Введение к работе
Актуальность проблемы. В работе рассматривается классическая задача вариационного исчисления
Вопрос о существовании и аналитичности решения такой
задачи в предположениях аналитичности /_, и выполнения л,
всвду неравенства /_ [^ (ос,ц,іг)ї-%- ^firj составил
* J т
суть 19-й и 20-й проблем Гильберта |_I, C.54-55J
Исследования одномерного аналога этой задачи били по -свящоны работы Л.Тон-зллл первой половины ХХ-го века. Тонел-ли доказал теорему существования и частичкой регулярности решения задачи в класса абсолютно непрерывных функций 2 J . Принципиально важный пример, показывающий, что точная нижняя грань функционала jf(LL(t:)) при таком расширении его области определения вообще говоря понижается, построил М.А.ЛаврентьовЦз J . Этот эффект получил в литературе на -звание эффекта Лаврентьева и изучался в работах Н.Н.Боголюбова и Н.М.КрыловаГ4, с.176 J , а такяе современных работах
-
Проблемы Гильберта. М.:Наука, 1969, 240 с.
-
Тогъес L. foruUunjtnti dl CaZcoZc cklU Vo^iajtioni,
-
LcwSVlwtiUr И. Sua. сумісним fyto^&rnti du. cc&cut etzs bcvucJxcvs jjf //in- nvxt. рила, cct cu>f>. -ІЗЯ6, fl///t f>.?-28.
-
Бого.:;обов Н.Н.Избранные труды.К.:Наукова дулка,1969,6*70.
Чезари, Энджела, Лоуэна и других авторов.
Одномерным же задачам посвящены работы 80-х годов из -вестных современных аналитиков Дя.Болла, Ф.Кларка, а также работч Ф.Винтера, Ф.Лоуэна, Дзвие и др. В этих работах уси -ливаются результаты Тонелли, показывается,- что теорема о частичной регулярности обобщенного решения точна. Приводится также пример задачи, в которой производная гладкого внутри интервала обобщенного решения обращается в бесконечность в граничной точке интервала, а минимизирующие функционал по -следовательнооти б"классе гладких функций сходятся равномерно к обобщенному решению Г 5-6 j .
Изучению вопроса классической разрешимости многомерных задач посвящены работы многих авторов, в их числе: С.Н.Бернштейна, С.Л.Соболева, О.АЛадыженской и Н.Н.Ураль -цевой, Морри, Де Дгорджи, Стамппаккиа, а также недавние работы Джаквинты, Модики, Асерби, Фуско и др. Б этих работах результаты о классической разрешимости задачи при дополни -тельных ограничениях на лагранжиан [_, -5ыли получены пу -тем доказательства-регулярности обобщенных решений. Хорошо' известно также, что задача имеет обобщенное решение, если лагранжиан L (ос, U, Ч JL) имеет более чем линейный рост и выпукл по Vlt ' .
5. ВоМ О. М., Міггі Ш One - clime.wona ]/амаіСсмІ FKd-
BcMAAtion, ff Alt*, lotto*. mx.ck. сииСсиюі. i3SS~. v. QO. t/lff
p.iZ5--3Si. tot
6.. CtaJiU F. H.} Vitcbe*. .. Ok Ыл. comUUoh.3 имсЬл wlUeL bfU. Ви&еъ Ваил^Ьшх. eft Ыл. тажстсип. &UMc*jy&~ h>&t// ЛН>Є. fnaXA. CLKfL opb**. J9Іl< . /SU. p. 73- f-9.
В то же время оставалось неизвестным даже в одномерном случае будет ли задача иметь решение в классе гладких функций лишь в предположениях теоремы существования обобщенного решения и ограничениях наложенных на лагранжиан L, -при постановке 19-й проблемы Гильбертом. В случае невыполнения условий теоремы существования обобщенного решения примеры классически неразрешимых задач были построены еще в [ 7 , с.229] .
Цель работы. Получить ответ на вопрос о классической разрешимости регулярных по Гильберту вариационных задач (в том числе одномерных) при выполнении условий теоремы существования обобщенного решения.
Научная новизна. В работе получены следующие, новые результаты:
для всех размерностей пространства независимых переменных в условиях теоремы существования обобщенного решения построены примеры регулярных по Гильберту вариационных за -дач, не имеющих классического решения;
построены примеры одномерных задач, которые не имеют решения в классе гладких внутри интервала <5ункций для мно -жества граничных данных, содержащего непустое открытое в IR подмножестве. При этом графики обобщенных решений не явля -ются аналитическими кривыми;
построены примеры неразрешимых в классическом смысле регулярных задач, в которых L.&C , J^-i^U Ь(x,u./7U]jtLilV'U|
/41^1. Lvllr;(*,^v)^j*ju^|* jitAfcJ4,t>0.
7 ЕешпітеГін СІЇ. Собп.!іие сочинений.Т.3.Изд./CI СССР.Москва.
IS50. " .
Основная методика исследования. В работе используются метода теории экстремальных задач, теории дифференциальных уравнений, теории функций действительного переменного.
Теоретическая и практическая ценность. Результаты носят теоретический характер и могут быть испояьзовшш в качественной теории дифференциальных уравнений.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинарах: ИМ СО РАН по качественной теории диффэренци -альных уравнений под руководством проф.Т.И.Зеленяка, на семинаре отдела анализа под руководством акад.Ю.Г.Решетника, на семинаре ИМ им.В.А.Стеклова под руководством проф. В.П.Михайлова, на семинаре ИГ СО РАН под руководством-, чл.-корр.П.И.Плотникова, на заседании Сибирского математического общества в феврале 1992 года.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 3 работы.
Структура и объем диссертации. Диссертация объемом 68 стра'нтц состоит из введения, трех параграфов и за -ключения. Список литературы содержит 50 наименований.,
Похожие диссертации на К вопросу о классической разрешимости регулярных вариационных задач
