Содержание к диссертации
Введение
1 Оператор Лапласа - Бельтрами. Функции Лежандра 23
1.1 Дифференцируемые многообразия 23
1.2 Дифференциальные формы 27
1.3 Оператор Лапласа-Бельтрами 32
1.4 Регуляризованный след оператора Лапласа - Бельтрами на сфере 37
2 Проблема сложения четных сферических гармоник 46
2.1 Теорема сложения 47
2.2 Оценки числовых рядов 51
3 Регуляризованный след оператора Лапласа - Бельтрами с потенциалом на проективной плоскости 60
3.1 Вычисление второй поправки теории возмущений на проективной плоскости 61
3.2 Вычисление третьей и четвертой поправок теории возмущений на проективной плоскости 86
3.3 Вычисление регуляризованного следа оператора Лапласа- Бельтрами 91
Литература
- Дифференциальные формы
- Регуляризованный след оператора Лапласа - Бельтрами на сфере
- Вычисление третьей и четвертой поправок теории возмущений на проективной плоскости
- Вычисление регуляризованного следа оператора Лапласа- Бельтрами
Введение к работе
Актуальность проблемы
Митральные пороки наиболее часто встречаются среди приобретенных заболеваний сердца и составляют 50-70% всех клапанных его поражений. Доказано, что наиболее эффективным способом лечения является хирургическое, которое продлевает жизнь больного и улучшает ее качество. Среди методов хирургического лечения митральных пороков ведущая роль принадлежит протезированию клапана искусственными протезами. С каждым годом увеличивается количество этих операций, и растет число пациентов с имплантированными сердечными клапанами в митральной позиции. В последние годы на смену вентильным или одностворчатым шарнирным протезам пришли двустворчатые искусственные клапаны сердца, которые по своим гемодинамическим свойствам отличаются от предыдущих моделей (Доброва Н.Б. и др., 1996, Добротин С.С. и др., 1996, Цукер-ман Г.И. и др., 1996, Островский Ю.П. и др., 1998, Караськов и др 1999, Бокерия Л.А. и др. 2002, Ребиков А.Г. и др., 2002, Horstkotte О., 1991, Camffleri L.F. et al., 2001, Dalrymle et al., et a!., 2000 Remadi J.I1., et al, 2001). Однако даже применение искусственных клапанов сердца последних по-
Ш1 Vt4**fItJflrtX J
11 іьчи**агг
гОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ / БИБЛИОТЕКА СПсте 09 ГО/г
колений не предотвращает возможности развития специфических клапано-зависимых осложнений. Возникшая дисфункция протеза является грозным осложнением, которое может возникнуть в различные сроки после операции и встречается по данным различных авторов с частотой 0,1-0,5% пациентов/лет (Мота О.Р., 1988, Нарсия Б.Е., 1990, Г.И. Цукерман и др., 1996, 2000, A.M. Караськов и др. 2001,2002, Л.А. Бокерия и др., 2002, А.Г. Реби-ковидр., 2002, DeviriE., etal., 1991, Deviri Е. etal, 1991, RenzulHA. et. al., 1992,1994, VitaleN..etaL, 1997, RizzoUG. etal, 1999, Aoyagi S. etal, 2000, 2002). В связи с этим проблема диагностики возникших дисфункций, определения показаний для оперативного лечения и хирургической тактики остается весьма актуальной. Внедрение в клинику современных диагностических технологий, среди которых ультразвуковые методы занимают центральное место, обусловило несомненные успехи в диагностике дисфункций искусственных клапанов сердца в митральной позиции (Мота О.Р, 1988, Нарсия Б.Е, 1990, Г.И. Цукерман и др,1996, 2000, A.M. Караськов и др. 2001,2002, Л.А. Бокерия и др. 2002, А.Г. Ребиков идр, 2002, Sezai А„ et al, 1997, Barbetseas J, и др, 1998, Lin S, 2000).
