Вопросы разрешимости начальных задач для абстрактных дифференциальных уравнений с дробными производными Богачева Юлия Владимировна

Содержание к диссертации

Введение

ГЛАВА 1. Задача типа Коши для дифференциальных уравнений, содержащих слагаемые с различными дробными производными 26

1.1. Задача типа Коши для простейшего дифференциального уравнения с дробными производными 26

1.2. Возмущение простейшего дифференциального уравнения ограниченным оператором 30

1.3. Задача типа Коши для дифференциального уравнения, содержащего слагаемые с различными дробными производными. Модельный случай 35

1.4. Задача типа Коши для дифференциального уравнения, содержащего слагаемые с различными дробными производными. Общий случай 44

1.5. Задача типа Коши для неоднородного дифференциального уравнения, содержащего слагаемые с различными дробными производными 54

1.6. Дифференциальное уравнение дробного порядка с переменными коэффициентами 59

ГЛАВА 2. Задача типа Коши для дифференциальных уравнений, содержащих композицию дробных производных 64

2.1. Задача типа Коши для дифференциального уравнения, содержащего композицию дробных производных. Случай 1 64

2.2. Задача типа Коши для дифференциального уравнения, содержащего композицию дробных производных. Случай 2 77

2.3. Задача типа Коши для дифференциального уравнения, содержащего композицию дробных производных и два оператора 86

2.4. Задача типа Коши для дифференциального уравнения с переменными коэффициентами, содержащего композицию дробных производных. Случай а + 3 < 1 91

2.5. Задача типа Коши для дифференциального уравнения с переменными коэффициентами, содержащего композицию дробных производных. Случай а + = 1 97

2.6. Задача типа Коши для дифференциального уравнения с переменными коэффициентами, содержащего композицию дробных производных. Случай 1 < а+(3 < 2 98

ГЛАВА 3. Итерированная задача типа Коши 101

3.1.Однородная итерированная задача типа Коши 101

3.2. Неоднородная итерированная задача типа Коши 106

Список литературы 109

• Возмущение простейшего дифференциального уравнения ограниченным оператором
• Задача типа Коши для неоднородного дифференциального уравнения, содержащего слагаемые с различными дробными производными
• Задача типа Коши для дифференциального уравнения, содержащего композицию дробных производных. Случай 2
• Задача типа Коши для дифференциального уравнения с переменными коэффициентами, содержащего композицию дробных производных. Случай а + 3 < 1

Введение к работе

Мысль об обобщении понятия дифференцирования d^pf(t)/dt^p на нецелые значения р возникла с самого зарождения дифференциального исчисления. Первые шаги были сделаны Л. Эйлером в 1738 г., П. Лапласом в 1812 г., Ж. Фурье в 1822 г. Собственно историю дробного исчисления следует вести с работ Н.Х. Абеля и Ж. Лиувилля, появившихся в 30-е годы 19 века. Рядом с работами Ж. Лиувилля по значимости следует поставить работы Б. Римана, который пришел к конструкции дробного интегрирования, служащей с тех пор одной из основных форм дробного интегрирования.

Развитие области математического анализа, называемой дробным исчислением, и посвященной исследованию и применению производных и интегралов произвольного (вещественного или комплексного) порядка, обусловлено проникновением и взаимосвязями с самыми разнообразными вопросами теории функций, интегральных и дифференциальных уравнений и др.

История развития дробного интегродифференцирования знает немало работ, в которых в разное время переоткрывались уже известные результаты, иногда теми же самыми средствами, что и у предшественников, иногда на основе других методов. Это обстоятельство усугублялось тем, что существует большое число различных подходов к дробному интегродиф-ференцированию и, следовательно, различных направлений в дробном исчислении. Сопоставление этих подходов и направлений проводилось редко и было сравнительно мало известно. Важным шагом в развитии стало написание книги, которая объединила разные исследования в направлении по изучению дробных производных и интегралов, написанная С.Г. Самко, А.А. Килбасом и О.И. Маричевым "Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения" [34].

Несколько лет спустя появилась книга Miller К., Ross В. "An introduction to the fractional calculus and fractional differential equations" [42]. Среди во-

просов, которые рассматривались в этой книге отметим следующие: нахождение линейно независимых решений однородного дифференциального уравнения дробного порядка, определение дробной функции Грина, сведение исследования разрешимости дифференциального уравнения дробного порядка к исследованию разрешимости обыкновенного дифференциального уравнения целого порядка. Кроме того, в этой книге изучены интегральные уравнения дробного порядка, дробные дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами и др.

