Содержание к диссертации
Введение
1. Формулы регуляризованных следов обыкновенных дифференциальных операторов с полиномиальными коэффициентами в L2(-oo,+oo) 15
1.1. Предварительные сведения 15
1.2. Матричные представления обыкновенных дифференциальных операторов с полиномиальными коэффициентами в Z2(-oo,+co) 26
1.3. Формулы регуляризованных следов 39
1.4. Пример оператора 6-го порядка, возмущенного оператором 2-го порядка 51
2. Формулы регуляризованных следов одного класса абстрактных дискретных самосопряженных операторов, возмущенных ограниченным 57
2.1. Формулы регуляризованных следов 57
2.2. Примеры 63
Список литературы 67
- Матричные представления обыкновенных дифференциальных операторов с полиномиальными коэффициентами в Z2(-oo,+co)
- Пример оператора 6-го порядка, возмущенного оператором 2-го порядка
- Формулы регуляризованных следов
- Примеры
Введение к работе
Целью данной работы является изучение некоторых вопросов в теории регуляризованных следов дискретных операторов. В ней рассматривается изучение формул регуляризованных следов некоторых классов дискретных операторов, вычисление явных выражений для регуляризованных сумм собственных чисел этих операторов через параметры операторов.
Теория следов линейных операторов берёт своё начало с одного из фундаментальных фактов конечномерной линейной алгебры: инвариантности матричного следа линейного оператора и совпадении его со спектральным следом.
Хорошо известно, что сумма диагональных элементов матрицы линейного преобразования в и-мерном пространстве, т. е. след матрицы, равняется сумме собственных значений преобразования с учетом их кратности.
Сумма собственных значений линейного оператора в «-мерном пространстве называется спектральным следом, а сумма диагональных элементов матрицы преобразования - матричным следом. Хорошо известно, что спектральный след оператора равен его матричному следу. Естественно возникает вопрос: справедливы ли подобные факты и для каких классов операторов в гильбертовом пространстве? Следы операторов играет важную роль в различных разделах анализа, в вопросах приближенного вычисления собственных значений, при решении обратных задач спектрального анализа, их изучение представляет и самостоятельный интерес.
Отметим, что справедливо следующее утверждение:
Если А - ядерный оператор, то при любом выборе ортонормированного базиса {<Рк}1=\ в гильбертовом пространстве Н ряд абсолютно сходится, имеет место неравенство (sk- сингулярные
А=1 к=\ числа оператора А) и сумма ряда /_, (А <Рк > 9к) = SpA, которую мы назовем матричным следом оператора А, не зависит от выбора базиса {<рк }?,. Спектральным следом ядерного оператора А называется сумма его собственных значений Як, занумерованных с учетом алгебраической кратности, т. е. выражению /^ \ .
Отметим, что если А - ядерный (и, следовательно, вполне непрерывный) и самосопряженный оператор, то к нему применима теорема Гильберта -Шмидта, согласно которой существует ортонормированный базис Н из собственных векторов оператора А. Вычисляя матричный след оператора А в этом базисе, получим, что SpA = ^k,T. е. матричный след оператора совпадает с его спектральным следом.
Естественно возникает вопрос о справедливости такого рода утверждений для произвольных ядерных операторов. Ответ на этот вопрос положителен.
Справедлива следующая теорема В. Б. Лидского [7, 13, 38]:
Если оператор А - ядерный, то его матричный след совпадает с его спектральным следом: YJ{A(Pk,(Pk) = YjXk{A)> к=\ к=\ где {<Рк)к^\ - произвольный ортонормированный базис в Н, Як(А)-собственные значения оператора А.
Возникает вопрос об аналоге этих теорем для неограниченных операторов. В этом случае спектральный и матричный следы оператора не существуют. Дальнейшее развитие теории привело к постановке и исследованию вопроса о распространении понятия инвариантности следа на операторы, не имеющие следа. Отметим, что существуют примеры физической интерпретации этого подхода в квантовой статистике([16]). Естественным образом возникает понятие так называемых «регуляризованных следов».
Классическим регуляризованным следом порядка а оператора А называется соотношение вида ^(Гк-Ак(а)) = В(а), (1) где Як — собственные числа оператора А , а —вещественное число, а Ак{а) и В{сс) — явно вычисляемые через характеристики оператора выражения.
Первым результатом теории регуляризованных следов дискретных операторов стала формула Гельфанда - Левитана для оператора
Штурма - Лиувилля с потенциалом q(x), ^(х)ах = 0^ порожденного краевой задачей - у" + q{x)y = fjy, у(0) = у{п) = 0: л=1 4 была получена в работе [5] методом, опиравшимся на прямое исследование характеристического определителя задачи. К аналогичным результатам пришел Л. А. Дикий в работе [8] для оператора Штурма -Лиувилля, доказав равенство: +G0 ( 7 Кр ^] ju„-n2 Jq(x)sin2 nxdx л=1 V ^0 J
Далее следует отметить работу И. М. Гельфанда [6], в которой он методом основанным на исследовании асимптотического разложения следа резольвенты впервые получил формулы следов высших порядков для оператора Штурма - Лиувилля >*-Л (")) = *(*), где Ак(п)— отрезок разложения /лп по степеням п (то есть фактически по степеням невозмущенного спектра {Л-„}), содержащий только неотрицательные степени п, В(к) в конечном виде выражаются через q(x) и ее производные.
