Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Точечный и непрерывный спектры волновода 11
1 Вывод интегральных уравнений 12
2 Условия разрешимости интегрального уравнения (1.1.18) 22
Глава 2 Волноводный оператор для приведённого волнового уравнения 29
1 Определение волноводного оператора 29
2 Собственные функции непрерывного спектра и их асимптотические представления . 36
3 Индефинитное скалярное произведение собственных функций непрерывного спектра 41
Глава 3 Исследование непрерывного спектра приведённого волнового уравнения 49
1 Ортогонализация собственных функций непрерывного спектра 49
2 Проекторы на инвариантные подпространства оператора А, соответствующие конечным отрезкам непрерывного спектра 51
3 Спектры оператора А на инвариантных подпространствах соответствующих конечным отрезкам непрерывного спектра (Формулировка теоремы) 57
4 Изучение системы интегральных уравнений (3.3.2) . 59
5 Выбор решения системы (3.3.2) 65
6 Зависимость функции v() от правой части уравнения (2.1.16) 70
7 Доказательство принадлежности функции v() пространству L2(Yl) 74
Глава 4 Проекционные и разрешающие операторы для волновода с поглощением 79
1 Преобразование оператора А 80 -
2 Проекторы для случая невозмущённого волновода 95
3 Аппроксимация операторов А и В более простыми 104
4 Определение проекторов Р± и Р± (z) 113
5 Построение разрешающих операторов 120
Литература 135
- Условия разрешимости интегрального уравнения (1.1.18)
- Собственные функции непрерывного спектра и их асимптотические представления
- Проекторы на инвариантные подпространства оператора А, соответствующие конечным отрезкам непрерывного спектра
- Аппроксимация операторов А и В более простыми
Введение к работе
Диэлектрические волноводы с периодической структурой находят широкое применение при модуляции, демодуляции и фильтрации световых сигналов в различных устройствах интегральной оптики, включая фильтрующие устройства и решёточные элементы связи [1.12]. Волноводы этого типа продольно неоднородны. Поэтому теория направляемых волн для них, строго говоря, неприменима. Однако, когда пространственный период достаточно мал, волновой процесс в хорошем приближении предстаёт как обычная направляемая волна, длина которой намного превосходит длину пространственного периода [1.18]. Таким образом, свободный волновой процесс в периодической системе можно рассматривать как наложение бесконечной совокупности плоских неоднородных волн с разными постоянными распространения, которые характеризуют среду распространения волны. Их совокупность образует спектр волновода.
Для некоторого класса задач этот спектр изучался в работах [2.1] - [2.9]. Данное исследование является их продолжением.
Диссертация посвящена изучению граничной задачи для приведённого волнового уравнения
div(aVu) + bu = 0 (1)
в трёхмерном пространстве с 2тг - периодическими по переменной z коэффициентами, имеющими разрыв на некоторой 2л - периодической по переменной z и ограниченной по переменным inj'Ha поверхности Г. Вне области, ограниченной поверхностью Г, коэффициенты аяЬ предполагаются постоянными.
В качестве граничных условий для этого уравнения берутся условия
[и] = О и
а— дп
= 0, (2)
где [v] — скачок функции v на поверхности Г, производная функции и по внешней
нормали к поверхности Г.
Задачи такого типа имеют много физических применений. Ниже приведены некоторые из них.
Физическое применение полученных результатов
1. Область Р, ограничивающую поверхность Г, можно интерпретировать как волокно 2л - периодического диэлектрического волновода с параметрами, описываемыми 2л- периодическими по переменной z функциями.
Распространение волн в этом волноводе описывается системой уравнений Максвелла:
f rot Е = -icouH,
і (3)
[rotH = ісоєЕ,
где є и //— соответственно диэлектрическая и магнитная проницаемости вещества волновода, со — частота распространяемой волны. Функции є и ju являются 7.ж - периодическими по переменной z и равны постоянным є0 и ju0 вне замьпсания области Р. Векторные функции Еи Н— электрическая и магнитная составляющие электромагнитного поля. Система (3) рассматривается в областях Р и Ш3 \ Р .
По аналогии со случаем однородной среды введём понятия векторного и скалярного потенциалов.
Векторная функция Н удовлетворяет уравнению
сПу(//Я) = 0, вытекающему из первого уравнения системы (1). Следовательно, существует такая достаточно гладкая функция А, что Н = //"' rot А.
