Введение к работе
Актуальность темы. Одним из важнейших направлений теории дифференциальньж уравнений является исследование поведения их решений в окрестностях особьж точек. Если вид асимптотического разложения решения известен, то при исследовании асимптотик решений дифференциальньж уравнений в окрестности особьж точек возникает необходимость определения коэффициентов асимптотического разложения.
Одним из методов решения этой задачи является использование так называемых пространств с асимптотиками. Этот метод заключается в том, что мы ищем решение в классе функций имеющих специальный тип асимптотического разложения вблизи особьж точек или некоторьж многообразий, то есть в так называемых функциональных пространствах с асимптотиками.
Впервые понятие функционального пространства с асимптотиками было введено в работе [1] в применении к теории дифференциальньж уравнений на многообразиях с коническими особенностями. В дальнейшем выяснилось, что теория эллиптических задач в пространствах с асимптотиками может быть применима и в других областях математики. Например, в работе [2], было замечено, что подобные задачи возникают в частности в квантовой механике при изучении уравнения Шредингера с потенциалом нулевого радиуса. Кроме того, в работе [3] на примерах показано, как теория эллиптических задач в пространствах с асимптотиками может применяться при решении классических задач Соболева. Для решения всех этих проблем необходимо было построить теорию эллиптических задач в пространствах с асимптотиками.
Одной из первьж работ, в которьж строится теория эллиптических задач в пространствах с асимптотиками для пары (М, X), где М- гладкое компактное многообразие, а Х- его гладкое компактное подмногообразие, это работа [2]. В ней была отмечена важность исследования подобньж задач, так как они могут быть использованы, например, при построении самосопряженных расширений оператора Лапласа с начальной областью определения, состоящей из функций обращающихся в ноль в окрестности гладкого или стратифицированного многообразия. Как было показано в работе [4], построение оператора энергии в многочастичной задаче сводится именно к такой за-
(
даче, где в качестве стратифицированного многообразия берется пучок плоскостей. К настоящему времени подобные задачи изучались ФА Березиным и Л.Д. Фаддеевым (1061), КА Макаровым (1992), Б.С. Павловым (1988), AM. Мельниковым, РА Минлосом (1991) и др. В этих работах подчеркивается важность построения самосопряженного расширения оператора Лапласа с соответствующей областью определения, которое определялось бы с помощью задания локальных граничных условий на каждой из плоскостей пучка и кроме того являлось бы полуограниченным оператором. Подобные задачи могут быть решены при помощи теории эллиптических задач в пространствах с асимптотиками.
Вышесказанное обуславливает актуальность проводимого в настоящей диссертации построения теории эллиптических задач в пространствах с асимптотиками и ее приложения на примере построения самосопряженных расширений оператора Лапласа, о котором говорилось выше.
Объект и предмет исследования
Таким образом объектом исследования являются эллиптические дифференциальные уравнения и системы выполняющиеся везде вне некоторых подмногообразий.
Предметом исследования - введение понятия пространств с асимптотиками и исследование на этой базе эллиптических задач типа Соболева в полученных пространствах. Все это определило цель работы.
Целью работы является построение теории эллиптических задач Соболева в пространствах с асимптотиками, то есть в пространствах функций, имеющих определенный тип асимптотического разложения вблизи некоторых многообразий, а также приложения полученной теории к построению самосопряженных расширений операторов Лапласа с начальной областью определения состоящей из функций обращающихся в ноль в окрестности некоторых гладких или стратифицированных многообразий.
Методология н методы проведенного исследования. Все результаты получены методами функционального анализа, в частности используется теория псевдодифференциальных операторов. Кроме того, при доказательстве основной теоремы существования решения эллиптической задачи типа Соболева в пространствах с асимптотиками применяются методы разработанные в работе [5] для интегральньж операторов Фурье особого вида. В работе разработан общий метод для решения возникающих систем интегральньж уравнений специального вида. Так называемых Ф -систем.
Научная новизна. Новыми и впервые полученными являются следующие результаты
1. В пространствах Соболева, соответствующих паре (R",Lj, где через L обозна
чено стратифицированное многообразие, представляющее собой объединение конеч
ного числа трансверсально пересекающихся плоскостей, формулируются задачи с па
раметром типа Соболева и достаточные условия их однозначной разрешимости. Опи
сана алгебра операторных морфизмов, которая содержит разрешающие операторы этих
задач, сформулированы условия эллиптичности операторов, содержащихся в по
строенной алгебре и доказана соответствующая теорема конечности.
2. Полученные результаты перенесены на эллиптические задачи в пространствах с
асимптотиками соответствующих паре (X,L), где X - гладкое компактное многооб
разие без края, аХ - его стратифицированное подмногообразие.
3. Построены симметрические расширения оператора Лапласа в L^iR") , с
начальной областью определения, состоящей из функций обращающихся в ноль в
некоторой окрестности плоскости. Описание симметрических расширений проводится
в терминах локальных граничных условий, заданньж на этой плоскости.
Сформулированы необходимые и достаточные условия самосопряженности и
полуограниченности полученньж симметрических операторов.
В специально выбранных подпространствах І^ІЯ") и во всеі^(іИ); троены симметрические расширения оператора Лапласа, с начальной областью определения, состоящей из функций обращающихся в ноль в некоторой окрестности гладких и стратифицированных многообразий представляющих собой пучок плоскостей. Описание симметрических расширений проводится в терминах локальных граничных условий, заданньж на каждой из плоскостей пучка. Сформулированы необходимые и достаточные условия самосопряженности и полуограниченности полученньж симметрических операторов.
В IqiR") выделен класс симметрических полуограниченньж операторов, которые являются симметрическими расширениями оператора Лапласа с начальной областью определения состоящей из функций обращающихся в ноль в окрестности пучка плоскостей. Эти симметрические операторы определяются, в частности условиями
Скорнякова-Тер-Мартиросяна. В работе показано, что они не являются самосопряженными, но являются самосопряженными в существенном.
Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации могут быть применимы в теории дифференциальньж уравнений при решении эллиптических задач на многообразиях с особенностями, при решении задач Соболева. А также в квантовой механике в теории близкодействия при исследовании задач с потенциалом нулевого радиуса.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, девяти глав и списка литературы. Общий объем диссертации -195 стр.руководимьж Библиография содержит 61 название.
Апробация. Основные результаты диссертации докладывались на семинаре кафедры общей математики факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М. В. Ломоносова руководимом академиком РАН В. И. Ильиным, академиком РАН Е. И. Моисеевым и проф. А. А. Дезиным, а также на семинарае руководимьж академиком РАН Е. И. Моисеевым и проф. И. С. Ломовым, на сеимнаре руководимом проф. И. А. Шишмаревым, в МЭИ на семинаре проф. Ю. А. Дубинского, а также на Ломоносовских чтениях в 2002 году, в РУДН на семинаре под руководством проф. Г. М. Гольдмана.
По результатам диссертации автором опубликовано 8 статей в центральных математических журналах.