Следует отметить работу Л. А. Дикого [9], который первым использовал дзета-функцию оператора для получения формул следов оператора Штурма - Лиувилля и получивший формулы следов всех порядков.
Дальнейшее развитие теории после завершения исследования регулярной задачи для оператора второго порядка, было посвящено распространение полученных результатов на обыкновенные дифференциальные операторы более высоких порядков. В работе Р. Ф. Шевченко [39] получен первый результат теории следов для дифференциального оператора порядка большего двух, и далее в работах В. А. Садовничего[23, 24] в этом направлении был получен ряд сильных результатов.
Наиболее общие результаты для обыкновенных дифференциальных операторов были получены В. Б. Лидским и В. А. Садовничим в работе [14], где было установлено, что доказательство формул типа (1) для широкого класса краевых задач, порожденных обыкновенными дифференциальными выражениями на конечном отрезке со сложным вхождением спектрального параметра, сводится к изучению регуляризованных сумм корней целых функций с определенной асимптотической структурой. В этой работе было использовано применение методов теории функций для исследования дзета - функции, ассоциированной с функцией из специального класса функций К, включающего в себя характеристические определители многих спектральных задач. Также был дан метод вычисления регуляризованных сумм корней, что вместе с данным в работе этих же авторов [15] методом вычисления асимптотических разложений этих корней по степенно - логарифмическим функциям номера позволило решать задачи теории следов во многих важных случаях. Здесь можно выделить исследование нулей функций Бесселя [25], задачу о суммировании полуцелых степеней собственных чисел и связанную с ней задачу о суммировании собственных чисел в одной серии [26, 27], исследование спектральной функции оператора [28] через исследование взвешенной дзета - функции. В работе [36] рамки метода В. Б. Лидского и В. А. Садовничичего были расширены.
Далее следует сказать о развитии теории регуляризованных следов сингулярных обыкновенных дифференциальных операторов на неограниченных промежутках.
В начале 60-х в работах М. Г. Гасымова и Б. М. Левитана [3, 4] впервые были рассмотрены операторы Штурма - Лиувилля на полуоси, т.е. на некомпактном многообразии. В работе [3] были рассмотрены две задачи для обыкновенных дифференциальных полуограниченных операторов второго порядка на оси и полуоси с дискретным спектром, возмущённых оператором умножения на финитную функцию р(х) с нулевым средним, и для задачи на оси доказана формула |>я-ля) = о, а для задачи на полуоси с дополнительным требованием дифференци-ируемости р(х) в некоторой окрестности нуля доказана формула n=\ ^
Следует отметить, что крупное продвижение теории было достигнуто A. Г. Костюченко ([11]). Для возмущения положительного дискретного дифференциального оператора в L2(R) с операцией вида
1у = (-1)" у + р2т_2 (х)/2т~2) +... + р0 (х)у оператором умножения на финитную функцию q{x) є Lx было доказано, что если Jq(x)dx = 0 s то 2_, (м„ ~Ю = и был получен результат -00 л=1 для оператора четвертого порядка на полуоси: для граничной задачи УФ) = У'Ф) = 0 и для потенциала q(x), имеющему, кроме уже указанных условий (q{x)-финитная, q(x) є Lx, jq(x)dx = 0^ ограниченную вариацию в некоторой окрестности нуля, верна формула л=1 4
Далее следует сказать о некоторых результатах, связанных с получением регуляризованных следов дифференциальных операторов с частными производными. Нужно отметить многочисленные работы В. B. Дубровского, посвященные формулам регуляризованных следов для степеней оператора Лапласа на прямоугольнике, возмущенного различными классами ограниченных операторов.
Первыми работами в этом направлении стали работы В. А. Садовничего и В. В. Дубровского [29, 30]. Абстрактная теорема первой из этих работ позволила исследовать возмущение оператора Лапласа на квадрате интегральным оператором с гладким ядром, а во второй формула следа была получена для возмущения оператором умножения на функцию р{х,у) степени 3 + е оператора Лапласа на двумерном прямоугольнике с условиями Дирихле, и при некоторых ограничениях на потенциал формула приобретает вид, весьма сходный с формулой Гельфанда - Левитана: у(/і _л ) = р(Р,0) + р(а,0) + р{0,Ь) + р(а,Ь)
В этой же работе формула следа была доказана и для билапласиана, но для потенциалов, ряд Фурье которых содержит конечное число ненулевых слагаемых. Заметим, что в настоящее время формула следа для возмущения степени оператора Лапласа оператором умножения на ограниченную функцию была значительно усилена: из результатов работы [35] следует, что такие формулы справедливы для степеней (-А)" оператора Лапласа при а > 1 с условиями Дирихле на границе квадрата, возмущенного оператором умножения на ограниченную измеримую (комплекснозначную) функцию.