Неинвазивные методы диагностики, включая трансторакальную эхо-кардиографию, не дают полной информации о функции протеза. Основная причина этого - обилие артефактных эхосигналов и «теневых дорожек» от плотных структур протеза. В последние годы появился более информативный метод - чреспищеводная эхокардиография, которая обладает высокой разрешающей способностью при выявлении дополнительных образований, не являющихся составной частью протеза, и дает возможность оценить особенности гемодинамических показателей искусственного клапана (Ак-сюк МА. 1998, Кузнецова Л.М. идр, 1998, Фаминский Д.О, 1995, Фару-лова И. Ю, 1996, Рыкунов И.Е, идр, 1997, Зорина И.Г. идр, 2000, 2001, 2002, Gneret el al, 1995, Genoni M, et al, 2000, Chuang Y, et al, 2002).
Актуальность проблемы обусловлена как отсутствием систематизированных исследований, направленных на вьшснение причин развития дисфункций механических клапанов сердца в митральной позиции, клинических проявлений нарушений функции протезов сердца, так и необходи-
мостью обоснования показаний к повторному хирургическому лечению для своевременной коррекции возникших осложнений и повышения его эффективности.
Решение проблемы может быть достигнуто путем внедрения в клиническую практику профилактических мер, направленных на предотвращение развития дисфункций искусственных клапанов сердца, совершенствования хирургических технологий и приемов, направленных на снижение летальности и послеоперационных осложнений.
Цель исследования
Изучение клинико-функциональной картины дисфункции искусственных митральных клапанов сердца, разработка и внедрение методов эффективной диагностики и оптимальных способов лечения нарушений функции протезов клапанов сердца в митральной позиции.
Задачи исследования
Изучить частоту развития дисфункции отечественных искусственных клапанов сердца различной конструкции в митральной позиции.
Определить основные клинические признаки дисфункции искусственных клапанов сердца в митральной позиции и установить информативную ценность применяемых методов диагностики нарушения функции различных типов протезов. Разработать алгоритм ранней диагностики патологии протезов митрального клапана.
Провести анализ факторов, приведших к развитию дисфункции искусственных клапанов сердца в митральной позиции.
Дать клиническую оценку хирургическим подходам и выявить пути улучшения результатов хирургического лечения при дисфункции искусственных митральных клапанов сердца.
5. Оценить отдаленные результаты хирургического лечения больных с
дисфункцией искусственных клапанов сердца в митральной позиции.
Научная новизна
Систематизированы основные причины возникновения дисфункции искусственных клапанов сердца в митральной позиции.
Разработаны диагностические критерии нарушения функции одностворчатых и двустворчатых протезов клапанов сердца и определена частота развития дисфункций распространенных моделей искусственных клапанов сердца в митральной позиции.
Дана клиническая оценка хирургической тактики при дисфункциях искусственных клапанов сердца в митральной позиции.
Определены основные факторы риска возникновения летальных исходов и осложнений при оперативном лечении дисфункций искусственных клапанов сердца в митральной позиции.
Практическая значимость
Разработан и внедрён в клиническую практику алгоритм диагностики и тактики ведения пациентов с дисфункцией искусственных клапанов сердца в митральной позиции.
Предложены и апробированы эффективные методы хирургического лечения дисфункции искусственных клапанов сердца в митральной позиции, которые расширили показания для выполнения операций у особо тяжелой категории пациентов.
Обоснованы и уточнены особенности выполнения повторных операций при дисфункции митрального клапана в зависимости от вида нарушения функции протеза, которые повысили безопасность кардиохирурги-ческих вмешательств.
4. Полученные результаты способствуют улучшению качества и продол
жительности жизни оперированных больных. Выживаемость к 7 годам
после операции по поводу дисфункции митрального клапана составила
84,6%, свобода от специфических осложнений 78,3%.
5. Усовершенствованы способы профилактики осложнений митрального протезирования на этапах хирургической реабилитации пациентов с . митральными пороками сердца.