Подставляя это равенство в первое уравнение системы (3), получаем, что rot(' + icoA) = 0. Следовательно, Е = -icoA-Vq), где (р — дифференцируемая скалярная функция.
Назовём А векторным потенциалом электромагнитного поля, а <р— скалярным потенциалом электромагнитного поля.
Подставим полученные выражения для Е и Н во второе уравнение системы (3). Из этого уравнения и равенства div (єЕ) = 0 получим следующие уравнения для скалярного и векторного потенциалов А и ср:
й\\(єЧ(р) + іа>&\\(єА) = 0, (4)
Tot(/u~l rot А) = со2 sA-icoeVg). (5)
Уравнения (4) и (5) содержат в себе обе неизвестные величины А и (р. Чтобы этого избежать наложим на скалярный и векторный потенциалы условие
div (єА) = С<р, (6)
где С — некоторая функция, которая будет определена ниже. Такое условие не ограничивает общность решения системы уравнений Максвелла, так как векторный потенциал А определён с точностью до произвольного слагаемого вида Уу/, где у/— произвольная достаточно гладкая функция.
При выполнении условия (6) уравнения (4) и (5) приводятся к виду:
div(/?Vp) + zoC> = 0, (7)
rot (//-1 rot А) = со2єА- іо)єЧ(С~х div {єА)). (8)
Уравнение (8) является уравнением в частных производных второго порядка со старшими членами
/Г1 [V(div А) - АА] + ісоє 2C_1 V(div А).
При С = -ій)є2/л они сводятся к выражению АА . Уравнение (7) при этом становится таким:
div(s Vq>) + со2є2/л<р = 0.
Полученные уравнения для скалярного и векторного потенциалов в случае постоянных є и ju совпадают с классическими. Условия для скалярного и векторного потенциалов описаны, например, в работе [1.13].
Условие (4) в постоянной среде совпадает с традиционным.
При учёте инерционности процессов намагничивания магнитная проницаемость /л среды становится комплекснозначной функцией, и рассматриваемый волновод становится волноводом с поглощением. В диссертации рассмотрен случай, когда чисто мнимая часть коэффициента со2 є2/л постоянна. Общий случай требует дальнейшего исследования.
2. Пусть, также как и раньше, область Р является волокном диэлектрического 2тг - периодического волновода и параметрами, описываемыми 2л- периодическими по переменной z функциями.
Свободные колебания электромагнитных волн в этом волноводе описывается системой (3).
Будем искать решение уравнений (3) в виде:
= 0+УФ(Е),
(9)
Я = Я0+УФ(Н), К)
где Е0 и Я0 — векторные функции, равные нулю на границе области Р и при z = Ink, к є Ж и удовлетворяющие в областях Р и Ш3 \ Р условиям:
div(fo) = 0, div(//tf0) = 0. (10)
Такой способ решения предложен в работе [1.14].
Несложно убедиться, что пары функций Е0, УФ(Е) и Я0, УФ(Н) ортогональны в области Q = \(х,у, z)T є Р: 0 < z < 2ж\ с весами є и /л :
|*0УФ(Е)йЮ = $Ф{Е) div (eE0)dQ. = 0,
\lx Я0УФ(Н)<Ю = |ф(Н) div(/itf0) п п а также в областях Q^, получающихся сдвигом области Q вдоль оси z на 2лк, к є Z. Более того, любая функция F, принадлежащая пространству L\ ДО) векторных функций, квадратично суммируемых с весом є, единственным образом представима в виде суммы F - Fx+F2, где функция F, принадлежит замыканию в пространстве L\ Е (Q) множества {VeC;(Q):div(sV) = o}, a F2 — множеству {Vp:peZ2/oc(Q),VpeZ32(Q)}. Это доказывается также, как аналогичный результат для случая - = 0 в работе [1.15]. При этом попутно доказывается, что если F є W\ (Q), то F2 є W\ (Q). To же самое верно и для функций, заданных в областях П \ Q, где П = \(x,y,z)T :0 Таким образом, любое решение Е, Я системы уравнений (3) представимо в виде (9). Для решений Е и Я системы уравнений (1) выполняются равенства div(-) = 0, div(//tf) = 0. Следовательно, согласно формуле (8), функции Ф(Е) и Ф(Н) должны являться решениями уравнений сііу0гУФ(Е)) = 0, (Ііу(//УФ(н)) = 0. (11) Пусть теперь функции Ф(Е) и Ф(Н) являются классическими решениями уравнений (11). Построим по ним решение системы уравнений (3) вида (9). Для того чтобы векторные функции Е и Н в формуле (9) были решением системы уравнений (3), необходимо