Введение к работе
Актуальность темы. Как известно, к изучению многоточечных краевых задач дифференциально-функциональных уравнений и их приложений приводят исследования многих вопросов автоматического регулирования, теории колебаний, прикладной математики, математической физики, биологии.
Поэтому большой интерес представляет собой поиск новых методов доказательства существования и единственности решения краевых задач, характера зависимости решений от краевых условий, от параметра, от преобразования аргумента и изменения правых частей системы.
Важным является также подход к обоснованию и развитию схем конечномерной редукции на основе многоточечных краевых задач.
Решение указанных выше задач дает возможность использовать их в анализе многомодовых бифуркаций экстремалей, т.е. решить вариационные краевые задачи. В свою очередь при изучении многомодовых бифуркаций экстремалей появляется возможность использования редукции Ляпунова- Шмидта, которая исходную задачу сводит к анализу (ключевой) функции на конечномерном пространстве, а в некоторых случаях, когда указанная редукция плохо согласуется с условиями задачи, например, с имеющимися симметриями, с ограничениями на область определения функционала действия в виде терминальных или интегральных неравенств, используется метод Морса-Ботта, тесно связанный с теорией многоточечных краевых задач.
Представленные в диссертации схемы исследования свойств решений дифференциально-функциональных уравнений основаны на методах качественного исследования динамических систем развитого в трудах В.В Немыцкого, Н.Н.Красовского, А.А. Шестакова, Ю.И. Сапронова, А.Д. Мышкиса, Л.Э. Эльсгольца, Г.А. Каменского, М.В. Келдыша, Ю.В. Покорного, С.В. Исраилова, В.Н. Скрипника и др.
Цель данной работы - описание многоточечной краевой задачи систем дифференциально-функциональных уравнений, непрерывной зависимости решений от этих условий, их устойчивости в зависимости от изменения правых частей исследуемой системы, конечномерной редукции в бифуркационном анализе экстремалей, исследование некоторых свойств решений автономных систем дифференциальных и разностных уравнений.
Научная новизна. Все результаты, включенные в диссертацию, являются новыми. Наиболее значимые из них перечислены в следующем списке.
-
Новые условия существования и единственности многоточечной краевой задачи.
-
Перенос алгебраического метода последовательных приближений на дифференциально-функциональные системы уравнений.
-
Непрерывная зависимость решений от краевых условий, параметра и их устойчивость от изменения правых частей системы.
-
Некоторые вопросы качественного поведения решений указанных выше систем.
-
Приложения к бифуркационному анализу экстремалей метода конечномерной редукции на основе многоточечных краевых задач.
Методы исследования. В работе использованы качественные методы анализа многоточечных краевых задач, исследованы их структура и поведение. В зависимости от ситуации при анализе ключевой функции рассматриваемой задачи используется либо метод Ляпунова-Шмидта, либо Морсе- Ботта.
В настоящей работе излагается подход к обоснованию и развитию схем конечномерной редукции на основе теории многоточечных краевых задач.
Теоретическая и практическая ценность. Данная работа в основном носит теоретический характер, но представленные в ней результаты могут быть использованы при решении конкретных дифференциально- функциональных уравнений.
Апробация работы. Результаты диссертации были доложены на V- Международной научной конференции, посвященной 80-летию
Дагестанского государственного университета, 26-29 сентября 2011г.; Международной конференции «Мухтаровские чтения» «Актуальные проблемы математики и смежные вопросы» Дагестанский государственный технический университет, Махачкала , 2012г.; IV-я Международная научно- практическая конференция «Моделирование производственных процессов и развитие информационных систем», 28-29 сентября 2012 г., г. Ставрополь, СГАУ.
Публикации работы. Результаты диссертации опубликованы в работах [1 - 9], из которых в диссертацию включены результаты, принадлежащие лично автору. Работы [1 - 5] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на разделы (параграфы) и списка литературы из 58 наименований. Общий объем диссертации 95 страниц.
