaces, Trans. Amer. Math. Soc. 212 (1975) 393-400.
3Л.Н. Ивановский, Об одной гипотезе П. С. Александрова, Докл. АН СССР 123 (5) (1958) 785-786.
4В.И. Кузьминов, О гипотезе П. С. Александрова в теории топологических групп, Докл. АН СССР 125 (4) (1959) 727-729.
5М. М. Чобан, Топологическое строение подмножеств топологических групп и их факторпро-странств, Мат. исследования, Топологические структуры и алгебраические системы, Штиинца, Кишинев 44 (1977) 117-163.
6Б. А. Пасынков, Почти метризуемые топологические группы, Докл. АН СССР 161 (2) (1965) 281— 284.
Приведенные примеры такого рода связей дают основания считать, что рассмотрение пространства вместе с дополнительной алгебраической структурой, согласованной с его топологией, налагает в ряде случаев весьма сильные ограничения на свойства самого пространства, что и послужили основой для постановки А. В. Архангельским 7 следующей общей задачи. Пусть на топологическом пространстве непрерывно действует топологическая группа из некоторого класса. Как это сказывается на свойствах пространства?
Дальнейшие исследования В. В. Успенского показали, что любая топологическая группа или факторпространство ^о-уравновешенной группы
о<і-пространства, т.е. обладают свойством типа Дугунджи 8. В частности, если они бикомпактны, то являются бикомпактами Дугунджи 9, если псевдокомпактны, то их стоун-чеховские бикомпактификации — бикомпакты Дугунджи 8 10. Псевдокомпактное G-пространство с транзитивным действием ^о-ограниченной группы — ^-пространство, а его стоун-чеховская бикомпактификация — бикомпакт Дугунджи 8. В частности, если оно бикомпактно, то является бикомпактом Дугунджи 9. Бикомпактное (^-подмножество факторпространства группы по равномерной подгруппе
бикомпакт Дугунджи и.
Все рассматриваемые транзитивные действия в приведенных выше результатах обладают тем свойством, что они фактически определяют топологию фазового пространства. Тем самым при рассмотрении действий групп на пространствах, которые определяют топологию последних, есть основания ожидать, что некоторые свойства групп перенесутся и на пространства.
Понятие (i-открытого или слабо микро-транзитивного действия введено в работе Ф. Анцеля 12 при альтернативном доказательстве теоремы Эфф-роса. Отметим, что аналогичный подход к ее доказательству под названием принципа открытости отображений рассматривался X. Торунчиком. Данное им название связано с фундаментальной теоремой функционального анализа об открытости отображения: непрерывное сюръективное линейное отображение пространств Фреше (которые полно метризуемы) открыто.
7А. В. Архангельский, Топологическая однородность. Топологические группы и их непрерывные образы, УМН 42 (2) (1987) 69-105.
8В.В. Успенский, Топологические группы и компакты Дугунджи, Матем. сб. 180 (8) (1989) 1092-1118.
9В. В. Успенский, Компактные факторпространства топологических групп и спектры Хейдона, Матем. заметки 42 (4) (1987) 594-602.
10W. Comfort, К. Ross, Pseudocompactness and uniform continuity in topological groups, Pacific J. of Math. 16 (1966) 483-496.
nS. Hernandez, M. Sanchis, Dugundji spaces in the coset space G/H, Papers on general topology and applications (Flushing, NY, 1992), Ann. New York Acad. Sci., 728 (1994) 262-268.
12F.D. Ancel, An alternative proof and applications of a theorem of E.G. Effros, Michigan Math. J. 34 (1) (1987) 39-55.
Ее вариант для банаховых пространств принадлежит С. Банаху. Т. Быч-ковский и Р. Поль 13 доказали теорему открытости для почти открытого (т.е. ^-открытого) уплотнения полного по Чеху пространства на хаусдор-фово пространство. Л. Браун доказал теорему открытости для почти открытого гомоморфизма полной по Чеху топологической группы 14. Для d-открытых действий полных по Чеху групп выполнена теорема открытости 15. <і-открьітость действий оказалось достаточно продуктивным в решении вопроса алгебраической однородности однородных пространств 12Л6; успешно используется при исследовании G-бикомпактификаций 17 18 19; позволяет строить информативную решетку ^-открытых отображений на пространстве (свойства типа Дугунджи) 8 19.
Другой особенностью исследований в приведенных выше результатах является использование метода обратных спектров, появившегося в результате введенния П. С. Александровым понятия проекционного спектра. Его основными применениями в топологии явились как построения пространств с заданными свойствами, так и изучение сложных пространств, аппроксимируя их более простыми. Примером первого вида применения является созданный В. В. Федорчуком 20 метод развертываемых спектров и вполне замкнутых отображений. Важным примером второго вида применения является результат С. Мардешича 21 о том, что всякий бикомпакт является пределом обратного спектра из компактов, размерность которых не превосходит размерности исходного бикомпакта и его метризуемый аналог — теорема Фрейденталя 22. Л. С. Понтрягиным 23 получено спектральное представление бикомпактных топологических групп — их разложение в ряд Ли. Его идея непрерывности трансфинитного спектра позволила Р. Хейдо-ну 24 дать спектральную характеризацию бикомпактов Дугунджи, введенных А. Пелчинским 25. Дальнейшее развитие метода обратных спектров
13Т. Byczkowski, R. Pol, On the closed graph and open mapping theorems, Bull. Acad. Polon. Sci. Math. 24 (9) (1976) 723-726.
14L. G. Brown, Topologically complete groups, Proc. Amer. Math. Soc. 35 (2) (1972) 593-600.
15K. Л. Козлов, Топология действий и однородные пространства, Матем. сб. 204 (4) (2013) 127-160.
16А. A. George Michael, On transitive topological group actions, Topol. Appl. 157 (13) (2010) 2048-2051.