и достаточно, чтобы векторные функции Е0 и Н0 удовлетворяли условию: Jrot Е0 = -ісоцН0 - иу/УФ(н), [rot Н0 = ій)єЕ0 + ібоєЧФ{Е). Поделим первое уравнение системы (12) на функцию /л и применим к обеим частям rot.' Тогда, подставляя в правую часть выражения для rot Н0, полученное из второго уравнения системы (12), получим следующее выражение для векторной функции Е0: f\ Л — rot Е0 = -icoju [ій)єЕ0 + і соє УФ(Е) ]- ісо/л УФ(Н) => 1 1 ґ — }xrotE0 -со2{ієЕ0=а2рєУФІЕ)-ісорУФт. (13) Это можно сделать, так как Е,Н є W\ (Q) П W2 (П \ Q) , и, следовательно, 2 (Q) П W2 (П \ Q) Верно и обратное: если векторная функция Е0 является решением уравнения (11), то векторные функции Е0 и Н0 =-{ia>jj.yx хоїЕ0 -УФ(Н) удовлетворяют системе уравнений (12),. оо . Разрешимость уравнения (11) в пространстве W\ (Q) ел W\ (П \ Q) была изучена в работе [1.14]. Таким образом, по всякому решению уравнений (11) строится решение системы (3), причём составляющая (v 3. Уравнения рассматриваемого вида можно использовать при моделировании упорядо- ченных полупроводниковых структур на поверхности твёрдого тела. Такие задачи возникают в современных технологиях получения наноструктур . Более подробно эти задачи описаны в работах [1.16]-[1.17]. Характеристика работы по главам В первой главе исследуется разрешимость поставленной граничной задачи в классе функций вида Флоке, то есть представимых в виде и = e'izv, где Е,— комплексное число, а функция v 2тг - периодична по переменной z. Точки Е,, для которых существует решение поставленной задачи, образуют спектр волновода, причём он делится на непрерывную и дискретную составляющие. Дискретный спектр состоит из тех точек Е,, для которых функция v квадратично суммируема на полосе П = yx,y,z)T: 0 < z < 2л\, а непрерывный спектр — это замыкание множества точек Е,, для которых функция v ограничена, но не квадратично суммируема на полосе П. Доказан следующий результат. Теорема Спектр волновода является дискретным множеством точек, не сгущающихся на конечном расстоянии, а непрерывный спектр совпадает с множеством: {i/j + ik-.kel, jueR, \/j\< jb01a0 }u{v + ik:kєZ, vєR }. Эти результаты похожи на результаты, полученные в работах [2.1], [2.2] и [2.9] для другого уравнения. Изложенные здесь результаты опубликованы в работе [2.10]. Во второй главе вводится волноводный оператор А, действующий в пространстве L] (П), непрерывный и дискретный спектры которого совпадает с непрерывным и дискретным спектрами волновода. 2 Наноструктуры — это сверхпроводящие полупроводниковые структуры атомных размеров. Оператор А определяется дифференциальным выражением А, обладающим следующим свойством: если векторная функция V є L22 (П) является решением уравнения А V = 0, то её первая компонента является решением уравнения (1). Кроме того, во второй главе определяются собственные функции непрерывного спектра оператора А как In - периодические по переменной z ограниченные решения уравнения (A-^I)V = 0 , а также вводится естественное для оператора А индефинитное скалярное произведение собственных функций непрерывного спектра в пространстве обобщённых функций. Результаты этой главы похожи на результаты работы [2.7] и опубликованы в работе [2.10]. Третья глава диссертации посвящена проекторам на инвариантные для оператора А подпространства пространства L22 (П), отвечающие конечным отрезкам непрерывного спектра волновода. Основной результат третьей главы сформулирован в теореме 3.3.1: Теорема 3.3.1 Предположим, что открытый промежуток А непрерывного спектра лежит на мнимой оси, и его замыкание А не содержит особых точек непрерывного спектра, описанных в замечании 2.3.1. Тогда спектр оператора А в инвариантных подпространствах PAL22(TT) и (1 -PA)L22(Tl) равен соответственно А и Пусть открытые промежутки А, и Д2 непрерывного спектра не лежат на мнимой оси, и А2 ={— '-%е&\}- И пусть замыкания промежутков А, и А2 не содержат особых точек