Содержание к диссертации
Введение
1 Метод Галеркина с возмущениями для задач на собствен ные значения 27
1.1 Обобщенная задача на собственные значения 27
1.2 Метод Галеркина с возмущениями 29
1.3 Краткий обзор известных оценок точности 31
1.4 Оценки точности 34
2 Скалярная задача 39
2.1 Обобщенная формулировка задачи 40
2.1.1 Спектральная задача на плоскости 40
2.1.2 Задача в ограниченной области 41
2.1.3 Свойства операторов 45
2.2 Существование решений. Свойства дисперсионных кривых 47
2.3 Явный вид оператора S(p) в случае круга 51
2.4 Гладкость собственных функций 53
2.5 Множество решений задачи V
2.6 Приближенное решение задачи 56
2.6.1 Пространство конечных элементов 57
2.6.2 Формулы численного интегрирования 60
2.6.3 Дискретная задача. Свойства решений 61
2.7 Оценки точности 64
2.7.1 Оценки погрешности численного интегрирования . 65
2.7.2 Оценки погрешности возмущений 67
2.7.3 Оценки точности приближенных решений 71
3 Векторная задача 72
3.1 Эквивалентные постановки задачи 72
3.1.1 Линейная спектральная задача на плоскости . 72
3.1.2 Нелинейная задача на собственные значения в круге 75
3.1.3 Линейная задача на собственные значения в круге . 79
3.2 Свойства форм и операторов 81
3.3 Существование решений. Свойства дисперсионных кривых 84 3.3.1 Гладкость собственных функций 87
3.4 Множество решений задачи ('Роо)- Точки отсечки 89
3.5 Дискретная задача 92
3.6 Свойства дискретных форм и операторов 95
3.7 Оценки точности 97
3.7.1 Оценки возмущений формы а 100
3.7.2 Оценки возмущений формы b 101
3.7.3 Оценка точности приближенных решений 104
4 Результаты численных экспериментов 107
4.1 Некоторые аспекты программной реализации 107
4.2 Волновод кругового поперечного сечения 110
4.3 Волновод квадратного поперечного сечения 112
4.4 Волновод прямоугольного поперечного сечения 116
4.5 Волновод с поперечным сечением из трех кругов 118
Литература
- Краткий обзор известных оценок точности
- Существование решений. Свойства дисперсионных кривых
- Нелинейная задача на собственные значения в круге
- Волновод кругового поперечного сечения
Введение к работе
В настоящей работе предлагается и исследуется новый подход к расчету дисперсионных кривых и собственных волн изотропных цилиндрических оптических волноводов без потерь.
Краткий обзор известных оценок точности
Четвертая глава посвящена описанию результатов вычислительных экспериментов. Рассматривались модели однородных оптических волноводов различных поперечных сечений. В случае волновода кругового поперечного сечения известно точное решение задачи, для волноводов квадратного и прямоугольного поперечных сечений имеются экспериментальные данные. Также рассматривался волновод, поперечное сечение которого представляет собой три касающихся друг друга круга одинакового радиуса. Во всех случаях для векторной задачи приведены графики дисперсионных кривых, проведено численное исследование зависимости точности метода от общего числа точек сетки и числа Фурье-гармоник.
Результаты вычислений находятся в хорошем согласии с доказанными теоремами о точности метода, за одним исключением: из вычислительных экспериментов следует, что условие iV co(p)h l в теореме 0.4 можно, по всей вероятности, заменить на более слабое условие JV со In h l (как и в скалярном случае).
На защиту выносятся следующие основные результаты диссертационной работы: 1) эквивалентные формулировки задачи определения собственных волн цилиндрических диэлектрических волноводов в виде параметрической линейной спектральной задачи в круге как в скалярной, так и векторной постановках; 2) приближенный метод определения собственных волн и дисперсионных кривых цилиндрических диэлектрических волноводов как в скалярной, так и векторной постановках; 3) оценки точности предложенных приближенных методов; 4) оценки точности метода Галеркина с возмущениями для самосо пряженной задачи на собственные значения Аи — ХВи в гильбертовом пространстве.
Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на всероссийских и международных конференциях: Международная молодежная школа-конференция "Iterative methods and matrix computations", г. Ростов-на-Дону, 2-9 июня 2002 г.; II Молодежная научная школа-конференция "Задачи дифракции и сопряжение электромагнитных полей в волноводных структурах", г. Казань, 14-16 октября 2002 г.; III всероссийская молодежная научная школа-конференция "Лобачевские чте-ния-2003", г. Казань, 1-4 декабря 2003 г.; Всероссийская конференция "Актуальные проблемы прикладной математики и механики", посвященная 70-летию со дня рождению академика А.Ф. Сидорова (Екатеринбург, 3-7 февраля 2003 г.); II всероссийская молодежная научная школа-конференция "Численные методы решения линейных и нелинейных краевых задач", г. Казань, 27 июня - 1 июля 2003 г.; 10 th International Conference on Mathematical Methods in Electromagnetic Theory, Dniepropetrovsk, Ukraine, Sept. 14-17, 2004; Пятый всероссийский семинар "Сеточные методы для краевых задач и приложения", посвященный 200-летию Казанского государственного университета, г. Казань, 17-21 сентября 2004 г.; Шестой всероссийский семинар "Сеточные методы для краевых задач и приложения", г. Казань, 1-4 октября 2005 г. а также докладывались на итоговых научных конференциях Казанского университета (2003-2006 г.г.).
В целом диссертация была доложена на совместном семинаре Кафедры вычислительной математики Казанского государственного университета и Отдела вычислительной математики НИИММ им. Н. Г. Чеботарева Казанского государственного университета.
Основные результаты диссертации изложены в работах [12], [13], [23] - [31]. В совместных работах их результаты принадлежат авторам в равной мере. Непосредственно автору принадлежит численная реализация рассмотренного в работе метода, проведение вычислительных экспериментов и анализ их результатов.
Работа выполнена на кафедре вычислительной математики Казанско го государственного университета.
Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю профессору Рафаилу Замиловичу Даутову за постановку задачи, поддержку и помощь при выполнении работы, а также научному консультанту — доценту кафедры прикладной математики КГУ, Евгению Михайловичу Карчевскому за полезные консультации по методам моделирования задач теории диэлектрических волноводов. Я признателен также Михаилу Мироновичу Карчевскому, любезно согласившемуся прочитать диссертацию, за его замечания, способствовавшие заметному улучшению изложения. Автор также благодарит Российский Фонд Фундаментальных Исследований за финансовую поддержку работы в рамках грантов 01-01-00068 (мае), 03-01-96237р.
Существование решений. Свойства дисперсионных кривых
Исследуем разрешимость задачи V, которая, напомним, имеет следующий вид: найти такие, что или Оба оператора здесь — самосопряженные, А(р) 0 при р О, В 0 — компактный оператор (см. леммы 2.4, 2.5)2. Пусть р 0 фиксирован. На линейном пространстве У введем новое скалярное произведение (, -)д = а(р; , ) и норму Щ = (А(р)-, -)1/2, эквивалентную норме У. Полученное гильбертово пространство обозначим через VA- Представим задачу V в виде следующей задачи в Уд:
Оператор Т(р) является самосопряженным и компактным в Уд, а (2.17) представляет собой задачу на собственные значения этого оператора. Доказательство следующей теоремы основано на хорошо известных результатах теории самосопряженных компактных операторов в гильбертовых пространствах (см., напр., [32, с. 245], [33, с. 210]).