17V. Chatyrko, K. Kozlov, The maximal G-compactifications of G-spaces with special actions, Proceedings of the 9-th Prague Topological Symposium (Prague 2001). 2002. 15-21.
18K. Л. Козлов, В. А. Чатырко, О бикомпактных G-расширениях, Мат. заметки 78 (5) (2005) 695-709.
19К.Л. Козлов, В. А. Чатырко, Топологические группы преобразований и бикомпакты Дугунджи, Матем. сб. 201 (1) (2010) 103-128.
20В. В. Федорчук, Вполне замкнутые отображения и совметимость некоторых теорем общей топологии с аксиомами теории множеств, Матем. сб. 99 (1) (1976) 3-33.
21S. Mardesic, On covering dimension and inverse limits of compact spaces, Illinois Journ. of Math. 4 (1960) 278-291.
22H. Freudenthal, Entwicklungen von Raumen und ihren Gruppen, Composition Math. 4 (1937) 154-234.
23Л.С. Понтрягин, Непрерывные группы. М.: Наука, 1973.
24R. Haydon, On a problem of Pelczyfiski: Milutin spaces, Dugundji spaces and AE(dimO), Studia Math. 52 (1) (1974) 23-31.
25A. Pelczynski, Linear extensions, linear averagings and their applications. Diss, math., 58, Warszawa:
в исследовании бикомпактов проведено Е. В. Щепиным . Им полу-
чена спектральная теорема об изоморфности конфинальных подспектров несчетных спектров, пределы которых гомеоморфны, решается задача об адекватности классов бикомпактов классам отображений, вводится класс открытопорожденных или >-метризуемых бикомпактов.
Метод обратных спектров успешно применяется и в не бикомпактном случае (Е. Г. Скляренко, Б. А. Пасынков, А. В. Архангельский, А. Ч. Чиго-гидзе, М. Г. Ткаченко, Д. Б. Шахматов, В. Валов, В. Кульпа и др.). Анализ характеризации бикомпактов Дугунджи, предложенный Е. В. Щепиным, позволил В. В. Успенскому 8 определить (od-)^-пространства — классы не бикомпактных пространств, соответствующих классу бикомпактов Дугунджи. Введенное понятие позволило рассматривать с единой точки зрения топологические группы, произведения пространств со счетной сетью и бикомпакты Дугунджи. Понятия ^-метризуемости и ^-пространства также позволили осмысленно распространить результаты, полученные методом обратных спектров для бикомпактов, на класс псевдокомпактных пространств.
Вложение объекта в объект с хорошими свойствами является действенным методом исследований и используется в различных областях математики. В топологии под расширением пространства X понимаются пространства, в которые X вложено всюду плотным образом. Изучение би-компактификаций (бикомпактных расширений) пространств было начато К. Каратеодори и получило свое развитие в работах П. С. Александрова, М. Стоуна, А. И. Тихонова, Е. Чеха и других. Наиболее популярными являются максимальная бикомпактификация Стоуна-Чеха и одноточечная Александровская бикомпактификация. Большую роль играют и некомпактные расширения. Ф. Хаусдорф перенес метод Кантора на построения пополнений метрических пространств. Е. Хьюитт показал важность „вещественной компактификации" пространства X для изучения кольца С(Х) всех непрерывных вещественных функций на нем. Введенное А. Вейлем понятие равномерной структуры, и появившийся общий мощный метод построения пополнений равномерных пространств, дали возможность строить расширения тихоновских пространств, которые полны по Дьедонне.
Расширения топологического пространства, на которые может быть продолжено действие a : G х X —> X с сохранением непрерывности, называются G-расширениями. Рассмотрение продолжений действий с сохранением непрерывности началось с бикомпактификационной проблемы Я. де Гроота: любое ли G-пространство G-тихоновское (т.е. имеет бикомпактное
26Е. В. Щепин, Топология предельных пространств несчетных обратных спекторв, УМН 31 (5) (1976) 191-226.
27Е. В. Щепин, О х-метризуемых пространствах, Изв. АН СССР. Сер. матем. 43 (2) (1979) 442-478.
28Е. В. Щепин, Функторы и несчетные степени компактов, УМН 36 (3) (1981) 3-62.
G-расширение)? Я. де Врис охарактеризовал G-тихоновские пространства,
используя равномерные структуры и понятие ограниченного действия . Я. де Врис 30 и Ю. М. Смирнов в работе 31 привели характеризацию G-тихоновских пространств через разделяющие кольца G-равномерных функций, М. Мегрелишвили получил характеризацию с использованием квазиограниченных действий 32. Достаточное условие (квазиограниченность действия) возможности продолжения действия с сохранением непрерывности предложено М. Мегрелишвили. Квазиограниченные действия обобща-
зз ют ограниченные и равномерно равностепенно непрерывные действия .
Кроме того, квазиограниченность действия гарантирует возможность продолжения действия пополнения группы по двусторонней равномерности. Им также построен первый пример G-пространства, не являющегося G-тихоновским 34. A.M. Соколовской построен пример псевдокомпактного G-пространства, не являющегося G-тихоновским 35.
Вопросы о максимальных элементах в полурешетке G-бикомпактифика-ций G-тихоновских пространств рассматривались Р. Бруком 36, Ю. М. Смирновым в 37 38. Э. ван Дауэн 39 установил, что Стоун-Чеховская бикомпак-тификация /г-однородного пространства — единственная бикомпактифи-кация, на которую продолжаются все его гомеоморфизмы. Я. ван Мил л 40 показал, что если X — однородный компакт такой, что Х\{х} — CDH пространство для любой точки х Є X, то тогда существует польская группа G, которая на любом счетном всюду плотном подмножестве А компакта X допускает транзитивное действие, при котором X является единственной G-бикомпактификацией А.