непрерывного спектра, описанных в замечании 2.3.1. Тогда спектр оператора А на инвариантных подпространствах РА L22 (П), РА L22 (TV) и (I — РА - РА )L22 (П) равен соответственно А,, А2 и а(А)\(А] иД2). Этот результат опубликован в работе [2.12]. В четвёртой главе рассматривается случай волновода с поглощением, то есть исследуется уравнение (1) с коэффициентом Ъ, имеющим вид суммы вещественнозначной неотрицательной функции и чисто мнимого слагаемого іє, где є— ненулевое вещественное число. Результаты предыдущих глав легко переносятся на этот случай. Непрерывный спектр волновода здесь имеет вид |)<ЬеС: 2Re(Im-A:) = -, (Re)2-(Im-)2+-^>0 і. І ыъ І а0 ] І , 3 Тогда векторная функция U = є V — решение уравнения А V = 0 вида Флоке. В четвёртой главе дополнительно предполагается, что коэффициент а в уравнении (1) — непрерывная функция во всём пространстве Ш3. Это предположение носит технический Для дальнейшего исследования спектральных свойств волновода рассматривается оператор В, подобный оператору А с неограниченным преобразованием подобия. Дело в том, что проекционные операторы Р±, о которых далее идёт речь, для оператора А неограниченны, даже в случае постоянных коэффициентов. В первой главе исследуется разрешимость поставленной граничной задачи в классе функций вида Флоке, то есть представимых в виде и = e izv, где Е,— комплексное число, а функция v 2тг - периодична по переменной z. Точки Е,, для которых существует решение поставленной задачи, образуют спектр волновода, причём он делится на непрерывную и дискретную составляющие. Дискретный спектр состоит из тех точек Е,, для которых функция v квадратично суммируема на полосе П = yx,y,z)T: 0 z 2л\, а непрерывный спектр — это замыкание множества точек Е,, для которых функция v ограничена, но не квадратично суммируема на полосе П. Доказан следующий результат. Теорема Спектр волновода является дискретным множеством точек, не сгущающихся на конечном расстоянии, а непрерывный спектр совпадает с множеством: {i/j + ik-.kel, jueR, \/J\ jb01a0 }u{v + ik:kєZ, vєR }. Эти результаты похожи на результаты, полученные в работах [2.1], [2.2] и [2.9] для другого уравнения. Изложенные здесь результаты опубликованы в работе [2.10]. Во второй главе вводится волноводный оператор А, действующий в пространстве L] (П), непрерывный и дискретный спектры которого совпадает с непрерывным и дискретным спектрами волновода. 2 Наноструктуры — это сверхпроводящие полупроводниковые структуры атомных размеров. Оператор А определяется дифференциальным выражением А, обладающим следующим свойством: если векторная функция V є L22 (П) является решением уравнения А V = 0, то её первая компонента является решением уравнения (1). Кроме того, во второй главе определяются собственные функции непрерывного спектра оператора А как In - периодические по переменной z ограниченные решения уравнения (A- I)V = 0 , а также вводится естественное для оператора А индефинитное скалярное произведение собственных функций непрерывного спектра в пространстве обобщённых функций. Результаты этой главы похожи на результаты работы [2.7] и опубликованы в работе [2.10]. Третья глава диссертации посвящена проекторам на инвариантные для оператора А подпространства пространства L22 (П), отвечающие конечным отрезкам непрерывного спектра волновода. Основной результат третьей главы сформулирован в теореме 3.3.1: Теорема 3.3.1 Предположим, что открытый промежуток А непрерывного спектра лежит на мнимой оси, и его замыкание А не содержит особых точек непрерывного спектра, описанных в замечании 2.3.1. Тогда спектр оператора А в инвариантных подпространствах PAL22(TT) и (1 -PA)L22(Tl) равен соответственно А и j(A)\A. Пусть открытые промежутки А, и Д2 непрерывного спектра не лежат на мнимой оси, и А2 ={— -%е&\}- И пусть замыкания промежутков А, и А2 не содержат особых точек непрерывного спектра, описанных в замечании 2.3.1. Тогда спектр