Дальнейшему развитию дробного исчисления способствовала книга A.M. Нахушева "Дробное исчисление и его применение" [28]. В этой монографии изложены мысли и идеи, которые возникли у автора в процессе поиска методов решения различных, как локальных так и нелокальных начальных, смешанных и краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных основных и качественно новых типов. В первую очередь имеются в виду уравнения смешанного типа, возникающие при математическом моделировании трансзвуковых течений, процессов тепло-и массопереноса в средах с фрактальной структурой. В этой же книге указано, что основой большинства математических моделей, описывающих широкий круг физических и химических процессов, протекающих во фрактальных средах, при математическом моделировании экономических и социально-биологических явлений, являются дифференциальные уравнения дробного порядка, в том числе уравнения в частных производных. Поэтому развитие аналитического аппарата теории уравнений с частными производными дробного порядка является весьма актуальной и важной задачей.

Недавно А.В. Псху в своей книге "Краевые задачи для дифференциальных уравнений с частными производными дробного и континуального порядка" [32] проводит исследование линейных уравнений с двумя независимыми переменными порядка меньше либо равного единице. Автор изу-

чает свойства интегрального преобразования с функцией Райта в ядре и показывает его применения. Одним из важных применений этого преобразования является метод решения начальных задач для эволюционных уравнений дробного порядка, который позволяет редуцировать их к соответствующим задачам для уравнений целого порядка. К другим эффективным приложениям данного преобразования относятся утверждения о распределении вещественных нулей у функции типа Миттаг-Леффлера, неравенства и соотношения для функции типа Райта, вычисление некоторых интегралов от специальных функций.

В цитируемых книгах имеется обширный список публикаций, посвященных дифференциальным уравнениям с дробными производными. В их числе работы Алероева Т.С. [1], [2], Ворошилова А.А. и Килбаса А.А. [6], Гек-киевой С.Х. [7], [8], Зарубина Е.А. [16], [17], Кочубея А.Н. и Эйдельмана С.Д. [22], [23], Мамчуева М.О. [26], [27], Нахушевой В.А. [29], [30], Репина О.А. [33], Kilbas А.А., Srivastava Н.М., Trujillo J.J. [41] и др.

Одним из современных направлений развития теории дифференциальных уравнений является изучение дифференциальных уравнений, решения которых являются функциями со значениями в произвольном банаховом пространстве. Изучение дифференциальных уравнений первого порядка в банаховом пространстве (подход, связанный с теорией полугрупп) начато в работах Э. Хилле и К. Иосиды в 1948 г. В настоящее время на русском языке имеются монографии Н. Данфорда и Дж.Шварца [15], К. Иосиды [18], С. Г. Крейна [24], Т. Като [19], Дж. Голдстейна [14], Э. Хилле и Р. Филлипс [35] и некоторые другие, излагающие теорию и применение линейных полугрупп, а также обширные обзоры С.Г. Крейна и М.И. Хазана [25], В.В. Васильева, С.Г. Крейна и С.И.Пискарева [5], научных публикаций, начиная с 1968 г. Основные вопросы, подвергавшиеся исследованию, — это корректность задачи Коши (существование решения, его единственность и непрерывная зависимость от начальных условий), устойчивость по

отношению к возмущениям операторов, поведение при t —ї 00 и т.д.

В последние годы рядом авторов было начато исследование абстрактных дифференциальных уравнений дробного порядка. Среди них А.Н. Кочубей [21], В.А. Костин [20], А.В. Глушак [9] - [12], Clement Ph., Gripenberg G., Londen S.-O. [38].

Дробное исчисление функций одной и многих переменных продолжает интенсивно развиваться и в настоящее время, свидетельством чему служит как большой поток публикаций, так и международные конференции, специально посвященные вопросам дробного исчисления.

Переходим к формулировке результатов диссертации.

Во введении обоснована актуальность работы и сформулированы основные её результаты, дан обзор выполненных в данном направлении результатов, приведены основные понятия и утверждения, использованные 3 работе.

В первой главе изучается задача типа Копій для дифференциальных уравнений, содержащих слагаемые с различными дробными производными.

В п.п. 1.1, 1.2 первой главы рассматривается задача типа Коши для простейшего дифференциального уравнения с дробными производными

Dv(t) = Av{t), J>0, (1)

lim ІУ-Чії^щ, (2)

где А — линейный замкнутый оператор в Е с плотной в Е областью определения D(A), і>о Є D(A) и исследуется равномерная корректность этой задачи при возмущении ограниченным оператором.

