Введение к работе
Актуальность темы. В течении последних 20 лет довольно интенсивно развивается исследование физических систем, составленных из разнородных элементов. Примерами таких систем являются, например, конструкции, составленные из стержней и пластин или из струн и мембран. В основном интересуются колебаниями таких систем или их статическими деформациями. Рассматриваются также задачи о распространении тепла в них.
В качестве математической модели получается дифференциальное уравнение (одно из трех стандартных типов: эллиптическое, параболическое или гиперболическое) на стратифицированном .множестве - множестве, составленном из многообразий различных размерностей, достаточно регулярно примыкающих друг к другу.
Коротко остановимся на истории вопроса. Как уже говорилось, наиболее заметные продвижения в этой тематике произошли в последние десятилетия (хотя отдельные работы появлялись еще в довоенное время); отметим здесь работу Р. Куранта и работы Л. Коллатца. В числе первых попыток систематического изучения подобных задач отметим работы Ю.В. Покорного и его учеников, относящиеся к задаче о статических перемещениях системы струн, связанных в виде графа. Перемещения системы струн описывались следующим набором уравнений:
-(рі«;-)' + 9і«і = /і (і)
во внутренних точках струн (ребер графа) и
- ]T>4(*i) =/() (2)
в точках а,- их соединения (вершинах графа).
Кроме этого, в части вершин система закрепляется:
= О, (3)
где дГ - набор вершин, которые закрепляются.
Иметь дело с довольно сложным набором уравнений (1), (2) весьма не просто, поэтому делались попытки провести аналоги и с уравнениями па отрезке. Как это делать? Один из возможных подходов состоит в общей параметризации всех ребер одним отрезком [0,1], так что набор уравнений (1) превращается в систему уравнений на отрезке [0,1]. Соотношения (2) превращаются в весьма необычные краевые условия (в некоторых из них оказываются перемешанными производные функции и в левом и правом концах). Этот подход использовался в большинстве работ по данной тематике. Однако он оказался неприемлемым при изучении качественных свойств решений. Вплоть до последнего момента близкий подход продолжают использовать во Франции (см., например, Lumer G., Nicaise S., Ali Mehmeti F., J. von Below).
Позднее стало ясно,что соотношения (1), (2) следует интерпретировать как одно уравнение для скалярнозначной функции, определенной на графе. В отчетливой форме этот подход представлен в работе Ю.В. Покорного и О.М. Пенкина, посвященных аналогам классических теорем Штурма для уравнений на графах. Недавно, последний подход был применен ими и к изучению перемещений системы, составленной из струн и мембран. В итоге в рассмотрение был введен так называемый жесткий Лапласиан Ари. В точке х из Аг-мерного страта ст*; он записывается так:
(Ьри)(х) = (Ари)(х)+ Yl (PVu),> (4)
где Др - классический эллиптический оператор типа Лапласа-Бельтрами , a VJ (pVu)„ - сумма проекций градиента на направления нормалей
к &кі в точке х, направленных в (Tk+ij-
Хотя оператор (4) при р = 1 является аналогом классического Лапласиана, аналогия эта не полна. К примеру, до сих пор неясно обладает ли гармоническая в смысле этого Лапласиана функция свойством среднего. В ходе изучения оператора (4) возникло подозрение, что препятствием
тля свойства среднего (если перейти к механической модели) является наличие струн в местах стыковки мембран. Снятие струн эквивалентно гаму, чтор = 0 на одномерных стратах. В этом случае, мы называем Лапласиан Др - мягким. Набор получаемых свойств решений уравнения Дл = 0 в случае мягкого Лапласиана значительно богаче, чем это имеет место для жесткого Лапласиана (когда р > 0 на всех стратах). Это и послужило основным мотивом для изучения мягкого Лапласиана.