оператора А на инвариантных подпространствах РА L22 (П), РА L22 (TV) и (I — РА - РА )L22 (П) равен соответственно А,, А2 и а(А)\(А] иД2). Этот результат опубликован в работе [2.12]. В четвёртой главе рассматривается случай волновода с поглощением, то есть исследуется уравнение (1) с коэффициентом Ъ, имеющим вид суммы вещественнозначной неотрицательной функции и чисто мнимого слагаемого іє, где є— ненулевое вещественное число. Результаты предыдущих глав легко переносятся на этот случай. Непрерывный спектр волновода здесь имеет вид В четвёртой главе дополнительно предполагается, что коэффициент а в уравнении (1) — непрерывная функция во всём пространстве Ш3. Это предположение носит технический характер и упрощает некоторые доказательства. В общем случае аналогичных результатов пока не получено. Для дальнейшего исследования спектральных свойств волновода рассматривается оператор В, подобный оператору А с неограниченным преобразованием подобия. Дело в том, что проекционные операторы Р±, о которых далее идёт речь, для оператора А неограниченны, даже в случае постоянных коэффициентов. Точечный и непрерывный спектры операторов А и В совпадают. Для оператора В определяются ограниченные проекторы Р± на инвариантные подпространства оператора В, соответствующие частям спектра оператора В, лежащим соответственно слева и справа от мнимой оси. Сама мнимая ось не содержит точек спектра оператора В. Кроме того, определяются ограниченные проекторы P±(z) в пространстве Ь\(Ц. ) как композиции операторов Р± , заданных в пространстве L\ (Ш2), И оператора сужения функции, заданной в пространстве К , на плоскость R х {z}. Проекторы Р (z) следующим образом связаны с введённым индефинитным скалярным произведением: Следствие 4.5.1 Сужение индефинитного скалярного произведения ,) на подпространство Р+ (z)l}2 (Ш. ) для всех z е [0,27г] является скалярным произведением в гильбертовом пространстве. Точно так же и -(, является скалярным произведением на подпространстве Р (z) L\ (К2) для всех z є [0,2я-]. В последнем параграфе четвёртой главы определяются разрешающие операторы в пространстве L22(TV) Д- уравнения (1). Это означает, что первые компоненты их образов являются решениями уравнения (1) вида Флоке. Полнота этой системы решений следует из теоремы: Теорема 4.5.2 Пусть U(z) — решение дифференциального уравнения BU(z) = 0, где В — дифференциальное выражение, определяющее оператор В, на промежутке (0,2л-), не прерывное в пространстве L22($L ) на замкнутом промежутке [0,2л-]. Тогда функции U± (z) = Р± (z) U(z) также являются решениями этого уравнения на промежутке (0,2л"). Решение U{z) однозначно определяется парой элементов P+(0)U(0) и Р (2тг)/(2тг) по формуле В уравнениях (1.2.3) ядро k{x,y,z) = k(x,y,z;%) определено по формуле (1.2.1), (х -х ,у — у , z-z ) — производная по нормали п к поверхности S по нештрихованным переменным в точке (x,y,z), и0 = е izv0 є С((й3), где v0— ограниченное на Ш3 и периодическое по z периода 2я решение уравнения LQ( )vQ (дифференциальное выражение Z0() определялось по формуле (1.1.5)). Разыскиваются функции и на Q и / на 5. Если и — классическое решение задачи (1.0.1) - (1.0.3) , и при х2 + у2 -»со это решение ограничено, то пара функций и, f , где функция / , определяется формулой ґди eiz, является решением системы интегральных уравнений (1.2.3). Ниже систему (1.2.3) относительно пары функций и, f будем рассматривать в пространстве W\(Q)хL2(S), то есть ие 2 (П) и fsL2(S). Если (и,/У из пространства W\ (Q) х L2 (S), то и и будет классическим решением задачи (1.0.1) - (1.0.3), ограниченным при Г —» СО . На самом деле, функция и, продолженная с Q на Ш3 по первой формуле системы (1.2.3), обладает следующими свойствами. Функция и принадлежим пересечению пространств W2Joc (IR3)nf 22(Q)n 0C(n\Q) и имеет на границе Г раздела сред правильную нормальную производную, которая квадратично суммируема на S, причём Из второго уравнения системы (1.2.3) видно, что функция / удовлетворяет равенству (1.2.2). Из интегральных уравнений (1.2.3) следует, что вне границы Г функция и имеет [1.1] вторые обобщённые производные, и вне Г выполняется дифференциальное уравнение (1.0.1). 