Банахово пространство, обладающее свойством Радона-Никодима (см. [39]) будем в дальнейшем обозначать -Едд, а разрешающий оператор задачи (1), (2) обозначим T_a(t,A).

Теорема 1. Пусть Е = Ещу, задача (1), (2) равномерно корректна и

P — линейный ограниченный оператор из Е в Е. Тогда равномерно корректна возмущенная задача

D^av(t) = {A + P)v(t), t>0,

lim O^a_1v() = щ,

и при этом справедливо представление

T_a(t₁A + P) = Y_tVn{t)_t

n=0

t V_Q{t)=T_a(t,A), V_n{t)= fT_a{t-s,A)PV_n-_l(s)ds,n = Q_iL..

Теорема 1 о возмущении используется в главе 3 при доказательстве равномерной корректности итерированной задачи типа Коши.

Теорема 2. Пусть для разрешающего оператора задачи (1), (2) справедлива оценка ||Г_а(<,Л)|| < M(^a_1exp(w) с постоянной и) < 0. Тогда задача (1), (2) равномерно корректна при замене а на 5 < а и разрешающий оператор имеет вид

T_s (і) «о = / /_т,₇ (t) Т_а (г) «ь dr, о

где для а > 0, т>0, 0 < 7 < 1 функция /_Т(7 (і) определяется равенством

т+іоо 2 / exp(^-TzT)rfz, гари І > О, (т-іоо О, гари і < 0.

В п.п. 1.3, 1.4 изучается задача типа Коши для дифференциального уравнения, содержащего сумму различных дробных производных. Приводится конкретный пример.

В банаховом пространстве Е рассматривается следующая задача

Y,ajD^aiv(t) = Av(t), (3)

}\mD^a-^lv{t) = v₀, v₀D{A), (4)

t—r"f"U

где cti < ... < a_TO„i < a_in < 1, a,j — постоянные, a_m = 1, A — линейный замкнутый оператор в Е с плотной в Е областью определения D (А). Пусть а — (ati, а₂, ...ar_m) — мультииндекс. Введем в рассмотрение функ-

цию Q_a (А)— а_;А^а/ и разрешающий оператор T_a(i). Сформулируем необ-

3=1

ходимое условие равномерной корректности задачи (3), (4).

Теорема 3. Если задача типа Коти (3), (4) равномерно корректна и ReA > w, то Q_a (А) принадлеоюит резольвентному мноэюеству оператора А, для любого х Є Е справедливо представление

+00

R (Q_a (А) ,А) х^ J ехр (-М) Т_а (t) х dt, о

и при этом для всех целых п> О

MV {п + а_т) (ReA-w)'

<рд№_в(А),д)

d\ⁿ

Далее доказывается достаточное условие равномерной корректности.

Теорема 4. Пусть Е = Ец^. Если при ReA > w оператор А имеет резольвенту R (Q_a (А), А), которая удовлетворяет неравенству (5) и Vq Є D(A), то функция

Wo+ІСО

v{t) = D^l~^am~v.p. [ X^a--¹exp(Xt)R{Q_a(X),A)v_Qd\, їкі J

Wo—»00

где щ > тах(ш,0), является единственным решением задачи (3), (4) в классе функций, допускающих преобразование Лапласа.

Отметим, что в п. 1.3 рассмотрен модельный случай

v' (t) + aD^1/2v (t) = Av (t), lim v (t) = v₀, в котором, в отличие от п. 1.4, начальное условие задается на саму функцию

В пункте 1.5 рассматривается задача типа Коши для неоднородного дифференциального уравнения, содержащего слагаемые с различными дробными производными

т»

Y,a_jD^a'v{t) = Av(t) + f(t), (6)

WmD^a'»-¹v(t) = v₀. (7)

Теорема 5. Пусть однородная (/ (t) = 0) задача (6), (7) равномерно корректна, vq D (А) и выполнено одно из двух условий: a)f (t) Є С ((0, со), Е) абсолютно интегрируема в нуле и принимает значения в D (A), Af (t) Є С ((0, со), Е) и также абсолютно интегрируема в нуле;

Ь) D^af (t) С ((0, oo)_tE) и абсолютно интегрируема в нуле. Тогда неоднородная задача (6),(7) имеет единственное решение, которое определяется равенством

t v{t) = T_a(t)vo+[T_a(i-t)f(0 rff. о

Во второй главе изучается задача типа Коши для дифференциальных

уравнений, содержащих композицию дробных производных.

