Введение к работе
Актуальность работы. При исследовании динамических задач термоупругости учет связанности полей деформации и температуры дает возможность выявить новые качественные особенности протекания процессов деформирования.
Проектирование современной техники и технологических процессов предъявляет повышенные требования к прочностным свойствам машин, конструкций и сооружений, работающих в критических термомеханических условиях. Возникает актуальная проблема оценки роли температурных полей и термоупругих волн, а так же влияние связанности задачи в механизме теплового динамического разрушения твердых тел. Моделирование процессов теплообмена и деформирования является одной из важных задач прикладной математики и механики.
В связи с развитием обобщенных моделей термоупругих сред, важным и актуальным является вопрос о передаче тепла на расстоянии, исследовании задач о распространении связанных термоупругих волн в волноводах, подверженных влиянию окружающей среды. В частности, исследования в области обобщенной теории термоупругостп Грина-Нахди (GNIII), сочетающей оба известных типа распространения тепла: термодиффузионный и волновой, а также изучение распространения термоупругих волн, согласно гиперболической теории термоупругости Грина-Нахди (GNII), являющейся предельным случаем обобщенной теории GNIII-термоупругости и прогнозирующей волновой тип распространения тепла (волна, "второго звука"). Все сказанное выше отражает актуальность и значимость тематики, описываемой в работе.
Значительный вклад в развитие классических и современных моделей механики твердых тел сделали Р.В.Гольдштейн, Джеффрис, Н.Н.Лебедев, Д.Д. Ивлев, К. Каттанео, В.А. Ковалев, Г.Н. Кувыркин, Ж.А. Мажен, В.Н. Ку-куджанов, Дж.К.Максвелл, Л.Д.Ландау, А.В.Манжиров, А.А.Маркин, В.Новацкий, Ю.Н.Радаев, А.В. Лыков.
Целью работы являются:
-
Изучение слабых разрывов решений связанных уравнений классической (СТЕ), гиперболической (GNII) и обобщенной (GNIII) термоупругости, а также анализ распространения плоских гармонических связанных GNIII-термоупругих волн.
-
Построение решения связанной системы уравнений движения и теплопроводности в рамках гиперболической линейной теории термоупругости (GNII) в цилиндрическом волноводе.
-
Построение решения связанной системы уравнений движения и теплопроводности в рамках обобщенной линейной теории термоупругости (GNIII) в цилиндрическом волноводе.
-
Вывод частотного уравнения и определение форм гармонических термоупругих волн в бесконечном цилиндрическом волноводе в случае окружных гармоник произвольного азимутального порядка (в рамках GNII и GNIII-термоупругости).
-
Проведение численного анализа зависимости волнового числа от частоты и построения форм гармонических волн перемещений и температуры в бесконечном цилиндрическом термоупругом волноводе в случае произвольных окружных гармоник в рамках гиперболической и обобщенной теорий термоупругости.
-
Анализ частотного уравнения и визуальная локализация волновых чисел в случае обобщенной GNIII-термоупругости.
-
Отделение всех вариантов значений выражений, содержащих вложенные арифметические корни из комплексных величин на комплексной плоскости, устранение многозначности при вычислениях всех 25 вариантов расстановки знаков в ветвях извлекаемых корней.
На защиту выносятся следующие положения:
-
Анализ распространения плоских гармонических GNIH-термоупругих волн.
-
Аналитическое решение связанной системы уравнений движения и теплопроводности для цилиндрического волновода в рамках линейной гиперболической (GNII) и обобщенной (GNIII) теорий термоупругости.
-
Частотное уравнение и формы гармонических GNII, и GNIII-термс-упругих волн в свободном бесконечном цилиндрическом волноводе с тепло-проницаемой стенкой в случае волн произвольного азимутального порядка.
-
Численный анализ зависимости волнового числа от частоты в случаях GNII и GNIII-термоупругости и визуальная локализация волновых чисел согласно теории GNIII-термоупругости.
Научная новизна полученных результатов состоит в следующем:
-
С помощью условий совместности Адамара-Томаса проведен анализ слабых разрывов в GNI,GNII,GNIII-TepMoynpyrax средах.
-
Получено биквадратное уравнение, из которого находятся волновые числа, и проведен анализ плоских гармонических связанных GNIII-термо-упругих волн. Определены условия нормальности плоских гармонических связанных GNIII-термоупругих волн.