Дифференциальные формы
Пусть У, ТУ, Ї7 - конечномерные вещественые векторные пространства, F(V, ТУ) - векторное пространство над Д, свободно порожденное элементами декартова произведения У х ТУ; V - сопряженное к У пространство, состоящее из всех вещественных линейных функций на У. Таким образом, пространство F(V, ТУ) состоит из всех конечных линейных комбинаций пар (v,w) где v еУ,щ Є W. Пусть R(V, W) - подпространство в -F(V, ТУ), порожденное всеми элементами, имеющими вид Факторпространство і 1 (У, ТУ)/Л (У, ТУ называется тензорнъш произв едением пространств У и ТУ и обозначается УТУ. Смежный класс из факторпространства УТУ, содержащий элемент (VjW) пространства F(ViТУ), обозначается через vw. Пространством тензоров УГі3 типа (г, s), ассоциированным с пространством У, является пространство Прямая сумма где Vo,o — R, называется тензорной алгеброй пространства V. Элементы пространства T(V) - конечные линейные комбинации элементов различных пространст Vr,s называются тензорами. Тензоры, лежащие в пространстве VriS, называются однородными типа (г, s). Обозначим через C(V) подалгебру Х) о М тензорной алгебры T(V), a I(V) - двусторонний идеал в C(V), порожденный множеством элементов вида v v, где v Є V. Тогда I{V) превращается в градуированный идеал в C(V): Определение 1.2.1.Внешней алгеброй A(V) пространства V называется градуированная алгебра C{V)/I{V). Если положить Умножение в алгебре A(V) мы будем обозначать символом Л. Пусть М - гладкое многообразие, тогда В случаях, ко соответственно. Множество дифференциальных р-форм на U (U С М открыто) образует вещественное векторное пространство, которое мы обозначим через EP(U). Для каждой точки т риманова многообразия М имеется оператор , определенный на Л(М ). В силу того, что оператор переводит гладкие формы в гладкие, определен линейный оператор который удовлетворяет тождеству В случае ориентированного риманова многообразия мы определим интеграл по М от непрерывной функции / с компактным носителем с помощью интеграла от непрерывной п-формы / = fw. Иными словами, При нахождении регуляризованного следа определенную роль играет сведение многократных интегралов к повторным. В случае кратных интегралов Лебега основополагающей в этом вопросе является теорема Фубини. Рассмотрим отображение С —/с, определенное по правилу Распространим его на минимальное кольцо ІГо(Х), содержащее полукольцо Р(Х) по правилу Справедливы следующие теоремы. Теорема 1.2.1, Пусть множество С Є І{Хі х Х2). Тогда для почти всех х Є Xi множество CXl С Х2, задаваемое формулой СХх — х2 Є Х2 : (#і, х2) Є С, измеримо по мере v и и(СХі) — /С(ЖІ). Теорема 1.2.2. Пусть ц и и -сг-конечные меры, С - измеримое по мере (и, у) подмножество в Х\ хХ2. Тогда для гда к = 0 или (r}s) (0,0), объединения в 1) и 2) оказываются непересекающимися объединениями вещественных прямых -по одной прямой для каждой из точек . Расслоения Т Г (М), А(М) и А (М) обладают естественными структурами многообразия, такими, что канонические проекции на М - гладкие отображения многообразий.