Одной из важнейших конкретных задач теории следов является задача, поставленная в 60-е годы И. М. Гельфандом — получить формулы следов для оператора Лапласа - Бельтрами на сфере. Крупным продвижением стала работа В. А. Садовничего и В. В. Дубровского [31], в которой был рассмотрен оператора Лапласа - Бельтрами - A + q, возмущенный гладким нечетным вещественнозначным потенциалом q на двумерной единичной сфере S . Позднее в работе тех же авторов [33] было предложено доказательство замечательной формулы \-\[h{q)+iq2S
Мо+Т;
24* s >„, - и(л + 1)(2и +1)
В работе [22] эта формула была уточнена В. Е. Подольским. В дальнейшем В. Е. Подольским были получены аналогичные формулы для любых степеней собственных чисел оператора Лапласа - Бельтрами с потенциалом на компактных симметрических пространствах ранга 1.
В заключение обзора развития теории регуляризованных следов следует отметить, что получение таких формул может быть полезно для нахождения собственных чисел соответствующих операторов.
Равенства (1) важны и интересны потому, что Ак{а) и В{а) выражаются в конечном виде через коэффициенты дифференциального выражения. Формулы (1) могут быть использованы для написания алгебраической системы уравнений (Лак-Ак(а)) = В(а),а = \,2,...,р относительно неизвестных Я,Д2,...,Яр. Это обстоятельство особенно существенно для приближенного нахождения первых собственных чисел соответствующих задач. Отметим, что регуляризованные следы, основанные на поправках теории возмущений, использовались для приближенной оценки собственных чисел в работах В. А. Садовничего, В. В. Дубровского и других [32, 34].
Перейдем к обзору содержания диссертации. Первая глава посвящена доказательству формул регуляризованных следов для обыкновенных дифференциальных операторов на вещественной оси с полиномиальными коэффициентами. Заметим, что дифференциальное выражением на прямой вида U dxJ> где Pj(x) - заданные полиномы с комплексными коэффициентами от вещественного переменного х можно представить в нормальной форме: /=2>>*)V. s+tun х + —
Здесь hst - комплексные числа, а - 4г\ dx)9 4г называют операторами рождения и уничтожения соответственно а и а
В качестве невозмущенного оператора рассматривается самосопряженный положительный оператор А в Z2(-oo,+oo)5 порожденный дифференциальным выражением вида (а )р ар, где р- натуральное число. В качестве возмущаемого оператора рассматривается оператор В, порожденный дифференциальным выражением вида , где q- s+tк обозначим собственные числа оператора А . Через juk обозначим собственные числа оператора А + В, занумерованные с учетом алгебраической кратности в порядке возрастания действительных частей.
Отметим, что бесконечная матрица, которая получается при матричном представлении дифференциальных операторов с полиномиальными коэффициентами в базисе, состоящем из функций Чебышева - Эрмита является обобщенной якобиевой матрицей.
В современной математической физике спектральная теория якобиевых матриц сама по себе занимает важное место, так как операторы, соответствующие таким матрицам, могут рассматриваться, как дискретные аналоги дифференциальных операторов, имеющих ясную физическую интерпретацию. Кроме того, теория операторов Якоби служит мостом к другим математическим областям вне теории операторов, в частности, к таким областям, как теория ортогональных полиномов и теория непрерывных дробей. Тем не менее, несмотря на давнее происхождение и огромное количество накопленных результатов, вопрос о спектральных свойствах матриц Якоби, в зависимости от поведения их элементов, изучен далеко не полностью.
В параграфе 1.1. мы приводим некоторые необходимые предварительные сведения из тории дискретных операторов, теории Шатена - фон Неймана симметрично - нормированных идеалов компактных операторов, следах и определителях возмущения.
В параграфе 1.2. рассматриваются матричные представления обыкновенных дифференциальных операторов с полиномиальными коэффициентами в Z-2(-00>+0) и свойства матриц Якоби. Также здесь рассматривается условие самосопряженности оператора, порожденного симметрической дифференциальной операцией с полиномиальными коэффициентами в L2 (-00,+00).