Теорема 2.2. При любом р О имеется счетное множество чисел Рк{р) при которых уравнение V имеет решение,
Каоїсдое 0k{p) в этом ряду встречается конечное число раз, то естъ имеет конечную кратность. Каждому числу Рк(р), кратности гk 1, соответствует Гк-мерпое пространство Uk{p) такое, что (Рк{р),Р,и) — решение задачи V при любом и Є Uk{p)- Других решений задача V не имеет. Более того,
Доказательство. Задача (2.17) имеет счетное число вещественных собственных значений. Число Л = 0 является их точкой накопления и также является собственным числом (т.к. ker? не пусто). Каждое собственное число Л 0 имеет конечную кратность. Будем обозначать эти числа через Хк(р), к = 1, 2,..., записывая каждое собственное число столько раз, какова его кратность: Соответственно, при Pl(p) = 1/Хк(р), имеем со при п — со. Числам Лг-(р), а значит и /%(р), можно поставить в соответствие ортонормированные в Уд собственные функции такие, что произвольная функция представима в виде
Если собственное число \к{р) оператора Т(р) г -кратнот.е., то пространство 4(р), определяемое как линейная оболочка является собственным подпространством оператора Т(р), соответствующим Afc(p), и (Рк{р),Р,и) является решением V при любом и Є Uk(p). Это доказывает начальное утверждение теоремы и свойство а).
Для доказательства Ь) используем минимаксный принцип Куранта-Фишера. Имеем где максимум берется по всем конечномерным подпространствам V размерности к. Отсюда, с учетом леммы 2.4, следует, что функция р — @к{р) является монотонно возрастающей по р, поскольку при фиксированном v функция р — R(p, v) монотонно убывает по р. Для доказательства d) положим в (2.18) к = 1 и, пользуясь независимостью fik(p) от выбора области Q (см. замечание 2.1), выберем Q = BR D 0,І, и = 1 в Q. Далее будет показано, что (S(p)l,l) —У О при р —) +0 (лемма 2.8). Имеем при р —» 4-0:
Для вычисления оператора S(p) при заданном р необходимо уметь решать задачу Дирихле для уравнения Гельмгольца во внешности области Q, точнее, задачу (2.9). В случае произвольной области Q это можно сделать только численно, что является трудоемкой задачей. Если же О, — каноническая область, то такая задача может быть решена аналитически. В этом случае можно вычислить S(p) в явном виде и использовать его при конструировании численного метода решения задачи.
С этой целью будем предполагать далее, что BR0 — круг минимального радиуса До, содержащий Г2г-; Q = BR, R RQ; (Г, ф) — полярные координаты с началом в центре BR. При х = (г, ф) полагаем и(г, ф) = и(х).
Поскольку оператор S(p) непрерывен, а множество бесконечно-дифференцируемых функций плотно в V, то достаточно определить действие S(p) лишь на гладкие функции. Между множествами решений задач "Роо и Р имеется однозначная связь, определяемая теоремой 2.1. А именно, если— решение задачи— решение "Роо при и наоборот. Здесь щр(р) есть склейка иДр) и его метагармонического продолжения в . Таким образом, поперечное волновое число р Є (0, оо) параметризует дисперсионные кривые в координатах (/3,к).