4 То есть и из пространства W2 на любой ограниченной области, лежащей по одну из сторон поверхности Г, возможно примыкающей к Г. Отсюда легко получить, что и — обобщённое решение задачи (1.0.1) - (1.0.3) из класса W2loc (Ц. ), и, следовательно ([1.4]), и -— классическое решение. Как было замечено выше (замечание 1.1.1), ядро К определяется неоднозначно: при Лп(%) є Ш. знаки Яп() выбираются произвольно. Введём конечное множество М(ї) = {п:Ап(ї)єЩ. Тогда точки , для которых множество N( ) непусто, образуют множество Е, определённое формулой (1.0.4). Определение 1.2.1 Определим для eS\[tiyjb01а0 +ik:k = 0,±1,±2,...j четыре ядра К и К± с различным выбором знаков при п є N(J;) : если все Лй() 0, то ядро обозначается K+(x,y,z\%); если все Лп( ) 0— то K_(x,y,z; ); если взять А„() = limЯп{Е, ±е), то получим ядра ±(x,_y,z; ). - 0+ Будем искать условия разрешимости системы (1.2.3) в пространстве W\ (Q) х L2 (S). Лемма 1.2.1 Правая часть системы (1.2.3) является компактным оператором относительно функций и И/, аналитически зависящим от параметра , действующим из пространства W\(Q)хL2(S) в пространство W2(TlR)xL2(S). где P = TJ(X — Х )2 +(у-у )2 +(z-z )2 , cos(p,ri) — косинус угла между вектором р = (х-х ,у- y ,z- z Y и внешней нормалью к поверхности 5" в точке (x,y,z)T. Известно, что на ограниченной поверхности S справедлива оценка: I cos(/?,«) I Cp, где С — положительная константа, не зависящая от р. Таким образом, выражение (1.2.5) можно оценить следующим образом: где последний интеграл является интегралом со слабой особенностью. Лемма 1.2.1 доказана. Следовательно, по теореме Фредгольма [1.6] система (1.2.3) либо не имеет решения ни при каких є С, либо разрешима в пространстве Wl(Q)y. L2(S) при всех % eC\S, где S — дискретное множество на комплексной плоскости, не имеющее на конечном расстоянии точек сгущения. Докажем справедливость первого варианта. Лемма 1.2.2 При є Z, % = іг),г]єШ, ,Ф ic0 + ik, cQ =b0/a0 и при c0 Ж однородное уравнение (1.1.18) имеет только нулевое решение. Интегралы по ср и z берутся по конечным промежуткам, и поэтому в результате интегрирования получается квадратично суммируемая функция переменной % на промежутке Д. Остаточный член 0(г 312) асимптотики указанные свойства не портит. Таким образом, функция (F,Vln( )) как функция переменной , квадратично суммируема на промежутке Л. Более того, легко видеть, что отображение F — (F,Vln( )) как отображение, действующее из пространства L22(T1) в пространство L2(A), ограничено. Применение оператора Qln к функции F є L22 (П) приводит к интегралу: с квадратично суммируемой функцией /() на промежутке А. Из асимптотики (3.1.1) видно, что оператор как оператор, действующий из пространства L2(A) в пространство L22(Tl), ограничен. Тем самым доказана ограниченность оператора Qln в пространстве L22 (П). Попутно выяснено, как понимаются произведение (F, Vln ()} и действие оператора Qln для любой функции F є L22(TY): Здесь 2"(ПА)— характеристическая функция множества Пь = (x,jy,z)r єП :х2 +у2 R2\, предел в середине формулы (3.2.2) существует в пространстве Z,2(A), и затем интеграл берётся по для почти всех (x,y,z)T є П. Предел в правой части формулы (2.3.3) существует в пространстве L\{U). Обозначим через Qln (b) оператор, стоящий после знака предела в нижней строке формулы (3.2.2). При Ъ —» +оо он сильно сходится к оператору Qln . Для любой функции F eL22 (П) справедливо равенство д д в котором функции {X{Tlb)F,Vln{- )) и К/я(7) являются аналитическими функциями переменных Е, и TJ , причём вторая функция — аналитическая функция со значениями в пространстве Ь221ос(П) . В пределе при Ъ —» +оо получаем