Содержание к диссертации
Введение
Уравнения с разрывными решениями 19
1 Вариационная мотивация подхода 20
2 Некоторые сведения о тг-интеграле 28
3 Аналог теоремы Коши-Пикара 33
4 Основные свойства решений однородного уравнения 42
5 Зависимость решении от параметра 49
Краевая задача 59
1 Функция влияния 59
2 Свойство неосцилляции 64
3 Явное представление функции влияния 69
4 Интегральное представление решения краевой задачи 72
5 Аналог принципа Хикса 7G
Знакорегулярность разрывных решений 78
1 Аналог теорем сравнения Штурма 78
2 Аналог теоремы Пойа-Мамманы 85
3 Оценка числа нулевых точек 88
4 Положительные решения дифференциальных неравенств 90
Осцилляционность спектра 96
1 Дискретность спектра, простота и положительность собственных значений 97
2 Ортогональность собственных функций 102
3 Нулевые точки собственных функции 103
Библиографический список
- Некоторые сведения о тг-интеграле
- Свойство неосцилляции
- Аналог теоремы Пойа-Мамманы
- Ортогональность собственных функций
Введение к работе
В настоящей работе допускается возможность наличия у параметров уравнения (0.0.3) особенностей как 5-образного типа, так и более сильных, которые возникают, например, в случае разрывных решений, когда дсльтаобразиыс сингулярности присутствуют уже у первых производных, что усугубляется вторым дифференцированием.
Интегро-дифференцнальная форма уравнения (0.0.1) и задачи (0.0.2) позволяют нам расширить класс объектов, обычно описываемых а рамках стандартной теории Штурма-Лнувилля, не применяя аппарата теории обобщенных функций Шварца-Соболева. За счет расширения понятия интеграла нам удастся сохранить поточечное толкование как решений, так и соотношений, что в рамках теории обобщенных функции было бы невозможно. Таким образом, мы сможем говорить о нулях решении, об их числе, о количестве перемен знака и прочем, что откроет дорогу для точных аналогов осцилляционпых результатов Штурма. Большинство классических результатов удается перенести па случай не просто негладких, но даже разрывных решений. Обсуждаемые нами вопросы допускают решения из класса /х-абсолютно непрерывных (с разрывной, вообще говоря, //(•)) функций, производные которых и имеют ограниченные вариации.
Случай, когда у решений уравнения (0.0.5) допускается конечное число точек разрыва при условии регулярности коэффициентов q, т, изучался в работах [2, 59]. Осцилляционность спектра здесь была доказана путем переноса теории "ядер Келлога".
В настоящей диссертации обсуждаются вопросы качественного анализа решений уравнения (0.0.4) и соответствующей задачи (0.0.5), включая информацию о переменах знака решений, о числе пулевых точек собственных функции, о простоте (алгебраической и геометрической) всех точек спектра, когда у коэффициентов q = Q , т = М допускаются -слагаемые, т.е. возможные скачки Q, М осложняются присутствием 5-слагаемых, а решения допускают бесконечно много точек разрыва ( но не более чем счетно). В рамках классической осцилляциошюй теории подобный круг вопросов исследуется обычно с помощью хорошо развитых методов, восходящих к Штурму. Однако эти методы оказываются непригодными для обобщенных (по Шварцу-Соболеву) производных, исключающих локальную (поточечную) трактовку. Данную трудность мы обходим, следуя концепции Ю.В. Покорного, согласно которой уравнению (0.0.4) может быть придано поточечное представление где в обобщенное дифференцирование —— вкладывается более узкий (по сравнению со случаем непрерывных решении) смысл, определяемый предложенной Ю.В. Покорным [38] расширенной трактовкой интеграла Стнлтьеса, которую мы будем называть тг- интеграл ом. Для более корректного восприятия уравнения (0.0.4), (0.0.5) будем рассматривать в ннтегро-днфференцналыюй форме (0.0.1) и (0.0.2) соответственно. Такой подход требует переноса на задачу (0.0.2) классических методов регулярной теории, что и делается и настоящей работе. Основой для переноса являются полученные в данной работе результаты, уподобляющие уравнение (0.0.1) обыкновенному дифференциальному уравнению второго порядка, включающие теоремы о разрешимости, вронски-анпую технику, теоремы Штурма о распределении и перемежаемости нулей и проч.
