Содержание к диссертации
Введение
Глава I. ЗАДАЛА О ГЕСМЕТРИЧЕСКОМ РАСХОВДЕШИ В ТРЕХМЕРНЫХ НЕОДНОРОДНЫХ СРВДАХ С ГЛАДКИМИ ГРАНИЦАМИ РАЗДЕЛА 23
I. Формулировка задачи , метод решения, основные результаты 23
2. Стационарный лучевой метод. Задача о геометрическом расхождении 32
3. Пространственно-временной лучевой метод. Задача о геометрическом расхождении 54
1АКЛЮЧЕНИЕ 83
Глава II. МЕТОД СУММИРОВАНИЯ ГАУССОВЫХ ПУЧКОВ В ИЗОТРОПНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 87
I. Отражение и преломление гауссовых пучков на границе раздела сред 87
2. Представление волнового поля в виде интеграла по гауссовым пучкам ІОІ
3. Вывод формул для начальных амплитуд гауссовых пучков 107
4* Алгоритм метода суммирования гауссовых пучков 117
Глава III. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА СУММИРОВАНИЯ ГАУССОВЫХ ПУЧКОВ ДІЯ РАСЧЕТА ВОЛНОВЫХ ПОЛЕЙ. РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННЫХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ 123
I. Основные формулы метода суммирования гауссовых пучков в двумерном случае 123
2. Суммирование гауссовых пучков в квазидвумерном случае 133
3. Примеры скалярных задач 142
4. Примеры векторных задач теории упругости 154
'ЗАКЛЮЧЕНИЕ 163
Глава ІV. ВОЛВЫ ШШЧУЩЙЇ ГАЛЕРШ В ОКРЕСТНОСТИ ТОЧЕК ІГАНШЩ, ГДЕ ЕЕ КРИШЕНА ОБРАЩАЕТСЯ В НУЛЬ 166
І. Постановка задач в рамках метода параболического уравнения Леонтовича-Фока 166
2. Численное решение задач 184
3. Примеры точно решаемых задач рассеяния для "параболического" уравнения 193
4. Коэффициенты возбуждения волн шепчущей галереи в окрестности точки распрямления вогнутой границы 212
5. Волновое поле в каустической тени 218
6. Асимптотика волнового поля при и в задаче с точкой перегиба границы 234
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 252
МТЕРАТУРА 256
- Формулировка задачи , метод решения, основные результаты
- Отражение и преломление гауссовых пучков на границе раздела сред
- Основные формулы метода суммирования гауссовых пучков в двумерном случае
- Постановка задач в рамках метода параболического уравнения Леонтовича-Фока
Формулировка задачи , метод решения, основные результаты
Если через G, }Td t К обозначим лучевые коорди-зты ( С - длина дуги вдоль луча, некоторые параметры, шсирувдие луч), то геометрическое расхождение может быть предс-ЇВЛЄНО как модуль якобиана перехода от декартовых к лучевым коор-шатам, т.е.дя вычисления волнового поля в точке наблюдения И нужно, как следует из формулы (1.3), знать луч, проходящий через М (или в ее іалой окрестности) и геометрическое расхождение на этом луче. Уже ш первом этапе - построении лучей - приходится, как правило, чио-[енно интегрировать уравнения Эйлера для функционала Ферма. Поэто-іу возникает задача о вычислении геометрического расхождения на [анном луче, когда остаются неизвестными остальные лучи, образую-де лучевую трубку. (В тех немногих случаях, когда уравнения Эйле- а интегрируются в элементарных функциях, выражение для геометри-геского расхождения также находится в явном виде.)
Прямой путь решения этой задачи - дифференцирование уравнений )йлера по лучевым параметрам с целью получения дифференциальных гравнений для элементов функционального определителя (1.4) - при-юдит к относительно большому числу уравнений с довольно громоздки-ш правыми частями, см., например, [ 18, 88, 95J . Предпринимались гсилия уменьшить число и упростить сами возникающие уравнения, см. [ 84, 94] . Кроме того, если рассматриваемый луч попадает на грани-су раздела двух сред (или отражающую границу), то к этим уравнениям Ееобходимо добавить соответствующие начальные условия в точке падения.
Более естественный подход к решению этой задачи основан на ледупцих соображениях. Если известен луч, проходящий через точку наблюдения, то геометрическое расхождение на нем определяется по- едением сколь угодно близких к нему лучей, дифференциальные уравнения для которых можно упростить, сохранив в них лишь линейные иены. Поскольку при этом близкие к исходному лучи описываются в ерминах отклонения от исходного луча, то удается понизить и число зозникавдих дифференциальных уравнений. Именно на этом пути в ра-5оте автора [58] получена система четырех линейных дифференпиаль-шх уравнений и начальные условия к ней на границе раздела двух )ред, позволяющие в совокупности находить геометрическое расхождение на данном луче.