-
В работе получены решения связанных уравнений движения и теплопроводности и проведен анализ гармонических волн, распространяющихся вдоль оси свободного длинного цилиндрического волновода с проницаемой для тепла стенкой для GNII- и GNIII-термоупругих сред.
-
В рамках модели гиперболической GNII-термоупругости получено частотное уравнение в задаче о распространении гармонических волн вдоль оси свободного цилиндрического волновода с теплопроницаемой стенкой. С использованием системы символьных вычислений Mathematica 6.0 проведен
его численный анализ и анализ форм гармонических волн произвольного азимутального порядка.
5. Получено частотное уравнение в задаче о распространении обобщенных связанных GNIII-термоупругих волн в бесконечном свободном цилиндрическом волноводе с проницаемой для тепла стенкой. Проведен анализ частотного уравнения и форм гармонических волн произвольного азимутального порядка. Получены выражения, позволяющие рассматривать отдельно все 32 (25) варианта расстановки знаков в ветвях извлекаемых корней при анализе частотного уравнения и устранить многозначность при вычислениях. Подробно описана процедура визуальной локализации корней частотного уравнения для волн разного азимутального порядка.
Достоверность полученных результатов обусловлена строгостью формулировок краевых задач, использованием фундаментальных принципов механики и термодинамики, а также сравнением с известными из литературы результатами.
Практическая значимость результатов. Полученные в работе результаты, могут применяться для описания и исследования процессов связанных с резкими изменениями температуры на поверхности твердых тел. Такие условия приводят к разрушению материалов под действием температуры. Также, результаты могут быть использованы при моделировании термомеханических процессов и дают возможность проведения более полного анализа температурного и напряженно-деформированного состояний важных элементов конструкций, подверженных тепловому воздействию и, таким образом, получению информации об оценке их прочности.
Апробация работы. Основные положения и работа в целом докладывались и обсуждались на следующих конференциях, семинарах и школах:
-
Семинар "Современные проблемы математики и механики" под руководством доктора физико-математических наук, проф. Ю.Н. Радаева, г. Самара, Самарский государственный университет, 2007, 2010 гг.;
-
Юбилейная школа-семинар "Проблемы современной механики деформируемого твердого тела и прикладной математики", посвященная 70-летшо доктора физико-математических наук, проф. Геннадия Ивановича Быковце-ва, г. Самара, Самарский государственный университет, 29 января —2 февраля, 2008 г.;
-
Международная молодежная научная конференция "XXXIV Гагарин-ские чтения", г. Москва, Институт проблем механики РАН, 1—5 апреля, 2008 г.;
-
16-я Зимняя школа по механике сплошных сред. Пермь, Институт механики сплошных сред УрО РАН, 24-27 февраля 2009 г.;
-
Международная научная конференция "Современные проблемы математики, механики, информатики", Тула, 23-27 ноября 2009 г.;
-
Семинар по механике деформируемого твердого тела под руководством доктора физико-математических наук, профессора Д.Д. Ивлева, г. Чебокса-
ры, Чувашский государственный педагогический университет им. И.Я. Яковлева, 3 апреля, 2010 г.;
-
Вторая международная конференция "Математическая физика и ее приложения", Самара, 29 августа - 4 сентября 2010 г.;
-
"Неравновесные процессы в сплошных средах", Всероссийская конференция молодых ученых. Пермь, 26-27 ноября 2010 г.;
-
Семипар "Актуальные проблемы прикладной математики и механики" под руководством доктора физико-математических наук, проф. В.А. Ковалева, г. Москва, Московский городской университет управления Правительства Москвы, 24 декабря, 2010 г.;
-
17-я Зимняя школа по механике сплошных сред. Пермь, Институт механики сплошных сред УрО РАН, 28 февраля - 3 марта 2011 г.
-
Научный семинар "Механика и прикладная математика" под руководством доктора физико-математических наук, проф. В.П. Радченко, г. Самара, Самарский государственный технический университет, 2011 г.
Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 11 печатных работ, среди которых 3 статьи опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК Министерства образования и науки РФ.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Объем работы —142 страницы, включая 28 рисунков и графиков, 2 таблицы и список литературы из 124 наименований.
Личный вклад соискателя. Работы с соавторами выполнены па паритетных началах.
Диссертационная работа частично поддержана грантом РФФИ (проект 10-01-00184-а "Волновые задачи связанной гиперболической термоупру-гостп").