равенство: из которого, в свою очередь, при d —» +00 следует, что Qfn = Q,n. Остальные утверждения леммы 3.2.1 доказываются аналогично. Отметим, что функции \Qi„(b)Fj ,2(ть 0 плотны в пространстве QlnL22(H) и принадлежат множеству Д определённому формулой (2.1.5). Поэтому оператор А определён на всём подпространстве Qlnl}2(J\), и это подпространство — инвариантное подпространство оператора .4: AQlnL\(Yl) QlnL\(m-Действительно, пусть D — множество (2.1.5), а А — дифференциальное выражение (2.1.3) определяющее операторе. Тогда при F є D получаем: QlnAF= \х,(АР,У1л{))У,№ dlmt= \%l{F,AVln{0)Vln )dl = д д - IXiiF V V dlm \%l{F,Vln )) Vln{Odlm = AQlnF. д д Здесь использовалось равенство (AF,Vln )) = -(F,AV!n )), полученное интегрированием по частям. Теперь формула Q,„AF - AQlnF переносится на любые функции F, принадлежащие области определения оператора Л. Лемма 3.2.1 доказана. Пользуясь известной ([1.2]) формулой 2 ч(ю=Д +;) neZ для функций v\ (r,q ,z) из 1 получим: Yeinwv (r, p,z;4) = У е е УДЯД г) = =,6-7 . (3.2.3) to. 2а0 4 /2a0 neZ Здесь ряды сходятся равномерно по всем переменным р,ц/,г, вместе с любыми производными, если є Д , и г М. М— произвольное положительное число. Возьмём в качестве свободного члена в интегральном уравнении (1.1.18) с ядром К функцию из правой части формулы (3.2.3)1 и обозначим полученное решение через w, (г, р, z; %,у/). Рассмотрим СФНС В силу (3.2.3) верно равенство: neZ связывающее СФНС Vln(4) и W,( ,у/). Ряд в последнем равенстве сходится в пространстве L22loc(Tl) равномерно по ц/ є [0,2л-] и еА, так как решение интегрального уравнения (1.1.18) непрерывно зависит от свободного члена, а ряд в формуле (3.2.3) сходится равномерно. Для СФНС Ж,( ,ц/) справедливо, вытекающее из формулы (2.2.6) асимптотическое представление: где tf{k,,q),y/)— бесконечно дифференцируемые функции, In- периодические по переменным (р и ц/ и аналитические по переменной . Выражение определяет линейный ограниченный оператор в пространстве L22 (П) . Доказательство этого утверждения похоже на доказательство непрерывности оператора Qln, то есть отображение F - (F,W[{ !;,у/)) непрерывно как отображение из пространства L\ (П) в пространство L2 (А х (0,2л-)), и отображение Теорема 3.2.1 Предположим, что А— открытый промежуток непрерывного спектра, который расположен на мнимой оси, и замыкание А которого не содержит особых точек непрерывного спектра, описанных в замечании 2.3.1. Тогда ограниченные проекторы Qln и Р/, определённые по формулам (3.2.1) и (3.2.6), эрмитовы относительно индефинитного скалярного произведения (2.3.1), инвариантные подпространства QlnL\(TT) и Х2(П) включаются в область определения оператора А, и справедливы разложения (3.2.10). Тотальный проектор РА является ограниченным оператором, эрмитовым относительно индефинитного скалярного произведения (2.3.1), образ PAL22(T1) проектора РА включается в область определения оператора А, и РАА = АРА. Пространство L22(U) раскладывается в прямую и ортогональную относительно индефинитного скалярного произведения (2.3.1) сумму инвариантных подпространств оператора А. Пусть теперь А, и А2— открытые интервалы тс, симметрично расположенные относительно мнимой оси, и их замыкания не содержат особых точек непрерывного спектра, описанных в замечании 2.3.1. Тогда существуют ограниченные тотальные проекторы РА и РА , отвечающие интервалам А, и А2 непрерывного спектра оператора А, такие, что PAL22(TI) с D(A) и РА А = АРА , і = 1,2. Проекторы РА и РА являются взаимно сопряжёнными по отношению к индефинитному скалярному произведению (2.3.1): (PAF,G) = (F,PAG) VF,GeL](Tl). Пространство 1?2 (П) раскладывается в сумму (П) = [/»Ді (П) + РД (П)] + (/-/»Ді-РДі) (П) инвариантных подпространств оператора А. Доказательство второй части теоремы 3.2.1 аналогично доказательству первой части. Снова по формулам (3.2.1) и (3.2.6) с заменой в формуле (3.2.1) коэффициента Хі на выра жение /Re /Re определяются проекторы Q J и Р,0) для интервала А, с естественными изменениями (интеграл берётся по А,, и следует писать dt, вместо dlm , и, кроме того, ядро в уравнении (1.1.18) следует взять К = К_ для определения по функциям vf (r,(p,z) и S\e ny/v\y(r, p,z;,) СФНС Vln и W,). Множество N{%) в этом случае состоит из одного эле мента, и поэтому Ряды сходятся сильно. Проекторы Q J и Qj2) (РА И Р&. ) будут взаимно сопряжёнными относительно индефинитного скалярного произведения (3.1.2). 