Параграф 1.3. посвящен получению формул регуляризованных следов для обыкновенных дифференциальных операторов на вещественной оси с полиномиальными коэффициентами. В нем доказана следующая теорема: Теорема 1.3.1. Пусть q < 2(р -1).Тогда существует возрастающая последовательность положительных чисел ат, ат —» +оо при т -» +оо такая, что /И-»+00
1 г (&(-V)k~l>о 2т rJ I 1 к где 'о ~~ + * и через Tw обозначена окружность на
2(/7-1)-2 комплексной плоскости радиуса ат с центром в нуле. В частности, при q < р — \ формула регуляризованного следа принимает следующий вид: -Ц| ]> У(,_;_ у-_АА ^ У У ^ С/"/)!
При доказательстве этой теоремы используются методы, близкие к методам, развитым В. Е. Подольским ([37]) .Однако, отметим, что в вышеприведенной теореме в формуле регуляризованного следа суммирование происходит без скобок и последовательность контуров Гт строится явно.
В параграфе 1.4. рассматривается частный случай вышеприведенной теоремы. Здесь получена формула регуляризованного следа для оператора
6-го порядка, порожденного дифференциальным выражением (а ) а , возмущенного оператором второго порядка, порожденного дифференциальным выражением вида ~ h20(a ) + hna a + h02a + hl0a + h0la + /j00, где hts єС: +00 1 E(/"y ~xj -Ax-K) = --КгК. y=o ->
Основные результаты первой главы опубликованы в работах автора [17, 18, 19].
Вторая глава работы посвящена формуле регуляризованного следа для одного класса абстрактных дискретных самосопряженных операторов, возмущенных ограниченным оператором.
Пусть Т- дискретный полуограниченный снизу самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве Н . Пусть Яп - собственные числа щ оператора Г, занумерованные в порядке возрастания с учетом кратности,
Р - ограниченный оператор в Н. Обозначим через jun собственные числа оператора Т+Р, занумерованные в порядке возрастания их действительных частей с учетом алгебраической кратности.
Пусть собственные числа Яп оператора Т удовлетворяют следующим условиям:
1. Яп ~ Сп, С > 0 при п -> +оо. » 2. зир(Я„+1-Ял ) = +оо.
3. Существует возрастающая последовательность положительных чисел iam} Z=\ > am ~*" +0 такая, что 2-(71 І7 ~ ^ для некоторого р, р>\,
К > 0, К не зависит от т..
Выберем подпоследовательность {пт }~=, натуральных чисел так, что пт т пт+\
В параграфе 2.1. доказана следующая теорема:
Теорема 2.1.2.
Справедлива следующая формула регуляризованного следа: lim 2>*-4.)+7^ 1 Z^r~(pR№)k m-»+ool „=і Ш ГгаЧ*=1 где Гот - окружность с центром в начале координат радиуса ат, lo=lP] + l
Заметим, что в данном случае рассматривается ограниченное возмущение оператора Т, который обладает неядерной резольвентой.
Вместе с тем собственные числа Ял удовлетворяют условию Лп ~ Сп, С > 0 при п —> -К», но при этом на вещественной оси существуют промежутки сколь угодно большой длины, свободные от чисел Яп.
В параграфе 2.2. рассматривается пример абстрактного оператора, удовлетворяющего условиям вышеприведенной теоремы. Далее обсуждается случай оператора, порожденного задачей Дирихле для оператора Лапласа на квадрате.
Основные результаты второй главы опубликованы в работах автора [20, 21].
Матричные представления обыкновенных дифференциальных операторов с полиномиальными коэффициентами в Z2(-oo,+co)
Пусть / - дифференциальное выражение на прямой вида / = ! ,«- (1.2.1) порядка г, где Pj(x) - заданные полиномы с комплексными коэффициентами от вещественного переменного х. Дифференциальное выражение / порождает на финитных бесконечно-дифференцируемых функциях на вещественной оси оператор L0 в пространстве квадратично интегрируемых функций L2 (-00,+00). Символом L обозначим его замыкание.
Если / является формально-сопряженным дифференциальным выражением, то оператор L является минимальным замкнутым симметрическим оператором, порожденным выражением / с всюду плотной областью определения в пространстве L2 (—00,+00). Рассмотрим дифференциальные выражения
На множестве финитных бесконечно-дифференцируемых функций выполняются соотношения х = —т=[а + а) — = —==\а-а) V2V h dx V2V ; Заметим, что операторы а и а не перестановочны, однако, их коммутатор [а,а ]= аа - а а = 1. Т. к. хк м = 1 {а + а)к{а-а)п (л/2)Л+" то, используя вышеприведенные соотношения получим, что дифференциальное выражение / можно представить в виде 1= ЕМО я (1.2.2) (см. [12]), где hst є С и «-натуральное число, где hsn_s = 0 для некоторого s є {0,1,..., и}.
Если выражение / является формально-сопряженным, то hst = hts . Здесь числа hst определяются коэффициентами многочленов Pj (х) . Особо отметим, что числа г и п могут принимать и нулевые значения; выражение / в случае г — 0 - это оператор умножения на многочлен, а в случае п - 0 - это оператор умножения на число. Таким образом, число п, вообще говоря, отлично от г.
