Введение к работе
Актуальность темы. Квазилинейные уравнения механики сплошной среды представляют собой важный объект современной теории дифференциальных уравнений. В их число входят системы уравнений движения вязкого газа (сжимаемой жидкости), активно изучаемые в последние десятилетия как в России, так и во Франции, Италии, Германии, США, Японии и других странах. Одним из важных направлений исследований являются вопросы качественной теории, включая анализ равномерных по г свойств решений (например, равномерной ограниченности плотности сверху и снизу) и поведения решений при f-»+«>. Соответствующие результаты имеют особый интерес тогда, когда они получены «в большом» по данным.
В настоящее время такие результаты даны в основном для случая уравнений одномерного движения. Первые из них получили Я.И.Канель, А.В. Кажихов, В.В.Шелухин, а последующие — T.Nishida , M.Okada, T.Nagasawa, I.Straskraba, A.Valli , H.Beirao da Veiga, A.Matsumura, В.А.Вайгант,А.А.Злотник, S.Jiang, S.Yanagi и др. Однако многие вопросы здесь остаются окрытыми. В частности, явно недостаточно изучены задачи со свободными границами (когда заполняемый газом объем может меняться в процессе движения) и задачи симметрического движения.
Цель работы. Изучить вопросы качественной теории начально- краевых задач для систем квазилинейных уравнений составного типа, описывающих одномерное движение (включая движение с различной симметрией) вязкого баротропного газа при наличии свободных границ Этими вопросами являются наличие равномерных по t оценок решений и стабилизация при t —» +<х> без предположений о малости данных. Кроме того, изучить аналогичные вопросы для разностных аппроксимаций некоторых из указанных задач.
Методы исследования. При решении поставленных вопросов применены энергетический метод и метод функционалов Ляпунова, адаптированные с учетом характера изучаемых систем, а также некоторые специальные приемы. Широко использованы пространства Лебега и Соболева. Анализ разностной аппроксимации основан на том, что удается разработать разностные версии названных методов и приемов. Существенную роль сыграло то, что указанные вопросы были ранее изучены А.А.Злотником для задачи с фиксированными границами (как в дифференциальном, так и в разностном вариантах).
Основные результаты н их научная новизна. Исследованы три начально-краевых задачи одномерного движения вязкого баротропного газа: 1) задача с фиксированной левой и свободной правой границами;
-
задача с двумя свободными границами (при массовой силе, зависящей только от /);
-
обобщенная задача 1 о симметрическом движении (не только с плоской, но и с цилиндрической или сферической симметрией), причем в случае коэффициента вязкости, зависящего от удельного объема ц.
Для каждой из этих задач доказаны:
а) при общей немонотонной функции состояния — равномерная по г
энергетическая оценка, равномерные оценки rj снизу и сверху, а также (в
задачах 1 и 3) стабилизация скорости и к 0 в норме Lq(Q) с любым 1 < q < оо;
б) при монотонной функции состояния — стабилизация решения в норме
L2(Q), равномерные по / оценки производных решений и их стабилизация в
норме L2 (О) с оценкой скорости стабилизации.
Изучена также специальная разностная аппроксимация задачи 3 и для нее получены аналоги основных из перечисленных результатов об оценках решения и их стабилизации.
Все эти результаты являются новыми.
Теоретическая и практическая ценность работы. Результаты диссертации представляют собой вклад в качественную теорию важного класса систем квазилинейных уравнений механики сплошной среды — уравнений движения вязкого газа — при "больших" данных.
Результаты о специальной разностной аппроксимации позволяют судить о том, что ее можно с успехом применять при практическом вычислении решений на любых (в том числе "больших") временах.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на научно-исследовательских семинарах: семинаре МЭИ по дифференциальным уравнениям под руководством проф. Ю.А.Дубинского, семинаре по вычислительной математике и математическому моделированию под руководством доц. А.А.Амосова и проф. А.А.Злотника (кафедра математического моделирования МЭИ), семинаре под руководством члена-корр. РАН Е.И.Моисеева (кафедра общей математики факультета ВМиК МГУ).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 4 работах, список которых приведен в конце автореферата.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы, включающего 48 наименований. Объем диссертации составляет 114 страниц.