Гладкое отображение многообразия в расслоения ТТ 3{М), Л(М) и Л (М), композиция которого с канонической проекцией является тождественным отображением, называется тензорным полем типа (г, s) на , дифференциальной формой ранга к (или к - формой) на М и дифференциальной формой на М соответственно. Множество дифференциальных р-форм на U (U С М открыто) образует вещественное векторное пространство, которое мы обозначим через EP(U). Для каждой точки т риманова многообразия М имеется оператор , определенный на Л(М ). В силу того, что оператор переводит гладкие формы в гладкие, определен линейный оператор который удовлетворяет тождеству В случае ориентированного риманова многообразия мы определим интеграл по М от непрерывной функции / с компактным носителем с помощью интеграла от непрерывной п-формы / = fw. Иными словами, При нахождении регуляризованного следа определенную роль играет сведение многократных интегралов к повторным. В случае кратных интегралов Лебега основополагающей в этом вопросе является теорема Фубини. Рассмотрим отображение С —/с, определенное по правилу Распространим его на минимальное кольцо ІГо(Х), содержащее полукольцо Р(Х) по правилу Справедливы следующие теоремы. Теорема 1.2.1, Пусть множество С Є І{Хі х Х2). Тогда для почти всех х Є Xi множество CXl С Х2, задаваемое формулой СХх — х2 Є Х2 : (#і, х2) Є С, измеримо по мере v и и(СХі) — /С(ЖІ). Теорема 1.2.2. Пусть ц и и -сг-конечные меры, С - измеримое по мере (и, у) подмножество в Х\ хХ2. Тогда для почти всеххі Є Х\ (по мере \і) множество CXl измеримо по мере и, функция fc(xi) — v(CXl) измерима по мере д и (причем обе части могут одновременно равняться бесконечности). Теорема 1.2.3.(Фубини) Лусть f(xi x2) -суммируемая по мере (рь х и) функция на произведении пространств (Х К рС /л) и {Х2,К(Т(Х2),Р). Тогда 1. для почти всех хі Є Х\ (по мере \і) функция f(x\, х2) суммируема на Х2 (по мере и) и ее интеграл по Х2 является суммируемой функцией на Х\; 2. для почти всех х2 Є Х2 (по мере v) функция f(x\, х2) суммируема на Х\ (по мере р.) и ее интеграл по Х\ является суммируемой функцией на Х2;
Регуляризованный след оператора Лапласа - Бельтрами на сфере
Значимый интерес представляет вопрос о получении формул регуляри-зованных следов дифференциальных операторов с частными производными. Определение 1.4.1. Оператор Г, действующий в сепарабелъном гильбертовом пространстве Нь называется дискретным, если существует некоторое комплексное число Ао такое, что Я\0 — (Т — Ао-Б)" 1 является вполне непрерывным оператором в Н. Согласно свойству спектра вполне непрерывных операторов спектр оператора R\Q состоит из не более чем счетного набора нормальных собственных значений, имеющих единственную предельную точку нуль. Так как S(R\0) - спектр оператора R\0 - это образ множества S(T) - спектра оператора Т (включая бесконечно удаленную точку) при отображении А - (А — А0)-1, то спектр оператора Т состоит из изолированных точек, не имеющих предельных, кроме бесконечности. Из тождества Гильберта для резольвент имеем для любого А из резольвентного множества: вполне непрерывен, то оператор R\ впол не непрерывен для любого А. Теорема 1.4.1. Пусть Т самосопряженный полуограниченный снизу дискретный оператор, действующий в сепарабельном гильбертовом пространстве Н, такой, что N{X) = О(Ар),0 р 1, Есл Ап An+i ...,АП — -со. Через рп обозначим собственную кратность числа Ап. Далее, пусть п,і)ї = 0, i n —1 собственные ортонормированные векторы оператора Т, соответствующие Ап. Известно [70], если Р - ограниченный оператор в Н и dn = inf Am — An j — 0, то можно так занумеровать собственные числа ПІІ оператора Т-\-Ру взятые с учетом алгебраической кратности, что 1/.і — AnJ constat = 0,fn — l,n = 0,00. Введем обозначения: cfc- P) = r Sp f X[(T - XE P]k(T - XE dX, 2ni J In Пусть T — оператор Лапласа — Бельтрами на сфере Sn, Р — оператор умножения на функцию р в Н — L2{Sn)1 где р L2(Sn). Лемма 1.4.3. Если К - некоторое вращение сферы Sn и Кр(х) = р(Кх) = tp(x), \t] 1, то где т = 77iin{sis+1 ф 1,5 - натуральное число }. Лемма 1.4.4..До оператора Лапласа Белътрами на сфере S2 верно неравенство \Р\ + П Теорема 1.4.2. Если р Є L 2(S2) и Кр{х) = р(Кх) = tp(ac), где j = 1, но і2 1,3 ф 1, mo oW собственных чисел оператора Лапласа ельтрами с потенциалом верна формула йтАР в Теорема 1.4.3. Если для р Є L/2(S2) существует такое вращение К сферы «92, что р{Кх) = tp(x), то для собственных чисел // оператора Т + Р справедливы соотношения; где m = min{s\t8+1 ф l,s натуральное число }. В работе [117] В. Гийллемин, исследуя асимптотическое распределение спектра оператора Лапласа - Бельтрами с гладким потенциалом р на сфере 5П (п = 2,3,4,...) и для каждого нечетного потенциала р получил следующий результат. Если { fe.il o i " спектР оператора —Д на Sn (здесь rik - кратность точки А , к - нумерация различных точек спектра, і - нумерация для равных по величине собственных чисел).
