Введение к работе
Актуальность темы, В диссертации рассматриваются следующие интегральные уравнения свертки: скалярное и векторное интегральное уравнение восстановления (ИУВ) на полуоси, ИУВ на всей вещественной оси, интегральное уравнение Винера-Хопфа (ИУВХ).
Интегральное уравнение восстановления на полуоси рассматривается в следующих двух случаях: а) скалярное ИУВ со вполне монотонным ядром; б) система ИУВ, где ядро матрица-функция, удовлетворяющая условиям критичности.
Интегралы і„.е уравнения восстановления являются важным и интересным классом уравнений свертки. Они применяются в теории вероятностей, в теории переноса излучения, в кинетической теории газов и в ряде других разделов математической физики.
Теория Восстановления интенсивно развивается за последние 50 лет в рамках теории вероятностей.
Системы уравнений восстановления (УВ) на полуоси играют важную роль в теории полумарковских процессов и в математической физике. Теория систем ИУВ развита менее полно по сравнению с теорией скалярных уравнений.
Наиболее важным с точки зрения приложений в теории переноса излучения и в кинетической теории газов являются ИУВ на полуоси в том случае, когда Ядро является суперпозицией экспонент. Одной из центральных задач теории ИУВ на полуоси в этом случае является изучение структуры его решения.
Если в теории вероятностей ИУВ на полуоси представляют интерес сами по себе, то в математической физике эти уравнения более важны как результат вольттеровской факторизации исходных интегральных уравнений Винера-Хопфа.
Такая факторизация была построена различными способами, путем применения мі їда Винера-Хопфа, принципа инвариантности В.А.
Амбарцумяна, метода нелинейных уравнений факторизации Н.Б. Енгибаряпа, резольвентного метода В.В. Соболева.
Несмотря нч долгую историю развития ИУВ и существование богатой аналитической теории, многие важные вопросы по уравнениям на полуоси и на всей прямой до сих пор остались открытыми.
Одним из основных результатов классической теории восстановления является теорема В. Смита.
Недавно Н.Б. Енгибаряном и Г.Г. Геворкяном была получена новая теорема восстановления на полуоси (то есть - для неотрицательной случайной величины). Эти результаты Н.Б. Енгибаряном были использованы к системам ИУВ на полуоси и к уравнениям восстановления на всей прямой.
Целью работы является
Изучение структуры решения ИУВ на полуоси в случае когда ядро является суперпозицией экспонент.
Исследование асимптотических свойств в бесконечности решения системы ИУВ на полуоси в консервативном (критическом) случае (КС).
Изучение асимптотических свойств в бесконечности решения ИУВ на всей прямой в КС и интегрального уравнения Винера-Хопфа.
Научная новизна и практическая ценность полученных результатов. В работе получены ^следующие результаты, которые выносятся на защиту:
- Если ядро и свободный член рассматриваемого интегрального
уравнения восстановления на полуоси являются вполне монотонными
функциями, удовлетворяющие некоторым дополнительным условиям, то
решение этого уравнения также является вполне монотонной функцией.
Получены новые результаты, связанные с процедурой построения представления решения рассматриваемого уравнения.
- Доказано, что решение системы интегральных уравнений восстановления на полуоси при некоторых слабых ограничениях на ядро этого уравнения, имеет конечный предел в бесконечности и вычислено значение этого предела.
Получено обобщение на системы ИУВ теоремы Смита.
Изучеши асимптотические свойства в бесконечности основного решения интегрального уравнении Вииера-Хонфа.
Доказано существование предела и бесконечности основного решения рассматриваемого консервативного ИУВ на всей вещественной оси. Получен вариант известной теоремы Восстановления С. Карлика.
Общая методика. Результаты работы получены путем сочетание метода нелинейных уравнений факторизации (ПУФ) с рядом методов и фактов теории ИУВ.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на конференциях Армянского Математического Союза и па семинарах по математической физике Пюракапской Астрофизической Обсерватории НАН РА.
Публикации. Основные результаты диссертации изложены в работах 11-5].
Объем и с.ууктура работы. Диссертации состоит из Введения, двух глав, списка литературы и изложена на 80 страницах. Каждая из глав I, 11 состоит из трех параграфов. Библиография содержит 31 наименование.