Здесь строки будут соответствовать слагаемым в (1.2.2) при фиксированном п, а столбцы - элементам с фиксированной разностью s — t.
Используя вышеприведенные соотношения, заключаем, что бесконечная матрица, которая получается при матричном представлении дифференциальных операторов с полиномиальными коэффициентами в базисе (рк, является обобщенной якобиевой матрицей, т.е. матрицей с элементами c(j (/,7 = 0,1,...) вида соо С01 С0к 0 0 0 0 ... С10 сп СХк С\,к+\ 0 0 0 ... Ск0 ск\ Скк Ск,к+\ Ск,2к+\ 0 0 ... 0 СА+1,1 Ск+\,к Ск+\,к + \ Ск+\,2к+\ Ск +1,2 +2 0 ... У этой матрицы ctj = 0 при \i: — jг к. Если выражение / является формально-сопряженным, то эта матрица является эрмитовой, т. е. с = cJt . Вернемся снова к изучению выражения / (1.2.2). Запишем выражение / в виде / = „(a )V+ /=0 If] {им)ЛаТг а +1гм,ЛаУам ) 1=0 + ] у=о ы Е (W. )"2J V +Ьм„ЛаУам»1) 1=0 (1.2.3) Отсюда заключаем, что каждое слагаемое вида 2w« )Mv ,./=0,1 /=0 п и (=0 /2-І вносят свой вклад только в элементы css+2j И C5 J+2y-+i (s = 0,1,...) соответственно. Учитывая формулы для (a )m апсрк, получим, что при s = 0,1,... справедливы следующие равенства: к mnl 4 2 .р to ( -0! (1.2.4) и И min s„ _ , , to O 0! Докажем, например, соотношение (1.2.4). Так как j = 0,1,..., л-1 (1.2.5) (J-/)! КуАяУ я ф = h"UJ V /„_;M" +2; ПрИ S І n( {f]-y) /+2/,/ /=0 (5-0! E Wfl ) +2y V, = №s+w 77- -2;, /=0 что доказывает это соотношение. Легко видеть, что этими формулами определяются все ненулевые элементы нашей матрицы (су). В частности, если с{] = сл , то получим, что
Рассмотрим далее условия самосопряженности оператора L . Пусть дифференциальное выражение / имеет вид / = 5 „( r)V /=0 где hH {і = 0,1,...к) - вещественные числа и hu Ф 0. Это выражение является дифференциальным выражением порядка г = 2к с коэффициентом (-1) h кк при производной порядка г. Из вышесказанного следует, что оператор L является симметрическим дифференциальным оператором 2к - го порядка, матричное представление которого имеет чисто диагональную форму с элементами css (см. (1.2.4) при j = 0) на главной диагонали. Следовательно, оператор L самосопряжен, полуограничен снизу и имеет дискретный спектр. Собственные значения Ях (= css) этого оператора вычисляются по формулам mm(s,k) U а функция ps является собственным вектором, соответствующим собственному значению Я3. Отметим, что кратность собственного значения Я5 зависит от соотношений между числами hu.
С другой стороны, справедливо равенство Н = 2а а +1, где + х гармонический осциллятор. аким образом, в данном случае оператор L является многочленом степени к от гармонического осциллятора и соответствующим образом наследует его спектральные свойства.
Пример оператора 6-го порядка, возмущенного оператором 2-го порядка
При выполнении условия (1.2.6) этот коэффициент окажется ненулевым числом, т. к. равенство сск = О приводит к неравенству, противоположному с (1.2.6). Следовательно, из условия (1.2.6) следует, что г = 2к. При этом количество ненулевых диагоналей в матрице этого оператора, очевидно, зависит от hy и может быть любым числом вида 2/ +1, где 0 / к.
Когда рассматривают матрицы Якоби, изучают также трехчленные рекуррентные соотношения, теорию ортогональных полиномов и аналитическую теорию непрерывных дробей. Значительное количество результатов во всех этих областях было накоплено на протяжении длинной истории математических исследований. Изучение трехчленных рекуррентных соотношений восходит к работам Чебышева и Маркова. Стилтьес использовал затем рекуррентные соотношения и их связь с непрерывными дробями, когда исследовал так называемую проблему моментов [1]. Но, несмотря на давнее происхождение и огромное количество накопленных результатов, вопрос о спектральных свойствах матриц Якоби, в зависимости от поведения их элементов, изучен далеко не полностью. Матрицы Якоби естественно возникают при исследовании разностных операторов и уравнений. В современной математической физике спектральная теория якобиевых матриц сама по себе занимает важное место, так как операторы, соответствующие таким матрицам, могут рассматриваться, как дискретные ана логи операторов, имеющих ясную физическую интерпретацию. Действительно, якобиевы матрицы являются дискретным аналогом одномерных операторов Штурма-Лиувилля. В пределах этого класса дискретных операторов, можно выделить дискретные операторы Шредингера и дискретные операторы струны. Более того, роль бесконечных трехдиагональных матриц в теории операторов выходит далеко за пределы анализа разностных операторов. С одной стороны, спектральная теория таких матриц играет важную роль в общей теории симметричных операторов в гильбертовом пространстве, как это иллюстрирует теорема Стоуна в частном случае самосопряженных операторов. С другой стороны, теория операторов Якоби служит мостом к другим математическим областям вне теории операторов, в частности, к таким областям, о которых мы уже говорили: теория ортогональных полиномов и теория непрерывных дробей.