Научная новизна. Перечисленные ниже основные научные результаты диссертации являются новыми.
Установлена точная параллель классической теории обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка:
1. Доказан аналог теорем о непрерывной зависимости решений от начальных условий и спектрального параметра,
2. Доказаны аналоги теорем Штурма о перемежаемости нулей решений однородных дифференциальных уравнений.
3. Доказан аналог теоремы Пойа - Мамманы о представлении неосцилли-рующего дифференциального оператора в виде суперпозиции квазппроизвод-пых.
4. Доказан аналог принципа Хикса.
5. Доказан аналог теоремы об осцилляционности спектра задачи Штурма-Лиувнлля.
Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер.
Апробация работы. Основные результаты из всех разделов диссертационной работы докладывались на следующих конференциях и совещаниях: Международная конференция, посвященная 103 - летию со дня рождения И.Г.Петровского, Москва,, 1G - 22 мая 2004, Воронежских весенних математических школах "Поитрягииские чтения -XV" ( 2001 г.) и "Поитрягинскис чтения - XVI"( 2005 г.), па семинарах профессора Покорного Ю.В. в 2002 -2005гг, Научной сессии Воронежского государственного унииерситета ( 2005 г.).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [17, 18, 19, 20, 25, 40, 41, 42]. Из совместных работ [40-42]. в диссертацию включены только результаты автора.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения и четырех глав, изложенных па 113 страницах машинописного текста, списка цитируемой литературы из G0 наименовании на 7 страницах. Общий, объем диссертации составляет 120 страниц.
Некоторые сведения о тг-интеграле
Пусть v{x) — неубывающая функция, определенная на [0,1]. Обозначим через S(v) множество точек разрыва v(x). Будем рассматривать случай, когда функция v(x) непрерывна в точках х = 0, х — 1. Отметим, что нам важно, чтобы v(x) была определена во всех точках Є S(v). Пусть а(х) — х + v(x), т.е. функция а(х) строго монотонно возрастает на [0,1] и непрерывна и точках х = 0, х = 1. Добавим к [0,1] для Є S(v) элементы — 0 и + 0, полагая при этом х —0 для всех х , а также +0 а; при всех ж . Обозначим это расширение через [0,1] . Очевидно, что [0, l]v является пополнением [0,1] по метрикер(а,Ь) = \а(Ь)—и(а)\. Топология на [0, l]v индуцируется исходной, т.е. метрикой р. Метрическое пространство [0, l]v разрывно, па нем каждая функция ограниченной вариации z(x) приобретает собственные значения z( 0), г( + 0) бывшие ранее предельными. Аддитивная функция сегмента v([a,b]) = v(b) —v(a) непрерывна на [0, l]v. Можно показать [38], что v([a, b]) допускает стандартное продолжение до ечетно-адднтшшоіі меры на системе борелевских (относительно [0, l]v ) подмножеств. Заметим, чтогкчера мпожс-ства [ - 0,], т.е. v[t - 0,] равна и(0 - v{G - 0), v[$} + 0] = v($ + 0) - (0, v[ — 0, + 0] = v( + 0) — f ( — 0). Введем [38 процедуроїі лебеговского типа [G, 21, 2С, 49, 58] интеграл J" [v] по ("расщепленной") мере v, где функция z л определена па [0, l]v \ S(v), и будем называть такой интеграл тг-интегралом, Заметим, что в данном случае мы можем интегрировать по любому боролев скому (относительно [0, l]v ) множеству Л. Так, например, если — точка разрыва функции v(x), то - +0 J ud[v] = u(t; + 0)(ЧЄ + 0) - «()), +0 у1 щф] = u( - 0)(w(0 - v( - 0)) + u( + 0)(v( + 0)- «()). Основной для нас будет являться формула, обозначенная ранее (1.1.2) из [38], т.е. Р Р / nd[v] = / uduo + 2 u(s - 0){v(s) - v(s - 0))+ + «(e + 0)(u(s + 0)-v(s)), a s 0 где у — функция ограниченной вариации, VQ(X) —- непрерывная часть v [2G, 35, 45], интеграл JudvQ понимается в привычном смысле [G, 21, 26, 49, 50, 58] а по Лебегу-Стилтьесу. В случае, когда функция и{х) имеет ограниченную вариацию на [0,1], мы также будем пользоваться формулой из [38], обозначенной ранее (1.1.5), т.е. 0 0 / itd[v] — u(p)v(P) - u(a)v{a) — / vdu, (V a P где J vdu — обычный интеграл Лсбега-Стилтьеса, самостоятельно определен ный на [а,Р]. Еще раз заметим, что в отличие от обычного интеграла Стилтьеса, здесь собственное значение it(s) интегрируемой функции и в точке разрыва х = s функции v[x) никакой роли не играет, важны лишь продольные значения и($ + 0), u(s — 0), зато учитываются все три значения u(,s — 0), v(s + 0), v(s) функции интегрирующей. р Для произвольной функции ограниченной вариации v(x) интеграл f ги1[у\ а мы определим как / ud[v] / ud[v{\ — / /(/(]) где V\ и vi неубывающие функции из жордапопа представления v = v\ v% [2G, 45, 56].