В п. 2.1, 2.2 изучается равномерная корректность задачи типа Коши следующего вида

D^aD^fiu(t) + aD'¹u(t) = Au{t), (8)

lim D*-\(t) = щ, lim D^D^uU) = u_h (9)

где а ф 0, 7 < ^Л+А — тах{/?, 7}, Л — линейный замкнутый оператор в Е с плотной в і? областью определения D(A).

В формулировке следующих теорем участвуют разрешающий оператор

G(t) задачи (8), (9) и функция Q{x) = < ^—

[ 0, при х < 0.

Теорема 6. Пусть щ — 0, задача ( (^ равномерно корректна и ReA > ш. 7Wa А^а+^ + аА⁷ принадлежит резольвентному мноокеству оператора А, для любого х є Е имеет место представление

R (\^a+t3 + аА⁷) х = (0(0 - ₇)А^а + 9(7 - 0)а)^-1 f exp{-Xt)G{t)x dt,

и, кроме того, для всех целых п>0 справедливо неравенство

^((0(-7)А^а + 0(7-/ЭДД(А^п^ + аА⁷))

d\ⁿ

МГ{п + 5) (ReA-w)'

Теорема 7. Пусть Е = Er,n и щ = 0. Ясли при ReA > w оператор А имеет резольвенту R (А"⁺^ + «А⁷), которая удовлетворяет неравенству (10), и щ Є D(A), то функция

«0+1СО

u{t) = G{t)u_Q = D^l-^s^-.v.p. I exp(A*)A*~^l (Щ - ₇)A^a + 0(7 - 0)a) X

2їгг J

Wq—»00

x Я(А^а+/ЧаА⁷)и₀ dA,

2 w₀ > max(0,a>), является единственным решением задачи (8), (9).

В п. 2.2 формулируются необходимое и достаточное условия равномерной корректности задачи (8), (9) в случае, когда щ = 0. В частности, формула для решения имеет вид

u(t) = I⁵D^l-^a^-.v.p. f expjAOA"^^-1 Л (A^a+/? + 0A⁷) uidA.

wo—too

В п. 2.3 изучается разрешимость задачи типа Коши для дифференциального уравнения с переменными коэффициентами вида

D^a(W^fiu{t))=tAu{t), t>0 (11)

XimD^^lu(t) - «о, \imDⁿ~^l (tD⁰u(t)) - 0. (12)

Сформулируем достаточное условие однозначной разрешимости (11), (12).

Теорема 8. Пусть а + /? < 1, Е = Ец^, оператор А является производящим оператором равномерно ограниченной С^-полугруппы T(t), щ Є В (Л). Тогда задача (11), (12) в классе функций, допускающих преобразование Лапласа, имеет единственное решение, представимое в виде

іт-Н'оо

и(%) = ±-.&-1* ! e^M\^R^^{\^)u_ud\ <7>0, (13)

2/КЪ J

it—too

где дробная степень резольвенты R^s(fi) определяется равенством

Л'(А) = ^тту f^expi-XtyTtydt, 8>0. о

Замечание. В частном случае а + /? = 1/2 уже в произвольном банаховом пространстве Е и для любой С₀-полугруппы T(t) (а не только для равномерно ограниченной) справедливо представление для решения

u(t) = —, * ,- /V-^2aexp f-M T(tWt.

Теорема 9. Пусть a+{3 = l, оператор А является производящим оператором Со-полугруппы T(t), щ D {А). Тогда задача (И), (12) в классе функций, допускающих преобразование Лапласа, имеет единственное решение, которое определяется равенством

В п. 2.6 будем предполагать, что оператор А таков, что при к > О равномерно корректна следующая задача Коши для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу

«/'(*) + -«/(«) = і4Ц*), t>0 (14)

ЦО) = w_Q, w'(0) = 0. (15)

Множество таких операторов А обозначим через Gk, а разрешающий оператор задачи Коши (14), (15) обозначим через Yk{t). Операторная функция Yf.(t) — операторная функция Бесселя (ОФБ), введена в работе [13].

Теорема 10. Пусть I <а +Р <2, 0 <к < 2/(а + /3) - 1, Е = E_R,_N, А Є Gk, ОФБ Yk(t) равномерно ограничена, щ D{A). Тогда задача (11), (12) в классе функций, допускающих преобразование Лапласа, имеет единственное решение, которое задается формулой (13), при этом дробная степень резольвенты определяется равенством

*<^А> = г_№г(* ₊ і/2) /<⁽'-^1,/2+<W-ИШ*>

где K_v () — функция Макдоналъда.

Третья глава посвящена вопросам разрешимости итерированной задачи типа Коши.