Роль бесконечномерных трехдиагональных матриц в теории операторов выходит далеко за пределы анализа разностных операторов. Спектральная теория таких матриц играет важную роль в общей теории симметричных операторов в гильбертовом пространстве.
Теория якобиевых матриц расширяется за пределами теории операторов. Якобиевы матрицы тесно связаны с теорией ортогональных полиномов и с аналитической теорией непрерывных дробей. Далее мы приведем иллюстрацию этого утверждения.
Рассмотрим самосопряженный оператор Якоби J, порожденный симметричной трехдиагональной матрицей вида Ъх О О Чг Ь2 0 Ъг q3 Ъъ Поставим ему в соответствие, с помощью спектральной теории, меру ju(t), определенную спектральной мерой для базисного вектора е,, т.
Таким образом, мы имеем соответствие между якобиевыми матрицами и единичными мерами (вероятностные меры). Замечательно, что эта связь может быть выявлена через ортогональные полиномы без использования спектральной теоремы. На самом деле, пусть //(0 единичная мера, носитель которой содержит бесконечное число точек. И предположим, что все "моменты" sk существуют. sk = \tkdM(t), к = 0,1,.... -00 Если мы применим процесс ортогонализации Грамма-Шмидта к последовательности { "}Т=о по отношению к ( , )L2(R,fi), получим последовательности ортогональных полиномов {Р„(х)}=0такие, что Р„(х) имеет степень п и \Pn{t)Pm{tW{t) = 5nm. -00 Тогда оказывается, что эти полиномы удовлетворяют трехчленному рекуррентному соотношению tPn-i(t) = K-A-2(t) + qnPn-i(t) + bnP„(t), п = 1,2,..., Л,(/) = 0, где {&„}Т=1 и ton}T=i являются последовательностями, определяющими матричные коэффициенты якобиевой матрицы со спектральной мерой ju . 1.3. Формулы регуляризованных следов.
Пусть р- натуральное число и оператор А0 в L2 (—00,+00), который порожден дифференциальным выражением {а )рар (см. 1.2.2, здесь h5t = 0 при s t) на финитных, бесконечно-дифференцируемых функциях на вещественной оси. Как мы уже показали, aaf = (W f), где Hf = -f" + xf- гармонический осциллятор и (а )рар является многочленом от Я с вещественными коэффициентами. Оператор А0 допускает замыкание А в L2 (-00,+00). Ортонормированные базисные функции (рк (х) являются собственными для оператора А, соответствующие собственным числам Як, где Як =к(к — \)...{к — р + \) при к р и Як=0 при к р. Заметим, что Як =0(кр) при к— + х . Так как оператор А имеет в базисе (рк (х) диагональную матрицу с вещественными элементами, то оператор А является самосопряженным в Х2(-оо,+оо). Пусть далее оператор В порожден дифференциальным выражением а , где q— натуральное число. Отметим, что все элементы Ък матрицы оператора В q имеют порядок 0(к2) при к — +оо. Через Цк обозначим собственные числа оператора А + В, занумерованные с учетом алгебраической кратности в порядке возрастания действительных частей. Будем считать в дальнейшем, что q 2р .