Основные свойства тг-интеграла совпадают с привычными свойствами интеграла Лебега-Стилтьсса [G, 21, 2G, 49, 58].
Следующая теорема является результатом, представляющим самостоятельный интерес. Теорема 1.2.1. Пусть и{х), v(x) — функции ограниченной вариации па [0,1], непрерывные о точках х = 0, х = 1. Обычный интеграл Лебега - Стпил 1 і тъеса J udv тогда и только тогда совпадает с -к-интегралом J ud[v], когда о о У A u(s)A v{s) — 2 Д+Ф)Д+Ф) 5 1 0 S 1 где Д-ф) = ф) - ф - 0), Д+ф) = ф + 0)- ф). Доказательство. Доказательство теоремы, в силу формулы (1.1,5), сводится к изучению возможности интегрирования по частям интеграла Лсбега-Стилтьеса. Функцию и(х) v(y) можно принять за интегрирующую для треугольной области А: 0 у х 1 плоскости ху
Свойство неосцилляции
Рассмотрим однородное уравнение (1.4.1), т.е. уравнение х -P№) + JMQ] = -P№) о Заметим, что из (1.3.1), (1.3.2) следует, что для любой точки разрыва функции fi(x) выполняются равенства -К(0 + К( - ) + и& - )A Q(0 = . О2-2-1) -ри Д + 0) + риДО + и( + 0)Д+ЗСЄ) - 0. (2.2.2) Если же s 5(/І), и в точке s одна из функций р7 Q разрывна, то -ри Д + 0) + ри Д - 0) + м(0 AQ(0 = 0. (2.2.3)
Обозначим через #Vo[0,1] множество функций ограниченной вариации на отрезке [0,1], непрерывных п точках х = 0, х = 1 и не определенных в точках разрыва. Будем называть $ Є (0,1) нулевой точкой функции и Є Z?Vo[0,l], если u(s — 0)u(s + 0) 0. И назовем точки s = 0, s = 1 нулевыми точками, если и(0) — и(1) = 0. Заметим, что если в нулевой точке функция и(х) непрерывна, то ii() = 0. Если же нулевая точка Є S{u), то либо один из пределов и( — 0), и( + 0) равен нулю, либо функция и(х) меняет в точке знак.
Лемма 2.2.1. Пусть ь & — нулевые точки решения и(х) уравнения (I.4.I). II пусть (и& + 0) - w(fc - 0)) (u(fc + 0)- м(Єг - 0)) 0. Тогда па отрезке [і,г] найдется точка т, о которой выполняется хотя бы одно из неравенств u;f(r-o)4(r + o) o, ИЧ(г + 0) 0, (г). (т-0) 0.
Доказательство. Рассмотрим случай, когда и{\ — 0) 0, и{\ + 0) 0, и(6 - 0) 0, и(& + 0) 0. Тогда и;,(0 0, иЦб) 0. Если и Ді + 0) 0, то в качество г дюжем взять точку ь Аналогично, если и (& — 0) 0. то в качестве г возьмем точку
Пусть wj((f і + 0) 0 и и (& — 0) 0. И пусть s — точка, в которой \i-иепрерывная на компакте [i+0, 2-0] функция и(х) достигает .максимума или минимума. Рассмотрим случай максимума. Тогда для всех а; Є [і +0, 2 — 0] выполняется и(х) u(s). Если s $ S(n), то u fl(s — 0) 0, u jt(s + 0) 0, откуда wjt(s — 0) и (s + 0) 0, и лемма доказана. Пусть s = - 0 (s = Є + 0), где f є 5(/і). Тогда г( - 0) 0 и wj,(f) 0 («; + о) ои«;хо о). Остальные случаи рассматриваются аналогично. Лемма доказана.