В пункте 3,1 в банаховом пространстве Е рассматривается следующее уравнение

]J(D^a - Ai)u(t) = 0> (16)

і=і

где Аі (і = 1, n) — линейные, замкнутые, вообще говоря, некоммутирующие и плотно определенные в Е с областью определения D(A{) операторы, 0 < а < 1. Предполагается, что множество

D= р] D(A_h...AiJ:ijj = l,...,m,

Ч > к > - > г_т

m — 1,2,..., n плотно в E. Введем следующие обозначения

j'-i и{і) = щ(і), Y[{D^a - Ai)u(t) = Uj{t), 2i=i

и зададим начальные условия в виде

ла-1

Нін О^а-¹щ(1) = «і о, г = 1,п. (17)

Теорема 11. Пусть задачи D^aUi(t) — А{щ{1), lim D^a~¹Ui(t) — — Що, і = 1,..., га равномерно корректны и T_a(t,Ai) — соответствующий разрешающий оператор. Тогда итерированная задача (16), (17) будет равномерно корректной и при этом для ее решения справедливо представление

u(t) = щ{г) = Г„Мі)«іо + JT_a(t - s_u Ai)T_a(8uA₂)u₂ о d_Sl+

_n_2 t si si s_m

⁺ Z)/^r«('-^eb^i)y Ta{*i-s_2lA₂) J... J T_a{s_m-s_m+1,A_m+1) X

m=l _{0 0} 0 0

x Ta{s_m+uA_m+2)u_m+iQ ds_m+i... ds₂ dsi.

В пункте 3.2 рассматривается неоднородная итерированная задача типа Коши вида

П{^-Л>(*) = /(*), (18)

где Аі (і = 1, n) — линейные замкнутые, вообще говоря, некоммутирующие операторы с плотной в Е областью определения D(A{).

Используя обозначения

начальные условия зададим в виде

UmD^ai-^lv_i{t)=Vi_0t і = ї~п. (19)

Условие 1. Пусть f(t) Є D(A\A2...A_n) — непрерывная при t > О функция и функции f(t), A_nf(t), A_n-\A_nf(t), ..., A\A2...A_nf{t) имеют при -+0 интегрируемую особенность.

Условие 2. Пусть операторы Д- (г = 1,..., п) такие, что равномерно корректны задачи

D^aiv{t) = Aiv(t), lim Dⁿⁱ~^lv{t) = v_iQ, v_i0 Є D(A_lA₂...A_i)

и соответствующие разрешающие операторы, обозначим Т_аі (і,АЇ).

Теорема 12. Пусть для і = 1,тг выполнены условия 1, 2. Тогда задача (18), (19) имеет единственное решение, которое определяется равенством

t

V[t)=T_ai(T_JA_l)v₁₀ +

t it—2 ^{ai s}^ ^вт

+ / T_ai(t - s_uAi) Y^ / - s₂,A₂) / ». / T_am+1{s_m -S_m+U A_m+l) X

0 ^m=l 0 0 0

^x T_amt_t(s_m+uA_m+2)v_m+2o d8_m+l...d82dSi+

t 31 Я₂

+ jT_ai{t-_SuA_l)jT_a2(s₁-s₂,A₂)J...

- / T_an_₁(s_n-₁-s_n,An)f(s_n)d8_n...ds2dsi.

Приводимый далее обзор использованных в диссертации результатов заимствован из [3], [4], [18], [24], [28], [31], [34], [36], [42].

Возмущение простейшего дифференциального уравнения ограниченным оператором

Мысль об обобщении понятия дифференцирования dpf(t)/dtp на нецелые значения р возникла с самого зарождения дифференциального исчисления. Первые шаги были сделаны Л. Эйлером в 1738 г., П. Лапласом в 1812 г., Ж. Фурье в 1822 г. Собственно историю дробного исчисления следует вести с работ Н.Х. Абеля и Ж. Лиувилля, появившихся в 30-е годы 19 века. Рядом с работами Ж. Лиувилля по значимости следует поставить работы Б. Римана, который пришел к конструкции дробного интегрирования, служащей с тех пор одной из основных форм дробного интегрирования.

Развитие области математического анализа, называемой дробным исчислением, и посвященной исследованию и применению производных и интегралов произвольного (вещественного или комплексного) порядка, обусловлено проникновением и взаимосвязями с самыми разнообразными вопросами теории функций, интегральных и дифференциальных уравнений и др.