Формулы регуляризованных следов
Настоящий параграф работы посвящен формуле регуляризованного следа для одного класса абстрактных дискретных самосопряженных операторов, возмущенных ограниченным оператором. Основные результаты второй главы опубликованы в работах автора [20, 21]. Пусть Т— дискретный полуограниченный снизу самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве Н . Пусть Яп - собственные числа оператора Т, занумерованные в порядке возрастания с учетом кратности и v„ - ортонормированный базис собственных векторов оператора Т, соответствующих этим собственным числам. Пусть собственные числа Ял оператора Т удовлетворяют следующим условиям: 1. Яп Сп, С 0 при п - +со. 2. sup(A„+1-A„ ) = +оо. п 3. Существует возрастающая последовательность положительных чисел 00 J {am)Z=\5 am +0 такая, что 2-і71 Г7 для некоторого р, р 1, и=1 I К ат I К 0, К не зависит от т. Пусть подпоследовательность {«m}m=i натуральных чисел выбрана так, что пт ат / ли+і Р- ограниченный оператор в Н. Обозначим через ju„ собственные числа оператора Т+Р, занумерованные в порядке возрастания их действительных частей с учетом кратности. Теорема 2.1.1. Справедлива следующая формуларегуляризованного следа: lim H(Mn-\)+i-Sp\ Y -j—iPR J)) о їГМ-1) "!,ппч «тч = где Tm — окружность с центром в начале координат радиуса ат, /о =1 ] +1. Заметим, что в данном случае рассматривается ограниченное возмущение оператора Т, который обладает неядерной резольвентой. В месте с тем, собственные числа Яп удовлетворяют условию Лп Сп, С 0 при п —» +со, но при этом на вещественной оси существуют промежутки сколь угодно большой длины, свободные от чисел Яп. Пусть d{X) = fft\ft\X-A.n\- расстояние от Я до спектра сг(Т) п оператора Т. Для доказательства будем использовать следующую лемму: Лемма 2.1.2. , Г 1 1 -П( 1 л При а \ У Тл-и{Йа-\, J. гу (Я) d (a J Доказательство. х/2 amd p
Для доказательства оценим I " jz . Заметим, что при Ф є 0 \ате Лпт I I теір - Кт №ат-Кя\ и I атеіч - Я„ J ат sin р. Пусть \ат Кт I ю — т m . Я Тогда nil „ /„ Рт „ J„ л72 \\aei9-X Г la -А (OJ Хорошо известно, что если Т — самосопряженный оператор, то для нормы его резольвенты Я(Я,Т) = (Т - ЯЕ) справедливо соотношение Я(А,Г) = ———Tzrr, где р— расстояние на комплексной плоскости. При Р\А, стЦ )) ЯєГ, m имеем а(Я) d(am) Поэтому — . Из выбора ат ясно, что d(am)- + x при т — +оо. Поэтому при Я є Гт и достаточно больших т \\Р\\ — q l дЛЯ некоторого q. Следовательно, резольвента Я(Я, Т + Р) = (Т + Р - ЯЕ) возмущенного оператора Т + Р существует при ЯеГт и допускает разложение в ряд Неймана, равномерно сходящийся по операторной норме на Гт : Я(Я,Т + Р) = Я(Я,Т)- Я{Я,Т)РЯ{Я,Т) + К(Я,Т)(РЯ(Я,Т))2 -... (2.1.1) Отметим, что при достаточно больших m количество собственных чисел операторов Т и Т + Р с учетом алгебраической кратности совпадает(«т штук). Заметим, что из того, что собственные числа Лп оператора Т удовлетворяют условию Лп Сп, С О при п — +со вытекает, что PR(A,T) є&2 . Следовательно можно рассматривать регуляризованный определитель возмущения (см 1.1.4) D2 (Л) = det2 (Е + РЯ(Л, Т)).
Покажем, что справедливо следующее представление для логарифма этого определителя возмущения: 1п 2(Я) = Sp\fy -{PR{A,T))1 v і=г При Л таких, что \\PR(A,T)\\ \ функцию \п(Е + РЯ(Л,Т)) можно разложить в ряд Тейлора: ЩЕ + РЯ{Л,Т)) = Щ-{РЯ(Л,Т))1. /=і Тогда получим: Sp (-1) "1 EH" (PRW))1 =Sp{]n(E + PR&9T))-PR&,T)l (2.1.2) /=2 J d ( dA(u) Заметим, что \, где F{z) - скалярная голоморфная в некоторой содержащей спектр оператора A(ju) области комплексной плоскости функция. Дифференцируя по Л правую часть равенства (2.1.2) получим следующее равенство: d ( (— lV-1 d -7тЩ j)- -(PR ,T))1 =- Sp(HE + PR&,T))-PR&,T)) = ал /=2 / ) а А = Sp((E + PR(A,T)ylPR2(A,T)-PR\A,T)). Используя равенство R(A, Т + Р) = R(A, Т)(Е + PR(A, Т)) и свойство следа Sp(AB) = Sp(ВА), получим dX /-і \ ) SP\Y}-1— (PR( T)) \ = Sp{R{XJ + P){PR{XJ))2). W=2 J С другой стороны, известно, что (см. 1.1.5) -- In D2 (Я) = -Sp(R(X, Т + P)(PR(X, Т))2). ал Таким образом, получаем, что 77 2 ( "77 2-і ] (PR(A, Т)) ил и А \ 1-2 I НУ \l=2 I J Кроме того, из определения D2{X) следует, что при )РЛ(Я,7,) — 0 имеем D2 (X) —»1. Таким образом, окончательно получаем, что 1/=2 . Проинтегрировав это равенство по У окружности Гш и применяя интегрирование по частям, получим: (-і) -1 2т \Ц Т,Ч—(РЯ( Т)У dX = -г-. \ D2(X)dX = = — \X—\nD2(X)dX, 2m rJ dX Используя вышеприведенную формулу для —rrIn D2 (Я)} получим: dX /-і N dX = -. mt -iPRixj))1 = -— jXSp(R(X,T + P)(PR(X,T))2)dX = 2m r 2m \xSp[R{X,T) - R(X,T + P) - R(X,T)PR(X,T)}lX