Напомним, что функции /%(р) удовлетворяют условию Липшица и были определены нами при р 0. Однако, ясно, что по непрерывности они могут быть продолжены и определены в точке р = 0, поскольку оператор-функция А(р) непрерывна в нуле. Прир — 0 имеем кі(р) —», а числа /3? являются решениями следующей задачи на собственные значения (ср. с V): найти такие, что
Нелинейная задача на собственные значения в круге
Пусть L/2(D) и W iD) — пространства Лебега и Соболева комплекс-нозначных скалярных функций на области D CR2, Vі ( ) = [Wj(D)]1 -пространство /-мерных вектор-функций. Обозначая через Н комлексное сопряжение к tf, для tf, Н из Vі(D), 1 1, положим Следующие функционалы определяют квадраты норм в Скалярное произведение в Vі (D) определяется стандартно
Из теории пространств Соболева известно (см., например, [58], [59], [54]), что пространство Vі(D) — гильбертово, вложение Vі(D) С [L/2(D)]1 является компактным, если D ограничена и имеет липшицеву границу. Рассмотрим задачу: найти (/3, к) Є R+ и Я Є (Е2), Я ф 0, такие, что в Е2 справедливо уравнение (см. задачу (Vv), с. 9):
Обобщенная формулировка этой задачи получается стандартным образом и дана в [2]. Она имеет следующий вид: найти (13, к) Є Е+ и Я Є У3(Е2)\{0} такие, что для любого Н Є У3(Е2) имеет место равенство Эрмитову форму в левой части (7 ,) обозначим через С(/3;Я, Я ). При /3 0 она является положительно определенной (см. [2]),
При фиксированном /3 О задача (7 ) представляет собой линейную задачу на собственные значения относительно к2. Спектр соответствующей ей спектральной задачи содержит кроме непустой дискретной части, также непрерывную часть {к2 р2/е00} [2], которая не представляет для нас интереса. Таким образом, если (/3, к, Я) — решение задачи (7- ), то, как и в скалярном случае,
Проясним характер зависимости задачи (77 ) от параметра /3. Для этого нам понадобится ряд дополнительных обозначений. Для векторных
Здесь мнимая единица является сомножителем с Е2 и больше в коэффициенты форм не входит. Структура форм такова, что, если в задаче сделать замену неизвестного поля Я с компонентами (Н, Яз)т на Я = (Н, іЩ)т, и положить также Н = (Н7, гН 3)т, то можно вовсе освободиться от комплексных коэффициентов. Проделав это, в итоге придем к задаче: найти такие, что для любого Н Є К3(К2) имеет место равенство
Очевидно, что все формы в задаче ("Роо) являются эрмитовыми и вещественными (т.е. имеют вещественные значения при вещественных Я, Я ) и ее решения могут быть выбраны вещественными. Поэтому далее мы будем считать все пространства вещественными и будем опускать знак сопряжения в определении форм в задаче (Роо).
Сведем задачу ("Роо) к задаче в круге — ограниченной области, пользуясь методикой, развитой в предыдущей главе. Пусть, как и ранее, Q = BR — открытый круг радиуса R RQ С границей Г такой, что Пг- С Г2, fioo = Ж2 \ 7 (см. рис. 2.1 на с. 41); (г, ф) — полярные координаты с началом в центре BR. Если х = (г, ср), то по определению Н(г,ф) — Н(х).
Определим билинейную форму тождеством Лемма 3.1. IT — симметричная и ограниченная билинейная форма, Для любых Н, Н с компонентами из Я Г Г) справедливо представление: Кроме того, если Доказательство. Очевидно, что /г — симметрична. Интегралы в (3.4) включают общие слагаемые. После их сокращения получим:
Здесь. Из (3.7) следует оценка. Обе формы в (3.7) непрерывны вложение является плотным. Поэтому представление (3.5) можно проверить лишь для. Это осуществляется интегрированием по частям в (3.7). С учетом плотности вложения естественной нормой u = ui,n + ІМі,г плотно множество аналогично доказывается справедливость тождества которое равносильно (3.6). Лемма доказана. Определим пространство Определение 3.1. Пусть Функцию назовем метагармоническим продолжением Я в область
Склейку функций Я и Яоо будем обозначать через Нр, Нр Є V3(R2). Уравнение (3.9) имеет вид: причем Таким образом метагармоническое продолжение удовлетворяет тождеству2
Здесь форма в левой части является симметричной, ограниченной и положительно определенной. Поэтому из леммы Лакса-Мильграма следует существование и единственность обобщенного решения задачи распадающейся на три независимых скалярных задачи.