Ю. М. Смирнов в работе 31 установил взаимно однозначное соответствие между G-бикомпактификациями (бикомпактными G-расширениями)
29J. de Vries, On the existence of G-compactifications, Bull. Acad. Polon. Sci. Ser. Sci. Math. Astronom. Phys. 26 (3) (1978) 275-280.
30J. de Vries, Equivariant embeddings of G-spaces, General topology and its relations to modern Analysis and Algebra IV. Part B. Prague (1977) 485-493.
31C. А. Антонян, Ю. M. Смирнов, Универсальные объекты и бикомпактные расширения для топологических групп преобразований, Докл. АН СССР 257 (3) (1981) 521-525.
32М. Г. Мегрелишвили, Эквивариантные пополнения и бикомпактные расширения, Сообщения АН Грузинской ССР 115 (1) (1984) 21-24.
33И.Н. Бронштейн, Расширения минимальных групп преобразований. Кишинев: Штиинца, 1975.
34М. Г. Мегрелишвили, Тихоновское G-пространство, не обладающее бикомпактным G-расширением и G-линеаризацией, УМН 43 (2) (1988) 145-146.
35А. М. Sokolovskaya, G-compactifications of pseudocompact G-spaces, Topology Appl. 155 (4) (2009) 342-346.
36R. B. Brook, A construction of the greatest ambit, Math. Systems Theory 4 (1970) 243-248.
37Ю.М. Смирнов, Могут ли простые геометрические объекты быть максимальными компактными расширениями для R, УМН 49 (6) (1994) 213-214.
38Ю.М. Смирнов, Минимальные топологии на действющих группах, УМН 50 (6) (1995) 217-218.
39Е.К. van Douwen, Characterizations of /?Q and /Ж, Arch. Math. (Basel), 32 (4) (1979) 391-393.
40J. van Mill, On the G-compactifications of the rational numbers, Monatsh Math. 157 (3) (2009) 257-266.
и инвариантными близостями, согласованными с действием. Я. де Врис 41 и Ю. М. Смирнов в работе 31 установили, что при биекции Гельфанда-Шилова G-бикомпактификациям соответствуют замкнутые кольца G-равно-мерных функций, содержащие постоянные функции. М. Мегрелишвили установил взаимно однозначное соответствие между G-бикомпактификациями
и вполне ограниченными эквиравномерностями .
Вопрос о существовании наименьших и минимальных G-бикомпактифи-каций в полурешетке бикомпактификаций рассматривался Ю.М. Смирновым и Л. Стояновым 42. А. М. Соколовской 43 установлено существование минимальных, но не наименьшей G-бикомпактификации.
М.М. Чобан применил редукционный подход 5 44, заменив открытое действие полной по Чеху группы на открытое действие ^о-ограниченной группы, что было использовано В. В. Успенским в работах 8 9. Для SLH пространств Я. ван Милл показал, что сеперабельное метризуемое (соответственно польское) SLH пространство является пространством левых смежных классов сепарабельной метризуемой 45 (соответственно польской 46) группы. Класс SLH пространств введен Л. Фордом 47 и важен сам по себе, так как он содержит однородные нульмерные пространства и топологические многообразия. Любое SLH пространство является алгебраически однородным.
Цель работы.
Целью работы являются:
получение спектрального представления пространства по спектральному представлению действующей группы;
построение теории d-открытых действий;
выявление роли структуры произведения в вопросе продолжения действий;
изучение полурешеток G-бикомпактификаций.
41J. de Vries, Linearization, compactification and the existence of non-trivial compact extensors for topological transformation groups, Proceedings of the Conference Topology and Measure III. Part 2. Greifswald (1982) 339-346.
42Yu. M. Smirnov, L. N. Stoyanov, On minimal equivariant compact extensions, Comptes rendus de l'Academie bulgare des Sciences 36 (6) (1983) 733-736.
43A. M. Соколовская, Один метод построения полурешеток бикомпактных С-расширений, Мат. заметки 82 (6) (2007) 916-925.
М. М. Чобан, Редукционные теоремы о существовании непрерывных сечений. Сечения над подмножествами факторпространств топологических групп, Мат. исследования, Топологические структуры и алгебраические системы, Штиинца, Кишинев 4 (1973) 111-156.
45J. van Mill, Strong local homogeneity and coset spaces, Proc. Amer. Math. Soc. 133 (8) (2005) 2243-2249.
46J. van Mill, Homogeneous spaces and transitive actions by Polish groups, Israel J. Math. 165 (1) (2008) 133-159.
47L.R. Ford, Homeomorphism groups and coset spaces, Trans. Amer. Math. Soc. 77 (1954) 490-497.
Методика исследования.
В диссертации используются методы равномерной топологии и обратных спектров.
Научная новизна.
Все результаты диссертации являются новыми. Основные из них следующие:
Получены спектральные представления пространств с (i-открытым действием, порожденные спектральными представлениями действующих групп. Установлена открытопорожденность в смысле Е. В. Ще-пина бикомпакта, являющегося факторпространством подгруппы произведения полных по Чеху групп.
Построение теории d-открытых действий. В частности доказан эк-вивариантный аналог принципа открытости отображений С. Банаха: непрерывное <і-открьітое действие полной по Чеху группы открыто. Дан критерий, когда <і-открьітость действия сохраняется при его продолжении на максимальную G-бикомпактифиацию.
Получена теорема о редукции ^-открытого действия ^о-уравновешен-ной группы на псевдокомпактном G-пространстве до аналогичного действия ^о-ограниченной группы.
Приведены достаточные условия возможности непрерывного продолжения действия на пополнения пространства X, использующие условия „прямоугольности" произведения G х X (в смысле 3. Фролика, А. Ч. Чигогидзе, Б. А. Пасынкова, Дж. Исбелла). Установлено, что любое сепарабельное метризуемое SLH пространство обладает польским SLH пополнением, которое реализуется согласовано с пополнением действующей группы.