Доказательство. Предположим противное. Пусть { Jl}JJL1— множество нулевых точек функции и(х). Без ограничения общности, мы можем считать, что последовательность ,1 сходится к некоторой точке о, причем „ о (п о). Рассмотрим случай, когда для всех п „ Имеем и(п — 0) и(п + 0) 0, откуда следует неравенство и(о + 0) U(Q + 0) 0, или II(Q + 0)-0. Далее, согласно лемме 2.2.1, найдется точкатп Є [п+і,і], в которой / -производная и меняет знак, Рассмотрим случай, когда для бесконечного множества точек тп u ({r„ - 0)и ,(тп + 0) 0. Тогда lim и (тн - 0)и (тп + 0) 0, пли и (о + 0) — 0. Значит, и(х) = 0, и мы приходим к противоречию. Остальные случаи рассматриваются аналогично.
Лемма 2.2,2. Пусть функция Q(x) не убывает, и пусть - пулевая точка нетривиального решения и{х) уравнения (1.4-1). Тогда если $ S{}i), то «;,(-0)uJ(( + 0) 0. Если oice Є 5(//), то числа uj((), «[,(f-0)j "[ ( +0) имеют один и тот же знак и отличны от нуля.
Доказательство. Пусть S(fi). Тогда и(х) непрерывна в точке и u() = 0. Если одна из производных и (±0) = 0, то и{х) = 0. Если в точке функция а(х) = х + pi(x) + р-2{х) + Q(x) непрерывна, где р = pi — р2 , то uj{( — 0) = и (4-0), и лемма доказана. Если же Є S{a), то из равенства (2.2.3) следует, что р( - 0) ( - 0) = ptf + 0) ( + 0), т.е. и Д - 0) и и Д + 0) имеют одинаковые знаки. Пусть теперь Є S(fi). Рассмотрим случай, когда гл( —0) МО H!i( 0)? uI (+0) легко следует из равенств (2.2.1), (2.2.2). Предположим, что и(—0) = 0. Тогда и( +0) 0, так как в противном случае из равенства (2.2.1) получим, что и ( — 0) = 0, и следовательно, и = 0. Предположим, что и( + 0) 0. Тогда и (О 0, п положительность производных и ( — 0), и ( + 0) легко следует из равенств (2.2.1), (2.2.2). Остальные случаи рассматриваются аналогично. Лемма доказана. Будем называть уравнение (1.4.1) неосциллирующіш на [0,1], если всякое нетривиальное решение (1-4.1) имеет па [0,1] не более од trail пулевой точки.
Теорема 2.2.1. Для неосцилляции па [0,1] уравнения (1.4-1) достаточно, чтобы функция Q(x) монотонно неубывала на [0,1]. Доказательство. Пусть і и Д с соседние нулевые точки нетривиального решения и(х) уравнения (1.4.1). Рассмотрим случаи, когда г/(і — 0) 0, w(i + 0) 0, и(г — 0) 0, и( 2 + 0) 0. Перепишем на [ + 0, — 0] уравнение (1.4.1) в пиде ри х) = J ud[Q] +КЄі + 0)иЦЄі + 0). (2.2.4) fc+o Так как itj((i) 0 то согласно предыдущей лемме, p(i + Q)u fl{i+Q) 0, и из (2.2.4) следует, что и ( — 0) 0. Однако w () 0 что протшюречит лемме 2.2.2. Остальные случаи рассматриваются аналогично. Теорема доказана.