История развития дробного интегродифференцирования знает немало работ, в которых в разное время переоткрывались уже известные результаты, иногда теми же самыми средствами, что и у предшественников, иногда на основе других методов. Это обстоятельство усугублялось тем, что существует большое число различных подходов к дробному интегродиф-ференцированию и, следовательно, различных направлений в дробном исчислении. Сопоставление этих подходов и направлений проводилось редко и было сравнительно мало известно. Важным шагом в развитии стало написание книги, которая объединила разные исследования в направлении по изучению дробных производных и интегралов, написанная С.Г. Самко, А.А. Килбасом и О.И. Маричевым "Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения" [34].

Несколько лет спустя появилась книга Miller К., Ross В. "An introduction to the fractional calculus and fractional differential equations" [42]. Среди во просов, которые рассматривались в этой книге отметим следующие: нахождение линейно независимых решений однородного дифференциального уравнения дробного порядка, определение дробной функции Грина, сведение исследования разрешимости дифференциального уравнения дробного порядка к исследованию разрешимости обыкновенного дифференциального уравнения целого порядка. Кроме того, в этой книге изучены интегральные уравнения дробного порядка, дробные дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами и др.

Дальнейшему развитию дробного исчисления способствовала книга A.M. Нахушева "Дробное исчисление и его применение" [28]. В этой монографии изложены мысли и идеи, которые возникли у автора в процессе поиска методов решения различных, как локальных так и нелокальных начальных, смешанных и краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных основных и качественно новых типов. В первую очередь имеются в виду уравнения смешанного типа, возникающие при математическом моделировании трансзвуковых течений, процессов тепло-и массопереноса в средах с фрактальной структурой. В этой же книге указано, что основой большинства математических моделей, описывающих широкий круг физических и химических процессов, протекающих во фрактальных средах, при математическом моделировании экономических и социально-биологических явлений, являются дифференциальные уравнения дробного порядка, в том числе уравнения в частных производных. Поэтому развитие аналитического аппарата теории уравнений с частными производными дробного порядка является весьма актуальной и важной задачей.

Недавно А.В. Псху в своей книге "Краевые задачи для дифференциальных уравнений с частными производными дробного и континуального порядка" [32] проводит исследование линейных уравнений с двумя независимыми переменными порядка меньше либо равного единице. Автор изу чает свойства интегрального преобразования с функцией Райта в ядре и показывает его применения. Одним из важных применений этого преобразования является метод решения начальных задач для эволюционных уравнений дробного порядка, который позволяет редуцировать их к соответствующим задачам для уравнений целого порядка. К другим эффективным приложениям данного преобразования относятся утверждения о распределении вещественных нулей у функции типа Миттаг-Леффлера, неравенства и соотношения для функции типа Райта, вычисление некоторых интегралов от специальных функций.

Задача типа Коши для неоднородного дифференциального уравнения, содержащего слагаемые с различными дробными производными

Дальнейшему развитию дробного исчисления способствовала книга A.M. Нахушева "Дробное исчисление и его применение" [28]. В этой монографии изложены мысли и идеи, которые возникли у автора в процессе поиска методов решения различных, как локальных так и нелокальных начальных, смешанных и краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных основных и качественно новых типов. В первую очередь имеются в виду уравнения смешанного типа, возникающие при математическом моделировании трансзвуковых течений, процессов тепло-и массопереноса в средах с фрактальной структурой. В этой же книге указано, что основой большинства математических моделей, описывающих широкий круг физических и химических процессов, протекающих во фрактальных средах, при математическом моделировании экономических и социально-биологических явлений, являются дифференциальные уравнения дробного порядка, в том числе уравнения в частных производных. Поэтому развитие аналитического аппарата теории уравнений с частными производными дробного порядка является весьма актуальной и важной задачей.

Недавно А.В. Псху в своей книге "Краевые задачи для дифференциальных уравнений с частными производными дробного и континуального порядка" [32] проводит исследование линейных уравнений с двумя независимыми переменными порядка меньше либо равного единице. Автор изучает свойства интегрального преобразования с функцией Райта в ядре и показывает его применения. Одним из важных применений этого преобразования является метод решения начальных задач для эволюционных уравнений дробного порядка, который позволяет редуцировать их к соответствующим задачам для уравнений целого порядка. К другим эффективным приложениям данного преобразования относятся утверждения о распределении вещественных нулей у функции типа Миттаг-Леффлера, неравенства и соотношения для функции типа Райта, вычисление некоторых интегралов от специальных функций.