Допустим {/ ,І} 0 і-і - спектр оператора —А + Р, Р - оператор умножения на нечетную функцию р, тогда Нетрудно видеть, что оценка (1.4.1) не позволяет утверждать сходи мости ряда [62] Это обстоятельство не позволило В. Гийллемину вычислить первый регуляризованный след оператора — Д + Р. В работе В. А. Садовничий и 7 - некоторое число, удовлетворяющее условию 7 1/(1 — р) и Р -ограниченный оператор в Н, тогда оператор Т + Р является дискретным, причем для собственных чисел pi Т + Р занумерованных в порядке возрастания вещественных частей и собственных чисел Аг-оператора Tf взятых с учетом алгебраической кратности, существует подпоследовательность натуральных чисел п& такая, что Пусть Г -самосопряженный дискретный полуограниченный оператор в сепарабельном гильбертовом пространстве Н. Обозначим че оо рез о (Т) = U Хп спектр оператора Т без учета кратности собствен-ных чисел, Ао = 0- Ах Аг ... Ап An+i ...,АП — -со. Через рп обозначим собственную кратность числа Ап. Далее, пусть п,і)ї = 0, i n —1 собственные ортонормированные векторы оператора Т, соответствующие Ап. Известно [70], если Р - ограниченный оператор в Н и dn = inf Am — An j — 0, то можно так занумеровать собственные числа ПІІ оператора Т-\-Ру взятые с учетом алгебраической кратности, что 1/.і — AnJ constat = 0,fn — l,n = 0,00. Введем обозначения: cfc- P) = r Sp f X[(T - XE P]k(T - XE dX, 2ni J In Пусть T — оператор Лапласа — Бельтрами на сфере Sn, Р — оператор умножения на функцию р в Н — L2{Sn)1 где р L2(Sn). Лемма 1.4.3. Если К - некоторое вращение сферы Sn и Кр(х) = р(Кх) = tp(x), \t] 1, то где т = 77iin{sis+1 ф 1,5 - натуральное число }. Лемма 1.4.4..До оператора Лапласа Белътрами на сфере S2 верно неравенство \Р\ + П Теорема 1.4.2. Если р Є L 2(S2) и Кр{х) = р(Кх) = tp(ac), где j = 1, но і2 1,3 ф 1, mo oW собственных чисел оператора Лапласа ельтрами с потенциалом верна формула йтАР в Теорема 1.4.3. Если для р Є L/2(S2) существует такое вращение К сферы «92, что р{Кх) = tp(x), то для собственных чисел // оператора Т + Р справедливы соотношения; где m = min{s\t8+1 ф l,s натуральное число }. В работе [117] В. Гийллемин, исследуя асимптотическое распределение спектра оператора Лапласа - Бельтрами с гладким потенциалом р на сфере 5П (п = 2,3,4,...) и для каждого нечетного потенциала р получил следующий результат. Если { fe.il o i " спектР оператора —Д на Sn (здесь rik - кратность точки А , к - нумерация различных точек спектра, і - нумерация для равных по величине собственных чисел). Допустим {/ ,І} 0 і-і - спектр оператора —А + Р, Р - оператор умножения на нечетную функцию р, тогда Нетрудно видеть, что оценка (1.4.1) не позволяет утверждать сходи мости ряда [62] Это обстоятельство не позволило В. Гийллемину вычислить первый регуляризованный след оператора — Д + Р. В работе В. А. Садовничий и В. В. Дубровский [71] показали, что ряд абсолютно сходится по n и поэтому первый регуляризованный след возмущенного оператора Лапласа - Бельтрами не трудно вычислить при вещественном потенцеале р{9у(р). Пусть Т = — Д - стандартный оператор Лапласа - Бельтрами на единичной двумерной сфере S2, действующий в гильбертовом пространстве Н — L2(S2), взятом с плотностью sineded p{9) p — сферические координаты), 5(Т) = {\п — п(п + 1)}=0 спектр оператора Т, не учитывающий кратности ип = 2п+-1 собственного числа А„=п(п + 1) оператора Т; vn it і = 0,2n, — собственные ортонормированные функции оператора Т в Н. Далее, пусть /„ = {АА = An + п + 1 + ip, —со р оо} - вертикальные прямые, Р - оператор умножения на, вообще говоря, комплексную не