Теорема 2.2.2. Пусть функция Q{x) не убывает па [0,1]. Тогда решение K(x,s) уравнения из (2.1.1) строго положительно для всех х, s, отличных от пуля и единицы, причем максимум решения достигается о точке $ Є [0,1] t \ {0 У 1} приложения импульса, т.е. max / (ж, s) = K(s, s) Доказательство. Пусть, для определенности, s — + 0, где Є S(fi). Пока жем, что К (ж, + 0) 0 для всех ж Є [0,1] и шах К (ж, + 0) = / ( + 0, f+ 0). Остальные случаи могут быть рассмотрены аналогично. При х —0 функция и(х) = К(х, +0) является решением уравнения (1.4.1) н удовлетворяет условию к(0) — 0. Согласно предыдущей теореме, и(х) сохра cs пнет знак на (0,0- Предположим, что и(х) 0. Тогда и {х) 0 па (0,), т.е. функция гі(х) строго монотонно убывает на (0, ). Из равопстпа (1.3.1) следует, что Ди( ) 0, т.е. и( + 0) /( — 0). Аналогично, функция и(х) сохраняет знак па (, 1), и следовательно, и(х) 0 на (, 1).
Аналог теоремы Пойа-Мамманы
Будем называть дифференциальным неравенством -(puJ{x)+Q u(x) Q, где х Є [0,1], класс уравнений -(pu jt)(x) + Jud[Q] = -(К) ) + F(x) - (). (З-4-1) о где функция F(x) не убывает на [0,1] и непрерывна в точках х — 0, х — 1. Теорема 3.4.1. Следующие свойства эквивалентны; (1) уравнение (1.4.1) имеет строго положительное на [0,1] решение; (2) решение и(х) уравнения (1-4-1) при условиях и(0) = 0, u /t(0) = 1 не имеет других пулевых точек на [0,1] (точно так otce и дляи(1) — 0, гі Ді) = V; (3) уравнение (1.4-1) не осциллирует па [0,1]; (4) ДЛЯ всякой монотонно неубывающей па [0,1] функции F(x), непрерывной в точкахх = 0, х = 1, существует хотя бы одно строго полооїситсльиое ш [0,1] решение и(х).
Заметим, что условие (1) адекватно условию Якоби вариационного исчисления. Эквивалентность (3)-(4) для обычного уравнения есть известная теорема Валле-Пуссена. Доказательство. Докажем цепочку следствий 1) = 2) =Ф 3) = 4) = 1).
Следствие 1) = 2). Обозначим положительное па [0,1] решение (1.4.1) через и(х). Если 7/ — отличная от х = 0 нулевая точка решения v(x) уравнения (1.4.1) с начальными условиями и(0) = 0 и v l((0) = 1, то из теоремы 3.1.1 следует, что решение и(х) имеет нулевую точку на [0,1], что невозможно. 2) = 3). ЕСЛИ Существует решение н(ж), НМСЮІЦее ДВС Пулевые ТОЧКИ 7/1 7/2, то функция v(x), являясь решением уравнения (1.4.1) с начальными условиями v(0) = 0 и v tl(Q) = 1, обязана иметь на (0,1] пулевую точку, что невозможно. 3) =Ф 4) Если уравнение (1.4.1) не осциллирует на [0,1], то сумма решений Pi(x) и ip2{%) задач -{ри х) + jud[Q] = -(pUy(o), ( -04)0 0 + /« [ ?] = -(Р«У(О). о п о «(0) = 0, м ДО) = 1 I u(l) = 0, u „(l) = -1 соответственно, положительна на [0,1] , причем fi(x) и 2( ) положительны Зафиксируем произвольную неубывающую функцию F(x), непрерывную в точках х = 0, х = 1, и рассмотрим уравнение (3.4.1). Пусть f(x) — решение уравнения (3.4.1), удовлетворяющее условиям v(0) — v fl(0) — 0. Пусть М О такое, что при всех х Є [0,1] \ S(ft) выполняется неравенство \v(x)\ Л/, т] — произвольная точка из (0,1), в которой все функции ц, Fyp,Q непрерывны. Обозначим Сі — и ( = . Покажем, что и(х) — v(x) + mm tpi mm_ (, [7Л№1]„ [о,ч]с[и,і]„ Ci(pi(x) + Сг гОО — искомое решение (3.4.1). Если x Є [0,7/], то u и(х) -M + СцрЛх) -\ tp2(x) 0. ІПІПС92 [0л Если же ж [?/, 1], то и(ж) -Л/ + — рі(х) + С хрг(х) 0. гаїїші [ч,і] Таким образом, ї((.г) — положительное решение уравнения (3.4.1). Следствие 4) == 1) очевидно. Теорема доказана.