Волновод кругового поперечного сечения
Доказательство. Рассмотрим эквивалентную (V) задачу (V). Первое ее уравнение запишем в виде В силу самосопряженности и компактности Т(р) эта задача имеет счетное число вещественных собственных значений. Число А = 0 является их точкой накопления и также является собственным числом (т.к. kerB(p) не пусто). Каждое собственное число А 0 имеет конечную кратность. Будем обозначать эти числа через А&(р), к = 1,2,..., записывая каждое собственное число столько раз, какова его кратность: Если собственное число Хк(р) оператора Т(р) г&-кратно (г к 1), т.е. является собственным подпространством оператора Т(р), соответствующим числу /Зк{р). Учитывая второе уравнение в (V), т.е. определяя по Ufc(p) пространство Uk(p), указанное в теореме, получаем все множество решений задачи (V), а значит и (V). Это доказывает начальное утверждение теоремы и свойство а). Для доказательства Ь) используем минимаксный принцип Куранта-Фишера. Имеем где максимум берется по всем конечномерным подпространствам Уд размерности к. Отсюда, с учетом лемм 3.6 и 3.7, следует, что функция р — fik{p) является монотонно возрастающей по р, поскольку при фиксированном Н функция Между множествами решений задач имеется однозначная связь, определяемая теоремой 3.1. Если (Д(р),р, Щ(р)) — решение задачи — решение (Р ) при и наоборот. Здесь Н{р(р) есть склейка Я;(р) и его метагармонического продолжения в Qoo- Таким образом поперечное волновое число р Є (0, со) параметризует дисперсионные кривые в координатах (k,j3).
Напомним, что функции р — А(р) были определены нами при р 0. Так как они ограничены при малых р и локально удовлетворяют условию Липшица, то по непрерывности доопределим их в точке р = 0. Дифференцируемые при р О оператор-функции А(р) и В(р) равномерно по р ограничены при 0 р 1 (см. леммы 3.6, 3.7). При р - 0 имеем к{(р) -» к? = AW - АР, а числа $ являются решениями следующей задачи на собственные значения найти такие, что
Назовем (V0) уравнением отсечки, а числа /3f — точками отсечки.
Нетрудно убедиться, что ядро оператора А(0) двумерно, а базис в нем образуют функции Н = (1,0)г, H[] = (0,1)т, не содержащиеся в kerB(O). Поэтому уравнение отсечки имеет счетное множество решений (/ Н), к = 1,2,..., причем
На плоскости (/г,/?) кривая р — (ki(p),(3i(p)), Р О, является монотонно возрастающей и липшицевой, как это следует из утверждения Ь) теоремы 3.2, поэтому допускает параметризацию / = (3{(к), к kf.5 Определим ступенчатую функцию, непрерывную слева:
Число решений задачи (Роо) при каждом к 0 равно в ТОЧНОСТИ п(к) (ЭТО ЯСНО из рисунка). Отметим, что п(к) 2, гс(/г) — оо при к — со. Из приведенных выше рассуждений и теоремы 3.2 следует
Так же как и параметризацию Рис. 3.1: Дисперсионные кривые для волновода прямоугольного поперечного сечения с размерами 1.5 х 1, t{x) = 2.08, х Є ІІ, ето = 1, /І0 = 1. такое, что фі(к),к,Н) — решение задачи iVoo) при любом Н Є Ui(k). Других решений задача (Poo) we имеет. Функции к— монотонно возрастающие, локально липшицевы; / ) — 0 гсрм
Замечание 3.1. Отметим, что оператор В(0) = Во + CQL 1(Q)CQ определен на всем пространстве V2, хотя L-1(0) — нет. Ядро L(0) образуют функции, равные постоянной на Q. Введем LQ
Нетрудно проверить, что LQ — полооїсительно определенный оператор и I/-1(0)Co# = LQ 1OQH для любого Н Є V2. Поэтому далее положим по определению L(0) = LQ. Это определение будет полезно в дальнейшем при реализации приближенного метода решения задачи (V).
На рис. 3.1 приведены дисперсионные кривые задачи (V) (слева) и С оо) (справа) для однородного волновода прямоугольного поперечного сечения, полученные численно. Характер поведения дисперсионных кривых на этих рисунках полностью согласуется с доказанными теоремами. 3.5 Дискретная задача
Для дискретизации задачи (V) используем метод конечных элементов с численным интегрированием. Для аппроксимации Vh пространства Соболева V используем конструкцию, описанную в скалярном случае на стр. 57, а так же квадратурную формулу Sh (стр. 60).