Далее надо разбить полученный интеграл на сумму интегралов, но сделать это непосредственно нельзя, так как каждый из операторов отдельно под операцией следа, вообще говоря, не ядерный. Однако, операторы вида XR(X,T)(PR(X,T)) dX конечномерные: они являются суммой конечного числа вычетов в точках спектра оператора Т, расположенных внутри контура Г„1? а разложение в ряд Лорана оператора R(X,T) в окрестности каждой из этих точек имеет коэффициентами главной части конечномерные операторы, что обеспечивает конечномерность и всех возникающих композиций операторов - коэффициентов разложения. Таким образом, используя перестановочность операций следа и интегрирования по параметру семейства ядерных операторов, можно записать интеграл от следа суммы операторов в виде суммы следов конечномерных операторов:
Примеры
Следует отметить, что крупное продвижение теории было достигнуто A. Г. Костюченко ([11]). Для возмущения положительного дискретного дифференциального оператора в L2(R) с операцией вида 1у = (-1)" у + р2т_2 (х)/2т 2) +... + р0 (х)у оператором умножения на финитную функцию q{x) є Lx было доказано, что если Jq(x)dx = 0 s то 2_, (м„ Ю = и был получен результат -00 л=1 для оператора четвертого порядка на полуоси: для граничной задачи УФ) = У Ф) = 0 и для потенциала q(x), имеющему, кроме уже указанных +00 условий (q{x)-финитная, q(x) є Lx, jq(x)dx = 0 ограниченную вариацию о в некоторой окрестности нуля, верна формула л=1 4 Далее следует сказать о некоторых результатах, связанных с получением регуляризованных следов дифференциальных операторов с частными производными. Нужно отметить многочисленные работы В. B. Дубровского, посвященные формулам регуляризованных следов для степеней оператора Лапласа на прямоугольнике, возмущенного различными классами ограниченных операторов.
Первыми работами в этом направлении стали работы В. А. Садовничего и В. В. Дубровского [29, 30]. Абстрактная теорема первой из этих работ позволила исследовать возмущение оператора Лапласа на квадрате интегральным оператором с гладким ядром, а во второй формула следа была получена для возмущения оператором умножения на функцию р{х,у) степени 3 + е оператора Лапласа на двумерном прямоугольнике с условиями Дирихле, и при некоторых ограничениях на потенциал формула приобретает вид, весьма сходный с формулой Гельфанда - Левитана: у(/і _л ) = р(Р,0) + р(а,0) + р{0,Ь) + р(а,Ь)
В этой же работе формула следа была доказана и для билапласиана, но для потенциалов, ряд Фурье которых содержит конечное число ненулевых слагаемых. Заметим, что в настоящее время формула следа для возмущения степени оператора Лапласа оператором умножения на ограниченную функцию была значительно усилена: из результатов работы [35] следует, что такие формулы справедливы для степеней (-А)" оператора Лапласа при а 1 с условиями Дирихле на границе квадрата, возмущенного оператором умножения на ограниченную измеримую (комплекснозначную) функцию.
Одной из важнейших конкретных задач теории следов является задача, поставленная в 60-е годы И. М. Гельфандом — получить формулы следов для оператора Лапласа - Бельтрами на сфере. Крупным продвижением стала работа В. А. Садовничего и В. В. Дубровского [31], в которой был рассмотрен оператора Лапласа - Бельтрами - A + q, возмущенный гладким нечетным вещественнозначным потенциалом q на двумерной единичной сфере S . Позднее в работе тех же авторов [33] было предложено доказательство замечательной формулы
В дальнейшем В. Е. Подольским были получены аналогичные формулы для любых степеней собственных чисел оператора Лапласа - Бельтрами с потенциалом на компактных симметрических пространствах ранга 1. В заключение обзора развития теории регуляризованных следов следует отметить, что получение таких формул может быть полезно для нахождения собственных чисел соответствующих операторов.
Равенства (1) важны и интересны потому, что Ак{а) и В{а) выражаются в конечном виде через коэффициенты дифференциального выражения. Формулы (1) могут быть использованы для написания алгебраической системы уравнений (Лак-Ак(а)) = В(а),а = \,2,...,р относительно неизвестных Я,Д2,...,Яр. Это обстоятельство особенно существенно для приближенного нахождения первых собственных чисел соответствующих задач. Отметим, что регуляризованные следы, основанные на поправках теории возмущений, использовались для приближенной оценки собственных чисел в работах В. А. Садовничего, В. В. Дубровского и других [32, 34].