Описано инвариантное подмножество максимальной G-бикомпактифи-кации пространства, содержащееся в его любой G-бикомпактификации. Доказано, что любой однородный CDH компакт является единственной G-бикомпактификацией пространства рациональных чисел с транзитивным действием польской группы.
Теоретическая и практическая значимость.
Предлагаемая работа имеет теоретический характер. Развитые в работе методы могут быть применены при изучении пространств, их групп гомеоморфизмов и их взаимных связей, в теории эквивариантных биком-пактификаций, при изучении однородных пространств.
Разделы диссертации могут составить содержание специальных курсов для студентов и аспирантов, обучающихся по специальности математика.
Апробация работы.
Результаты диссертации неоднократно докладывались и обсуждались на заседаниях следующих научных семинаров:
МГУ, механико-математический факультет: научно-исследовательский
семинар им.П.С.Александрова под руководством профессора В. В. Федорчука (с 1986 по 2012 гг.);
МГУ, механико-математический факультет: научно-исследовательский семинар „Современные геометрические методы" под руководством академика РАН А. Т. Фоменко, профессора А. С. Мищенко, профессора А. В. Бол-синова, профессора А. А. Ошемкова, доцента Е. А. Кудрявцевой, доцента И.М. Никонова, профессора Т. Ратью (2013 г.);
Томский государственный университет, механико-математический факультет: научно-исследовательский семинар под руководством профессора СП. Гулько (2013 г.);
Университет г. Линчепинг (Linkoping, Sweden): научно-исследовательский семинар факультета прикладной математики (2001, 2007, 2011 гг.).
Университет г. Патра (Patra, Greece): научно-исследовательский семинар математического факультета (соруководитель профессор С. Илиадис) (2008 г.).
Результаты диссертации докладывались также на следующих научных конференциях:
Международный симпозиум по топологии (IX Prague Topological Simposium) (Прага, 19-25 августа 2001);
Международная конференция по топологии и ее приложениям (2006 Internatioanl Conference on Topology and its Application) (Аегеон, Греция, 23-26 июня 2006) - приглашенный участник;
Научная конференция „Ломоносовские чтения" (Москва, апрель 2007);
Международная конференция „Дифференциальные уравнения и топология", посвященная 100-летию со дня рождения Л. С. Понтрягина (Москва, 17-22 июня 2008);
Международная конференция „Современные проблемы математики, механики и их приложений", посвященная 70-летию ректора МГУ академика В. А. Садовничего (Москва, 30 марта - 2 апреля 2009);
Международная конференция „Группы автоморфизмов и топологические структуры" (2010 Эйлат, Израиль, 19-25 июня 2010) - приглашенный докладчик;
Международная конференция по топологии и ее приложениям (2010 Internatioanl Conference on Topology and its Application) (Нафпактос, Греция, 26-30 июня 2010) - приглашенный участник;
Научная конференция „Ломоносовские чтения" (Москва, ноябрь 2011);
Международная топологическая конференция „Александровские чтения" (Москва, 21-25 мая 2012);
Международная конференция, посвященная 120-летию Стефана Банаха (Львов, Украина, 17-21 сентября 2012);
Четвертая международная конференция, посвященная 90-летию чл.-корр. РАН Л. Д. Кудрявцева (Москва, 25-29 марта 2013).
Публикации.
Основные результаты диссертации опубликованы в 12 работах из официального перечня ВАК. Полный список работ приводится в конце автореферата [1-31].
Структура и объём работы.
Диссертация занимает 196 страниц текста и состоит из введения, пяти глав, разбитых на двадцать два раздела с семью подразделами и списка литературы, включающим 122 наименования. Нумерация утверждений тройная — номер главы, номер раздела и собственный номер, например, лемма 3.2.1 — лемма 1 второго раздела третьей главы.
Спектральные представления пространств
Предварительные сведения
Все пространства, если противное не оговорено, предполагаются тихоновскими, отображения непрерывными. Придерживаемся обозначений из [46]. Под окрестностью понимается открытая окрестность, clxA, intxA — замыкание и внутренность множества А в пространстве X соответственно.
Лемма 1.0.1. Для всюду плотного подмножества X пространства У и любого подмножества Z в X выполнено следующее тождество X n inty(cly(Z)) = mtx{c\x(Z)). Доказательство. Заметим, что X П inty(cly(Z)) С X П cly(Z) = clx(Z). Поэтому X П inty(cly(Z)) С mtx(c\x(Z)). Для произвольной точки у Є mtx(clx{Z)) существует ее окрестность W в X такая, что W С c\x(Z). Следовательно, у Є W С cly(W) С cly(Z) для окрестности W точки у в У такой, что W всюду плотно в W. Тем самым intx(clx(Z)) С inty(cly(Z)), что доказывает выполнение обратного включения. Отображение / : X —У У называется d-открытым [108] (отметим, что дополнительно требуется непрерывность действия) или почти открытым [58], если для любого открытого подмножества О в X выполнено f(O) С int(cl(/(0))). Предложение 1.0.1. Пусть f : X — У - d-открытое отображение. Тогда для всюду плотного подмножества А в X сужение f\A : А — f(A) отображения f на А и f(A) является d-открытым. Доказательство. Для произвольного открытого подмножества V С А возьмем открытое подмножество V Є X такое, что V C\A = V. Легко видеть, что f{V) С f{V) С inty(cly(/(V"))) = inty(cly(/(y))). По лемме 1.0.1 (где X = ДА), Y = cly(/(X))) имеем f(A) n inty(cly(/(V))) = int/M)(cl/( 1)(/(V))). Тем самым предложение доказано. Если на множестве даны две топологии т С т\, то будем говорить, что топология т\ сильнее Т2 [т\ гг). Топологическое пространство X с топологией г при необходимости будем обозначать (X. т).