Обратим внимание, что, например, в двумерном случае (то есть когда размерности стратов не превосходят двух) уравнение — Ари = / в двумерных стратах 0 в нашем случае совпадает с классическим уравнением Лапласа (при р=1)
-Дри = /, (5)
а на стратах <Уц единичной размерности имеем:
- = ' <6>
Оказалось, что выражение (4) не просто формальная запись для набора (1),(2). А именно, ему можно придать классическую дивергентную форму:
Ари = div (р grad и),
если определить дивергенцию как плотность потока касательного векторного по специальной "стратифицированной" мере. Это позволило отслеживать глубокие аналоги с классическим Лапласианом и явилось мощным эвристическим средством изучения качественных свойств решении. Следует заметить, что весьма близкой к рассматриваемой нами тематике является теория сильно неоднородных механических сред, в которой изучаются, например, мембраны или пластины с периодически или почти периодически расположенными перфорациями. Эту теорию развивали в своих работах, например, Жиков В.В., Козлов СМ., Олейник О.А.,Иосифьян Г.А., Шамаев А.С. и" др. Здесь традиционным и более
плодотворным является метод усреднений. Кроме того, рассматривались также области, границы которых предполагались стратифицированными. В самой области рассматривался эллиптических оператор, а на различных стратах границы задаются краевые условия (Дирихле, Неймана и др.).
Еще отметим, что основным отличием рассматриваемых нами задач от большинства работ этого направления состоит в том, что в них рассматривается стратифицированное множество в целом являющееся многообразием. К примеру, Н.Д. Копачевский, С.Г. Крейн, Кап Нго Зуй. рассматривали колебания жидкости в резервуаре, перегороженном внутри упругими пленками. В целом резервуар с геометрической точки зрения является многообразием, а стратификация возникает в связи с тем, что на пленках и в межпленочных камерах "работают" различные законы физики.
Цель работы. Построение наиболее подходящей математической модели для механических систем, составленных их однотипных элементов типа мембран. Изучение разрешимости и некоторых качественных свойств решений эллиптических уравнений и неравенств эллиптического типа на стратифицированных множествах.
Методика исследований. Методика исследований основана на использовании абстрактной теории меры для интерпретации сложных наборов дифференциальных уравнений в виде единого дифференциального уравнения. Применяются методы классической теории дифференциальных уравнений в частных производных. При доказательстве слабой разрешимости задачи Дирихле с мягким лапласианом используется метод гильбертова пространства.
Научная новизна. Все основные результаты являются новыми. В числе основных результатов данной работы отметим следующие:
Выделен подходящий для рассмотрения задач класс стратифицированных множеств. Этот способ оказался иным, чем тот, который
был введен в связи с рассмотрением жесткого лапласиана.
Доказана разрешимость задачи Дирихле с мягким лапласианом.
Получен аналог классической теоремы о среднем для гармонических в смысле мягкого Лапласиана функций. Как следствие - сильный принцип максимума для решения эллиптических неравенств типа
Ари > 0.
Получен точный аналог классического неравенства Харнака.
Для стратифицированных множеств с пустой границей имеет место аналог Леммы Бохнера, утверждающий в классическом случае, что неравенство Ари > 0 допускает на компактном римановом многообразии только постоянные решения.
Практическая и теоретическая значимость. Основные результаты работы носят теоретический характер. Результаты могут быть применены в теории дифференциальных уравнений эллиптического типа.
Апробация работы и публикации. Основные результаты работы являются новыми и опубликованы в [1]-[7] . Некоторые результаты обсуждались на Воронежских математических школах "Современные методы в теории краевых задач" в 1998-2000 гг., на семинаре по качественной теории краевых задач при Воронежском госуниверситете (руководитель - проф. Ю.В. Покорный) в 1998-2000 гг., на семинаре кафедры Дифференциальных уравнений факультета ПММ Воронежского госуниверситета (руководитель - проф. Мешков В.З.).
Структура и объем работы. Об организации текста. Диссертация состоит из введения, двух глав, объединяющих в общей сложности 8 параграфов или 13 пунктов, и списка литературы. Общий объем диссертации 71 страница. Библиография содержит 32 наименования. Текст иллюстрируют 17 рисунков. Нумерация формул, теорем, замечаний и рисунков в каждом параграфе автономна.