Вычисление третьей и четвертой поправок теории возмущений на проективной плоскости
Обозначим через Рп{р) третью поправву теории возмущений. Теорема 3.2.1. Третья поправка теории возмущений на проективной плоскости равна нулю. Доказательство. то интеграл изменит знак на (—1)п+1+1, но интеграл инвариантен относительно таких замен переменных.Тогда шестикратный интеграл равен нулю, если п и /, А и I, л я fe взаимно нечетны. Среди трех целых чисел хотя бы два имеют одинаковую четность. Учитывая так же, что р(в) р) — нечетная функция, получаем - шестикратный интеграл равен нулю и, следовательно, /Зп(р) = 0. Теорема доказана. Оценим четвертую поправку теории возмущений. Для этого предварительно докажем следующую лемму. Лемма 3.2.1 Для оператора Лапласа-Бельтрами с четным дважды непрерывно дифференцируемым потенциалом на проективной плоскости на прямых 1п = {АА = Ап + п + 1-М/ , —оо р сю} справедливо неравенство Оценим каждое из слагаемых в отдельности. Лемма доказана. Учитывая результат леммы (3.2.1), оценим четвертую поправку теории возмущений. Теорема 3.2.2. Четвертал поправка теории возмущений на проективной плоскости равна Доказательство. Рассмотрим цепочку неравенств. Поправки теории возмущений, вычисленные в предыдущих параграфах, фактически представляют развернутое доказательство следующей теоремы. Теорема 3.3.1. Если р — четный, по аргументу 9, дважды непрерывно дифференцируемый потенциал, то для собственных чисел оператора Т +Р верно равенство Сформулированная теорема в свою очередь является обоснованием предлагаемого ниже утверждения. Теорема 3.3.2. Еслир — дважды непрерывно дифференцируемый потенциал, то регуляризованный след возмущенного оператора Лапласа - Белътрами на проективной плоскости имеет вид Определив регуляризованный след оператора Лапласа - Бельтра-ми с потенциалом на проективной плоскости, мы тем самым достигли конечной цели работы, подтвердив продуктивность предложенного подхода для вычисления регуляризованного следа эллиптических диф ференциальных операторов с соответствующи Лемма 3.2.1 Для оператора Лапласа-Бельтрами с четным дважды непрерывно дифференцируемым потенциалом на проективной плоскости на прямых 1п = {АА = Ап + п + 1-М/ , —оо р сю} справедливо неравенство Оценим каждое из слагаемых в отдельности. Лемма доказана. Учитывая результат леммы (3.2.1), оценим четвертую поправку теории возмущений. Теорема 3.2.2. Четвертал поправка теории возмущений на проективной плоскости равна Доказательство. Рассмотрим цепочку неравенств. Поправки теории возмущений, вычисленные в предыдущих параграфах, фактически представляют развернутое доказательство следующей теоремы. Теорема 3.3.1. Если р — четный, по аргументу 9, дважды непрерывно дифференцируемый потенциал, то для собственных чисел оператора Т +Р верно равенство