Положим / = [0,1], S - окружность, N, Q и R - натуральные, рациональные и вещественные числа соответственно. Обозначим через С(Х, I) — семейство непрерывных отображений (функций) пространства X в /, С(Х) — семейство непрерывных отображений (функций) пространства X вШиС (Х) — семейство непрерывных ограниченных отображений (функций) пространства 1в1. Для функции / Є С(Х) через ОБСД/ обозначается колебание функции / на множестве А С X. Отображение / : X — Y называется z-замкнутым, если образ f(F) любого функционально замкнутого подмножества F ъ X замкнут в Y.
Компакт — метризуемый бикомпакт. Через /ЗХ обозначается Стоун-чеховская бикомпактификация пространства X, через аХ — одноточечная Александровская бикомпактификация локально бикомпактного пространства X. Метрика на пространстве согласована с топологией. Пространство называется польским, если оно сепарабельно и на нем существует полная метрика.
Всю необходимую информацию о решетках можно найти, например, в [6]. Пусть ш\ = {Ua : а Є А] и и 2 = {Vp : Р Є В] — покрытия пространства X. Обозначение и\ - и 2 означает, что покрытие и \ вписано в Ш2- Звезду точки х (подмножества А) относительно покрытия ш обозначим St(x,cj) (St(A.u)). Покрытие сої (сильно) звездно вписано в покрытие сь 2, если покрытие {St(,wi) : х Є X} ({St(V,to\) : V Є со\}), вписано в и 2- Положим ui A и2 = {Ua П Vp : а Є А,/З Є В}, UJY А М = {UQ П М : а Є А}, где М С X, clu = {c\Ua : а Є А}, и Uu = [j{Ua : а Є А}. Для сюръективного отображения / : X У, покрытий u = {Ua : а Є А} пространства X и v \УР} пространства У обозначим f(u) = {f(Ua) : а Є Л} и /_1(«) = {Г1 ) : /З Є Б}.
Равномерные структуры на множестве вводятся через семейства покрытий. Необходимые сведения о равномерностях и близостях можно найти в [8], [46], [77].
Равномерность (близость), заданная на топологическом пространстве, называется согласованной с его топологией, если она индуцирует исходную топологию пространства. Ниже, если ничего дополнительно не сказано, то термин равномерность (близость) на топологическом пространстве означает согласованность равномерности (близости) с топологией пространства. Семейство всех равномерностей (близостей) на пространстве X является полной верхней полу решеткой с частичным порядком Ы\ ЬІ2, если ЬІ2 С Ы\ ( 5і 5г если из А5\В следует А -В).
Для равномерного пространства (X.U) через X или Xй обозначим пополнение пространства X относительно равномерности Ы, и через U продолжение равномерности U на пополнение X. Через fiX, vX и /ЗХ обозначаются пополнения по Дьедонне, Хьюитту и Стоун-чеховская бикомпактификация X соответственно. Для равномерности Ы на X через Us обозначается ее предком-пактная рефлексия [77, Гл. 2, Теорема 31], т.е. равномерность, базой которой являются все конечные покрытия из U. Для Y С X ограничение равномерности Ы на Y обозначается через Ы\у. Для пространства X и его полного по Дьедонне расширения X обозначим через Ьі{Х) частично упорядоченное множество равномерностей на X, пополнениями относительно которых является X. Очевидно, что оно совпадает со множеством сужений на X полных равномерностей на X. Обозначим через Umax(X) максимальный элемент ЩХ).
Для бесконечного кардинала m обозначим через Л4т семейство метризу емых пространств веса m, A4Q — семейство компактов, ТИоо — семейство всех метризуемых пространств. Считаем равномерности на пространствах из Л т, т = 0, Но,. .., оо, максимальными. Для пространства X пусть Um — инициальная равномерность на X относительно отображений / : X —» М, где М Є .Mm [8, Гл. 2, 2, Предложение 4]. Обозначаем UQ через Up, U 0 через Uu, и U через U . Тем самым имеем: ХиР = РХ, Xй" = vX и Xй» = иХ. Определение 1.1.1. Для X С У равномерности U и V на У (слабо) равны относительно X, если [Хи х = Xv x) U\x = V\x
Равномерные структуры, порождаемые -открытыми действиями
Дадим характеризацию d-открытых эквивариантных отображений С-прост-ранства с d-открытым действием. Предложение 2.1.5. Пусть f : X — Y — эквивариантное отображение G-пространства X с (с1-)открытым действием, на пространство Y с действием группы G. Тогда следующие условия эквивалентны: (a) действие на Y (d-)открыто; (b) отображение / (аі-)открьіто. Если действие на X открыто, то условия (а) и (Ь) в формулировке с открытостью также эквивалентны следующему условию: (c) / — факторотображение.
Доказательство. Покажем выполнение импликации (а)= (Ь). Пусть W — произвольное открытое подмножество X, х Є W, и у = f{x). Для доказательства (d-)открытости отображения / достаточно показать, что (у Є int(cl(/(W)))) у Є int(/(W)). В силу непрерывности действия на X существует V Є Nc(e) такая, что Vx С W. Тогда из эквивариантности отображения / имеем Vy С /(W) (и cl(Vy) С c\(f(W))). Поэтому из (б?-)открытости действия на Y имеем (у Є int(cl(Vy)) С int(cl(/(H0))) У Є int(Vy) С int(f(W)).
