Введение к работе
Актуальность теми. Теория псевдсдоОТорешшалыщх операторов (п.д.о.), созданная в последние три десятилетия, стала активным средством исследования дифференциальных (и псевдодиффе-ренпиальннх) уравнений в частных производных. Основы теории п.д.о. в современном виде были заложены в статьях Дж.Коиа, Л.Ниренберга и ЛЛермандвра (см. Ції ). Существенное дальнейшее развитие это1 теории и еэ приложений получило в работах ЛЛермандвра, М.С.Аграновича, Л.Р.Волевича, З.В.Груиина, Ю.В.Егорова, М.Сато, Т.Каваи, М.Кашиварн, Ф.Трева, Х.Кумано-го, В.Я.Иврия и других. В этой, считающийся ныне классической, тэории п.д.о. предполагается гладкость символа в кокасательном пространстве. Литература, посвяденная этой теории обширна и имеются несколько монографий [ г] , [3 ] , [4 ] . [5 J , f6 ] и др.
Однако при исследовании ряда задач математической физики возникает необходимость в п.д.о., символы которых допускают особенность в кокасательном расслоении. Например, такие операторы появляются при исследовании простейших нелокальных задач -- разрешающие операторы двух- (или многоточечных задач являются п.д.о. с символами имеющими особенности, Такие операторы возникают также в квинтовой механике, стохастической теории упругости и т.д. (см. fill )
С конца 70-х и начала 80-х годов на\длась разработка теории п.д.о. с. символами с особенностями [7 ] , f 8 J , f9],f id/llj . Причем одновременно были предложены различные подходы.
Отметим также, что комплексные п.д.о. с особенностями позволили обнаружить глубокую связь между аналитической и экспоненциальной разрешимостями систем дифференциальных и псевдо-дифференциалъннх уравнений.
Отмеченные обстоятельства стимулвровали в последние годи активную разработку этоА тематики радом исследователей, что говорит, на наш взгляд, об актуальности темы диссертации.
тдэль работы. Цель» диссертационной работы являются: 1.1)исследование топологических пространств экспоненциальных и аналитических функций и Функционалов;
Я)исследование пространств обоб'ценных функций, являмдигся областями опрэделения п.д.о. с символами вещественного я комплексного аргумента.
-
Разработка алгебры п.д.о. с аналитическими и мероморЛ-кнмя в области из С1 .символами.
-
Исследовании хорреатных постановок обіцих граничных (вообтс гсссря, нэлокажьп.чх) задач гая. псевдодиііфвренапальннх уравнений и систем с вещественными и комплексными аналитическими (мероморфными) символами.
-
Исследование разрешимости абстрактних нелинейных дифференциально -операторных уравнений бесконечного порядка и их приложений к краевым задачам.
Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. Они состоят в следующем.
1.1) доказан критерии плотности пространств, являющихся областями определения п.д.о. с аналитическими в области из ft символами, в пространствах Соболева, Бесова и др.;
2) найдены точные условия замыкаемости п.д.о. с аналитическими символами в пространствах Соболева, Бесова и др.
2.1) установлен критерий корректности общих граничных задач для псевдодифференпиальных уравнений с вещественно аналитическими символами;
2) найдены точные достаточные условия разрешимости (при невыполнении условий корректности) для эллиптических операторов с граничным оператором дробного порядка. D частности, найдеш точные значения порядка граничного оператора, при переходе через которые увеличивается число условий ортогональности.
3.1) доказана теорема об обратимости матричных символов с комплексно аналитическими или мероморфными символами;
2) установлено, что п.д.о. с мероморфными символами многозначны; определена "степень многозначности" в числовых характеристиках.
4.1) доказан критерий корректности систем п.д. уравнений с комплексно аналитическими символами;
-
установлена двойственность между аналитической разрешимостью систем дифференциальных уравнении и экспоненциальной разрешимостью двойственных п.п.уравнет-ff;
-
аналогичные результаты установлены для оо'"шх граничных задач для систем п.д. уравнение (':одеп'-:з''";~<. п- частности,
задачу Копій);
4) доказана разрешимость'общих граничных задач для' систем п.д. уравнений с мороморфннми символами/
5.1) установлены критерий нетривиальности пространств бесконечно дифференцируемых векторов, порожденных линейішм замкнутим оператором, определенным в банаховом пространство;
2) доказана разрешимость абстрактных днфТзренЕкалъно-операторных уравнений бесконечного порядка, и как приложение установлена разрешилость некоторых новых классов нелинейных дифференциальных уравнений бесконечного порядка.
.'.'етодн исследования. В первой главе основными методами исследования являются методы теории обобщенных функций,-теории расслоенных пространств и теории функций многих комплексных церемонных.
Во второй глава применен метод;, опирающийся на зашкани" разрешающих операторов в пространствах конечной "гладкости" (Соболева, Бесова и др.). Такой подход, основанный на локализации особенностей символов разрешающих операторов, с помощью множества Q , по-видимому, применяется впервые. В этой главе также попользованы методы теории линейных -эллиптических краевых "зааач и теории самосопряженных операторов. ,
Б третьей!! четвертой главах1 использованы методы функционального анализа, ъ частности, спектральной теории линейннх операторов і; теории функігліЬ многих комплексных переменных.
EtoiSEIii^S^JlJLiUIffiTjQein' Результаты диссер-таызн: р основне*/, носят теоретический характер. Они' могут бань также использовали в кввчтоьс" «еланике, теории упругости и
Гф}Т!!Х ОблаС'ГЯХ НОУКГ..
АПІйй41ШЯ_йаЗЇЗьтаїот. Результата диссертации по мере полутенил до клади вались: на совместннх заседаниях Поскоке кот с. .у&тегатичсского оо^естпа л семинара ш. И.Г.Петровского (19W5r), на Р.сеоо:з:-н,7.к ксн|.ормга:яг "-Буншискальнуе мчтоцы в математическое і'іЛіЗі'кгі" 11987, Ташкент), "Актуальные npoO.e.vu комплексного анализа" (198с, Ташкент), на Всесоюзных ьимных математических шшхтах (Воронеж, 1ЯЇ9,1930,1991 гг.), на Международно!! кожї-ореннші по "ДП'Т)їіерені!ііаль;!;л,'і уравкєиин!'.ї" (Москва, 1991 г.),
на Школе молодих ученых "Современные методи в теории краевых задаг.* (Воронеж, 1992 г.), на семинарах по "Дифференциальным уравнениям" в Московском энергетическом институте (рук. чл. корр. Российской АН Похожаэв СИ,, проф. Ломов С.А., проф. ДубяясиЛ В.А.). вафеярм "Математического моделирования" МЭЙ (рук. про*. Дубинский Ю.А.) кафедры "Математической физики" ТашГУ (рук. чл.корр. АН Республики Узбекистан, проф. Алимов Ш.А.), по дифференциальным уравнениям Института математики им. Романовского В.И. АН Республики Узбекистан (рук. академик АН Республики Узбекистан Салахитдинов М.С., академик АН Республики Узбекистан Лдураев T.lte.)
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Главы 1 - Ш составляют первую часть, а глава 17 - вторую часть работы. Каждая глава разбита на параграфы, а некоторые параграфы разбиты на пункты. Объем диссертации 233 страниш, включая 14 страниц цитированное литературы. В списке литературы 142 наименований.
Похожие диссертации на Псевдодифференциальные операторы и вопросы разрешимости краевых задач
