Введение к работе
Актуальность темы. Диссертационная работа посвящена проблемам абсолютной и равномерной сходимости разложений по собственным функциям одной нелокальной (несамосопряжённой) краевой задачи и корректной разрешимости несамосопряжённых (нелокальных) смешанных задач для уравнения колебаний мембраны.
Разложение по собственным функциям дифференциальных операторов является одним из известных методов решения смешанных задач математической физики. Проблемам суммируемости и сходимости разложений по собственным функциям самосопряжённых дифференциальных операторов посвящены работы В.А. Стеклова (1901), Н.М. Гюнтера (1934), С.Л. Соболева (1945), Ю.М. Березанского (1965), В.А. Ильина (1955-1968), Е.И. Моисеева (1976), М.А. Красносельского, Е.И. Пустыльника (1958), О.А. Ладыженской (1950-1958), Б.М. Левитана (1950-1955), А.Я. Повзнера (1953), Э.Ч. Титчмар-ша (1960-1961), К. Фридрихса (1947), Г. Вейля (1915), Т. Икебе (1967) И.К. Кенджаева (1967,1968), М. Исмати (1970-1992гг) и других авторов.
Методу Фурье для общего гиперболического и волнового уравнения за последние четыре десятилетия посвящено большое число работ. Среды них мы отметим лишь работы Х.Л. Смолицкого (1949), О.А. Ладыженской (1950), и В.А. Ильина (1957-1960). Наиболее точные условия существования классического решения смешанных задач для общего гиперболического уравнения установил В.А. Ильин (1960) для произвольной нормальной1 области Q.
Однако исследованию этих проблем для несамосопряжённых дифференциальных операторов посвящено сравнительно мало работ и эти проблемы далеки от своего полного разрешения. Это, прежде всего, относится и к спектральному разложению несамосопряжённых операторов. Хотя и относительно этой проблемы также появилось достаточно много работ (см. например, работы Я.Д. Тамаркина (1917), В.А. Ильина (1976, 1983,1986), М.В. Келдыша (1951), В.Б. Лидского (1962), М.Г. Крейна, И.Ц. Гохберга (1965), М.А. Наймарка (1969), А.Г. Рамма (1970), И.И. Ионкина (1977,1979), М. Исмати и имеющуюся там библиографию).
Выдающимся вкладом в науку являются работы В.А. Ильина по спектральной теории несамосопряжённых дифференциальных операторов, выполненные им, начиная с 1975г . Этим работам предшествовали известные работы М.В. Келдыша, в которых для широкого класса краевых задач установлен факт полноты специально построенной системы собственных и присоединённых функций дифференциального оператора ( такую систему Келдыш назвал канонической). Следовательно, вышеупомянутые проблемы являются
1 Области Q называется нормальной, если для этой области разрешима задачи Дирихле для уравнения Лапласа при любой непрерывной граничной функции
актуальными.
Цель работы.Целью данной работы является установление корректной разрешимости несамосопряжённых (нелокальных) смешанных задач для уравнения колебаний мембраны .
Методика исследований. В работе используются методы разложения функций по собственным и присоединённым (корневым) функциям несамосопряжённых (нелокальных) краевых задач для уравнения колебаний мембраны (метод Фурье), современные методы уравнений в частных производных и функционального анализа.
Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и заключается в следующем:
Найдена биортогональная система собственных и присоединённых функций рассматриваемой эллиптической нелокальной краевой задачи. Показано, что эта система не только образует базис в пространстве , но и образует базис Рисса. Найдено выражение для формального решения несамосопряжённых смешанных задач для однородного и неоднородного уравнений колебаний мембраны.
Дано обоснование метода Фурье для классического решения несамосопряжённой смешанной задачи и сопряжённой к ней задачи. Доказано существование и единственность классического решения смешанной задачи.
Найдены априорные оценки в различных нормах, из которых, в частности, следует устойчивость, а следовательно, и корректная разрешимость рассматриваемых задач.
Практическая и теоретическая ценность работы. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут быть использованы при решении соответствующих задач физики плазмы, в общей теории кратных ортогональных и тригонометрических рядов, теории самосопряжённых и несамосопряжённых дифференциальных операторов.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на ежегодных конференциях Таджикского государственного университета коммерции, Института предпринимательства и сервиса, на научных семинарах Института предпринимательства и сервиса под руководством профессора М. Исмати; на научном семинаре Таджикского национального университета под руководством профессора М.К. Юнуси, на международной конференции, посвященной 60-летию со дня образования Таджикского национального госуниверситета (апрель-май) 2009 года .
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 7 научных работах, список которых приведен в конце автореферата.
Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы, включающего 77 наименований. Объём диссертации составляет 107 страницы компьютерного набора.
Похожие диссертации на О корректной разрешимости несамосопряжённых смешанных задач для уравнения колебаний мембраны