Покажем выполнение импликации (Ь)= (а). Пусть у Є Y, V Є Nc(e), и у = f(x). Тогда из (d-)открытости действия на X имеем (х Є int(cl(Vx))) х Є int(Vx). Поэтому из (d-)открытости и эквивариантности отображения / имеем (У = /( ) Є /(int(cl(Vx))) С int(d(/(int(cl(VaO)))) С int(cl(/(cl(Vx)))) = int(cl(/(Vx))) = int(cl(Vy))) У = f(x) Є /(int(Vx)) С mt(f(Vx)) = int(Vy). Если действие на X открыто, то нужно лишь показать выполнение им пликации (с)= (Ь). Для этого достаточно доказать, что множество f 1f{W) открыто для произвольного открытого подмножества W пространства X. Пусть х Є f lf(W). Тогда существуют у Є W и V є Nc{e) такие, что /(х) = f(y) и Vy С W. Из эквивариантности отображения / имеем Vx С f lf{W). Действие на X открыто, поэтому х Є int(Vx) С f lf(W). Тем самым открытость множества f 1 f(W) доказана. Предложение 2.1.6. Пусть X — G-пространство, Q — насыщенное относительно сопряснсения семейство подгрупп группы G такие, что для любого конечного подмножества Япп С Q подгруппа {\\Т Є GFIH} d-открыто действует в точке х Є X. Тогда группа Gg d-открыто действует в точке х. Доказательство. Любая окрестность О единицы в Gg имеет вид о = w п f]{T є gFm}, ще w є NG(e), gFm с g. Так как действие подгруппы G = f}{T є Gnu} d-открыто в точке х, то для любого элемента О Є Nc{e) (в частности для О) выполнено включение х Є int(cl(0 x)). Тем самым d-открытость действия группы Gg в точке X доказана. Очевиден следующий факт. Лемма 2.1.7. Пусть действие группы GQ на пространстве Х0 ((слабо) d-)открыто, а Є А. Тогда действие группы G = U{Ga : а Є А} на пространстве X = (&{Ха : а Є А} (определение суммы 0 см., например, в [46, Гл.2, 2.2],), определенное формулой дх = дах для g = {ga} Є G и x Є X0, а Є А, является ((слабо) d-)открытым.
Предложение 2.2.1. Пусть действие на X слабо d-открыто и семейство О С Nc{e) удовлетворяет условиям (1) — (2) леммы 1.4.1.
Тогда семейство покрытий 70 = {int(cl(Oa;)) : х Є X), О Є О, является базой псевдоравномерности Ыо на множестве X. При этом вес псевдоравномерности Ыо не превосходит веса семейства О, а топология TQ (не обязательно тихоновская), индуцируемая псевдоравномерностью Ыо, слабее топологии пространства X. Если семейство О дополнительно к условиям (1) и (2) удовлетворяет условию (3) леммы 1.4.3, то псевдоравномерность Ыо инвариантна, и X в топологии TQ — G-пространство (не обязательно тихоновское). Если дополнительно к условиям (1) и (2) действие удовлетворяет условию (2.2 ) для любых двух различных точек х.у пространства X существует элемент О Є О такой, что х и у не принадлежат одному элементу покрытия 70; то Ыо — равномерность на X.
Доказательство. Пусть В — база семейства О той же мощности, что и вес О. В доказательстве того, что семейство 7с/ = {int(cl(t/a:)) : х Є Х}} U Є В, является базой псевдоравномерности Ыо нетривиальным является лишь проверка того, что для любого U Є В существует V Є В такое, что 7v сильно звездно вписано в 7с/ Используя свойство (2) семейства О и определение его базы строятся: W Є В такое, что W2 aU\W" Є В такое, что W"2 CW ;W Є В такое, что W2 С W" и И/"1 с W". Тогда WW lW с W WW С WW с /.
По лемме 2.1.4 покрытие 7w звездно вписано в 7t/ Аналогичным образом для покрытия TW МОЖНО найти звездно вписанное в него покрытие 7V) V Є В, которое (см., например, [46, Лемма 5.1.15]) сильно звездно вписано в 7с/- Очевидно, что вес UQ не превосходит веса семейства О.
То, что топология то слабее исходной топологии на X вытекает из того, что база псевдоравномерности Ыо состоит из открытых покрытий пространства X.
Если выполнено условие (3), то для О Є О и д Є G пусть V Є О такая, что Vg С дО. Так как 7У = lvg ({int(cl(Va;)) : х Є X] = {int(cl(y x)) : х Є X}) и 910 = IgO {g{int(c\(Ox)) : x Є X} = {int(cl(gOa;)) : x Є X}), то из включения mt(c\(Vgx)) С mt(c\(gOx)), х Є X, следует, что 7У вписано в покрытие #7о- Тем самым ?7о Є Uo, и псевдоравномерность Z//Q инвариантна.
Отметим, что действие группы G на множестве X с топологией то непрерывно в точках (е, x)cGxX,xEX. Действительно, из определения топологии то имеем, что для любой окрестности О произвольной точки х Є X существует V Є О такая, что St(a;.7v) С О. Пусть W Є О такая, что W2 с V. Тогда, по лемме 1.5.1 WSt(x,yw) С St(x,7v) т.е. для W Є Nc{e) и U — внутренности в топологии то множества St(x;7H/), имеем х Є U и VVC/ С О. Поэтому, если выполнено условие (3), то остается проверить лишь непрерывность отображений а9 : X —» X, д Є G, которая будет следовать из инвариантности псевдоравномерности UQ Если действие удовлетворяет условию (2.2 ), то очевидно, что Ыо — рав номерность на X. , Так как на бикомпактном пространстве существует единственная согласованная с топологией равномерность, то из предложения 2.2.1 имеем. Следствие 2.2.1. Если X — бикомпактное пространство со слабо d-откры-тым действием, семейство О удовлетворяет условиям (1) и (2) леммы 1.4.1, а действие условию (2.2 ) предложения 2.2.1, то X — бикомпактное G-пространство.