Отражение и преломление гауссовых пучков на границе раздела сред
Как уже отмечалось, в работе [41] построены асимптотические ешения уравнений неоднородной изотропной теории упругости, сосре-эточенные в окрестности данного луча. При этом построены не толь-э главные члены (при со -» = ) таких решений, но целые формальне асимптотические разложения. Техника, использованная в этой ра-эте, основана на методе "параболического" уравнения, точнее урав-энии Шредингера, получаемого в окрестности рассматриваемого луча, эзднее в статье [l5j такого типа сосредоточенные решения («для ска-їрного уравнения Гельмгольца) получены как лучевые решения с ком-яексным эйконалом без использования параболического уравнения. Ре-риьтаты этой статьи устанавливают более близкую связь между луче-ами и сосредоточенными в окрестности данного луча решениями, и зхника ее легко обобщается на случай уравнений упругости. Нам в . альнейшем потребуются простейшие из этих сосредоточенных решений, зачем мы ограничимся рассмотрением только главных членов (при jj - со ) этих решений (или собственно гауссовых пучков). При гаком условии нужные нам формулы мы получим непосредственно из эрмул, установленных в 2 главы І в связи с задачей о геометри- эском расхождении. В этом проявляется связь между лучевыми и сос-эдоточенными решениями.
Действительно, в главе I, 2 по некоторым двум вещественным эшениям уравнений в вариациях построено приближенное решение луче-ш. уравнений, а значит и уравнений упругости, в окрестности исход юго луча, см. формулы (2.6), (2.7) и далее главы I. Это прибли-;енное решение имеет вещественный эйконал ( ir - вещественная метода) и становится сингулярным на каустиках, т.е. имеет лучевой ;арактер. Если, однако, использовать некоторые два комплексных ре-юния уравнении в вариациях, то мы придем к гауссовому пучку, рас-ространящемуся вдоль данного лзгча, сосредоточенному в окресности того луча и не имещему сингулярно с т ей на каустиках.
Основные формулы метода суммирования гауссовых пучков в двумерном случае
В двумерном случае формулы метода суммирования гауссовых пуч-:ов упрощаются и могут быть получены редукцией соответствующих зоряуя П главы.
Рассмотрим неоднородную упругую среду, параметры А , Н , Р юторой зависят от двух декартовых координат X , ъ . Вектор змещения U будем считать лежащим в плоскости х. , "Ъ Центр асширения Fii] и центр вращения F(2) в двумерном случае шисываются соответственно формулами де постоянный единичный вектор ви ортогонален плоскости Ой , г [так что х , ч ,2 - правая система координат). В главном йене высокочастотной асимптотики (OJ -» с ) f рассмотрением юторого мы ограничиваемся, источник (I.I) возбуждает только про-іольную, а (1.2) - только поперечную волны, скорости распроотра-іения которых обозначаются соответственно (X и о .
Каждому из рассматриваемых источников отвечает центральное юле лучей, выходящих из начала координат под всевозможными углада. Лучи будем параметризовать полярным углом (/ , отсчитываемым от оси X , и описывать вектор-функцией Zf - -C ff) » ще s - длина дуги луча. Ддя нахоздения лучей необходимо репать уравнения Эйлера для функционала Ферма с соответствующей скоростью ( d или о ), начальные условия при s = О (в источнике).
Постановка задач в рамках метода параболического уравнения Леонтовича-Фока
Пусть "-r(s) является уравнением отражающей границы Г , расположенной на плоскости (радиус-вектор Ъ є R , s -джина дуги, отсчитываемая от некоторой точки). Обозначим через и (s) единичный вектор нормали в точке s к Г , направленный в ту сторону, где рассматривается волновой процесс. Положение любой точки М в некоторой окрестности Г однозначно определяется парой чисел и о, в соответствии с формулой в которой м - радиус-вектор точки М
Координатами S и будем пользоваться в дальнейшем, їз формулы (I.I) следует, что квадрат элемента длины (dzM t ) з этих координатах имеет вид {dfh)dzh) ((-0, К0&)2ols2+Jе?, еде i(.0Ls) -кривизна Г в точке s ( K0(s) 0 , если Г вогнута со стороны волнового поля). Координаты S и h , саким образом, являются ортогональными, и уравнение границы Г з них имеет вид 0,-0
Будем предполагать, что волновое поле U удовлетворяет сравнению Гельмгольца с переменной скоростью С = Csjf) -где А - оператор Лапласа, ь) - частота, а на границе В принятых обозначениях эффективная кривизна границы l\(s) определяется выражением Kcs) = Os) + (s.o) С($Л)\. В той части границы,где K[_s) 0 могут распространяться волны шепчущей галереи. Асимптотическое разложение при и)- о для них строится в следующем виде (см. [ IIJ ).
В формулах (1.4) обозначено: «9(s) - (2 [s)j Cfs,oJ, tfy) -функция Эйри, имещая при у - е экспоненциально убывающую асимптотику, - vJ - ее корень, так что 0 - 0 на границе
В той части границы, где К(-$) " 0 , могут распространяться волны соскальзывания. Асимптотическое разложение для них аналогично (1.3) и может быть получено из последнего заменой Ify) яа функцию Эйри W (y) , а - - на корень - функции W , зм. [її] .
Если при некотором S эффективная кривизна К (s) обращает - 168 ся в нуль, то эти разложения теряют смысл, так как все члены их, начиная о п - і , обращаются в бесконечность. Главный член U0 остается ограниченным, но производные от него обращаются в бесконечность, поэтому при подстановке его в уравнение (1.2) возникающая невязка в окрестности нуля К(s) будет сколь угодно велика. По этой причине указанные аоимптотичеекиё разложения не позволяют проследить за поведением волн шепчущей галереи и волн соскальзывания в окрестности нуля эффективной кривизны границы. Использование метода параболического уравнения [49, 81 ] позволяет поставить задачу, решение которой дает возможность это сделать (в главном члене при 6J - оо ).