Теорема 3.4.2. Пусть уравнение (1.4-1) не осциллирует внутри (0,1). То гда любое нетривиальное и неотрицательное на [0,1] решение и(х) уравнения (3.4-1) не имеет нулевых точек в (0,1). При этом и (0) 0 (ii fl(l) 0), если и(0) = 0 (и{\) = О).
Доказательство. Сначала докажем вспомогательный результат. Пусть «(ж) — нетривиальное неотрицательное па [0,1] решение уравнения (3.4.1). И пусть уравнение (1.4.1) не осциллирует на [i, &] С [0,1], причем в точке & функции fi(x) и а(х) — x+pi+]?2+Qi+Q2 + F{x) непрерывны. Тогда, еслии(і+0) = 0, и і — единственная пулевая точка и(х) на [ h&L то uj,(i + 0) ф 0, и не может являться точкой разрыва функции fi(x).
Рассмотрим сначала случаи, когда функции ц(х) и а{х) пепрерывшл в точке х. Тогда на отрезке [ ь&І применим аналог теоремы Пойа-Маммашл. Пусть р{х) — положительное (без нулевых точек) на [1, 2] решение урав нения (1.4.1). Тогда для всех х є [Cb&ls справедливо равенство х h(x) = h(b) - J tpd[F\, где h(x) - (p(x - 0) p(x + 0)p{x) — (-) (x). Если u fa + 0)-0, то dfi \ p; hfa) = 2(fc + 0)p(f! + 0) Q & + 0) = 0. Значит, функция — не возрастает на ьг Ь что с учетом — (i + 0) = 0 про и тиворечит неравенству — U.
Пусть теперь ц(х) непрерывна в точке ь о(х) разрывна в . Тогда ufa — 0) = u(i + 0) — и(і) 0. Предположим, что u jt( i + 0) = 0. Тогда ; Кі-о)и;,(Єі-о) = Ді%), т.е. « (і — 0) 0. По и (i — 0) 0, и оба этих неравенства выполняются лишь в случае, когда u t(i - 0) = 0, Д ( і) = 0. Из равенств u lt{,\ — 0) = u u(i +0)- u(i) = 0 слезет, что скачки функций р, Q в точке пе играют никакой роли, поэтому мы можем считать функции р(;г), Q(x) непрерывными в точке i. Теперь мы можем применить аналог теоремы Пойа-Мамманы, и аналогично первому случаю получим противоречие с положительностью «(ж). Пусть теперь fi(x) разрывна в точке j. Тогда возможны два случая: u(i — 0) 0, либо и( \ — 0) = 0. Предположим, что гі(і — 0) = 0. Допустим, что «№ + 0) = 0. Тогда Р(Єі-0)и;,(6-0)=Д-Г(і), откуда следует, что и (i — 0) 0. Но u (i — 0) 0, и значит, u fa — 0) = 0 ц A F(i) = 0. Аналогично, A+Ffa) = 0, т.е. F(x) непрерывна и точке . В силу равенств tij,(i — 0) = u (l{i + 0) = 0, u(i — 0) — if (i + 0) = 0, мы можем считать функции ;;, Q, }i также непрерывными в точке j, так как значения Р{ \)- Q(i) Ki 0)i Q(i 0), д(і — 0) никакой роли в данной ситуации не играют. Значит, мы снова можем применить аналог теоремы Пойа-Мамманы, и получим противоречие с положительностью и(х). Следовательно, u ft(,i + 0) 0. Но из равенства вытекает, что w (i + 0) 0. Значит, случай, когда fi(x) разрывна is точке i її гі(і — 0) = u(,i +0) = 0 при условиях, накладываемых па функцию и(х), невозможен.
Ортогональность собственных функций
Так как функции pi(x) непрерывны на компакте [0,1] , то они являются равномерно непрерывными, и из последнего неравенства легко вытекает //-равностепенная непрерывность множества Аи. Значит, оператор А является вполне непрерывным. Теорема доказана.
Следствие 4.1.1. Согласно [7, 26, 29, 34], спектр оператора А состоит из собственных значений, не более чем счетсн, причем, единственно возможная точка сгущения собственных значении опсратора/1 есть пуль. Значит, спектр задачи (4.0.1) состоит из собственных значений, не более чем счетен, причем, единственно возможная точка сгущения собственных значении есть бесконечность. Доказательство. Пусть р[(х) и (р2Іх) Дв собственные функции, отвечающие собственному значению AQ. Тогда р\(0) = 0, (0) — 0, и следовательно, Вронскиан \V(ipi,(p2)(0) = 0, т.е. система функции ір±ь ір2 линейно зависима. Значит, tpi{x) ар2{х).