В цитируемых книгах имеется обширный список публикаций, посвященных дифференциальным уравнениям с дробными производными. В их числе работы Алероева Т.С. [1], [2], Ворошилова А.А. и Килбаса А.А. [6], Гек-киевой С.Х. [7], [8], Зарубина Е.А. [16], [17], Кочубея А.Н. и Эйдельмана С.Д. [22], [23], Мамчуева М.О. [26], [27], Нахушевой В.А. [29], [30], Репина О.А. [33], Kilbas А.А., Srivastava Н.М., Trujillo J.J. [41] и др.

Одним из современных направлений развития теории дифференциальных уравнений является изучение дифференциальных уравнений, решения которых являются функциями со значениями в произвольном банаховом пространстве. Изучение дифференциальных уравнений первого порядка в банаховом пространстве (подход, связанный с теорией полугрупп) начато в работах Э. Хилле и К. Иосиды в 1948 г. В настоящее время на русском языке имеются монографии Н. Данфорда и Дж.Шварца [15], К. Иосиды [18], С. Г. Крейна [24], Т. Като [19], Дж. Голдстейна [14], Э. Хилле и Р. Филлипс [35] и некоторые другие, излагающие теорию и применение линейных полугрупп, а также обширные обзоры С.Г. Крейна и М.И. Хазана [25], В.В. Васильева, С.Г. Крейна и С.И.Пискарева [5], научных публикаций, начиная с 1968 г. Основные вопросы, подвергавшиеся исследованию, — это корректность задачи Коши (существование решения, его единственность и непрерывная зависимость от начальных условий), устойчивость по отношению к возмущениям операторов, поведение при t —ї 00 и т.д.

В последние годы рядом авторов было начато исследование абстрактных дифференциальных уравнений дробного порядка. Среди них А.Н. Кочубей [21], В.А. Костин [20], А.В. Глушак [9] - [12], Clement Ph., Gripenberg G., Londen S.-O. [38].

Дробное исчисление функций одной и многих переменных продолжает интенсивно развиваться и в настоящее время, свидетельством чему служит как большой поток публикаций, так и международные конференции, специально посвященные вопросам дробного исчисления. Переходим к формулировке результатов диссертации. Во введении обоснована актуальность работы и сформулированы основные её результаты, дан обзор выполненных в данном направлении результатов, приведены основные понятия и утверждения, использованные 3 работе.

В первой главе изучается задача типа Копій для дифференциальных уравнений, содержащих слагаемые с различными дробными производными.

Задача типа Коши для дифференциального уравнения, содержащего композицию дробных производных. Случай 2

Недавно А.В. Псху в своей книге "Краевые задачи для дифференциальных уравнений с частными производными дробного и континуального порядка" [32] проводит исследование линейных уравнений с двумя независимыми переменными порядка меньше либо равного единице. Автор изу чает свойства интегрального преобразования с функцией Райта в ядре и показывает его применения. Одним из важных применений этого преобразования является метод решения начальных задач для эволюционных уравнений дробного порядка, который позволяет редуцировать их к соответствующим задачам для уравнений целого порядка. К другим эффективным приложениям данного преобразования относятся утверждения о распределении вещественных нулей у функции типа Миттаг-Леффлера, неравенства и соотношения для функции типа Райта, вычисление некоторых интегралов от специальных функций.

В цитируемых книгах имеется обширный список публикаций, посвященных дифференциальным уравнениям с дробными производными. В их числе работы Алероева Т.С. [1], [2], Ворошилова А.А. и Килбаса А.А. [6], Гек-киевой С.Х. [7], [8], Зарубина Е.А. [16], [17], Кочубея А.Н. и Эйдельмана С.Д. [22], [23], Мамчуева М.О. [26], [27], Нахушевой В.А. [29], [30], Репина О.А. [33], Kilbas А.А., Srivastava Н.М., Trujillo J.J. [41] и др.

Одним из современных направлений развития теории дифференциальных уравнений является изучение дифференциальных уравнений, решения которых являются функциями со значениями в произвольном банаховом пространстве. Изучение дифференциальных уравнений первого порядка в банаховом пространстве (подход, связанный с теорией полугрупп) начато в работах Э. Хилле и К. Иосиды в 1948 г. В настоящее время на русском языке имеются монографии Н. Данфорда и Дж.Шварца [15], К. Иосиды [18], С. Г. Крейна [24], Т. Като [19], Дж. Голдстейна [14], Э. Хилле и Р. Филлипс [35] и некоторые другие, излагающие теорию и применение линейных полугрупп, а также обширные обзоры С.Г. Крейна и М.И. Хазана [25], В.В. Васильева, С.Г. Крейна и С.И.Пискарева [5], научных публикаций, начиная с 1968 г. Основные вопросы, подвергавшиеся исследованию, — это корректность задачи Коши (существование решения, его единственность и непрерывная зависимость от начальных условий), устойчивость по отношению к возмущениям операторов, поведение при t —ї 00 и т.д.