Равномерно равностепенно непрерывные действия
В частности, если произведение G х X удовлетворяет условию прямо-уголъности, то тогда действие продолжается на стоун-чеховскую биком-пактификацию X, на пополнение по Хьюитту пространства X и пополнение по Дьедонне пространства X (в этом случае все пополнения на самом деле совпадают). Если произведение G х X сильно прямоугольно, то тогда действие продолжается на пополнение по Хьюитту пространства X и пополнение по Дьедонне пространства X.
Различные условия прямоугольности на произведении G х X являются достаточными для продолжения действия. Теорема 3.2.2. Существуют (1) G-пространство X, которое не G-тихоновское, но произведение GxX прямоугольно; (2) G-тихоновское пространство X такое, что произведение G х X не прямоугольно; (3) группа G и псевдокомпактное пространство X такие, что произведение G х X не прямоугольно; (4) G-пространство X, которое не имеет полных по Дьедонне G-расширений.
Доказательство. (1) М. Мегрелишвили в [24] построил пример метризуе-мого С-пространства с действием метризуемой группы, не являющегося G-тихоновским. Тем самым произведение GxX прямоугольно (см., например, [78, Предложение 3.1]). (2) Если произведение G х X прямоугольно, то по следствию 3.2.1 действие продолжается на \±Х. Если X псевдокомпактно, то тогда иХ = /ЗХ. А. Соколовская [106, Теорема 7] построила пример G-тихоновского пространства X, чья максимальная G-бикомпактификация не совпадает с /ЗХ. Тем самым G х X не прямоугольно. (3), (4) А. Соколовская [106, Теорема 12] построила пример псевдоком пактного G-пространства, которое не G-тихоновское. Тем самым G х X не прямоугольно, и G-пространство X не имеет полного по Дьедонне G-расширения (любое полное по Дьедонне расширение X бикомпактно). Теорема 3.2.3. Пусть G — локально псевдокомпактная группа, и Н — ее замкнутая ограниченная подгруппа. Тогда произведение G/H х X прямоугольно для любого Ь/ -пространства X. Доказательство. Из [105, Теоремы 4.8] следует, что /i(G/ НхХ) = p{G/H) х иХ = /.IG/CI QH х fiX. Так как uG = G [62, Теорема 3.3] — локально биком пактная, паракомпактная группа, и факторотображение q : \iG — uG/cl cH открыто и совершенно (подгруппа cl cH бикомпактна), то uG/с1мсЯ — ло кально бикомпактное, паракомпактное пространство. По [75, Теорема 3] про изведение HG/CI GH х иХ прямоугольно. По [75, Теорема 4] произведение G/H х X прямоугольно. Следствие 3.2.3. Для топологической группы G следующие условия эквивалентны: (a) G — локально псевдокомпактная группа; (b) G х X прямоугольно для любого Ь/-пространства X. Доказательство. Импликация (а) = (6) следует из теоремы 3.2.3. Если G х X прямоугольно для любого Ь/-пространства X, то тогда по [75, Теорема 4] /j,(G х X) = uG х аХ. Теперь импликация (6) = (а) следует из [105, Теорема 4.6]. 101 Теорема 3.2.4. Произведение G — H{Ga : а Є Л} произвольных локально псевдокомпактных групп прямоугольно. Доказательство. По [105, Теорема 4.5] uG = U{Ga : а Є Л}. Так как G = fiG для локально псевдокомпактных групп [62, Теорема 3.3], то fiG = H{uGa : а Є А}. Каждая группа \iGa — локально бикомпактное и параком пактное пространство и, тем самым, паракомпактное р-пространство, а Є А. Произведение паракомпактных р-пространств прямоугольно [37, Теорема 4.2] (см., также [78, Теорема 3.10]). Очевидно, что если ції = Т1ц и произведение Ни прямоугольно, то тогда произведение П прямоугольно. Значит G прямо угольно. Лемма 3.2.1. Произведение П; являющееся о-бикомпактным пространством, — сильно прямоугольно. Доказательство. Доказательство следует из очевидных фактов: произведе ние П — линделефово; в любое открытое покрытие П можно вписать покры тие, состоящее из функционально открытых прямоугольников. D Лемма 3.2.2. Если X является счетным объединением ограниченных подмножеств, то тогда равномерности Um, m = Но,..., равны, и, следовательно, vX = /лХ. Доказательство. Доказательство следует из того факта, что из любого нор мального покрытия можно выбрать счетное подпокрытие. Пространство X называется полу ограниченным (полу бикомпактным), если существует счетное семейство Т ограниченных (бикомпактных) подмножеств X такое, что любое (бикомпактное) ограниченное подмножество X содержится в некотором элементе Т (см., например, [70]).
Теорема 3.2.5. Произведение полуограниченного 6/-пространства и полуо-граниченной 6/-группы сильно прямоугольно. Доказательство. По [70, Теорема 2.6] и лемме 3.2.2 равенство fi(G х X) — v{G х X) = fiG х fiX = vG x г/Х выполнено для полуограниченной 6/-группы G и полуограниченного -пространства X. По [57, Предложение 3.1] оба про странства vG и vX полубикомпактны и, значит сг-бикомпактны. Тем самым произведение vG х vX является а-бикомпактным и сильно прямоугольным по лемме 3.2.1. Остается воспользоваться [102,
Обобщение сильной локальной однородности
Теорема 4.1.1. Пусть действие на X слабо d-открыто, и существует счетное семейство О С Nc(e), удовлетворяющее условиям (1), (2) леммы 1.4.1 и (2.2 ). Тогда (1) X в топологии То метпризуемо (тем самим X — субметризуемо); (2) если X — псевдокомпактное пространство, то X — компактное G-пространство. Доказательство. Не ограничивая общности рассуждений можно считать, что О = {Ог : і Є N}, где О 1 = ОІ, Of+l С Оіу і Є N. По предложению 2.2.1 семейство Uо является равномерностью со счетной базой на X, и X в индуцированной ею топологии то метризуемо (см., например, [46, Теорема 8.1.21.]) и, тем самым, X субметризуемо. Так как субметризуемое псевдокомпактное пространство метризуемо [10], то X — компакт. Остается сослаться на следствие 2.2.1. Следствие 4.1.1. Пусть действие на X слабо d-открыто, и счетное семейство О С Ng(e) удовлетворяет условиям (1) - (3) лемм 1.4.1 и 1.4.3 и условию (2.2 ). Тогда X в топологии то — метризуемое G-пространство. В частности, если X — G-пространство со слабо d-открытым действием метризуемой группы, то X — метризуемое G-пространство.