Сформулированная теорема в свою очередь является обоснованием предлагаемого ниже утверждения. Теорема 3.3.2. Еслир — дважды непрерывно дифференцируемый потенциал, то регуляризованный след возмущенного оператора Лапласа - Белътрами на проективной плоскости имеет вид Определив регуляризованный след оператора Лапласа - Бельтра-ми с потенциалом на проективной плоскости, мы тем самым достигли конечной цели работы, подтвердив продуктивность предложенного подхода для вычисления регуляризованного следа эллиптических диф ференциальных операторов с соответствующим потенциалом. Литература [1] Агранович М,С. Эллиптические операторы на замкнутых многообразиях // Итоги науки и техн. Деп. ВИНИТИ. 1990. Т.бЗ. С.5-123. [2] Александрии Р. А., Березанский Ю. М., Ильин В. А., Костюченко А. Г. Некоторые вопросы спектральной теории для уравнений с частными производными // Сб. Дифференциальные уравнения с частными производными. М. Наука. 1970. С. 3-35. [3] Асланова И.М. Регуляризованный след операторного уравнения Штурма-Лиувилля на конечном отрезке//Тр. инс-та мат. и мех. АН Азербайджана. 1998. N9. С.23-26. [4] Бейтмен Г.,Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. В 2-х т..М.: Наука, 1973. 296с. [5] Бирман М.Ш.,Соломяк М.З. Асимптотика спектра дифференциальных уравнений// Итоги науки и техн. Деп. ВИНИТИ. 1977. Т.Н. С.5-58. [6] Бобров А.Н. Регул м потенциалом. Литература [1] Агранович М,С. Эллиптические операторы на замкнутых многообразиях // Итоги науки и техн. Деп. ВИНИТИ. 1990. Т.бЗ. С.5-123. [2] Александрии Р. А., Березанский Ю. М., Ильин В. А., Костюченко А. Г. Некоторые вопросы спектральной теории для уравнений с частными производными // Сб. Дифференциальные уравнения с частными производными. М. Наука. 1970. С. 3-35. [3] Асланова И.М. Регуляризованный след операторного уравнения Штурма-Лиувилля на конечном отрезке//Тр. инс-та мат. и мех. АН Азербайджана. 1998. N9. С.23-26. [4] Бейтмен Г.,Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. В 2-х т..М.: Наука, 1973. 296с. [5] Бирман М.Ш.,Соломяк М.З. Асимптотика спектра дифференциальных уравнений// Итоги науки и техн. Деп. ВИНИТИ. 1977. Т.Н. С.5-58. [6] Бобров А.Н. Регул яризованные следы высших порядков оператора Лапласа-Бельтрами с потенциалом на симметрических
Вычисление регуляризованного следа оператора Лапласа- Бельтрами
Определив регуляризованный след оператора Лапласа - Бельтра-ми с потенциалом на проективной плоскости, мы тем самым достигли конечной цели работы, подтвердив продуктивность предложенного подхода для вычисления регуляризованного следа эллиптических диф ференциальных операторов с соответствующим потенциалом. Литература [1] Агранович М,С. Эллиптические операторы на замкнутых многообразиях // Итоги науки и техн. Деп. ВИНИТИ. 1990. Т.бЗ. С.5-123. [2] Александрии Р. А., Березанский Ю. М., Ильин В. А., Костюченко А. Г. Некоторые вопросы спектральной теории для уравнений с частными производными // Сб. Дифференциальные уравнения с частными производными. М. Наука. 1970. С. 3-35. [3] Асланова И.М. Регуляризованный след операторного уравнения Штурма-Лиувилля на конечном отрезке//Тр. инс-та мат. и мех. АН Азербайджана. 1998. N9. С.23-26. [4] Бейтмен Г.,Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. В 2-х т..М.: Наука, 1973. 