В последние годы рядом авторов было начато исследование абстрактных дифференциальных уравнений дробного порядка. Среди них А.Н. Кочубей [21], В.А. Костин [20], А.В. Глушак [9] - [12], Clement Ph., Gripenberg G., Londen S.-O. [38].

Дробное исчисление функций одной и многих переменных продолжает интенсивно развиваться и в настоящее время, свидетельством чему служит как большой поток публикаций, так и международные конференции, специально посвященные вопросам дробного исчисления.

Задача типа Коши для дифференциального уравнения с переменными коэффициентами, содержащего композицию дробных производных. Случай а + 3 < 1

Определение 0.4.1. Оператор А, определенный на линейном многообразии банахова пространства Е, действующий в другое банахово пространство F, называется линейным, если он аддитивен и однороден. Ли-нейное многообразие, на котором определен оператор, называется его областью определения В{А), а совокупность элементов вида Ах (х D(A)) — его областью значений.

Определение 0.4.2. Если D(A) — Ей при всех х Е выполнено неравенство то оператор называется ограниченным, а наименьшее значение константы с — нормой \\A\\E- F оператора А. Ограниченный оператор — непрерывен. Обратно, определенный на всем пространстве Е непрерывный линейный оператор — ограничен. Определение 0.4.3. Функцию A(t) (0 t Т) со значениями в пространстве ограниченных линейных операторов L (Е, F) будем называть оператором, зависящим от параметра. Определение 0.4.4. Ограниченный линейный оператор A(t) называется сильно непрерывным (в точке, на отрезке), если при каждом х Є Е функция A(t)x со значениями в F непрерывна (в точке, на отрезке). Одной из важнейших функций от оператора является его резольвента. Определение 0.4.5. Если при заданном комплексном Л существует ограниченный обратный оператор (XI — А) 1 (I — тождественный оператор), то число А называется регулярной точкой оператора А, а оператор R (А, А) = (XI - А) — резольвентой оператора. Для резольвенты справедливы тождества Из первого тождества следует, что резольвента в области регулярных точек является аналитической функцией от А со значениями в пространстве линейных ограниченных операторов L (Е, Е). Определение 0.4.6. Рассмотрим линейные операторы А, определенные на некотором линейном многообразии D(A) пространства Е, действующие в пространстве Е. Оператор А называется замкнутым, если из того, что хп —У х (хп Є D (А)) и Ахп - у следует, что х . D (А) и у Ах. Ограниченный оператор, очевидно, замкнут. Существенным является тот факт, что замкнутый оператор, определенный во всем пространстве, —ограничен. Вместе с оператором А замкнут или незамкнут оператор XI — А (с областью определения D(A)), поэтому если существует ограниченный обратный оператор (XI — А} , то оператор А замкнут. Другими словами, если оператор имеет хотя бы одну регулярную точку, то он замкнут. Совокупность регулярных точек (открытое множество) оператора А обозначим р(Х). Его дополнение т(А) называется спектром и является замкнутым множеством.

Похожие диссертации на Вопросы разрешимости начальных задач для абстрактных дифференциальных уравнений с дробными производными

Спектральные вопросы задачи Франкля для уравнения смешанного типа и разрешимость аналога этой задачи для уравнения ГельмгольцаАмбарцумян Ваграм Эдвардович

О разрешимости краевых задач для уравнения Лаврентьева-Бицадзе со смешанными граничными условиямиМоисеев, Тихон Евгеньевич

Разрешимость краевых задач для уравнений смешанного типа высокого порядкаЧуешев Александр Викторович

Анализ разрешимости краевых задач для уравнений смесей жидкостейПрокудин Дмитрий Алексеевич

О корректной разрешимости некоторых задач для эволюционных уравнений в обобщенных пространствах СтепановаГорлов, Владимир Александрович

Разрешимость обратных задач для гиперболических уравненийПавлов, Степан Степанович

О корректной разрешимости несамосопряженных смешанных задач для уравнения колебаний мембраныМахмадуллоев, Зафар Насуллоевич

О корректной разрешимости несамосопряжённых смешанных задач для уравнения колебаний мембраныМахмадуллоев Зафар Насуллоевич

Разрешимость задач управления для стационарных уравнений магнитной гидродинамики вязкой несжимаемой жидкости Бризицкий Роман Викторович

Разрешимость задачи Дирихле для параболических уравнений второго порядка в Lp-пространствах СоболеваГордеев Александр Николаевич