Введение к работе
Актуальность темы.
Кардинально-значпые инварианты являются одними из важнейших характеристик топологического пространства.
В [і] П.С. Александров и П.С. Урысон ввели основные кардинальные инварианты пространства, получили первые фундаментальные результаты, определившие направления дальнейших исследований.
Новый этап в развитии теории кардинальных инвариантов, начавшийся с конца шестидесятых годов, связан с именами А.В. Архангельского, В.И. Пономарева, В.В. Федорчука, И. Юхаса.
После решения А.В. Архангельским знаменитой проблемы П.С. Александрова о мощности хаусдорфовабикомпактпого пространства с первой аксиомой счетности [2] актуальным и важным направлением исследований стало получение оценок мощности пространства при более слабых, чем бикомпактность и хаусдорфовость, условиях.
Исследование бикомпактных расширений топологического пространства, прежде всего стоун-чеховского бикомпактного расширения, как одной из важнейших конструкций, связанных с топологическим пространством, относится к приоритетным направлениям развития общей топологии.
Стоун-чеховские расширения дискретных пространств занимают особое место в этой теории, что определяется простейшей структурой дискретного пространства, универсальностью свойств этого расширения, которая обусловлена возможностью естественного вложения его в различ-
[1] П.С. Александров, П.С.Урысои. Мемуар о компактных топологических пространствах //М., Наука (1971).
[2] А.В.Архангельский. О мощности бикомпактов с первой аксиомой счетности // ДАН СССР, 187 (1969), 967-970 .
-z-
ные бикомпакты, а также широкий набором интересных свойств этой конструкции.
Особый интерес представляет здесь изучение различных типов точек наростов расширений.
После того, как С. Шелах [3] показал невозможность " наивного" доказательства существования р -точек, одной из главных задач теории стал поиск и изучение точек, близких по своим свойствам к р -точкам.
Эти вопросы и рассматриваются в диссертации.
Цель работы состоит в решении ряда естественных задач общей топологии, относящихся к теории кардинальных инвариантов и бикомпактных расширений топологических пространств, получении оценок мощности пространств, изучении точек наростов стоун-чеховских расширений дискретных пространств, таких как слабые р -точки, 0-точки, исследовании свойств бикомпактных расширений.
Основные методы исследования. Используются методы общей топологии (методы теории кардинальных инвариантов, теории бикомпактных расширений и т.д.), комбинаторной теории множеств .
Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми. Основные результаты работы следующие:
получена оценка мощности 7і-бикомпакгньіх пространств через псевдохарактер;
получена оценка мощности Я-замкнутых пространств через Н-псев-дохарактер;
получена теорема о структуре точек бикомпакта, как стоун-чеховского расширения своего подмножества;
[3] S. Shelab. On р -point» /9w and other results in general topology // Not. Amer. Math. Soc, 35 A-365, 87T-G (1978), 49.
получена конструкция матричных точек для сцепленных матриц;
доказано существование 0-точек в пространстве /?ш ;
получены слабые р -точки, обладающие различными наборами дополнительных свойств;
доказана теорема о существовании попарно несравнимых матричных точек;
доказано, что матричные точки язляются точками ненормальности нароста расширения дискретного пространства.
Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы в теории кардинальных инвариантов, в теории бнкомпактпых расширений как дискретных, так и общих топологических пространств, п теории ультрафильтров.
Апробация результатов. Результаты диссертации докладывались на кафедральных семинарах кафедры общей топологии и геометрии МГУ им. М.В. Ломоносова, на семинарах профессора А.В. Архангельского, профессора В.И. Пономарева, профессора В.В. Федорчука в МГУ, на городском топологическом семинаре г.Екатеринбурга, на ряде Всесоюзных конференций и симпозиумов, на международных топологических конференциях в Ленинграде (1982 г.), Баку (1987 г.), а также на топологическом семинаре профессора М.Е. Рудин (Вискоясинский университет, Мэдисон, США), на топологическом семинаре Карлова университета (Прага, Чехословакия), па топологическом семинаре Института математики ьолг.АН (София, Болгария), на Весенней топологической конференции США (Аннаполис, 1982 г.), на Двенадцатой зимней школе по топологии (1984 г., Срни, Чехословакия), Еа Пятом (1981 г.) и Седьмом (1991 г.) Пражском топологическом симпозиуме (Прага, Чехослоаакия), Венгерском топологическом симпозиуме (1993 г., Секзард, Венгрия).
Публикации. Основные результаты работы опубликованы в восемнадцати работах, список которых приведен в конце автореферата.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, и списка литературы. Полный объем диссертации - 209 страниц, библиография включает 95 наименований.