296с. [5] Бирман М.Ш.,Соломяк М.З. Асимптотика спектра дифференциальных уравнений// Итоги науки и техн. Деп. ВИНИТИ. 1977. Т.Н. С.5-58. [6] Бобров А.Н. Регул яризованные следы высших порядков оператора Лапласа-Бельтрами с потенциалом на симметрических пространствах ранга 1//Дифференц. уравнения. 1997. Т.ЗЗ, N6. С.800-804. [7] Бобров А.Н., Подольский В.Е. О сходимости следа степени оператора Лапласа-Бельтрами с потенциалом на сфере 5"//Функц. анализ и его прилож. 1997.Т.31, N4. С.69-72. [8] Бобров А.Н., Подольский В.Е. Сходимость регуляризованных следов степени оператора Лапласа-Бельтрами с потенциалом на сфере "7/Матем. сборник. 1999. Т.190, N10. С.3-16. [9] Богомолова Е. П. Некоторые вопросы спектрального анализа несамосопряженного дифференциального оператора с "плавающей" особенностью// Дифф. ур. 1985. Т. 21. N 11. [10] Буслаев В. С. Формулы следов для оператора Шредингера в трехмерном пространстве// ДАН СССР. 1962. Т.143. N 5. С.1067-1070. [11] Буслаев В. С, Фаддеев Л. Д. О формулах следов для дифференциального сингулярного оператора Штурма - Лиувилля// ДАН СССР. 1960. Т. 132. N 1. С. 13-16. [12] Вайнберг Б.Р., Грушин В.В. О равномерно неэллиптических задачах //Матем. сборник. 1967. Т.73, N1. С.126-154. [13] Винокуров В.А.,Садовничий В.А. Асимптотика собственных значений и собственных функций и формула следа для потенциала, содержащего -функцию //Докл. РАН. 2001. Т.376, N4. С.445-448. [14] Гасымов М.Г.
О сумме разностей собственных значений двух самосопряженных операторов//ДАН СССР. 1963. Т.150, N6. С.1202-1205. [15] Гасымов М.Г.,Левитан Б.М. О сумме разностей собственных значений двух сингулярных операторов Штурма-Лиувилля//ДАН СССР. 1963. Т.151, N5. С.1014-1017. [16] Гельфанд И.М. О тождествах для собственных значений для дифференциального оператора 2-го порядка//УМН. 1956. Т.11, N1:67. С.191-198. [17] Гельфанд И.М.,Левитан Б.М. Об одном простом тождестве для собственных значений дифференциального оператора второго по-рядка//ДАН СССР. 1953. Т.88, N4. С.593-596. [18] Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Спектральная теория. М.: Мир, 1966. 1063с. [19] Дикий Л.А. Об одной формуле Гельфанда-Левитана//УМН. 1953. Т.54, N8:2. С.119-123. [20] Дикий Л.А. Формулы следов для дифференциальных операторов Штурма-Лиувилля// УМН. 1958. Т.13, N3, С.11Ы43. [21] Дикий Л.А. Дзета-функция обыкновенного дифференциального уравнения на конечном отрезке // Изв. АН СССР. 1955. Т.19. N4. С. 187-200. [22] Дубровский В.В. Регуляризованный след билапласиана с периодическими краевыми условиями на квадратуре//ДАН СССР. 1980. Т.24, N3. С.210-213. [23] Дубровский В.В. Регуляризованный след оператора Штурма-Лиувилля //Дифференц. уравнения. 1980. Т.16, N6. С.1127-1129. [24] Дубровский В. В. О регуляризованных следах дифференциальных операторов в частных производных //Тр.семинара им. И.Г. Петровского. 1983. Вып.9. С.40-44. [25] Дубровский В.В. О формулах регуляризованных следов самостоятельных эллиптических дифференциальных операторов второго порядка//Дифференц. уравнения. 1984, Т.20, N11. СЛ995-1998. [26] Дубровский В,В. Об оценке разности спектральных функций и о формулах регуляризованных следов дискретных операто-Ров//ВЕСУИ АН БССР. 1987. N3. С.46-50.