3 Спектры оператора А на инвариантных подпространствах соответствующих конечным отрезкам непрерывного спектра (Формулировка теоремы) Докажем следующую теорему. Теорема 3.3.1 Предположим, что открытый промежуток А непрерывного спектра лежит на мнимой оси, и его замыкание А не содержит особых точек непрерывного спектра, описанных в замечании 2.3.1. Тогда спектр оператора А в инвариантных подпространствах PAL22(TI) и (1 -РА)1?2(П) равен соответственно А и а(А)\А. Пусть открытые промежутки А, и А2 непрерывного спектра не лежат на мнимой оси, и А2 ={ 4 : еА,}. И пусть замыкания промежутков А, и А2 не содержат особых точек непрерывного спектра, описанных в замечании 2.3.1. Тогда спектр оператора А на инвариантных подпространствах PAL22(H), РА L22(Tl) и (1 — РА -РА )Ь22(П) равен соответственно А,, А2 и а(А)\(А] иА2). Доказательство Докажем только первую часть теоремы — вторая доказывается аналогично. Доказательство будем проводить по из следующему плану. I. Вначале довольно просто находится спектр оператора А в инвариантном подпространстве PAL22(Tl). II. Затем перейдём к изучению уравнения (A-I)V = F (3.3.1) при є А и F є (/- PA)L22(Yl) и докажем разрешимость соответствующей системы интегральных уравнений при некоторых специально выбранных функциях F, плотных в пространстве (/ - РА )L22 (П). III. Будут построены решения, аналитически зависящие от параметра Е, по разные стороны от промежутка А. IV. Два таких решения совпадут при є А . V. И отсюда, наконец, выводится убывание на бесконечности этих двух совпадающих при Е. є А решений. Перейдём к доказательству теоремы по этому плану. В подпространстве PAL22(T1) резольвентой оператора является оператор следующего вида: Его ограниченность при Е. g А доказывается также, как ограниченность оператора РА в теореме 3.2.1. Следовательно, множество а \ А является резольвентным множеством оператора А в инвариантном подпространстве PAL22(TT). Теперь рассмотрим уравнение (3.3.1) при Е, є A, F e(I-PA)L22 (П) , F = (/,,/2)r. Будем предполагать, что F есть образ при отображении (1-РА) бесконечно дифференцируемой функции G, финитной по переменным х и у и периодической по переменной z периода 2л . Тогда существует обобщённая производная —- є L2 (П). Это следует из того, что образы фи dz нитных функций при отображении РА обладают той же гладкостью, что и СФНС W, (,, у/} по переменным х, у, z. Первая компонента векторной функции W,( ,y/) один раз обобщённо дифференцируема по переменной z, эта производная принадлежит пространству L210С (П) и имеет при г — +со, г = д/х2 + 2 , асимптотическое представление вида (3.2.5). Поэтому производная по переменной z первой компоненты векторной функции F = (1 - PA)G существует и квадратично суммируема на полосе П. Первую компоненту решения V = (vl,v2)r операторного уравнения (3.3.1) будем находить из системы интегральных уравнений
АЕ0+ — Vdiv0+V
переносящая энергию вдоль волновода.
характер и упрощает некоторые доказательства. В общем случае аналогичных результатов
пока не получено.Условия разрешимости интегрального уравнения (1.1.18)
Собственные функции непрерывного спектра и их асимптотические представления
Проекторы на инвариантные подпространства оператора А, соответствующие конечным отрезкам непрерывного спектра
Аппроксимация операторов А и В более простыми
Похожие диссертации на Распространение волн в трехмерном периодическом диэлектрическом волноводе