Покажем отсутствие присоединенных функций. Предположим, чтои(х) — присоединенная функция. Тогда и(х) является решением задачи
Воспользовавшись формулой (1.1.5) для интегралов, стоящих в последнем равенстве слева, с учетом того, что р(х) — собственная функция, получим Теорема 4.1.3. KaotcOoc собственное значаще задачи (4-0.1) полоэюитслъ-но. Собственные функции мооюно выбрать вещественными. Доказательство. Покажем сначала, что собственные значения задачи (4.0.1) вещественны. Пусть и(х) = и\(х) + ht2(x) — собственная функция, отвечающая собственному значению А = а + г/3. Тогда откуда следует, что /3 — 0. Вещественность собственных значений доказана. Покажем, что собственные функции можно выбрать вещественными. В самом деле, если и(х) = щ(х) -\-iit2(x) — собственная функция, отвечающая вещественному собственному значению а, то, как легко видеть, и щ(х) и щ(х) являются решениями задачи (4.0.1), при А = а. Заметим, что по крайней мере, одна из функций и і (я), гід 0 0 отлична от нуля, т.е. является вещественной собственной функцией.
Докажем положительность собственных значений. Пустьгі(ж) — вещественная собственная функция, отвечающая собственному значению Л. Тогда справедливо Теорема 4.3.1. Пусть Є (0,1) — пулевая точка нетривиального решения и(х. А) уравнения -(pu (l)(x) + Jud[Q] = \Jud[M] - ( ,)(0). (4.3.1) с о Тогда при переходе через точку функция и(х, А) меняет знак, т.е. точка является узлом. Доказательство. Пусть в точке функция ц(х) непрерывна. Тогда и(, А) — 0. Предположим, что функция и(х, А) сохраняет знак в некоторой окрестности точки . Тогда одна из производшлх « ( — 0), и {+0) равна пулю, что влечет за собоіі равенство и(х, А) = 0, которое невозможно. Пусть теперь Є 5(/г). Предположим, чток( — 0, А) = 0. Покажем сначала, что случаи и(+0, А) — 0 невозможен. В предположении противного, получим, что и ціО — 0, откуда следует, что и(х,Х) = 0. Предположим теперь, что и(х, А) 0 в некоторой окрестности точки — 0. Покажем, что случаи и( + 0, А) 0 невозможен. В предположении противного получим равенство левая часть которого строго больше нуля, а правая — строго меньше нуля. Значит, и( — 0, А) 0. Аналогично, если и(х, А) 0 в некоторой окрестности точки - 0, то «( + О, А) 0. Аналогично рассматривается случаи, когда и( + 0, А) = 0. Если же и( — 0, А)н( + 0, А) 0, то точка по определению является узлом. Теорема доказана.
Теорема 4.3.2. Пусть функция Q(x) не убывает на отрезке [0,1], п (функция М(х) строго монотонно возрастает на [0,1]. Пусть ь & точки из 101 отрезка [0,1], в которых все функции ft, р, Q, М непрерывны, причем -Тогда найдется число 0 Л +сс такое., что задача - p«;.) s)+/«ад = xjud[M] ы.ш, 6 «і (4.3.2) «(Єї) = «(&) = 0 при А = А имеет нетривиальное решение.
Доказательство. Так как функция Q{x) не убывает на [ 1, 2], то найдется функция K(x,s) такая, что решение задачи (4.3.2) может быть представлено и виде u(x) = A f K{x,s)u{$)d[M(s)l причем функция К(х, s) строго положительна для всех х, s, не совпадающих
Рассмотрим оператор Аи(х) = j К{х, s)u{s)d[M{s)]. Легко видеть, что опс ратор А является линейным. Как было показано выше, оператор А действует из пространства C/t[i, 2] /х-непрсрывных функций в Сц[,1,,2\ и является вполне непрерывным.
Обозначим через К множество всех неотрицательных функции изС і, ] Множество К является воспроизводящим конусом. В силу неотрицательности K(x,s) на [ь&] х [і,г]і оператор А является положительным.