Доказательство. По теореме 4.1.1 пространство X в топологии TQ метризу-емо, а действие непрерывно по предложению 2.2.1.
Если X — G-пространство со слабо d-открытым действием метризуемой группы, а О — счетная база семейства No(e), то из непрерывности действия следует, что для любых двух различных точек х. у пространства X существует О Є О такая, что х и у не принадлежат одному элементу покрытия 70 Остается показать, что топология TQ совпадает с топологией пространства X.
По предложению 2.2.1 нужно лишь показать, что любое открытое множе ство О в пространстве X является открытым и в топологии TQ. Пусть X Є О, открытое множество W С О и V, U Є О такие, что х Є W, V2 С U, V l С U, c\(UW) С О. Тогда, если х Є int(cl(Vz)), то существует t Є V такой, что tz Є W. Поэтому cl(Vz) С cl(V2VK) С cl(LW) С О. Тем самым показано, что St(x,7v) С О, т.е. любая точка открытого в X множества О является внутренней точкой О В ТОПОЛОГИИ То-
Пространство X называется почти метризуемым, если на нем так непрерывно действует бикомпактная группа G, что пространство орбит X/G мет-ризуемо [26, Определение 1].
Теорема 4.1.2. Пусть X — G-пространство с d-открытым действием почти метризуемой группы. Тогда X — почти метризуемое пространство.
Доказательство. Пусть Н — бикомпактная подгруппа счетного характера в G [28, Лемма 2]. Вес семейства NG{H) счетен, поэтому вес псевдоравномерности UH, определяемой в предложении 2.2.1, также счетен, и можно считать, что она порождается псевдометрикой р (см., например, [46, Теорема 8.1.21.]). По лемме 2.2.1 [х] ,,) = Нх, и Нх -— бикомпакт. По лемме 2.2.2 множества On{x) = {у Є X : р(х,у) 1/п}, п Є N, образуют счетную базу множества [а;] ) в X, х Є X. По лемме 1.1.1 факторпространство X/ Е(р) метризуемо. Остается заметить, что факторпространство Х/Е{р) совпадает с факторпро странством X/Н — пространством орбит по действию бикомпактной группы ЯнаІ. Теорема 4.1.3. Пусть X — G-пространство с d-открытым действием инфраметризуемой (соответственно почти метризуемой; полной по Чеху) группы G. Тогда на X существует d-открытая ам-система {соответственно открытая, совершенная а м.-система; открытая, совершенная асм система)
Доказательство. Если группа G полна по Чеху, то по предложению 1.6.1 существует согласованная открытая, совершенная, эквивариантная СМ-система L = {іра, ірра; А} из факторотображений іра в полно метризуемые факторпро-странства группы G по бикомпактным подгруппам На, а Є А. Тем самым характер группы Н(у счетен, а Є А.
Действие G к& X открыто по теорема 2.4.2. Поэтому пространство X полно по Чеху [56, Теорема 2]. По лемме 1.4.1 и предложению 2.2.1 определены псевдоравномерности 1Ана) сх Є А, на X. Их вес счетен. Так как подгруппа На бикомпактна, а Є А, то по теореме 2.2.1 равномерно факторное отображения ра по псевдоравномерности Ына открыто и совершенно, а Є А. При этом образы Х/Ына полно метризуемы, как совершенные метризуемые образы полного по Чеху пространств X.
Система отображений Lp = {ра,Р/За = Ра Рр1]А} является согласованной, так как действие открыто, и L — согласованная система на G. Проверим сг-полноту системы Lp из полно метризуемых пространств. Пусть Hk, к Є N, — семейство бикомпактных подгрупп группы G счетного характера. Тогда Н = П{Я/с : к Є N} — также бикомпактная подгруппа G счетного характера [28, Лемма 1]. Отображения рн, Рнк и Рннк, к Є N, соответствующие подгруппам Н и //&, к Є N, принадлежат системе Ь.р и совершенны. Диаго наль совершенных отображений рннк, к Є N, совершенна. Тем самым для проверки сг-полноты системы Lp достаточно проверить лишь инъективность диагонали отображений рннк, к Є N. Пусть рн{х) ф Рн(у)- Тогда у $ Нх. Если у Є HkX (у = hkX, hk Є Hk) для любого к Є N, то так как Hk+i С #&, к Є N, существует h Є Н, являющийся предельной точкой последовательности hk, к Є N. Естественно hx — у, и у Є Нх. Значит существует подгруппа Hk такая, что у HkX, что и доказывает инъективность. Система Lp является а см -системой.
Аналогичные рассуждения (лишь образы перестают быть полно метризу-емыми) позволяют доказать теорему для почти метризуемой группы.
Если группа G инфраметризуема (соответственно почти метризуема), то ее попололнение G действует на /ЗдХ, причем действие d-открыто в точках инвариантного подмножества Y с figX, X с У. На Y существует открытая асм-система, каждое из отображений которой есть совершенное отображение в полно метризуемое пространство. Ограничения отображений этой системы на всюду плотное подмножество X и его образы будет d-открытой системой.
